《集合的基本運算（第2課時）》教學設計

16/161.1.3集合的基本運算（第二課時）(胡琦)一、教學目標（一）核心素養(yǎng) 通過這節(jié)課的學習，理解全集與補集的概念，理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集，能使用Venn圖表達集合的運算，體會直觀想象對理解抽象概念的作用，培養(yǎng)學生的應用意識與創(chuàng)新意識．（二）學習目標 1．理解集合全集的概念． 2．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集． 3．能使用Venn圖表達集合的關系及運算．（三）學習重點 1．全集與補集的概念． 2．理解在給定集合中一個子集的補集的含義．（四）學習難點 1．會求給定子集的補集． 2．對Venn圖表達集合的關系及運算的正確使用．二、教學設計（一）課前設計 1．預習任務 （1）讀一讀：閱讀教材第10頁至第11頁． （2）練一練：全集的定義：如果集合含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看成一個全集，全集通常用符號U表示．補集的三種語言：文字語言：設U是一個集合，A是U的一個子集(即A?U)，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補集．符號語言：＝{x|x∈U，且x?A}．圖形語言：

?AU2．預習自測（1）設U={1，2，3}，A={2，3}，求＝（）A．{1} B．{2} C．{2，3} D．{1，2，3}【答案】A．（2）設U={1，2，3，4}，A={2，3}，B={3，4，5}，求＝（）A．{1，2，3} B．{4，5} C．{1，2，4} D．{1，4，5}，【答案】C．（3）設U={1，2，3，4，5}，A={2，3}，B={3，4，5}，求＝（）A．{1，2} B．{4，5} C．{1} D．{4，5}， 【答案】C．(二)課堂設計 1．知識回顧 （1）元素與集合的關系：如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA． （2）集合間的基本關系：如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作AB；若集合A與集合B的元素是一樣的，稱集合A與集合B相等；若集合A是集合B的子集，且集合A不等于集合B，則集合A是集合B的真子集；把不含任何元素的集合叫做空集． （3）由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記為A∪B； 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記為A∩B． 2．問題探究 探究一明確研究范圍，認識全集★ ●活動①通過練習例題，回顧所學舊知 之前，我們已經(jīng)學過集合的交集、并集運算．我們來看下面的例題：（1）已知A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，則A∪B＝（）A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4}C．{1，2，4} D．{2，3，5}【答案】A．（2）已知集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，則A∩B＝（）A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2}C．{x|－3＜x＜3}D．{x|－5＜x＜3}【答案】A．（3）設集合M＝{1，2，4，8}，N＝{x|x是2的倍數(shù)}，則M∩N＝（）A．{2，4} B．{1，2，4}C．{2，4，8} D．{1，2，8}【答案】C．注意在求集合并集時注意集合中元素的互異性，并集對應著“或”，交集對應著“且”．【設計意圖】通過實際例題，考查學生對已學知識點的掌握情況，為認識全集與學習集合間的補集運算打下基礎． ●活動②明確研究范圍，認識全集 在研究問題時，我們經(jīng)常需要確定研究對象的范圍．例如，從小學到初中，數(shù)的研究范圍逐步地由自然數(shù)到正分數(shù)，再到有理數(shù)，引進無理數(shù)后，數(shù)的研究范圍擴充到實數(shù)．在高中階段，數(shù)的研究范圍將進一步擴充．在不同范圍內(nèi)研究同一個問題可能有不同的結果． 考查方程在下面范圍內(nèi)的解集． （1）有理數(shù)范圍；（2）實數(shù)范圍． 學生自行求解這個問題，發(fā)現(xiàn)在有理數(shù)范圍內(nèi)只有一個解，即；在實數(shù)范圍內(nèi)有三個解，即 x的不同取值范圍對方程的解集結果有什么影響？（搶答）范圍不同，同一個問題所解得的最后的結果也不同．教師根據(jù)學生的回答，適時引入全集的概念．一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．如何理解全集的相對性？全集具有相對性，是相對于我們研究的問題而言的一個概念．如：小學數(shù)學研究的問題常在有理數(shù)集內(nèi)，則有理數(shù)集是全集．初中代數(shù)研究的問題常在實數(shù)集內(nèi)，則實數(shù)集就是全集．【設計意圖】通過研究方程在不同范圍內(nèi)解的不同，引出集合全集的概念，為后面學習補集的定義打下基礎． 探究二探究集合的補集運算★▲ ●活動①通過實例、探究補集概念★考查下面的問題，集合A，B與集合U之間有什么關系？A={1，3，5}，B={2，4，6}，U={1，2，3，4，5，6}； 一般地，對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合A的補集，記作： 根據(jù)補集的定義，能否像并集和交集運算一樣用數(shù)學語言及圖形語言（Venn圖）表示出來？ 數(shù)學語言表示：=﹛x|x∈U，且xA}． 圖形語言（Venn圖）表示：??AU給定集合A，它的補集唯一嗎？