2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.1.1數(shù)軸上的基本公式練習(xí)含解析新人教B版必修2

PAGE1-2．1．1數(shù)軸上的基本公式對應(yīng)學(xué)生用書P45學(xué)問點一數(shù)軸上的點的坐標(biāo)1．下列各組點中，M點肯定位于N點右側(cè)的是()A．M(－x)與N(x)B．M(x)與N(x＋a)C．M(x3)與N(x2)D．M(2x)與N(2x－1)答案D解析A項，x的符號不確定，∴－x與x的大小關(guān)系不確定，故不能確定兩點的相對位置．B項，由于a的值不確定，故不能確定x與x＋a的相對位置．C項，x3與x2的大小關(guān)系不確定，故不能確定x3與x2的相對位置．D項，∵2x>2x－1對隨意實數(shù)x都成立，∴點M肯定位于點N的右側(cè)．學(xué)問點二向量及其有關(guān)概念2．關(guān)于位移向量說法正確的是()A．?dāng)?shù)軸上隨意一個點的坐標(biāo)有正負(fù)和大小，它是一個位移向量B．兩個相等的向量的起點可以不同C．每一個實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的唯一的一個位移向量D．eq\o(AB,\s\up6(→))的大小是數(shù)軸上A，B兩點到原點距離之差的肯定值答案B解析一個點的坐標(biāo)沒有大小，每一個實數(shù)對應(yīng)著多數(shù)個位移向量．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|xB－xA|，不肯定為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|xB|－|xA|))．故選B．學(xué)問點三數(shù)軸上兩點間距離公式3．若A(a)與B(－5)兩點對應(yīng)的向量eq\o(AB,\s\up6(→))的數(shù)量為－10，則a＝______，若A與B的距離為10，則a＝______．答案55或－15解析∵AB＝xB－xA，|AB|＝|xA－xB|，∴－5－a＝－10，解得a＝5．|－5－a|＝10，解得a＝5或a＝－15．4．已知數(shù)軸上三點A(x)，B(2)，P(3)．(1)當(dāng)AP＝2BP時，求x；(2)當(dāng)AP＞2BP時，求x的取值范圍；(3)當(dāng)AP＝2PB時，求x．解由題意，可知AP＝3－x，BP＝3－2＝1．(1)當(dāng)AP＝2BP時，有3－x＝2，解得x＝1．(2)當(dāng)AP＞2BP時，有3－x＞2，解得x＜1．(3)由AP＝2PB，可得3－x＝2(－1)，解得x＝5．對應(yīng)學(xué)生用書P45一、選擇題1．下列說法正確的是()A．零向量有確定的方向B．?dāng)?shù)軸上等長的向量叫做相等的向量C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)AB＝－BAD．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝AB答案C解析零向量的方向是隨意的，數(shù)軸上等長的向量方向不肯定相同，不肯定是相等向量；向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)AB＝－BA，正確；AB為負(fù)數(shù)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝AB不正確．2．?dāng)?shù)軸上的點A(－2)，B(3)，C(－7)，則有：①AB＋AC＝0；②AB＋BC＝0；③BC>CA；④|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|．其中，正確結(jié)論的個數(shù)為()A．3個B．2個C．1個D．0個答案C解析由數(shù)軸上的點A(－2)，B(3)，C(－7)得，AB＋AC＝5－5＝0，①正確；AB＋BC＝5－10＝－5，②不正確；BC＝－10>CA＝5，③不正確；|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5＋5＝10＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，④不正確．3．已知數(shù)軸上兩點A，B，若點B的坐標(biāo)為3，且A，B兩點間的距離d(A，B)＝5，則點A的坐標(biāo)為()A．8B．－2C．－8D．8或－2答案D解析已知B(3)，記點A(x1)，則d(A，B)＝|AB|＝|3－x1|＝5，解得x1＝－2或x1＝8．4．?dāng)?shù)軸上點P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，則x等于()A．0B．－eq\f(16,3)C．eq\f(16,3)D．0或－eq\f(16,3)答案D解析∵|PA|＝2|PB|，∴|x＋8|＝2|x＋4|，解得x＝0或－eq\f(16,3)．5．當(dāng)數(shù)軸上的三個點A，B，O互不重合時，它們的位置關(guān)系共有六種狀況，其中使AB＝OB－OA和|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|－|eq\o(OA,\s\up6(→))|同時成立的狀況有()A．1種B．2種C．3種D．4種答案B解析AB＝OB－OA恒成立，而|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|－|eq\o(OA,\s\up6(→))|成立，則只有點A在O和B中間，共有2種可能．