高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第05講 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)（解析版）

第05講9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾

①會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。

數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫

②理解用樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖

了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，下面我們通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步

估計(jì)總體的集中趨勢(shì)。

了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根

據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì)．

知識(shí)點(diǎn)01：總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

（1）平均數(shù)

xxxx

①定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)x，x，xx的平均數(shù)為x123n.

123nn

②特征：平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均

數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)

于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.

【即學(xué)即練1】（2023下·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）在測(cè)量工作中，測(cè)得一組數(shù)據(jù)為2，6，7，5，9，17，

10，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，第75百分位數(shù)是．

【答案】810

【詳解】把2，6，7，5，9，17，10，從小到大排列為：2，5，6，7，9，10，17，

256791017

平均數(shù)為8，

7

這組數(shù)據(jù)共7個(gè)，775%5.25，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)10.

故答案為：8，10.

（2）眾數(shù)

①定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

②特征：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

（3）中位數(shù)

①定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺懦梢涣?，處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇

數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

②特征：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右

邊的直方圖的面積相等.

【即學(xué)即練2】（2022上·貴州黔西·高二?？计谀┗葜菔心彻S10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)

的件數(shù)分別是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，記這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)

為c，則（）

A．a(chǎn)bcB．bcaC．cabD．cba

【答案】D

10121414151516171717

【詳解】平均數(shù)a14.7，

10

1515

中位數(shù)b15，

2

眾數(shù)c=17，

故cba.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02：三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改

平均數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越

更加敏感大

不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前

中位數(shù)對(duì)極端值不敏感

或靠后的數(shù)據(jù))的影響

眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部

眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)

分，對(duì)極端值不敏感

知識(shí)點(diǎn)03：在頻率分布直方圖中平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的估計(jì)值

(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積

之和近似代替.

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.

(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).

【即學(xué)即練3】（2023下·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）統(tǒng)計(jì)某班同學(xué)一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，得到如下頻率分布

直方圖，已知該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的頻率為0.60.

(1)求頻率分布直方圖中a，b的值；

(2)估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和中位數(shù).

【答案】(1)a0.02,b0.01

(2)平均分、中位數(shù)分別為81，82.5

0.6

【詳解】（1）由已知得a0.040.02，

10

則0.005b0.0250.0400.020101，所以b0.01.

（2）該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分的估計(jì)值為：

550.005650.01750.025850.04950.021081，

因?yàn)?.0050.010.025100.4，

0.0050.010.0250.04100.8，

所以中位數(shù)在80,90內(nèi).

0.50.4

故中位數(shù)為801082.5.

0.4

題型01計(jì)算眾數(shù)

【典例1】（2024上·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考競(jìng)賽）如果將一組數(shù)據(jù)5、4、6、5、4、13、5依次重復(fù)寫10次，

會(huì)得到70個(gè)數(shù)組成的一組新數(shù)據(jù)，關(guān)于這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A．中位數(shù)和眾數(shù)都是5B．眾數(shù)是10

C．中位數(shù)是4D．中位數(shù)、平均數(shù)都是5

【答案】A

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為4，4，5，5，5，6，13，處于中間位置的那個(gè)數(shù)是5，

每個(gè)數(shù)字重復(fù)寫10次，5依然處于中間位置，由中位數(shù)的定義可知，這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，

這組新數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是5，出現(xiàn)了30次，所以眾數(shù)為5，故A正確，BC錯(cuò)誤．

5465413510

平均數(shù)60，故D錯(cuò)誤．

7

故選：A

【典例2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某產(chǎn)品售后服務(wù)中心隨機(jī)選取了20個(gè)工作日，分別記錄了每個(gè)工作

日接到的客戶服務(wù)電話的數(shù)量（單位：次）：

63382542564853392847

45525948516248505238

(1)分別計(jì)算以上數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

(2)根據(jù)以上結(jié)果，你能為該產(chǎn)品的售后服務(wù)中心提供什么建議？

【答案】(1)平均數(shù)為47.2，中位數(shù)為48，眾數(shù)為48.