為什么？（搶答）補集是相對于全集的概念，全集若不同，則相應的補集也不一樣． 通過剛才的實例探究，同學們發(fā)現(xiàn)A，，U有著什么關系？（搶答）全集U是由集合A與補集中所有的元素組成的，且AU，．如何理解？A是U的一個子集，即A?U，A可以是，也可以是U.表示一個集合，且?U.與A之間沒有公共元素．U中的元素各自分布在和A中，非此即彼，互不相容．【設計意圖】通過實例，引出集合補集的概念，并通過提問搶答的方式，理解補集與全集的關系以及在給定集合中一個子集的補集的含義，并復習之前所學的集合間的基本關系．●活動②根據(jù)補集概念，探究補集的性質(zhì)集合A為任意一個給定的集合，可將集合A作為特殊的全集U，空集以及補集，可得補集的三條性質(zhì)： （1）＝U；（2）；（3）． 【設計意圖】探究補集性質(zhì)，加深對補集概念的理解．●活動③通過實例，會求一個子集的補集▲（1）設U＝{x|x是小于9的正整數(shù)}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求、．解：根據(jù)題意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以＝{4，5，6，7，8}，＝{1，2，7，8}．（2）將（1）中的U＝{x|x是小于9的正整數(shù)}改成U＝{x|x是小于10的非負整數(shù)}，求、．解：根據(jù)題意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以={0，4，5，6，7，8，9}，={0，1，2，7，8，9}．【設計意圖】通過實例，加深理解在給定集合中一個子集的補集的含義，并會求所給集合的補集．探究三使用Venn圖表達集合的關系及運算▲ ●活動①應用Venn圖探究集合的運算（反演律）（1）；（2）．教師給出反演律后，可有學生自主畫出Venn理解并給予證明，培養(yǎng)學生的動手能力．【設計意圖】通過Venn圖探究集合交并補三種運算之間的關系，體會直觀想象對理解抽象概念的作用．●活動②鞏固基礎，檢查反饋例1(1)設全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，則＝________．(2)已知U＝{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，則＝________，＝________． 【知識點】補集及其運算，Venn圖表達集合的關系及運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想． 【解題過程】(1)用數(shù)軸表示集合A為圖中陰影部分，故＝{x|x≤2或x>5}． （2）可用Venn圖表示，如下圖． 則＝{－5，－4，3，4}，＝{－5，－4，5}．【思路點撥】求集合補集處理技巧：當集合用列舉法表示時，可借助Venn圖求解．②當集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解．【答案】(1)＝{x|x≤2或x>5}．(2)＝{－5，－4，3，4},＝{－5，－4，5}．同類訓練(1)設全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，則＝（）A．B．{2}C．{5} D．{2，5}(2)已知U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若＝{x|2≤x≤5}，則a＝________． 【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】(1)由題意知集合A＝{x∈N|x≥eq\r(5)}，則＝{2}.(2)∵A∪＝U，且A∩，∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2． 【思路點撥】當已知集合較復雜時應化簡后再求補集，正確運用補集的性質(zhì)．【答案】(1)B；(2)2．例2設U＝R，已知集合A＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|0≤x＜7}，求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪()；(4)B∩()；(5)()∩()． 【知識點】交、并、補集的混合運算，Venn圖表達集合的關系及運算，子集與交集、并集運算的轉換． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想．【解題過程】作出數(shù)軸表示兩個集合： (1) 根據(jù)圖形知：A∩B＝{x|0≤x＜5}； (2)根據(jù)圖形知：A∪B＝{x|－5＜x＜7}． (3)＝{x|x＜0或x≥7}，A∪()＝{x|x＜5或x≥7}．(4)＝{x|x≤－5或x≥5}，B∩()＝{x|5≤x＜7}．(5)＝{x|x≤－5或x≥7}．【思路點撥】數(shù)軸法要注意各個端點的畫法；注意，，從而決定端點的去向．【答案】(1){x|0≤x＜5}；(2){x|－5＜x＜7}；(3){x|x＜5或x≥7}；(4){x|5≤x＜7}；(5){x|x≤－5或x≥7}．同類訓練已知集合A＝{x|－1＜x≤4}，M＝{x|－3≤x≤7}，S＝{x|－1≤x≤8}，則＝________，＝_______，M∩()＝________；A∪()＝________． 【知識點】交、并、補集的混合運算，子集與交集、并集運算的轉換． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想． 【解題過程】在數(shù)軸上分別畫出集合A、M、S，認清全集與所給子集，根據(jù)補集的定義求出所給子集的補集．【思路點撥】會求給定集合中一個子集的補集，注意運用數(shù)軸法時端點處的取值．【答案】{x|－3≤x≤－1或4＜x≤7}；{x|x＝－1或4＜x≤8}；{x|－3≤x≤－1或4＜x≤7}；{x|x＜－1或－1＜x≤4或x＞8}． 