高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.2.2充要條件備

第2課時(shí)充要條件應(yīng)用1/49【自主預(yù)習(xí)】1.充要條件(1)定義:若p?q且q?p,則記作_____,此時(shí)p是q充分必要條件,簡稱充要條件.(2)條件與結(jié)論等價(jià)性:假如p是q充要條件,那么q也是p_________.p?q充要條件2/492.互為充要條件假如_____,那么p與q互為充要條件.p?q3/49【即時(shí)小測】1.若p是q必要條件,s是q充分條件,那么以下推理一定正確是()A.?p??sB.?s??pC.?p??sD.p?s【解析】選A.因?yàn)閜是q必要條件,s是q充分條件,所以q?p,s?q,所以s?p,則依據(jù)逆否命題等價(jià)性可知:?p??s.4/492.“|x|=|y|”是“x=y”()A.充分無須要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也無須要條件【解析】選B.|x|=|y|?x=y或x=-y,x=y?|x|=|y|.5/493.已知sinα<0,則“tanα>0”是“α為第三象限角”()A.充分但無須要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也無須要條件【解析】選C.當(dāng)sinα<0時(shí),tanα>0?α為第三象限角.6/494.在銳角△ABC中,“A=”是“sinA=”成立________條件.【解析】因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以A=?sinA=.答案:充要7/495.“l(fā)og3M>log3N”是“M>N”成立______條件.【解析】由log3M>log3N,又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log3x在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以M>N;當(dāng)M>N,因?yàn)椴恢繫,N是否為正數(shù),所以log3M,log3N不一定有意義,故不能推出log3M>log3N,所以log3M>log3N是M>N成立充分無須要條件.答案:充分無須要8/49【知識(shí)探究】探究點(diǎn)充要條件1.符號(hào)“?”含義是什么?提醒:“?”表示“等價(jià)”,如“A與B等價(jià)”指是“假如A,那么B”,同時(shí)有“假如B,那么A”,或者說“從A推出B”,同時(shí)可“從B推出A”.9/492.p充要條件是q與p是q充要條件一樣嗎?提醒:從充要性來說一樣,但“p充要條件是q”充分性是q?p,而“p是q充要條件”充分性是p?q.10/49【歸納總結(jié)】1.命題按條件和結(jié)論充分性、必要性可分為四類(1)充分必要條件(充要條件),即p?q且q?p;(2)充分無須要條件,即p?q且qp;(3)必要不充分條件,即pq且q?p;(4)既不充分又無須要條件,即pq且qp.11/492.從集合角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若A?B,則p是q充分條件,若AB,則p是q充分無須要條件若B?A,則p是q必要條件,若BA,則p是q必要不充分條件若A=B,則p,q互為充要條件若A?B且B?A,則p既不是q充分條件,也不是q必要條件12/49其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.尤其提醒:p是q充要條件意味著“p成立則q成立;p不成立則q不成立”.13/49類型一充要條件判斷【典例】1.(·重慶高考)“x>1”是“(x+2)<0”()A.充要條件B.充分而無須要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也無須要條件14/492.(·天津高考)設(shè)x>0，y∈R，則“x>y”是“x>|y|”()A.充要條件B.充分而無須要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也無須要條件15/49【解題探究】1.典例1中怎樣求滿足(x+2)<0x范圍?提醒:依據(jù)對(duì)數(shù)底數(shù)小于1,利用單調(diào)性知真數(shù)x+2>1.2.題2中判斷關(guān)鍵是什么？提醒：分y≥0和y<0去絕對(duì)值討論.16/49【解析】1.選B.(x+2)<0?x+2>1?x>-1,所以若x>1,則x>-1成立,若x>-1,則x>1不一定成立,所以是充分無須要條件.17/492.選C.當(dāng)y≥0時(shí)，x>y?x>|y|；當(dāng)y<0時(shí)，x>|y|?x>y但x>yx>|y|.所以“x>y”是“x>|y|”必要而不充分條件.18/49【方法技巧】充要條件慣用判斷方法(1)命題判斷法:設(shè)“若p,則q”為原命題,那么:①原命題為真,逆命題為假時(shí),p是q充分無須要條件;②原命題為假,逆命題為真時(shí),p是q必要不充分條件;③原命題與逆命題都為真時(shí),p是q充要條件;19/49④原命題與逆命題都為假時(shí),p是q既不充分也無須要條件.(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化法:p是q什么條件等價(jià)于?q是?p什么條件.20/49【變式訓(xùn)練】1.“a<-2”是“函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間[-1,2]上存在零點(diǎn)”()A.充分無須要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也無須要條件21/49【解析】選A.若函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間[-1,2]上存在零點(diǎn),則f(-1)·f(2)≤0,得a≥3或a≤-,所以“a<-2”是“函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間[-1,2]上存在零點(diǎn)”充分無須要條件.22/492.已知命題p:x≠1或y≠2,命題q:x+y≠3,則命題p是q()A.充分無須要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也無須要條件23/49【解析】選B.命題p:x≠1或y≠2,則?p:x=1且y=2;命題q:x+y≠3,則?q:x+y=3,易知?p??q,其等價(jià)命題為q?p,故p是q必要不充分條件.24/493.(·北京高考)設(shè)a,b是向量，則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”()A.充分而無須要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也無須要條件25/49【解題指南】利用向量加法平行四邊形法則，減法三角形法則處理.