(2)答案見(jiàn)解析.

【詳解】（1）解：由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

1

(6338254256485339284745525948516248505238)47.2，

20

這些數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?5,28,38,38,39,42,45,47,48,48,48,50,51,52,52,53,56,59,62,63，

4848

所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為48，其中眾數(shù)為48.

2

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該產(chǎn)品售后服務(wù)中心每天應(yīng)準(zhǔn)備接聽48個(gè)客戶的電話.

【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)

分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）．

A．5，7B．6，7C．8，5D．8，7

【答案】D

【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，

因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．

故選：D．

【變式2】（2021下·山西·高一統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)共有7個(gè)整數(shù)，m，2，2，2，10，5，4，且2m10，

若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中最大與最小數(shù)之和是該三數(shù)中間數(shù)字的兩倍，則第三四分位數(shù)

是.

【答案】5

m25

【詳解】平均數(shù)，眾數(shù)=2，當(dāng)4m10時(shí)，中位數(shù)為4，

7

m25

則有28m17舍掉；

7

m25

當(dāng)2m4時(shí)，中位數(shù)為m，則有22mm3.

7

該7個(gè)數(shù)從小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為7，

而且775%5.25，所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為5.

題型02計(jì)算中位數(shù)

【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)

分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）．

A．5，7B．6，7C．8，5D．8，7

【答案】D

【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，

因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．

故選：D．

【典例2】（2022下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知某班級(jí)部分同學(xué)一次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，則其中位數(shù)

和眾數(shù)分別為（）

A．95，94B．92，86C．99，86D．95，91

【答案】B

【詳解】從莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可得：

把數(shù)據(jù)從小到大排列得到：76，79，81，83，86，86，87，91，92，94，95，96，98，99，101，103，114

所以中位數(shù)是92，眾數(shù)為86.

故選：B

【典例3】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)校考期中）已知實(shí)數(shù)1,5,x,y的平均數(shù)為4，則這四個(gè)數(shù)的中

位數(shù)的取值范圍是．

【答案】3,5

【詳解】由題意可知15xy16xy10，

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，1,5位于中間，則x,y位于兩側(cè)，此時(shí)中位數(shù)是3；

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，1,x位于中間，則5,y位于兩側(cè)，此時(shí)x5,y1，不符合題意；

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，1,y位于中間，則x,5位于兩側(cè)，同上y5,x1，不符合題意；

x5

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，5,x位于中間，則1,y位于兩側(cè)，則有1x53,5；

2

y5

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，5,y位于中間，則x,1位于兩側(cè)，同上1y53,5；

2

xy

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，x,y位于中間，則1,5位于兩側(cè)，可知xy55；

2

此時(shí)中位數(shù)是5；

綜上所述這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)的取值范圍是3,5.

故答案為：3,5.

【典例4】（2022·湖北武漢·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)10，5，4，2，2，2，x，且這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則x所有可能的取值為．

【答案】11或3或17

1054222x25x

【詳解】由題意可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，

77

25x

眾數(shù)為2，若x2，可得24，可得x11；

7

25x

若2x4，則中位數(shù)為x，可得2x2，可得x3；

7

25x

若x4，則中位數(shù)為4，可得242，可得x17，

7

故答案為：11或3或17.

【變式1】（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）貿(mào)易投資合作是共建“一帶一路”的重要內(nèi)容.2013—2022年中

國(guó)與共建國(guó)家進(jìn)出口總額占中國(guó)外貿(mào)總值比重（簡(jiǎn)稱占比）的數(shù)據(jù)如下：

年份2013201420152016201720182019202020212022

占比%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4

則這10年占比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A．40.3%B．40.45%C．40.6%D．41.4%

【答案】B

【詳解】把這10年占比數(shù)據(jù)從小到大排列得

38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，

40.3%40.6%

中位數(shù)為40.45%.

2

故選：B

【變式2】（2023上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)為2,3,6,7,8,10,11,13，若在這組

數(shù)據(jù)中插入一個(gè)自然數(shù)a使得這組新數(shù)據(jù)滿足中位數(shù)是7且平均數(shù)大于7，則滿足上述條件的最小自然數(shù)a

是.