【設計意圖】鞏固檢查集合的全集與補集的概念，熟練應用數(shù)軸法與Venn圖求集合交、并、補集的混合運算．●活動③強化提升、靈活應用例3已知全集U，M，N是U的非空子集，且，則必有（）A．M?B．MC．＝D．M＝N【知識點】Venn圖表達集合的關系及運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想． 【解題過程】由圖可知M?.要注意：由已知有可能出現(xiàn)M=.因此有可能M=. 【思路點撥】這里M與N是兩個抽象的集合，因此經(jīng)過補集運算后，它們之間的關系就更加抽象了，而這時用韋恩圖法，則使問題變得形象、直觀起來． 【答案】A．同類訓練設全集U≠，已知集合M，P，S之間滿足關系，M＝，P＝，則集合M與S之間的正確關系是()A．M＝B．M＝SC．S?M D．SM【知識點】Venn圖表達集合的關系及運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想． 【解題過程】畫出滿足M＝，P＝的Venn圖，由圖觀察集合M與S之間的關系． 【思路點撥】研究抽象集合的關系問題，可以利用集合的韋恩圖去分析，在作圖的時候要設法將所有可能的情況都考慮進去，以防因思慮不全面和由局部圖形的先入為主而導致解題的失誤．【答案】B． 【設計意圖】提高學生運用Venn圖表達集合的關系及運算的能力，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想．3.課堂總結 知識梳理（1）全集的概念．一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．全集具有相對性，是相對于我們研究的問題而言的一個概念．如：小學數(shù)學研究的問題常在有理數(shù)集內(nèi)，則有理數(shù)集是全集．初中代數(shù)研究的問題常在實數(shù)集內(nèi)，則實數(shù)集就是全集．通常也把給定集合的集合叫做全集．（2）補集的概念．一般地，對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合A的補集，記作：，即＝{x|x∈U，且xA}．可用Venn圖來表示：A?A?U U補集是相對于全集的概念，全集若不同，則相應的補集也不一樣．（3）補集的性質(zhì)． ①＝U；②U＝；③(A)＝A．④反演律：(A∪B)＝()∩()；(A∩B)＝()∪()． 重難點歸納 （1）理解全集與補集的概念，理解全集具有相對性，補集是相對于全集的概念，全集若不同，則相應的補集也不一樣，理解在給定集合中一個子集補集的含義，且． （2）會應用數(shù)軸法求交、并、補集的混合運算，并進行補集與交集、并集運算的轉換，注意運用數(shù)軸法時端點處的取值．（3）學會應用Venn圖表達集合的關系與運算，在作圖的時候要設法將所有可能的情況都考慮進去，避免先入為主的觀念．（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．已知U＝{1，3}，A＝{1，3}，則A＝（）A．{1，3} B．{1}C．{3} D．【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】集合A＝U，因此U＝． 【思路點撥】根據(jù)集合補集的概念進行判斷． 【答案】D．2．設全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則(A∪B)＝（）A．{1，4} B．{1，5}C．{2，4} D．{2，5}【知識點】交、并、補集的混合運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】先算出A∪B，在根據(jù)補集的定義，求出(A∪B)． 【思路點撥】根據(jù)集合并集與補集的概念進行判斷． 【答案】C．3．設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，4，5}，則(A)∪(B)＝（）A．{1，2，3，4，5}B．{3}C．{1，2，4，5} D．{1，5} 【知識點】交、并、補集的混合運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】(A∩B)＝(A)∪(B)，故先算出A∩B，在根據(jù)補集的定義，求出(A∩B)． 【思路點撥】先運用反演律化簡，再根據(jù)集合并集與補集的概念進行判斷． 【答案】C．4．若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，則A∩(B)＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 【知識點】交、并、補集的混合運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想 【解題過程】在數(shù)軸上分別表示出集合A，B，由圖形語言解決問題． 【思路點撥】將符號語言轉化為圖形語言． 【答案】D．5．設P＝{x︱x＜4}，Q＝{x︱x2＜4}，則（）A．P?QB．Q?PC．P?Q D．Q?P 【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想 【解題過程】在數(shù)軸上分別表示出集合P，Q，Q，P，由圖形語言解決問題． 【思路點撥】將符號語言轉化為圖形語言，根據(jù)集合補集的概念進行判斷． 【答案】B．6．設全集U＝{2，3，5}，A＝{2，|a－5|}，A＝{5}，則a的值為（）A．2B．8C．2或8D．－2或8 【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】A＝{5}包含兩層意義，①5?A；②U中除5以外的元素都在A中．∴|a－5|＝3，解得a＝2或8. 【思路點撥】根據(jù)集合補集的概念進行判斷． 【答案】C．能力型師生共研7．設A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x＞a}，全集U＝R，若A?B，則有（）A．