【解析】選D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”既不充分也無須要條件.26/49類型二充要條件證實(shí)【典例】(·廣安高二檢測)求證:0≤a<是不等式ax2-ax+1-a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立充要條件.【解題探究】典例中不等式成立條件怎樣求?提醒:分a=0,a>0兩種情況求.27/49【解析】充分性:當(dāng)0<a<時(shí),判別式Δ=a2-4a(1-a)=5a2-4a=a(5a-4)<0,則ax2-ax+1-a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.而當(dāng)a=0時(shí),不等式ax2-ax+1-a>0可變成1>0.顯然當(dāng)a=0時(shí),不等式ax2-ax+1-a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.28/49必要性:因?yàn)閍x2-ax+1-a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,所以a=0或解得0≤a<.故0≤a<是不等式ax2-ax+1-a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立充要條件.29/49【方法技巧】充要條件證實(shí)策略(1)要證實(shí)一個(gè)條件p是否是q充要條件,需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行,即證實(shí)兩個(gè)命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.(2)在證實(shí)過程中也能夠轉(zhuǎn)化為集合思想來證實(shí),證實(shí)p與q解集是相同,證實(shí)前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.30/49【變式訓(xùn)練】已知a,b是實(shí)數(shù),求證:a4-b4-2b2=1成立充分條件是a2-b2=1.該條件是否為必要條件?試證實(shí)你結(jié)論.31/49【解析】因?yàn)閍2-b2=1,所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1.即a4-b4-2b2=1成立充分條件是a2-b2=1.另首先,若a4-b4-2b2=1,即a4-(b4+2b2+1)=0,a4-(b2+1)2=0,(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0.又a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1.所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立必要條件.32/49【賠償訓(xùn)練】(·西安高二檢測)若M,A,B三點(diǎn)不共線,且存在實(shí)數(shù)λ1,λ2,使,求證:“C為AB中點(diǎn)”充要條件是“λ1=λ2=”.33/49【解題指南】證實(shí)時(shí)首先搞清楚條件p和結(jié)論q分別指什么,然后證實(shí)p?q(充分性)和q?p(必要性)成立.34/49【證實(shí)】充分性:因?yàn)棣?=λ2=,所以即即=0,所以C為AB中點(diǎn).35/49必要性:因?yàn)镃為AB中點(diǎn),所以所以所以.又因?yàn)镸,A,B三點(diǎn)不共線,所以是平面向量一組基底,所以λ1=λ2=.所以“C為AB中點(diǎn)”充要條件是“λ1=λ2=”.36/49類型三求充要條件【典例】1.直線x+y+m=0與圓(x-1)2+(y-1)2=2相切充要條件是________.2.(·運(yùn)城高二檢測)求關(guān)于x一元二次不等式ax2+1>ax對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立充要條件.37/49【解題探究】1.直線與圓相切充要條件是什么?提醒:圓心到直線距離等于半徑.2.求一個(gè)問題充要條件關(guān)鍵是什么?提醒:關(guān)鍵是把這個(gè)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.38/49【規(guī)范解答】1.直線x+y+m=0與圓(x-1)2+(y-1)2=2相切?圓心(1,1)到直線x+y+m=0距離等于??|m+2|=2?m=-4或0.答案:m=-4或02.由題可知等價(jià)于?0<a<4.39/49【延伸探究】1.典例2中不等式改為ax2-1<ax,求其對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立充要條件.【解析】不等式恒成立等價(jià)于解得-4<a<0.40/492.典例2中不等式改為方程,求方程有兩個(gè)正根充要條件.【解析】一元二次方程為ax2-ax+1=0,設(shè)方程兩根為x1,x2,則方程有兩個(gè)正根充要條件是解得a≥4.41/49【方法技巧】求充要條件方法求一個(gè)問題充要條件,就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,使得轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)命題所對(duì)應(yīng)解集是兩個(gè)相同集合.這就要求我們轉(zhuǎn)化時(shí)候思維要縝密.42/49【賠償訓(xùn)練】求一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根充要條件.【解析】方法一:設(shè)方程兩根為x1,x2,則方程有一正根和一負(fù)根充要條件是x1x2=<0,即ac<0.43/49方法二:(1)先求必要條件:因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根,設(shè)為x1,x2,則由根與系數(shù)關(guān)系得x1x2=<0,即ac<0;44/49(2)證實(shí)該條件是充分:當(dāng)ac<0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0判別式Δ=b2-4ac>0.所以方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)為x1,x2,則x1x2=<0,所以方程兩根異號(hào).即方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根.由(1)(2)可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根充要條件是ac<0.45/49自我糾錯(cuò)充要條件判斷【典例】若a,b為實(shí)數(shù),則“ab<1”是“0<a<”()A.充分無須要條件B.必要不充分條