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圣維南原理及其證明

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圣維南原理及其證明：歷史與評述

趙建中

云南大學資源、環(huán)境與地球科學學院地球物理系，昆明650091

摘要

圣維南原理(Saint-VenanfsPrinciple)是彈性力學的基礎性原理，圣維

南原理的證明一直是彈性力學重要的研究課題。本文以圣維南原理研究中

最重要的事件為線索，對圣維南原理的發(fā)展歷史作了綜述，對重要的研究

工作和結果進行了評論；發(fā)表和論證了圖平定理不是圣維南原理的數(shù)學表

達、一般的圣維南原理不成立、修正的圣維南原理可以證明為真等觀點；

介紹了建立修正的圣維南原理的數(shù)學方法；闡述了研究圣維南原理證明問

題的意義；目的在于引起對這些有關圣維南原理的基本問題的關注和討

論，促進圣維南原理研究的繁榮和發(fā)展。

關鍵詞

圣維南原理，歷史，圖平定理，證明，否證，數(shù)學表達，修正，意義

中圖分類號：0343.2

AMSSubjectClassifications:74G50

引言

彈性力學的圣維南原理已經(jīng)有一百多年的歷史了02。早期有關原理有重

要

的文章波西涅克(Boussinesq)⑶于1885年、勒夫(Love)⑶于1927

年

分別發(fā)表了圣維南原理的一般性陳述。然而Mises^i認為勒夫陳述不清楚并提

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出修改的陳述，其后的論證既可以看作是對一般的Mises陳述的否證，又可以

看作是對具有特殊條件的Mises陳述的證明。Sternberg⑹贊同Mises的修改，

他的論證也可以既看作是對Mises陳述（Sternberg稱為圣維南原理的傳統(tǒng)陳

述）的一般性的否證，又看作是對附加了條件的Mises陳述的證明。

Truesdell阿于1959年斷言，如果關于等效載荷的圣維南原理為真，它“必

須是“線性彈性力學“一般方程的數(shù)學推論”。這就從理性力學的角度提出

了圣維南原理的證明問題，圣維南原理被視為一個數(shù)學命題，其真理性需要

證明。毫無疑問，圣維南原理的數(shù)學證明成了一個學術熱點。為了揭示原理

隱秘的內(nèi)涵，或者說破解原理之謎，學者們花費了巨大的努力。Zanaboni

A%，，證明”了一個定理，并稱和圣維南原理有關。圖平（Toupin）[1U2]列

舉了更多的反例說明波西涅克和勒夫的一般性陳述不真，并建立了一個能量

衰減的定理，這個定理被認為是柱體圣維南原理的數(shù)學證明，似乎具有里程

碑的意義。Berdichevskii?推廣了圖平定理。諸多學者仿效著推導出一些定

理來建立圖平型衰減，并把原理推廣到連續(xù)介質物理學的各個領域，諸如流

體流動和熱傳導問題等，發(fā)展了許多方法。Horgan和Knowles口4T可對原理

的進展跟蹤作了評論，其后又有不少新的工作。本文將對圣維南原理的發(fā)展

歷史作出綜述，對最重要的結果加以評論。

1.圣維南的思想：

1885年法國學者圣維南在研究柱體變形問題時發(fā)現(xiàn)，當把外力加載到等橫截

面長彈性柱體的兩個端面時，除開端面附近的區(qū)域，柱體中橫截面上的各點的

應力與各點到柱體端面的距離無關。但是，根據(jù)彈性力學的數(shù)學理論，只有當

端面的外力均勻分布時，柱體中才能產(chǎn)生這種均勻的變形。

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圣維南是非常重視實際應用的工程師，他不研究沒有實際應用價值的問題。

實際結構中，外力均勻分布的情況很少發(fā)生。工程師和試驗師通常只知道作用

在梁端面上的外力的合力和合力矩而不能確定外力力系的分布?？紤]到他的結

果的實際應用，圣維南覺得有必要解釋，為什么他的由特殊分布外力得到的結

果可以應用到一般性的、難于求解或未曾求解的實際情況。為此他聲稱，作用

在梁兩端面上具有給定合力和合力矩的外力系的作用方式（即分布），除開端

面附近以外，并不影響梁中的應力分布。端面分布著相同的合外力和合外力矩

的所有梁問題的解，都隨著離開端面的距離很快地趨近一個共同的解。這個解

就是他自己給出的解。

圣維南因推廣他的彈性柱體扭轉問題和彎曲問題的解而形成的思想是：對

無體力的、側面自由的、處在靜力平衡狀態(tài)的彈性柱體，如果端面的載荷被靜

力等效的力系所代替，柱體中除端面鄰域以外的應力場和應變場將近似保持不

變。g]

2一般性的陳述、冠名為“原理”

對線性彈性力學，疊加原理對載荷和形變均有效，任意兩個靜力等效的力系

之間的差是平衡力系，于是波西涅克和勒夫分別將圣維南的思想一般化，提出

了和圣維南思想等價的陳述的兩種形式，并冠以“圣維南原理”的稱謂：

波西涅克陳述⑶：施于彈性體上的任意平衡力系，如果其作用點限于某個給定

的球內(nèi)，那么該平衡力系在任意一個與球的距離遠大于球半徑的點上所產(chǎn)生的

形變是可以忽略的。

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勒夫陳述⑷：根據(jù)這個原理，由施于彈性體表面某一小部分的靜平衡力系在