【答案】4

【詳解】要使得中位數(shù)是7，a必須插在7的前面，即a7，

236a78101113

平均數(shù)為7，

9

解得a3，a是滿足上述條件的最小自然數(shù)，則a4.

故答案為：4.

【變式3】（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：23，28，30，x，34，

39，且其中位數(shù)是31，則數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是．

【答案】31

【詳解】一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：23，28，30，x，34，39，且其中位數(shù)是31，

x30

故=31，解得x32．

2

3230

650%3，數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是31.

2

故答案為：31.

【變式4】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某產(chǎn)品售后服務(wù)中心隨機(jī)選取了20個(gè)工作日，分別記錄了每個(gè)工作

日接到的客戶服務(wù)電話的數(shù)量（單位：次）：

63382542564853392847

45525948516248505238

(1)分別計(jì)算以上數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

(2)根據(jù)以上結(jié)果，你能為該產(chǎn)品的售后服務(wù)中心提供什么建議？

【答案】(1)平均數(shù)為47.2，中位數(shù)為48，眾數(shù)為48.

(2)答案見(jiàn)解析.

【詳解】（1）解：由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

1

(6338254256485339284745525948516248505238)47.2，

20

這些數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?5,28,38,38,39,42,45,47,48,48,48,50,51,52,52,53,56,59,62,63，

4848

所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為48，其中眾數(shù)為48.

2

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該產(chǎn)品售后服務(wù)中心每天應(yīng)準(zhǔn)備接聽48個(gè)客戶的電話.

題型03計(jì)算平均數(shù)

【典例1】（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了研究我國(guó)男女性的身高情況，某地區(qū)采用分層隨機(jī)抽樣的

方式抽取了100萬(wàn)人的樣本，其中男性約占51%?女性約占49%，統(tǒng)計(jì)計(jì)算樣本中男性的平均身高為175cm，

女性的平均身高為165cm，則樣本中全體人員的平均身高約為（）

A．166cmB．168cmC．170cmD．172cm

【答案】C

【詳解】樣本中全體人員的平均身高約17551%16549%170(cm)，

故選：C

【典例2】（2023下·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)a，5，6，7，7，8，11，12的平均數(shù)為8，則這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A．6.5B．7C．7.5D．8

【答案】C

a567781112

【詳解】由題意得8，解得a8，

8

78

故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7.5.

2

故選：C.

【典例3】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有4萬(wàn)個(gè)大于70的兩位數(shù)，從中隨機(jī)抽取了3000個(gè)數(shù)，統(tǒng)計(jì)如

下表：

數(shù)據(jù)x70x7980x8990x99

個(gè)數(shù)8001300900

平均數(shù)78.18591.9

請(qǐng)根據(jù)表格中的信息，估計(jì)這4萬(wàn)個(gè)數(shù)的平均數(shù)約為.

【答案】85.23

1

【詳解】這3000個(gè)數(shù)的平均數(shù)為78.180085130091.990085.23.

3000

于是用樣本的平均數(shù)去估計(jì)總體的平均數(shù)，則這4萬(wàn)個(gè)數(shù)的平均數(shù)約為85.23.

故答案為：85.23

【典例4】（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？奸_學(xué)考試）數(shù)據(jù)2,4,5,8,a,10,11的平均數(shù)是7，則這

組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為．

【答案】9

【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)2,4,5,8,a,10,11的平均數(shù)是7，

1

所以2458a10117，解得a9，

7

因?yàn)?60%4.2，

所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第5位數(shù)，即9.

故答案為：9.

【變式1】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）已知甲、乙兩個(gè)班的學(xué)生人數(shù)分別為45人和55人，在某次

考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)平均分分別為110分和90分，則這兩個(gè)班全體學(xué)生的平均分為（）

A．98分B．99分C．100分D．101分

【答案】B

【詳解】甲班有45人，平均分為110分，乙班55人，平均分為90分．

451105590

所以這兩個(gè)班全體學(xué)生的平均分為99分，

4555

故選：B.