二、填空題6．已知A(2)，B(－3)兩點，則AB＝________，|AB|＝________．答案－55解析AB＝－3－2＝－5，|AB|＝|－5|＝5．7．在數(shù)軸上，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－6，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝________．答案－1解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2＋3－6＝－1．8．?dāng)?shù)軸上的點A(3a＋1)總在點B(1－2a)的右側(cè)，則a的取值范圍是________．答案(0，＋∞)解析因為A(3a＋1)在B(1－2a)的右側(cè)，所以3a＋1＞1－2a，所以a＞0．三、解答題9．已知數(shù)軸上的點P(x)的坐標(biāo)分別滿意以下狀況，試指出x的各自的取值范圍．(1)|x|＝2；(2)|x|＞2；(3)|x－2|＜1．解(1)|x|＝2表示與原點距離等于2的點，∴x＝2或x＝－2．(2)|x|＞2表示與原點距離大于2的點，∴x>2或x<－2．(3)|x－2|<1表示與點P(2)的距離小于1的點，∴1<x<3．10．在數(shù)軸上，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝3，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2，(1)求|eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|；(2)若A(－1)，線段BC的中點為D，求DC．解(1)|eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1．(2)由于A(－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2，得xB－xA＝3，xC－xB＝－2，即xB＝3＋xA＝2，xC＝xB－2＝0．所以線段BC的中點D的坐標(biāo)為1．∴DC＝－1．?2．1．2平面直角坐標(biāo)系中的基本公式對應(yīng)學(xué)生用書P47學(xué)問點一兩點間距離公式1．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，則a的值為()A．4B．－4或2C．－2D．－2或4答案D解析eq\r(a－12＋6－22)＝5，∴a＝4或－2．2．已知△ABC的三個頂點A(－1，0)，B(1，0)和Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則△ABC的形態(tài)是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．斜三角形答案C解析∵d(A，B)＝eq\r([1－－1]2＋02)＝2，d(B，C)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－0))2)＝1，d(A，C)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－0))2)＝eq\r(3)，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC為直角三角形．故選C．學(xué)問點二中點坐標(biāo)公式3．已知點A(x，5)關(guān)于點C(－3，－2)的對稱點是B(1，y)，則點P(x，y)到原點的距離是()A．4B．eq\r(13)C．eq\r(15)D．eq\r(130)答案D解析依據(jù)中點坐標(biāo)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝\f(x＋1,2)，,－2＝\f(5＋y,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－7，,y＝－9.))∴|PO|＝eq\r(－72＋－92)＝eq\r(130)．4．已知點P(a＋3，a－2)在y軸上，則點P關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為________．答案(0，5)解析由點P(a＋3，a－2)在y軸上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5，即點P(0，－5)關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為P′(0，5)．學(xué)問點三坐標(biāo)法的應(yīng)用5．用坐標(biāo)法證明?ABCD的對角線相交且平分．解取AB的中點為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖)．設(shè)A點，B點，C點的坐標(biāo)分別為A(－a，0)，B(a，0)(a>0)，C(b，c)，由平行四邊形的性質(zhì)知D點的坐標(biāo)為(－2a＋b，c)．再設(shè)AC，BD的中點分別為E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，由中心公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(－a＋b,2)，,y1＝\f(0＋c,2)，))即Eeq\f(－a＋b,2)，eq\f(c,2)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(a－2a＋b,2)，,y2＝\f(0＋c,2)，))即Feq\f(－a＋b,2)，eq\f(c,2)．