距離大于該部分的一維線尺度的地方產(chǎn)生的應變是可以忽略的。

3.Mises修改

3.1.Mises修改及Mises證明6

因為波西涅克處理了半無限大空間（z〉0）的邊界（z=0）上作用著非平衡

力系而遠處的應力是小量的問題，所以Mises在文［5］中提出勒夫陳述不很清

楚。他說“這種形式的陳述不太清楚。因為根據(jù)陳述施加給靜止物體的力在

任何情況下都必須處在平衡狀態(tài)，談及加上或減去一個非平衡力系可能是沒

有意義的。原理正確的表達方式可能是：

如果作用在物體上的力局限于物體表面的若干小部分上，所有部分都包含在

一個半徑為￡的小球內(nèi)，那么，當每個小部分上的力系為平衡力系時，產(chǎn)生

于物體內(nèi)離所有這些小表面都為有限距離處的應變和應力的數(shù)量級小于各小

表面上的力系為非平衡力系的情況?！?/p>

他接著說：“如果這個陳述為真，它必須能夠用數(shù)學予以證明。也就是說，

它必須是彈性理論基本微分方程的結果。但是在通常的教科書里沒有嘗試提

供任何證明。大多數(shù)教科書里舉出的是波西涅克的結果，以此作為對它證明

的參考。但是，波西涅克處理的半無限大空間（z〉0）的邊界（z=0）上作用

著的是法向力。波西涅克證明了，如果外力系作用于。點且

當外力合力為零時，物體中x,y,z點上的應力的數(shù)量級為￡,

而當力系的合力矩也同時為零時，該點上的應力的數(shù)量級為屋。下面我們將

證明，如果在z=0點上允許作用切向力分量，一般來說情況并非如此?！瓘?/p>

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實際應用的觀點看，本文主要的結果是：如果所有的力都是平行的，而且不

沿物體表面的切向，圣維南原理是適用的，但原理不能用在更加一般性的條

件下?！?/p>

Mises推出在半無限大體表面（短，么,,0）點作用著外力分量X,,,匕,Zy

（v=1,2,3...）時，半無限大體內(nèi)（x,y,z）點上的平均正應力的公式：

3

-^-ra=x^Xv+y^Yv+z^Zv

K—3

+,［（3/—Ez4x”+3取Z短匕

+3xz^^,Zv+3xy^r/vXv

+（3/—/W%匕+3yz?/Z］+…

從公式中看出：“如果媒和“的數(shù)量級是￡,我們可以得到結論：如果合力

分

量Zx-Z匕，［Zy為零，（x,y,z）處的應力（和應變）的數(shù)量級為￡；

當

且僅當6個線性距短匕，Z短4，2%冗，＞＞修，2%4也為零

時，（X,y,z）處的應力（和應變）的數(shù)量級才為屋。平衡力系的情況，也就

是

Z1%4）=0,一般來說并沒有超越上述6個線形距

的條件（innowaydistinguished）。只有當所有的力都互相平行，或者垂直于物

體

邊界面，或者和邊界面斜交不為零的角度，三個平衡條件才包含（6個線形距

中

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的）另外三個條件。一般而論，當且僅當作用在物體表面小部分的外力轉動任

息、

角度時仍然保持處在平衡狀態(tài)（無定向平衡，astaticequilibrium）,物體內(nèi)部的

應

變才減至整數(shù)量級。”

這就是說，一般而論，當邊界上作用著平衡力系時，物體內(nèi)x,y,z點上的應

力的數(shù)量級為￡,和作用著合力為零但合力矩不為零的非平衡力系的情況下應

力

的數(shù)量級相同而不是更小。也就是說，物體內(nèi)部的應力要減至整數(shù)量級，平衡

力系的條件是不充分的，還需要具備特殊的條件。這就證明了，Mises自己提出

的修改的圣維南原理并不一般性地成立。一般地，只有當力系是無定向的平衡

力

系時，物體內(nèi)x,y,z點上的應力才具有小的數(shù)量級。這可以看作是對一般的

Mises

陳述的否證，又可以看作是對具有特殊條件的Mises陳述的證明。

Mises還以圓盤問題為例證明，他的修改的圣維南原理也不成立。由此他

認為，圣維南原理不能推廣至有限大物體。

3.2.Sternberg的證明⑹

Sternberg在文⑹中贊同Mises對波西涅克和勒夫陳述進行澄清和修改的觀

點和做法。他說：“正如Mises指出的，上面的陳述需要澄清，因為陳述要

求施加給靜止物體的力在任何情況下都必須處在平衡狀態(tài)。只有當物體延伸

至無窮，而且我們需要無窮遠處的應力衰減為零時，談及由施加于物體表面

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的有限部分的非平衡力系'產(chǎn)生’的應變才有意義。而且，在這種情況，無

論載荷是否是自平衡的，由給定載荷產(chǎn)生的應變在離加載區(qū)域足夠遠的各點

是任意小的。另一方面，在無體力的情況下，選擇載荷足夠大或足夠小，彈

性體中固定點的應力和應變可以任意大或任意小。這些觀察事實進一步確認

了澄清陳述的需要。”

Sternberg舉出了Mises修改陳述，然后說：”應該指出，這樣一個解釋隱含在

通常的圣維南原理的應用當中。而且，從波西涅克證明原理的努力明顯地看

出，這就是他頭腦中的思想。為了達到證明的目標，波西涅克考慮集中力垂

直作用在具有平面邊界的半無限大體。他證明了，如果載荷作用點處在半徑

為￡的小球內(nèi)，只要作用力的合力為零，物體內(nèi)固定點的應力分量具有￡的

數(shù)量級；而如果作用力的合力矩也為零，則該點的應力分量具有屋的數(shù)量

級?！?/p>

“1945年Mises在他的對該問題的啟發(fā)性的(illuminating)論文中，用兩個

特例證明了，如果不具備有利的條件，恰當?shù)爻吻辶说脑淼耐ǔｊ愂霾豢?/p>

能成立。Mises選擇的兩個例子是三維半空間的問題和圓盤的二維問題，兩

個問題的載荷都是集中力表面載荷。在這兩個例子的基礎上，Mises提出了

一個改進的(amended)原理?！?/p>

“本文的目的是要對Mises修改的(modified)圣維南原理提供一個一般性

的證明。論證針對分片連續(xù)的外力，然后延伸到集中力的情況。論證對任意

連接的有限域和無限域均成立。”