a(chǎn)＝0B．a(chǎn)≤2C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)＜2 【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想． 【解題過程】A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤a}，在數(shù)軸上把A，B表示出來． 【思路點撥】將集合化簡后再進行運算． 【答案】C． 8．集合A含有10個元素，集合B含有8個元素，集合A∩B含有3個元素，則集合A∪B有________個元素． 【知識點】Venn圖表達集合的關系及運算，交、并、補集的混合運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想 【解題過程】由A∩B含有3個元素知，僅有3個元素相同，根據(jù)集合元素的互異性，集合的元素個數(shù)為10＋8－3＝15，或直接利用Venn圖得出結果． 【思路點撥】利用集合交、并、補集的概念及Venn圖得出結果． 【答案】15．探究型多維突破 9．全集U＝{2，0，3－a2}，P＝{2，a2－a－2}且P＝{－1}，求實數(shù)a． 【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】∵U＝{2，0，3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，P＝{－1}，∴，解得a＝2. 【思路點撥】集合補集的概念構造不等式組，并進行求解． 【答案】2．10．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為________． 【知識點】Venn圖表達集合的關系及運算． 【數(shù)學思想】數(shù)形結合思想．【解題過程】畫出滿足上述條件的Venn圖，由補集的定義可得喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為12人． 【思路點撥】借助Venn圖表達集合的關系及運算． 【答案】12．自助餐1．已知全集U＝{0，1，2}且A＝{2}，則集合A的真子集的個數(shù)為（）A．3B．4C．5 D．6 【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】A＝{0，1}，∴真子集的個數(shù)為22－1＝3． 【思路點撥】根據(jù)集合補集的概念求得A＝{0，1}，再由真子集的概念得最后結果． 【答案】B．2．如果U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，4}，B＝{2，4，5}，那么(A)∩(B)等于（）A．B．{1，3}C．{4} D．{2，5} 【知識點】交、并、補集的混合運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】A＝{2，5}，B＝{1，3}，(A)∩(B)＝．【思路點撥】正確理解集合交、并、補集的概念． 【答案】A．3．設全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，則P∩(Q)等于（）A．{1，2} B．{3，4，5}C．{1，2，6，7} D．{1，2，3，4，5} 【知識點】交、并、補集的混合運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】Q＝{1，2}，∴P∩(Q)＝{1，2}． 【思路點撥】正確理解集合交、并、補集的概念． 【答案】A．4．設全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5}，則正確的是（）A．U＝A∪B B．U＝(A)∪BC．U＝A∪(B) D．U＝(A)∪(B) 【知識點】子集與交集、并集運算的轉化． 【數(shù)學思想】【解題過程】B＝{1，2，4，6，7}，A∪(B)＝{1，2，3，4，5，6，7}． 【思路點撥】正確集合交、并、補集的概念． 【答案】C．5．如果U＝{x∈N|x＜6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，那么(A)∪(B)＝________．【知識點】交、并、補集的混合運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，∴A＝{0，4，5}，B＝{0，1，3}．(A)∪(B)＝{0，1，3，4，5}． 【思路點撥】先將集合化簡，求出A，B，再求出兩集合的并集． 【答案】{0，1，3，4，5}． 6．設集合U＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈U|x2－5x＋m＝0}，若A＝{2，3}，求m的值． 【知識點】補集及其運算． 【數(shù)學思想】 【解題過程】∵A＝{2，3}，U＝{1，2，3，4}，∴A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的兩根，故m＝1×4＝4． 【思路點撥】根據(jù)集合補集的定義求出m的值． 【答案】4．數(shù)學視野為數(shù)學而瘋的康托爾康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數(shù)學家，集合論的創(chuàng)立者，是數(shù)學史上最富有想象力，最有爭議的人物之一．他對數(shù)學的貢獻是集合論和超窮數(shù)理論．年輕的康托爾在27歲的時候，就在數(shù)學上表現(xiàn)出優(yōu)秀的數(shù)學天賦，他用有理數(shù)列構造實數(shù)R，在數(shù)學發(fā)展歷史上，這是“前無古人”的創(chuàng)意．無窮理論的研究，在當時一直是一個世界性的難題，由于研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結果，許多大數(shù)學家唯恐陷進去而采取退避