∴點E與點F重合，∴?ABCD的對角線相交且平分．對應(yīng)學(xué)生用書P47一、選擇題1．點A(2，－3)關(guān)于坐標(biāo)原點的中心對稱點是()A．(3，－2)B．(－2，－3)C．(－2，3)D．(－3，2)答案C解析設(shè)所求點的坐標(biāo)為B(x，y)，則由題意知坐標(biāo)原點是點A，B的中點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝0，,\f(－3＋y,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))故選C．2．已知直線上兩點A(a，b)，B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，則()A．原點肯定是線段AB的中點B．A，B肯定都與原點重合C．原點肯定在線段AB上，但不是中點D．以上結(jié)論都不對答案D解析由eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)，即A，B兩點到坐標(biāo)原點的距離相等，所以原點在線段AB的垂直平分線上，故選D．3．已知A(1，3)，B(5，－2)，點P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值時的點P的坐標(biāo)是()A．(4，0)B．(13，0)C．(5，0)D．(1，0)答案B解析如圖，點A(1，3)關(guān)于x軸的對稱點為A′(1，－3)，連接A′B交x軸于點P，即為所求．利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝eq\f(1,4)x－eq\f(13,4)，令y＝0，得x＝13．所以點P的坐標(biāo)為(13，0)．4．已知A，B的坐標(biāo)分別為(1，1)，(4，3)，點P在x軸上，則|PA|＋|PB|的最小值為()A．20B．12C．5D．4答案C解析如圖，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′(1，－1)，由平面幾何學(xué)問得|PA|＋|PB|的最小值為|A′B|＝eq\r(1－42＋－1－32)＝eq\r(9＋16)＝5．5．假如一條平行于x軸的線段的長為5，它的一個端點是(2，1)，那么它的另一個端點是()A．(－3，1)或(7，1)B．(2，－3)或(2，7)C．(－3，1)或(5，1)D．(2，－3)或(2，5)答案A解析由線段平行于x軸知，兩個端點的縱坐標(biāo)相等，都是1，故可設(shè)另一個端點為(x，1)，則|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即端點坐標(biāo)為(7，1)或(－3，1)．二、填空題6．已知點M(2，2)平分線段AB，且A(x，3)，B(3，y)，則x＝________，y＝________．答案11解析“點M(2，2)平分線段AB”的含義就是點M是線段AB的中點，可以用中點坐標(biāo)公式把題意轉(zhuǎn)化為方程組進(jìn)行求解．∵點M(2，2)平分線段AB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝2，,\f(3＋y,2)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))7．已知A(1，5)，B(5，－2)，則在坐標(biāo)軸上與A，B等距離的點有________個．答案2解析若點在x軸上，設(shè)為(x，0)，則有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝eq\f(3,8)；若點在y軸上，設(shè)為(0，y)，則有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－eq\f(3,14)．8．已知點A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，則當(dāng)|AB|取得最小值時，實數(shù)a等于________．答案eq\f(1,2)解析|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2＝2a2－2a＋25＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(49,2)，所以當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，|AB|取得最小值．三、解答題9．已知△ABC的兩個頂點A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中點都在坐標(biāo)軸上，求點C的坐標(biāo)．解設(shè)點C(x，y)．由直線AB與x軸不平行，可設(shè)邊AC的中點為D，BC的中點為E，則DE綊eq\f(1,2)AB．線段AC的中點D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋x,2)，\f(7＋y,2)))，線段BC的中點E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)，\f(5＋y,2)))．若點D在y軸上，則eq\f(3＋x,2)＝0，所以x＝－3，此時點E的橫坐標(biāo)不為零，點E要在坐標(biāo)軸上只能在x軸上，所以eq\f(5＋y,2)＝0，所以