高一數(shù)學必修第一冊同步學與練（人教A版）第08講 指數(shù)及對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用（解析版）

第08講拓展一：指數(shù)函數(shù)+對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用

（定義域+值域+奇偶性+單調(diào)性）

題型01指數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）

x21

1

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)f(x)(xR)的值域為.

2

1

【答案】0,

2

x21

1

【詳解】因為f(x)(xR)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，f(x)在,0上單調(diào)遞增，在0,上單

2

調(diào)遞減，

2

1x11

所以，又1恒成立，所以函數(shù)f(x)的值域為

f(x)maxf(0)00,.

222

1

故答案為：0,.

2

【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數(shù)fx2x4xm在區(qū)間1,1上存在零點，則實數(shù)m的取值

范圍是.

1

【答案】[2,]

4

【詳解】因為函數(shù)fx2x4xm在區(qū)間1,1上存在零點，

即g(x)2x4x與ym在1,1上有交點，

又g(x)2x(2x)2，y2x在1,1上單調(diào)遞增，

1

故x1,1時，則2x[,2]，

2

11

設(shè)u2x，則g(u)uu2(u)2，

24

11

由u[,2]可得g(u)[2,]，

24

1

即g(x)2x4x與ym在1,1上有交點，則m[2,].

4

1

故答案為：[2,]

4

【典例3】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮阎猣(x)x22xm,g(x)e2x11，若對

13

x0,3,x,，使得fxgx，則實數(shù)m的取值范圍是（）

122212

2222

A．2,e4B．1,e5C．2,e5D．1,e4

【答案】D

【詳解】因為f(x)x22xm(x1)2m1，x0,3，

所以f(x)在[0,1)上遞減，在(1,3]上遞增，

所以f(x)的最小值為f(1)m1，

因為f(0)m,f(3)m3，m3m，所以f(x)的最大值為m3，

所以f(x)的值域為[m1,m3]，

13

因為g(x)e2x11在x,上遞增，

22

所以g(x)的值域為[0,e21]，

13

因為對x0,3,x,，使得fxgx，

122212

所以[m1,m3]是[0,e21]的子集，

m10

2

所以2，解得1me4，

m3e1

即m的取值范圍1me24

故選：D

a8x2x

【典例4】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)fx（aR且a0）是偶函數(shù)．

a4x

(1)求實數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)yf2xfx的值域．

【答案】(1)a1；

(2)4,.

a8x2x1

【詳解】（1）fx2x，

a4xa2x

因為f(x)為偶函數(shù)，所以對xR都有f(x)f(x)0，

x1x1x11

即220恒成立，即210恒成立，

a2xa2x2xa

1

10，解得a1.

a

1

（2）由（1）可知f(x)2x，

2x

2x1x1

所以yf2xfx22，

22x2x

11

令t2x22x2（當x0時取等號），

2x2x

2

2x1x12

則222t2，

22x2x

2

219

所以所求函數(shù)為ytt2t，

24

2

219

則函數(shù)ytt2t在2,上單調(diào)遞增，

24

所以y4，即函數(shù)yf2xfx的值域為4,.

x22x

1

【變式1】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)y的值域為（）

2

A．0,2B．0,C．2,D．1,

【答案】A

【詳解】依題意，

2

令tx22x，則tx22xx111，

tt

11

因為y單調(diào)遞減，且y0

22

t1

11

所以y2，

22

所以y0,2.

故選：A.

x1x

11

【變式2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）求函數(shù)fx4·2，在定義域A上的值域.

42

【答案】1,2

x1xx2x

1111

【詳解】fx42442

4222

xx

111

令t，t在0,3是單調(diào)減函數(shù)∴t,1，

228

2111

gt4t4t2在,是單調(diào)減函數(shù)，在,1是單調(diào)增函數(shù)

822

１

∴當t時，fx1

２min

當時，

t1fxmax2

∴fx在定義域A上的值域為1,2

【變式3】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)fx9x43x9的值域為．

【答案】5,

2

【詳解】設(shè)t3x0，因為fx9x43x93x43x9，

2

換元得gtt24t9t25，t0，

當t2時，函數(shù)gt取到最小值gt5，

所以函數(shù)fx9x43x9的值域為5,．

故答案為：7,29；5,.