【變式2】（2024上·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W(xué)校考期末）一組數(shù)據(jù)3，5，8，a，11，15，18的平均數(shù)為

10，則該數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.

【答案】10

【詳解】因?yàn)?，5，8，a，11，15，18的平均數(shù)為10，

358a111518

所以10，解得a10.

7

這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：3，5，8，10，11，15，18，

該數(shù)據(jù)的中位數(shù)是10.

故答案為：10.

【變式3】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某班級(jí)有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測(cè)試平均成績(jī)是92分，如果30

名男生的平均成績(jī)?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績(jī)?yōu)榉?

【答案】95

【詳解】設(shè)所求平均成績(jī)?yōu)閤，由題意得5092309020x，∴x95.

故答案為：95

【變式4】（2023下·新疆塔城·高二塔城市第三中學(xué)?？计谀┤粑鍌€(gè)數(shù)1，2，3，4，a的平均數(shù)是3，則

a.

【答案】5

1234a

【詳解】由題意，3，解得a5，

5

故答案為：5

題型04平均數(shù)的和差倍分性質(zhì)

【典例1】（2023上·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)

3x11,3x21,,3xn1的平均數(shù)為（）

A．1B．3C．4D．9

【答案】C

【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的平均數(shù)為x，

記數(shù)據(jù)ax1b,ax2b,,axnb的平均數(shù)為x，

axbaxbaxbax1x2xnnb

則x12n

nn

anxnb

axb，

n

故數(shù)據(jù)3x11,3x21,,3xn1的平均數(shù)為3x13114.

故選：C.

【典例2】（2022上·河南·高三溫縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了增加學(xué)生的鍛煉機(jī)會(huì)，某中學(xué)決定

L

每年舉辦一次足球和乒乓球比賽，據(jù)統(tǒng)計(jì)，近10年來(lái)，參加足球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為x1、x2、x3、、

L

x10，它們的平均數(shù)為y1，已知這10年，參加乒乓球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為3x11、3x21、3x31、、3x101，

它們的平均數(shù)y2為（）

A．3y11B．3y11C．y1D．3y1

【答案】A

xxxx

【詳解】由已知可得y12310，

110

3x13x13x13x1

由平均數(shù)公式可得y12310

210

3xxxx

1231013y1.

101

故選：A.

【典例3】（2023下·新疆烏魯木齊·高一校聯(lián)考期末）樣本x1,x2,x3,,x10的平均數(shù)為5，則

3x11,3x21,3x31,,3x101的平均數(shù)為．

【答案】12

【詳解】樣本x1,x2,x3,,x10的平均數(shù)為5即x5,

則3x11,3x21,3x31,,3x101的平均數(shù)為3x135112.

故答案為：12.

【變式1】（2022上·江西撫州·高二南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)

2x13,2x23,2x33,2x43,2x53的平均數(shù)是1，那么另一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【詳解】解：因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)2x13,2x23,2x33,2x43,2x53的平均數(shù)是1，所以

1

2x32x32x32x32x31

512345

21

即xxxxx31，所以xxxxx2，即一組數(shù)據(jù)x,x,x,x,x的平均數(shù)為2；

51234551234512345

故選：C

【變式2】（2022上·遼寧撫順·高二?？计谀┮阎唤M數(shù)x1,x2,x3,x4的平均數(shù)為3，則另一組數(shù)

2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1的平均數(shù)為.

【答案】7

xxxx

【詳解】根據(jù)題意可得12343，所以xxxx12；

41234

則2x1+12x2+12x3+12x4+12x1x2x3x44212428，

2x+12x+12x+12x+128

所以其平均數(shù)為12347.

44

故答案為：7

【變式3】（2023下·河南信陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)x1，x1，…，xn，的平均數(shù)為7，則數(shù)據(jù)3x14，3x24，…，

3xn4的平均數(shù)為．

【答案】17

xx

【詳解】由題意，一組數(shù)據(jù)1，1，…，xn，的平均數(shù)為7，即x7，

則數(shù)據(jù)3x14，3x24，…，3xn4的平均數(shù)為37417．

故答案為：17.