Sternberg考慮任意連接而成的(即不需要單連的條件)正則區(qū)域B。外力分

布在B內(nèi)的互不相交的m個相鄰的閉域中，所有的閉域都位于一個半徑為為

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的小球內(nèi)。除非B的邊界D延伸至無窮遠，每個閉域中的力都應該是平衡力

系。

Sternberg采用的度量是體積膨脹率，討論物體內(nèi)載荷區(qū)域S（￡）（0<￡<%）

（￡是載荷區(qū)域的半徑）外的Q點的體積膨脹率犀（￡）,得到的結論是：

（a）如果外力的合力不為零（考慮無限大體），即

F（￡）=fT⑶dtTHO時,一般而論屋（￡）=0（￡2）。

JS（￡）

（b）如果F（e）=O,則屋（￡）=0（/）或更小。

（c）如果F（e）=O,fT（￡）ada=0,fT（g）因cr=O,

JS（￡）Js⑻

則屋（￡）=0（一）或更小，式中1,夕是文中引入的兩個徑矢參數(shù)。

（d）如果外力是平衡力系,即F（e）=O,M（e）=0,

則建（￡）=0（/）或更小。

“于是，如果S（￡）上的力系是自平衡力系，則犀（￡）=0（￡3）或更小。這個結

論和引言中的圣維南原理的傳統(tǒng)陳述的解釋相矛盾。根據(jù)傳統(tǒng)的陳述，當S（￡）

上的力系是自平衡力系時，犀（￡）的數(shù)量級應該總是比S（幻上的外力為非自平

衡力系時要小。”

于是，Sternberg的工作可以看作是對Mises陳述（Sternberg稱為圣維南原

理的傳統(tǒng)陳述）的一般性的否證，但也可以看作是對附加了條件的Mises陳述

的證明，因為從（c）的條件可以導出（d）的條件方程，反之則不然。

4.從理性力學角度提出圣維南原理證明問題

1959年Truesdell阿指出：“數(shù)學是研究材料的強有力的工具，不僅可以

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從已接受的理論預測結果，而且可以在建立新的經(jīng)驗模型時清晰地界定概

今“

/區(qū)、O

他指出：“第一個足夠好的關于扭轉的理論是圣維南的。許多關于力學概念

的最精細的研究會聚起來構造了該理論的基礎?！逼浜髮@些研究進行了綜

述。

Truesdell指出：在Fresnel和Navier的思想影響下，Cauchy建立了小彈性形

變的一般性的線性理論，“在這個理論中，要解決扭轉問題就必須知道軸端面

上的應力或位移分布，而實際應用中這些信息是不可能得到的。然而，軸的扭

轉變形或多或少地與這些分布無關。這個事實啟發(fā)了圣維南，他構建了一個扭

轉問題的漂亮的特解，并且設想，在端面載荷和該特解所設的不一樣而僅只是

和它靜力等效的情況下，用該特解來作為扭轉問題的結果是足夠精確的。這樣

一個推廣為'關于等效載荷的圣維南原理’的思想，對線性彈性力學帶來一個

重要的問題，因為如果其結果為真，它必須是一般方程的數(shù)學推論?！?/p>

這樣一來，Truesdell就從理性力學的視角原則而明確地提出了圣維南原理的

數(shù)學證明問題或圣維南原理數(shù)學證明的任務。

5.Zanaboni定理：“柳暗花明”

在Mises⑸、Sternberg⑹和Truesdell阿明確地提出圣維南原理的證明問題之

前，Zanaboni于1937年發(fā)表了一個定理來處理任意形狀的物體中能量衰減的問

題⑺。這個結果在圣維南原理的歷史上有著重要的影響，因為它首次應用了功

和能作為討論的度量，而在此之前的工作，包括著名的Mises修改，都是以應

力和應變作為度量而研究的。在研究碰到困難、一片沉寂的情況下使人們重新

建立起信心，看起來是獨辟蹊徑，開創(chuàng)了一條用應變能衰減來解決圣維南證明

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問題的路子。特別是，Zanaboni定理給于圖平以重要的啟發(fā)［⑵。Zanaboni定理

⑺為：

設任意形狀的彈性體中的小球8加載任意的平衡力系P,和S”是球8以

外的兩個互不相交的任意截面，S”離開8比S更遠。物體被6截成兩個部分，

作用在6上的面分布力為R,并設為僅有R作用時由其單獨引起的兩個部

分中的總應變能。同樣，R'和。尺“分別表示了S”面上的面分布力和由它單獨誘

發(fā)的兩個體積中的總應變能（見圖1）o

S"S’

R*R'

圖1

對這樣的彈性體，Zanaboni給出

0<UR，，<UR，.