題型02指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

4

【典例1】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谀┖瘮?shù)fxxa2與gx()x在0,均

a

單調(diào)遞減的一個充要條件是（）

A．a(chǎn)0,2B．a(chǎn)0,1C．a(chǎn)1,2D．a(chǎn)1,2

【答案】A

【詳解】因為函數(shù)f(x)xa2在0,上單調(diào)遞減，所以a20即a2；

xx

4aa

因為函數(shù)g(x)在0,上單調(diào)遞減可得01，解得0a4，

a44

x

a24

若函數(shù)f(x)x與g(x)均單調(diào)遞減，可得0a2，

a

x

a24

所以函數(shù)f(x)x與g(x)均單調(diào)遞減的一個充要條件是a0,2.

a

故選：A

【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)fxex1x22x，則使得fxf2x成

立的x的取值范圍是.

2

【答案】0,

3

2

【詳解】因為fxex1x22xex1x11，則fx1exx21，

令gxexx21，則fx的圖象是由gx的圖象向右平移1個單位得到，

2

又gxexx1exx21gx，即gxexx21為偶函數(shù)，

且當x0時gxexx21，所以gx在0,上單調(diào)遞增，則gx在(,0)上單調(diào)遞減，

所以fx在(1,)上單調(diào)遞增，在(,1)上單調(diào)遞減，且關(guān)于x1對稱，

2

所以fxf2x時，有x12x1，解得0x.

3

2

故答案為：0,

3

m3x

【典例3】（2023春·山東德州·高二德州市第一中學?？计谀┮阎x域為R的函數(shù)f(x)是奇函

n3x

數(shù).

(1)求m，n的值；

(2)若存在t0,4，使fk2t2f4t2t20成立，求k的取值范圍．

【答案】(1)m1，n1；

(2)(1,).

【詳解】（1）因為函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以f00，

m1

即0，所以m1，又因為f(1)f(1)，

n1

1

m

m3

所以3將m1代入，解得n1，

1

nn3

3

經(jīng)檢驗符合題意，所以，m1，n1.

x

13x1322

（2）由（1）知：函數(shù)f(x)1，

13x13x13x

所以函數(shù)fx在R上是減函數(shù).

因為存在t0,4，使fk2t2f4t2t20成立，

又因為函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，

所以不等式可轉(zhuǎn)化為fk2t2f2t24t，

又因為函數(shù)fx在R上是減函數(shù)，所以k2t22t24t，

2

所以k4t24t，令gt4t4t，

題意可知：問題等價轉(zhuǎn)化為，

kgtmin

1

又因為g(t)ming1，所以k1,

2

故k的取值范圍為(1,).

bbc

【變式1】（2023春·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知5alog2a，blog32log410，81517則（）

A．a(chǎn)bcB．bca

C．cbaD．a(chǎn)cb

【答案】A

【詳解】∵函數(shù)fx5xlog2x單調(diào)遞減，

f30，f40，

∴3a4；

∵blog32log410123，

1

blog32log410log32log49log32log23log322

log32

∴2b3；

由8b15b17c，

bb

815cb

得17，

1717

xx

815

∵函數(shù)y單調(diào)遞減，

1717

bb22

cb815815

∴171，

17171717

∴cb0，cb，

所以abc

故選：A．

【變式2】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知fxaxax，且f3f1，則下列各式一定成立的