題型05在頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)

【典例1】（2024上·重慶·高三統(tǒng)考期末）對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示，并由此估

計(jì)總體集中趨勢(shì)，則a，b可以分別大致反映這組數(shù)據(jù)的（）

A．平均數(shù)，中位數(shù)B．平均數(shù)，眾數(shù)C．中位數(shù)，平均數(shù)D．中

位數(shù)，眾數(shù)

【答案】A

【詳解】由題意得，眾數(shù)必定在最高的小長(zhǎng)方形內(nèi)，故排除BD，

由中位數(shù)和平均數(shù)的分布規(guī)律得（直方圖在左邊拖尾），

故在這個(gè)頻率分布直方圖內(nèi)a是平均數(shù)，b是中位數(shù)，

故A正確，C錯(cuò)誤.

故選：A

【典例2】（多選）（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）樹人中學(xué)為了解高二年級(jí)學(xué)生每天的

體育活動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)抽取200名學(xué)生統(tǒng)計(jì)每天體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，按照時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）分成

[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]六組，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下

列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)0.15

B．這200名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)是55

C．這200名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)小于60

D．這200名學(xué)生中有60人每天體育活動(dòng)時(shí)間低于50分鐘

【答案】BCD

【詳解】由頻率之和為1得：10(0.010.020.032a0.01)1，

解得a0.015，故A錯(cuò)誤；

由頻率分布直方圖可估計(jì)200名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)是55，故B正確；

由100.010.10.5，100.01100.020.30.5，100.01100.02100.030.60.5,故中位數(shù)位于[50,60)內(nèi)，

故C正確，

由于100.01100.020.3,故200名學(xué)生中每天體育活動(dòng)時(shí)間低于50分鐘的人數(shù)約為2000.360人，故D

正確，

故選：BCD

【典例3】（多選）（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，筆試

成績(jī)前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績(jī)和年齡分別如頻率分布直方圖和扇形

統(tǒng)計(jì)圖所示，則（）

A．90后考生比00后考生多150人B．筆試成績(jī)的60%分位數(shù)為80

C．參加面試的考生的成績(jī)最低為86分D．筆試成績(jī)的平均分為76分

【答案】BD

【詳解】對(duì)于A中，由年齡的扇形統(tǒng)計(jì)圖，可得90后的考生有320045%1440人，

00后的考生有320040%1280人，可，所以A不正確；

對(duì)于B中，由頻率分布直方圖性質(zhì)，可得(0.010.02aa0.01)101，

解得a0.03，則前三個(gè)矩形的面積和(0.010.020.03)100.6，

所以試成績(jī)的60%分位數(shù)為80分，所以B正確；

對(duì)于C中，設(shè)面試成績(jī)的最低分為x，由前三個(gè)矩形的面積和為0.6，第四個(gè)矩形的面積為0.3，則

0.02

801086.687分，所以C不正確；

0.03

對(duì)于D中，根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得考試的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

x550.1650.2750.3850.3950.176分，所以D正確.

故選：BD.

【典例4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年，貴州“村超”歷時(shí)三個(gè)月，共進(jìn)行98場(chǎng)比賽，平均每場(chǎng)比賽超

5000萬(wàn)人次收看，現(xiàn)場(chǎng)觀眾超5萬(wàn)人，全網(wǎng)流量突破300億次．某中學(xué)暑假社會(huì)實(shí)踐小組隨機(jī)抽選6000

名網(wǎng)友對(duì)“村超”關(guān)注度進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并從參加問(wèn)卷調(diào)查的6000人中隨機(jī)抽取了100人，將他們的問(wèn)卷成

績(jī)（滿分100分）分為6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)記A為事件“從參加問(wèn)卷調(diào)查的所有人中隨機(jī)抽取一名，該網(wǎng)友的成績(jī)不低于80分”，試估計(jì)事件A發(fā)生