作者的證明如下口，⑺:

設物體G+G由下列步驟建成（見圖2）：

QEOrm3、4為

s

第三步

第一步，對G加載P力系。第二步，S］和邑分別加載R表面力系。選取R

使得變形的面y和邑精確地互相吻合，以至于G和。2中的質點不僅應力連

續(xù)，而且位移也連續(xù)。第三步把G和。2連為一體，s僅僅為界面。這樣拼接的

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結果相當于把G和。2在自由狀態(tài)下連接起來，然后對組合體G+c2加載P平

衡力系。于是

Ul+2=Ul+UR1+UR2+UPR(5.2)

式中。1+2是G+。2中的應變能，是尸在第一步所作的功，UR2是R在第

二步中對。2作的功，URI是假定G處在自由狀態(tài)下R對G作的功，UpR是P

對G在第二步中由R引起的位移上作的功。

其后應用最小余能原理。設想R以1:(1+0的比例增加，于是URI和。尺2分

別增至(1+￡)2。冏和(1+￡)2。匹2,因為載荷和形變都分別增至原值的(1+￡)

倍。UpR將增至(1+￡)。相，因為尸不變而形變將增至原值的(1+￡)倍。于是，

。1+2將變?yōu)?/p>

+(1+￡)2(URI+)+(1+￡)UPR.(5.3)

5+2的增量為

△■+2=￡(2URI+2U及+UPR)+/(URI+UR2)(5.4)

由(5.4)式，5+2取極小的條件為

2UR1+2UR2+UPR=0(5.5)

代(5.5)式入(5.2)式,Zanaboni得到

UI+2=UHR2)(5.6)

對4(2+3)和%+2)+3(見圖1)重復使用(5.6)式，有

01+(2+3)="1—(“RI+。尺,(2+3)),(5.7)

U(l+2)+3=。1+2—(UR"(1+2)+UR"3)

=%-(URI+UR2)-(UR”(I+2)+UR、，3)(5.8)

讓(5.7)式和(5.8)式相等，得到

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UR'l+UR1(2+3)=URi+UR2+UR”(I+2)+UR"3"(5.9)

因為URI+UR2是正定的，所以由(5.9)式有

UR'1+UR1(2+3)>UR”(1+2)+UR”3,(5.10)

按圖1所示改寫(5.10)式即證得(5.1)式。

6.本文對Zanaboni定理的評述

Zanaboni定理不成立，因為定理的證明是錯誤的。證明的主要錯誤是最小余

能原理的誤用，其次是混淆了功和能，詳情見附錄A。

7.圖平的工作、圖平定理(Toupiifstheorems)

7.1.圖平在文［11］中對勒夫陳述提出了新的反例。圖平用兩個例子說明，柱體

的幾何形狀對物體形變有重要的影響，以至于物體內(nèi)的應變并不衰減。例如，

把任一小而非零的縱向力系施加到矩形橫截面長柱的一端，在任何離該端有限

遠的狹縫附近，其應變具有任意大的量值。圖平還復述了Mises在文［5］中提出

的反例。圖平提出，對圣維南原理的定量處理需要包容這些定性的、直觀的觀

察事實。

圖平指出，圣維南的彈性靜力等效載荷的原理只對規(guī)則的柱體成立，勒夫

給出的對任意形狀物體的圣維南原理的廣泛性陳述可能不真，圣維南本人曾間

接地提出過警告。

圖平于是討論了體積域為8、僅在近端C。加載任意平衡力系、無體力、常

橫截面、半無限長彈性柱體的問題?，該問題的平衡方程是

；

IJ，J=0(%1,eB)(7.1)

應力邊界條件是

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(〃3=0(xie5B-C0),(7.2)

J(,)/0a=O(7.3)

Co

以及\x[iWtnda=Q(7.4)

(式中(“3學o(”c。))。

圖平從問題的基本方程出發(fā)，推出

工(/,0)也”+。區(qū)/)40(7.5)

as

式中s,億。)」位〃*+--K—]為特征衰減長度。然后，圖平選擇%(/⑷.當1

2即M(/)

為正值時的最小值%(/)=、)l(7.6)

由(7.5)式出發(fā)證明了能量衰減的不等式

U(s)<。(0)/(1)/%0(7.7)

式中。⑶是儲于超過離開平衡力系載荷的距離s的部分柱體的應變能，。(0)

是柱體總應變能，、(/)是特征衰變長度最小值，1(1>0)是橫截面C,和

Cs+l之間的長度距離，選擇來使得、(/)取一個小值。式(7.6)中

〃*=〃//〃,“，。用)

心和〃加分別是最大和最小彈性模量，它們的定義是

<%*?司<〃耕「；<7.9)

P是物體的質量密度；外)是橫截面Cs和Cs+l之間的柱體的一小段的自由振動的

最低特征圓頻率。

為了對應變進行估計，又給出一個不等式

(7.10)

式中是一個固體球的形變能，V是球體的體積，K是物理常數(shù)，e是

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球體中心的應變。等價于(7.10)式的應力估計的式子在文［12］中給出。

本文中分別稱不等式(7.7)和(7.10)為圖平定理1和圖平定理2。

我們可以從圖平文章的論證邏輯的角度推知，圖平認為他的兩個定理可以解

決他作為反例提出的問題。從文章的標題可以看出，他認為這兩個定理是圣維

南原理的數(shù)學證明或數(shù)學表達。

7.2.圖平在文［12］中首先稱圣維南是19世紀最著名、最杰出的工程師之一，

并引用了Pearson發(fā)表在Nature上的對圣維南的介紹和評價，然后追溯了圣維

南

獨特思想的起源以及演進的過程。

圖平在文中稱勒夫陳述為“經(jīng)典的原理”(ClassicalPrinciple)或圣維南原理

的傳統(tǒng)陳述(trditionalstatemantoftheSaint-Venant'Principle),舉出一個形如

長

音叉的彈性物體的反例。設等大反向的一對力分別作用在音叉的U形部分前端

的兩個端頭，在離開前端最遠的U形根部附近的應力比音叉內(nèi)任何地方的應力

都要大。圖平說：“從這個例子人們可能會認為，原因在于加載的表面部分

(無

論其多么小)不是單連的。所以，加上單連體這個條件，原理的表達就可能正

確。

然而，從下面的例子可以看出，情況并非如此?！?/p>

于是，圖平舉出兩個單連體的例子，就是在文［H］中舉出的例子，其中一

個是矩形橫截面柱體中存在狹縫的反例。

另一個反例中，梁由一塊狹長的、水平的薄連接板(athinweb)和兩個

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橢圓橫截面的粗大瓣柱(twomassivelobes)構成，連接板的上下兩個面各自