是（）

A．f3f2B．f0f3C．f1f3D．f0f1

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，f(x)axax，其定義域為R，

有f(x)axaxf(x)，則f(x)為偶函數(shù)，

1

設(shè)tax，則有yt，

t

當a1時，在區(qū)間[0，)上，tax為增函數(shù)，且t1，

1

yt在[1，)上也是增函數(shù)，

t

故f(x)在[0，)上為增函數(shù)，

當0a1時，在區(qū)間[0，)上，tax為減函數(shù)，且0t1，

1

yt在(0,1)上是減函數(shù)，

t

故f(x)在[0，)上為增函數(shù)，

綜合可得：函數(shù)f(x)在[0，)上為增函數(shù)，

依次分析選項：

對于A，有f3f2f(2)，A正確；

對于B，有f0f3，B錯誤；

對于C，有f3f3f1f(1)，C錯誤；

對于D，f0f1f(1)，D錯誤．

故選：A．

m

【變式3】（2023春·河北石家莊·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx1為奇函數(shù)．

3x1

(1)求實數(shù)m的值；

1

(2)求不等式fx2x10的解集．

2

【答案】(1)2

(2)x0x1

【詳解】（1）（1）因為fx為奇函數(shù)，定義域為R，

m

因為f00，即10，

2

所以m2，經(jīng)檢驗，符合題意．

21

（2）因為f11，

3112

所以fx2x1f10，

所以fx2x1f1，

因為fx為奇函數(shù)，f1f1，

所以fx2x1f1，

由（1）知：因為y3x在R上遞增，

2

所以fx1在R上是增函數(shù)，

3x1

所以x2x11，

解得0x1，

所以不等式的解集是x|0x1.

題型03指數(shù)型函數(shù)的奇偶性

x2ex

【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級中學?？计谀┮阎猣x為奇函數(shù)，則a（）

eax1

A．-2B．-1C．1D．2

【答案】D

2xa1x

xex2x2xxee

【詳解】因為為奇函數(shù)，則xexe，

fxaxfx+fx+0

e1eax1eax1eax1

又因為x不恒為0，可得exea1x0，即exea1x，

則xa1x，即1a1，解得a2.

故選：D.

a2xa2

【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)aR，f(x)(xR)，f(x)為奇函數(shù)，則a的值

2x1

為．

【答案】1

【詳解】要使fx為奇函數(shù)，∵xR,∴需fxfx0，

222x1

∴fxa,fxaa，

2x12x12x1

22x122x1

由得a1．

axax0,2a0,

21212x1

故答案為：1.

ex

【變式1】（2023春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知fx是偶函數(shù)，則a=（）

eax1

A．2B．1C．－1D．－2

【答案】A

【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義：

exex

fxfx即，

eax1eax1

得exeax1exeax1，

即ea1x+exe1axex，

可得a11，即a2，

故選：A

2

【變式2】（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)fxm為奇函數(shù)，則實數(shù)m.

2x1

【答案】1

2

【詳解】因為函數(shù)fxm為奇函數(shù)，

2x1

所以fxfx0，xR恒成立，

22222x

即2mxxxx2，

21212121

解得m1，

故答案為：1

題型04對數(shù)（型）函數(shù)的定義域

【典例】（春海南?？诟咭缓？谝恢行？计谥校┖瘮?shù)2的定義域為

12023··fxlog5xx2.

【答案】(-1,2)

【詳解】由題意由x2x20，即(x2)(x1)0，解得1x2，

所以函數(shù)的定義域為(-1,2).

故答案為：(-1,2)

1x

【典例2】（2023·高一課時練習）已知f(x)log．

21x

(1)求f(x)的定義域；

(2)求使f(x)0的x的取值范圍．

【答案】(1)(1,1)

(2)(0,1)

1x

【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，需滿足0，

1x

即1x1x0，

解得1x1，

fx的定義域為{x|1x1}．

1x

（2）∵fxlog0,

21x

1x

∴1,

1x

2x

∴0,即x1x0,

1x

解得0x1．

∴x的取值范圍為0,1.

x2

【變式1】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)f(x)x的定義域為（）

lnx

A．0,1B．1,C．0,D．0,11,

【答案】D

x2

【詳解】因為f(x)x，

lnx

x0

所以，解得x0且x1，

lnx0

所以f(x)的定義域為0,11,.

故選：D.

2x

【變式2】（2023·上海松江·校考模擬預(yù)測）函數(shù)ylg()的定義域為.

x3

【答案】(3,2)

2x2x

【詳解】函數(shù)ylg()中，0，即(x2)(x3)0，解得3x2，

x3x3

2x

所以函數(shù)ylg()的定義域為(3,2).

x3

故答案為：(3,2)

題型05對數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）

2

【典例1】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)fxlgx2xm的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A．m1B．m1C．m￡1D．mR

【答案】C

【詳解】因為函數(shù)fxlgx22xm的值域為R，

所以，0,為函數(shù)yx22xm的值域的子集，所以，44m0，解得m￡1.

故選：C.

【典例2】（2023·高一課時練習）函數(shù)fxlg4x2x111的最小值是（）．

A．10B．1C．11D．lg11

【答案】B

【詳解】設(shè)t4x2x111，則ylgt，

22

因為t4x2x1112x22x112x11010，

所以ylgtlg101，所以fxlg4x2x111的最小值為1，

故選：B

2

【典例3】（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中學校聯(lián)考期中）函數(shù)ylog1x6x11的值域為.

2

【答案】,1

2

【詳解】因為x26x11x322，

2

所以ylog1x6x11log121.

22

所以函數(shù)的值域為：,1

故答案為：,1

x1

【典例4】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校?？计谀┮阎瘮?shù)fxlog．

2x1

(1)判斷并證明函數(shù)fx的奇偶性；

(2)當x3,時，fxlog2x1m恒成立．求實數(shù)m的取值范圍．

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析

(2),1

x1x1

【詳解】（1）由函數(shù)fxlog，得0，

2x1x1

即x1x10，解得x1或x1，

所以函數(shù)fx的定義域為,11,，關(guān)于原點對稱．

x1

又fxlog，

2x1

x1x1

loglogfx，

2x12x1

所以fx是奇函數(shù)；

x1

（2）fxlogx1m恒成立，則loglogx1m，

22x12

即log2x1m在3,恒成立，

令gxlog2x1，

因為gx在3,上單調(diào)遞增，

當x3時，g3log2311，

所以x3,時，gx1,，

則實數(shù)m的取值范圍是,1．

4ax3a,x1

【變式1】（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學校考開學考試）已知函數(shù)fx

log3x,x1

的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．2,4B．2,4

C．,2D．2

【答案】B

【詳解】x1時，ylog3x0，

又fx的值域為R，則x1時，fx4ax3a的值域包含,0，

4a0

，解得：2a4.

4a13a0

故選：B

1

【變式2】（2023·高一課時練習）已知函數(shù)fxlog2xx,a的最大值與最小值的差為2，則a（）

a

A．4B．3C．2D．2

【答案】C

1

【詳解】由題意得f(x)在,a上為單調(diào)遞增函數(shù)，

a

11

所以f(x)minflog2，f(x)maxfalog2a，

aa

122

所以log2alog2log2a2，解得a4，a2

a

又a0，所以a2.

故選：C

【變式3】（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)fxloga3xloga3xa0且a1.

(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

(2)若f11，當x1,1時，求fx的值域.

【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析

(2)1,1

【詳解】（1）fx為奇函數(shù)，理由如下：

3x0

由得：3x3，\f(x)的定義域為3,3；

3x0

\

fxloga3xloga3xfx，f(x)為定義在3,3上的奇函數(shù).

1

（2）f1log2log4log2log1，a2，

aaaa2

3x63x6

fxlog23xlog23xlog2log2log21；

3x3x3x

6361

方法一：當x1,1時，3x2,4，,3，1,2，

3x23x2

6

log211,1，即fx的值域為1,1；

3x

6

方法二：令gx1，

3x

1

gx在1,1上單調(diào)遞減，gxg1，gxg12，

min2max

1

gx,2，loggx1,1，即fx的值域為1,1.