并接一個瓣柱。在梁的一端的橫截面的兩個瓣葉上分別施以合力矩M和-M以

滿

足勒夫陳述的所有條件。設梁的長度是橫截面線度的許多倍。選擇板的厚度足

夠

小，任意遠離載荷端面的薄板中的一點P的應力和載荷端面鄰近的類似點P'的

應力之比可以無限接近于1,是一個難于忽略的比率。

他總結說：“面臨著如此多的對圣維南原理的傳統(tǒng)陳述的反例，我們必

須

承認，該陳述中存在著某種錯誤。在力學文獻中我們在這里因尊重傳統(tǒng)而稱為

‘原理'(principle)的圣維南的思想有著各種不同的稱謂，稱為‘公理'

(axiom)、'公設'(postulate)、'假設'(assumptions)或者'定律'

(law)o現(xiàn)在需要的不是新的原理或新的假設，而是邏輯地從已經(jīng)建立的彈性

形變的數(shù)學理論導出的定理。這些定理應該以精確的方式反映圣維南提出的柱

體或更一般的物體中應力場的共同性質。”

在介紹了Zanaboni定理后，他說："我們從Zanaboni的結果得到的主要

思想是，雖然我們知道不可能期待應力逐點值總是隨著離物體表面的負載部分

的

距離而衰減，但是我們可以預期平均應力的某個恰當?shù)亩攘?measure)總是衰減

的。彈性體中任一部分的平均應力最自然的度量是儲存在該部分的彈性能。有

可

能把Zanaboni定理的結果精細化，導出彈性能隨著離開彈性體表面負載部分的

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距離減小的衰變率。”

上面的語句充分地反映出圖平建立他的定理的思想。文中圖平介紹了他自

己在文［11］中得到的兩個定理。

8.本文對圖平理論的評論

從上節(jié)末所引的圖平的語句看出，圖平從Zanaboni那里接受的主要思想

是：

（1）“不可能期待應力逐點值總是隨著離物體表面的負載部分的距離而衰

減，”這意味著對波西涅克和勒夫陳述的質疑或否定。

（2）“我們可以預期平均應力的某個恰當?shù)亩攘靠偸撬p的?！边@意味著要

用“平均應力的某個恰當?shù)亩攘俊眮泶妗皯Α毖芯俊八p”定理。

（3）“彈性體中任一部分的平均應力最自然的度量是儲存在該部分的彈性

能?！?/p>

圖平認為“有可能把Zanaboni定理的結果精細化，導出彈性能隨著離開彈

性體表面負載部分的距離減小的衰變率?！眻D平就是按照這樣的思想建立他的

理

論的。圖平似乎是想用他的定理來取代波西涅克和勒夫陳述，作為圣維南原理

的

表達，而且是定量的表達，采用的度量是彈性能。

我們提出以下觀點：

（1）研究“平均應力的某個恰當?shù)亩攘俊钡乃p是具有力學價值或工程學價

值

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的，“彈性體中任一部分的平均應力最自然的度量是儲存在該部分的彈性能”

也是可取的。問題在于，圖平定理考慮的儲能體積大小是遞減的而不是固定不

變的，圖平不是對等量的體積中的彈性能進行比較，因而定理中彈性能的衰減

不反映平均應力的衰減。

（2）波西涅克和勒夫陳述是和圣維南思想等價的。雖然研究“平均應力的某

個恰當?shù)亩攘俊钡乃p也是有意義的，但那已經(jīng)不是在討論圣維南原理了，然

而可以認為是研究“平均應力的某個恰當?shù)亩攘俊钡氖ゾS南型衰減。

圖平定理1沒有表達圣維南原理，因為定理表達的是能量隨儲能體積遞減

的衰減而不是應力、應變或應變能密度的衰減。圖平之后許多作者聲稱討論圣

維南原理，而實際上推導圖平型衰減公式，其誤解的源頭就在于此。

圖平把圖平定理1和圖平定理2合起來進行應變的逐點估計來討論圣維南

原

理，他說：”給出的這兩個不等式提供了物體內(nèi)部各點的應力的上界?！卑⒂?/p>

此看來，圖平似乎又偏離了他關于“平均應力的某個恰當?shù)亩攘俊钡乃枷?，?/p>

認了圣維南衰減是應變從而是應力的衰減，也就是默認勒夫陳述的合理性，或

勒夫陳述與圣維南思想的等價性。勒夫陳述是一個可以否證的假命題，圖平自

己也舉出了反例，而圖平定理是可以證明的真定理。邏輯地，圖平定理表達的

應該是勒夫陳述的反面或否定。有趣的是，正是從圖平定理出發(fā)，本文附錄B

否證了勒夫陳述，或一般的圣維南原理。圖平把他的工作稱作是“圣維南原理

的證明”，是過于牽強了。

為了從數(shù)學的角度進一步說明勒夫陳述是個假命題，本文還在附錄B給出

了又一個有關圖平問題的圣維南原理的否證。

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圖平理論沒有證明圣維南原理，也就是說，圖平定理不是應力、應變或應