22

【變式4】（2023秋·高一單元測試）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；

(2)若函數(shù)f(x)的最小值為－2，求a的值．

【答案】(1)見解析；

1

(2)﹒

2

1x0

【詳解】（1）由，得3x1，

x30

函數(shù)的定義域{x|3x1}，

f(x)loga(1x)(x3)，

設(shè)t(1x)(x3)4(x1)2，

t?4，又t0，

則0t?4．

當a1時，y?loga4，值域為{y|y?loga4}．

當0a1時，y?loga4，值域為{y|y?loga4}．

（2）由題設(shè)及(1)知：

當0a1時，函數(shù)有最小值，

loga42，

1

解得a．

2

題型06對數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)f(x)ln3x24x4，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為.

22

【答案】(,)

33

2

【詳解】令3x24x4(3x2)(x2)0，即x2，

3

21622

由y3x24x43(x)2，則y在(,)上遞增，在(,)上遞減，

3333

222

綜上，y在(,)上遞增，在(,2)上遞減，而ylnx在定義域上遞增，

333

22

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,).

33

22

故答案為：(,)

33

32

【典例2】（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）若fxlog0.5x3xax6在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，則

實數(shù)a的取值范圍為（）

A．,0B．1,C．1,0D．1,0

【答案】C

32

【詳解】令f(t)log0.5t,tx3xax6，則f(t)log0.5t在(0,)上單調(diào)遞減，

由題意可得需滿足t0，且tx33x2ax6在1,2上單調(diào)遞減，

令g(x)x33x2ax6，則g(x)3x26xa0在1,2上恒成立，

即a3x26x在1,2上恒成立，而y3x26x在1,2上單調(diào)遞減，

即3x26x322620，故a0；

經(jīng)檢驗當a0時，g(x)3x26x0在1,2上恒成立，

tx33x2ax6在1,2上單調(diào)遞減，符合題意；

由t0，則g(x)x33x2ax60在1,2上恒成立，

所以g28122a60，

故a1，

綜合以上可得a1,0，

故選：C

【典例3】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)fxlgx24x5在t,t1上單調(diào)，則實數(shù)t的

取值范圍是（）

A．1,12,4B．1,12,4

C．,12,D．,25,

【答案】D

【詳解】由題意可得，x24x50，解得x1或x5.

所以函數(shù)fx的定義域為,15,.

令mxx24x5，函數(shù)mx的對稱軸為x2，且開口向上，

函數(shù)mx在5,上單調(diào)遞增，在,1上單調(diào)遞減，

由外層函數(shù)ylgm是其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以要使函數(shù)fxlgx24x5在t,t1上單調(diào)，

則t11或t5，

解得t2或t5，則實數(shù)t的取值范圍是,25,.

故選：D．

【變式1】（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fxlog2xax在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則a

的取值范圍是（）

A．,2B．2,0C．0,2D．2,

【答案】D

【詳解】函數(shù)fxlog2xax可看作函數(shù)ylog2t，txax的復(fù)合函數(shù)，

又函數(shù)ylog2t在0,上單調(diào)遞增，

而函數(shù)fxlog2xax在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，

2

aa2

則有函數(shù)txaxx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，

24

且xax0在區(qū)間0,1恒成立，

a

因此1，解得a2，

2

所以a的取值范圍是2,.

故選：D.

f(x)log(x6)log(ax)

【變式2】（2023春·河北承德·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)21，且f(8)1．

2

(1)求f(x)的定義域；

(2)求不等式f(2x1)1的解集．

【答案】(1)(6,12)

913

(2),

22

f(8)log2log(a8)1log(a8)1

【詳解】（1）212，

2

則log2(a8)2，解得a12，

則f(x)log2(x6)log2(12x)，

x60

則，解得6x12，

12x0

故f(x)的定義域為(6,12)．

x66

（2）由（1）知，f(x)log2(x6)log2(12x)log2log21．

12x12x

6

因為函數(shù)y1在(6,12)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(6,12)上單調(diào)遞增．

12x

9