變

能密度隨離開平衡力系外載荷的距離衰變的定理，也沒有給出無限遠處應力、

應變或應變能密度極限為零的公式。如果我們放松要求，按照圖平的思想，采

取“平均應力的某個恰當?shù)亩攘俊保苑e分或平均值作為度量，圖平理論也是

不合格的，因為由圖平定理推不出諸如橫截面能量積分、能量密度面平均值、

能量密度平均值之類的圣維南型衰減。用圖平定理作逐點估計，無論是直接應

用還是結合其它作者的結果（其他作者的結果將在第9節(jié)給出），都存在不可

克服的困難。

必須指出，圖平理論還存在著自身的困難。圖平定理選取了一個極端的、

最大衰減率的解而避開了不利的解，因而定理是不能覆蓋能量衰減率譜的，也

是不客觀的，圖平理論不是一個嚴格的數(shù)學理論。本文附錄B給出了完全覆蓋

能量衰減率譜的圖平定理，該定理告訴我們，能量衰減的最重要的原因是儲能

體積的遞減。

涉及本節(jié)評論的數(shù)學推導和討論的細節(jié)均在附錄B中給出。

9.其它作者結合圖平定理發(fā)展的逐點估計、本文對各種逐點估計的評述

應用圖平定理，一些作者給出了逐點估計的公式，在此集中討論。

9.1Flavin提出的逐點估計的公式

9.1.1Flavin1電⑼指出，圖平定理對下面的柱體問題仍然成立：柱體的側面是

曲

面而且固定（%=0）,近端（s=0）加載的力系不一定是自平衡力系，遠端

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(s=L)滿足的條件使得(“3%=0,g(/)/2乃理解為高為/、側面為曲面

且固定、端面自由的柱體片段的最小自由振動頻率。他給出了柱體中位移梯度

的

逐點估計的公式：

Upq(o)<TU(s-a)(9.1)

式中uPQ是完全包在柱體中的半徑為a、以距離s遠離加載端的球體的中心

。點的位移梯度；U(s)是超越距離s的柱體部分的應變能，用圖平定理1表

Zj\O.

9.1.2本文認為Flavin估計的主要困難在于(9.1)式?jīng)]有覆蓋柱體部分

(L-a<s<L)(在該域中沒有定義)，因為用來作估計的球體要求完全包在

柱體當中。如果。取常數(shù)值，我們得不到任何關于這有限部分柱體的知識。

如果a為變量且對有限長柱體當sfL時位移梯度將趨于無窮，對無

限長柱(9.1)式為不定式，位移梯度不能確定。

9.2Horgan和Knowles提出的逐點估計公式

9.2.1Horgan和Knowles”可在近端(5=0)加載、其余邊界自由的各向同性柱

體內(nèi)建立了一個應力逐點估計的公式

，式看,X2,5)|<4^(仁產(chǎn)2d32[U(s—d)一U(s+d)產(chǎn)(9.2)

11<71BB)

式中

夕①)=min(l,^^),(-1<V<1),

1+v2

是柱體內(nèi)(匹,％,S)點的應力，〃是剪切模量，?是點(%1，々,5)到柱

體邊界的距離，U(s)是超過距離s的柱體部分的應變能。和圖平定理1或者

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Berdichevskii的結果（見后）相結合，認為（9.2）給出柱體內(nèi)的應力逐點估

計。

9.2.2本文認為，（9.2）式中應力要取實數(shù)值，需要條件

U（s-d）-U（s+d）>0（9.3）

如果用圖平定理1來表示U（s）,條件（9.3）是不能保證的，因為（7.7）式中含有

不等式。如果認為（9.3）式總是為真，那就等于承認儲能體積的遞減是圖平定理

中的能量。⑶衰減的唯一原因。

9.3Roseman提出的逐點估計公式

9.3.1Roseman㈤推導出一個柱體內(nèi)的應力逐點估計的公式。該公式不僅適用于

柱體內(nèi)部，而且適用于柱體邊界，表達為（也見［14］）：:

1123/21/2

匕（X］,x2,5）1<M（-^-）p-［U（s-p）-U（s+p）］（9.4）

?1隊v）

式中M和O為兩個普適的正常數(shù)，僅僅取決于橫截面的幾何形狀和參數(shù)，而

與載荷、物理常數(shù)〃和丫、柱體長度以及點的坐標a,0,s）無關。這些特征使

得（9.4）式區(qū)別于（9.2）式。（9.2）式的d依賴于（網(wǎng),％,s）而且只對柱體內(nèi)點適

用。據(jù)作者稱，和圖平定理1結合，（9.4）式對柱體全域給出應力的逐點估

計。

9.3.2本文認為，嚴重的困難在于U（s+p）在域L-夕<s<L沒有定義。而如果

由于數(shù)學不確定性。（s+夕）取任意值，（10.4）式不能保證，（和工2,5）|取實數(shù)

值。

如果要導出

lim%（玉,%2，s）=。（9.5）

Sf+xJJI

必須從圖平定理以外借用關于柱體行為的假設，比如

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U(s+p)=O(9.6)

或OWU(s+夕)&⑷，(9.7)

式中L-p<s<Lo然而，無論采用兩個假設中的哪一個，都必須使柱體延伸

得比L要長。

10.Berdichevskii定理:

Berdichevskii在文［13］中的思想是要推廣圖平等截面柱體能量衰減的定理。他

研究了笛卡爾坐標系中的任意形狀、幾何線形、非均勻、各向異性、物理非線

性

的彈性體(儲，尤2,無)，物體x>0無限延伸部分自由，x<0有限大部分加載。用

Q(x)表x=const處的有界橫截面，它把物體分成兩部分，x以遠部分的體積域

用V(x)表示。令能量泛函為

1

E(x)=|Uddxdx~dx(10.1)

V(x)

其中心是應變能密度，E(x)是％以遠的體積V(x)中的應變能。再令

l2l

/=inf(jUddxdx/^Uddxdx2dx)(10.2)

P。(%)V(x)

(式中7取下確界值考慮到表面載荷p’的所有可能的值)，Berdichevskii證明

了能量衰減定理

X

￡1(%)<E(0)expy(x)dx),(%>0),(10.3)

o

Berdichevskii的證明如下：事實上，由(10.2)有

l2

/(x)E(x)<jUddxdx(10.4)

。(%)

利用公式北區(qū)

jU^^dx1(10.5)

dxC(x)

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和(10.4)得到

/(%)￡(%)+^^<0(10.6)

dx

由(10.6)導出(10.3)。

由于討論的彈性體的幾何形狀和物理性質，Berdichevskii定理被看作是圖平

定理的推廣。

Berdichevskii其后推導了常數(shù)匕和口,并推導出用匕和2對/進行估計的公

式。然后對桿估計了常數(shù)么，用N估計了均勻各向同性半無限圓截面桿的能量

衰減率，以及錐形體的能量衰減率。

11.本文對Berdichevskii定理的評論

本文認為，Berdichevskii定理是從普適的方程導出的，因此是成立的。但

是

Berdichevskii理論并沒有證明圣維南原理，因為定理獨立于圣維南原理所規(guī)定

的特殊條件(由勒夫陳述表述)之外，所以Berdichevskii定理太一般以至于和

圣維南原理的表達這個特殊問題無關。事實上，趙建中,指出Berdichevskii定

理對懸臂梁問題的解g成立，而懸臂梁的能量密度是遞增的。而且，當X—/

時，能量衰減率%-8.

Berdichevskii定理是圖平定理的推廣，正因為如此它就比圖平定理更難和

圣維南原理發(fā)生聯(lián)系。Berdichevskii理論也不是一個嚴格的數(shù)學理論，存在著

許多隨意性的處理。盡管如此，(10.1)、(10.2)和(10.5)式以及定理的證明比圖

平理論更為清楚地暴露出，圖平能量衰減的本質原因在于儲能體積的遞減，而

不在于能量密度的衰減，從而客觀上為我們理解圖平能量衰減的本質提供了有

益的啟示。

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同樣有趣的是，類似于圖平定理，由Berdichevskii定理可以否證一般的圣

維南原理。

涉及本節(jié)評論的數(shù)學推導和討論的細節(jié)均在附錄C中給出。

12.模型問題(TheModelProblem)：借類比而推廣

圖平的能量衰減的思想和圖平的理論逐漸為人們普遍接受，建立圖平型的定

理形成了一股潮流。不少作者認為，對圖平定理的推廣就是對圣維南原理的推

廣，

從而把圖平定理推廣到連續(xù)介質物理學的廣泛范圍內(nèi)。

Horgan和Knowles[14]提出了一個邊值問題

u.u=0(onR),(12.1)

u，3=于(on50),(12.2)

〃，3=0(onS/)，(12.3)

du/dn=O(onL),(12.4)

J成4=0,(12.5)

0

式中R是長度為/的柱狀域，其邊界為L,So為七=0處的端面，S,為

%3=/處的端面，f滿足“自平衡”條件

\fdA=Q.(12.6)

S。

式(12.6)是一個類比平衡力系的方程，因而這是一個借類比來討論圣維南原

理

的問題。這個定解問題不僅可以方便地表達一個溫度場邊值問題，還可能有多

種

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不同的物理解釋，應用到多個不同的物理問題同，堪稱“模型問題”。

Horgan和Knowles應用Knowles方法，首先定義了能量泛函

E(z)=JdV(12.7)

&

其中凡為</的柱體區(qū)域。其后，導出了

E\z)+2kE(z)<-^-k2)^u2dA(12.8)

s：

式中丸：是諾埃曼問題(Neumannproblem)

0，aa+^=°(。〃So)(12.9)

。。/加=0{onCo)(12.10)

的最小正本征值。式(12.10)中的Co是端面So的邊界。

選擇左=4(12.11)

(12.8)式變?yōu)?/p>

E'(z)+2kE(z)<0(12.12)

由(12.12),證得能量衰減不等式

E(z)<E(0)exp(-2fe)(0<z</)(12.13)

13.本文對模型問題(TheModelProblem)的評論

Horgan和Knowles定義了能量泛函，導出了能量衰減不等式，然而，不補

充別的假設，能量衰減不等式不能給出“能量密度”的衰減。

Horgan和Knowles給出了逐點估計，這個逐點估計的主要困難在于公式不

能完全覆蓋整個柱域。

由(12.8)式導出(12.12)式的條件是左=土4，這就是說，模型問題應該

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給出Phragmen-Lindelof型定理。Horgan和Knowles排除了負值能量衰減率，然

而，排除這個能量遞增的解需要提出先驗性的假設（aprioriassumptions）,

或者對能量泛函的漸進性質提出某種控制，兩位作者沒有任何交待和論證。

事實上，本文找到了模型問題圣維南型衰減的形式解（見附錄D）。存在

著模型問題圣維南型衰減的形式解，Horgan和Knowles卻疏忽了，一方面讓這

個解擦肩而過，另一方面卻舍本逐末，去尋求問題的圖平定理。這種思維似乎

讓人難以理解，卻反映出圖平理論對西方學者的超常影響。

Horgan和Knowles提出的模型問題的定解條件中，有不屬勒夫陳述的圣維

南原理的條件（12.5）。當討論圣維南原理的時候，這是一個補充條件或附加

條件。以類似的思路我們發(fā)現(xiàn)，在特殊的條件下（相當于附加了條件），圣維

南型衰減對模型問題確實存在（附錄D中給出了實例）。

Horgan和Knowles提出高階能量的概念，由此給出橫截面估計以及逐點估

計。很明顯，要建立高階能量不等式，需要具備更多的條件，這些條件是由定

解問題?的特殊提法保證的。

Horgan和Knowles應用的是Knowles方法，理所當然地帶有Knowles方法

的特點和困難。有關Knowles方法的評介將在14、15兩節(jié)給出。

本文通過對模型問題的分析，至少還可以得到以下兩點認識：

（1）具體地看到圣維南型衰減和圖平型衰減的數(shù)學表達是不同的，是不能混

淆的。

（2）雖然勒夫陳述的圣維南原理的一般形式不真，修正的（附加條件的）圣

維南原理是可以證明為真的。

涉及本節(jié)評論的數(shù)學推導和討論的細節(jié)均在附錄D中給出。

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14.Knowles方法(Knowles'Technique)

由Knowles也發(fā)展的方法廣泛地應用來建立能量不等式，文［14］中對模型

問題的討論就是一個例子。Knowles方法的主要步驟是：定義一個能量泛函，

構建一個能量泛函的一階微分不等式，然后選擇不等式中的常數(shù)(衰減率)使

得不等式變?yōu)辇R次，由這個齊次不等式解得能量衰減不等式。

14.1現(xiàn)在對文［23］作簡介，以便體現(xiàn)Knowles方法的步驟。

Knowles討論了一個平面問題，證明了一個定理。

Knowles定理：

設AA^=0on用(14.1)

°=么=次，=0onQ(14.2)

式中。是應力函數(shù)；&是彈性體的有限平面域，(x,y)w&，x<a,

0<y<小物體邊界。=孰+。0，G是x<。的有限邊界部分，其上作用著平

衡力系外載荷；G)是0<x<“邊界部分，該部分自由。

則有

E⑵<2E(0)e-2kz/b(0<z<a),(14.3)

式中泛函定義為

E⑶邛-2?+2圖2)姐(0<z<a),(14.4)

&為橫截面X=Z,k=1(*^產(chǎn)2

(14.5)

Knowles的證明如下：定義

F(z)=￡(z)+2KjE{x}dx,(0<z<tz)(14.6)

然后推出

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9(z)+2/(z)K-[(3-4K2)5-4/]J〃力(14.7)

由(14.7)式，K有一個正零點

K=-,(14.8)

b

選擇這個值，使(14.7)式變?yōu)?/p>

F'(z)+2xF(z)<0,(14.9)

由該式得F(z)<F(0)e-2xz(0<z<a),(14.10)

由(14.6)式有F(z)>E(z),于是由(14.10)式有

E(z)<F(0)e-2KZ(0<z<a),(14.11)

其后，Knowles推得F(0)<2E(0),于是加上(14.8)和(14.11)有

(14.3)0定理得證。

14.2Knowles和SternbergL?"用Knowles方法處理了回轉體的扭轉問題,

Horgan和Knowles網(wǎng)重述了主要的結果。

(1)文［24］對回轉體軸對稱扭轉問題給出能量不等式:

t/(z)<t7(0)exp|^2j?)^](0<z</),(14.12)

0

(2)文中給出應力的逐點估計

(14.13)

(3)Knowles和Sternberg給出圓柱問題的解

8sinh[c〃(/—z)/〃]

〃(r,z)=JJemh)(14.14)

n=lsinh(c///z)

//V4T，cosh[c?(/-z)//z]

%二%'Msinh?/?

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Js=勺EA"Cj(cj/h)—.V-,(14.15)

h7Z7smh(cnl/h)

14.3Knowles[25]用他自己的方法處理一類橢圓邊值問題的圣維南原理，該邊值

問題是

Lu=(,pux)x+(quy)v=0onR,(14.16)

x=0：M0,y)%(0,y)=/(y),-l/2<y<l/2,

x=l;ux(l,y)=O,-l/2<y<l/2,

y=±l/2:%(羽±l/2)=0,0<x<l.(14.17)

應用他的方法，Knowles建立了

q(z)<U](0)e-2h(14.18)

以及二階能量衰減。

15.本文對Knowles方法的評論

本文認為，Knowles方法的特點是：

(1)方法建立的是圖平型能量衰減而不是圣維南型能量密度衰減。

(2)方法處理離散的能量衰減率譜而不是連續(xù)的能量衰減率譜。

(3)方法應該給出Phragmen-Lindelof型定理。在14節(jié)舉的例子中，由

(14.7)式可以選擇K和—K,也就是(14.9)不等式對K和-K都成

立。于是問題應該有能量衰減定理和能量遞增定理兩個解。Knowles排除

了能量遞增，理由沒有交代。本文作以下分析：

(A)如果以能量衰減為預設條件來排除能量遞增，那Knowles是以能量衰減

為前提來證明能量衰減，是一種循環(huán)論證?；蛘哂懻摰氖沁@樣的問題：如果能

量是衰減的，衰減不等式采取什么形式？顯然這不是一種證明。

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（B）如果以能量衰減為認定事實，認為能量遞增是不合理的增解，那就意味

著儲能體積的遞減是能量遞減唯一可能的解釋。

Knowles方法的另外兩個實例Knowles和Sternberg［24J以及Knowlesl25J進一

步顯示出圣維南型衰減和圖平型衰減的區(qū)別以及Knowles方法的特點和問題。

附錄E給出對這兩個實例的評論細節(jié)。

16.Horgan和Knowlesll4-'6J的綜述

Horgan和Knowles以及Horgan單獨跟蹤圣維南原理的發(fā)展歷史分三個階段

作了綜述，現(xiàn)分別把三篇文章的主要內(nèi)容作一簡介。

16.1.有關文［14］的簡介

Horgan和Knowles在前言中對圣維南原理的歷史從圣維南的工作和研究報告

直到圖平1965年的工作作了簡介，然后說：

“與這些彈性理論中的和圣維南原理有關的問題類似，在數(shù)學物理的其他分支

也有可能提出相應的問題。自1965年以來引入的許多思想和技術在由拉普拉斯

方程控制的流動基本問題的背景中找到了其最簡單的表達，本文第二節(jié)給出了

這種簡單設定情況下這些思想和技術的詳細的陳述。嚴格的（區(qū)別于諸如殼的

近似理論的）線性彈性理論框架內(nèi)的圣維南型的若干原理是第三節(jié)討論的問

題。第四節(jié)討論和圣