的概率，并估計(jì)參加問(wèn)卷調(diào)查的網(wǎng)友中成績(jī)低于80分的人數(shù)；

(2)用樣本估計(jì)總體，求參加問(wèn)卷調(diào)查的6000人成績(jī)的中位數(shù)與平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值為代表，結(jié)果精確到0.1）．

【答案】(1)0.6，3600

(2)中位數(shù)為76.7分，平均數(shù)為75.5分

【詳解】（1）由題圖得成績(jī)不低于80分的頻率為0.025100.015100.4，所以PA0.4．

參加問(wèn)卷調(diào)查的網(wǎng)友中成績(jī)低于80分的概率為10.40.6，

所以估計(jì)參加問(wèn)卷調(diào)查的網(wǎng)友中成績(jī)低于80分的人數(shù)為60000.63600．

（2）由題圖知，成績(jī)?cè)?0,50的頻率為100.0050.05，

在50,60的頻率為100.010.1，在60,70的頻率為100.0150.15，

在70,80的頻率為100.030.3，前3組的頻率之和為0.050.10.150.3，

前4組的頻率之和為0.050.10.150.30.6，因此樣本的中位數(shù)位于第4組，設(shè)中位數(shù)為x分，

則0.050.10.15x700.030.5，所以x76.7．

樣本的平均數(shù)為450.05550.1650.15750.3850.25950.1575.5（分）．

所以參加問(wèn)卷調(diào)查的6000人成績(jī)的中位數(shù)為76.7分，平均數(shù)為75.5分．

【變式1】（多選）（2024上·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）某校4個(gè)班級(jí)學(xué)生的一次物理考試成績(jī)的頻率分

布直方圖如下，已知成績(jī)?cè)?0,90范圍內(nèi)的人數(shù)為30人，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)的值為0.15B．4個(gè)班的總?cè)藬?shù)為200人

C．學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)估計(jì)為66.6分D．學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)估計(jì)為71分

【答案】BD

【詳解】對(duì)A，0.0050.0102a0.0250.030101，解得a0.015，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B，成績(jī)?cè)?0,90范圍內(nèi)的頻率為0.015100.15，故4個(gè)班的總?cè)藬?shù)為300.15200人，故B正確；

對(duì)C，因?yàn)?.0050.0150.030100.5，故學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)估計(jì)為70分，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D，學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)估計(jì)為450.005550.015650.030750.025850.015950.01010

450.05550.15650.30750.25850.15950.1071分，故D正確.

故選：BD

【變式2】（多選）（2023上·吉林白城·高三校考階段練習(xí)）某校100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，將所有成績(jī)分

成50,60、60,70、70,80、80,90、90,100五組（成績(jī)均在50,100內(nèi)），成績(jī)的頻率分布直方圖如

圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)的值為0.035

B．估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是75

C．估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為78

540

D．估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為

7

【答案】ABD

【詳解】由題意知0.0100.015a0.0300.010101，解得a0.035，故A正確；

7080

估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是75，故B正確；

2

估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為550.1650.15750.35850.3950.176.5，故C錯(cuò)誤；

m70540

設(shè)這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為m，所以，0.350.250.5，解得m，故D正確．

107

故選：ABD．

【變式3】（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從某臍橙果園隨機(jī)選取200個(gè)臍橙，已知每個(gè)臍橙的

質(zhì)量（單位：g）都在區(qū)間90,110內(nèi)，將這200個(gè)臍橙的質(zhì)量數(shù)據(jù)分成90,95,95,100,100,105,105,110

這4組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)試問(wèn)這200個(gè)臍橙中質(zhì)量不低于100g的個(gè)數(shù)是多少？

(2)若每個(gè)區(qū)間的值以該區(qū)間的中間值為代表，估計(jì)這200個(gè)臍橙的質(zhì)量的平均數(shù).

【答案】(1)110

(2)100.75g

【詳解】（1）不低于100g的頻率為0.070.0450.55，

所以這200個(gè)臍橙中質(zhì)量不低于100g的個(gè)數(shù)是2000.55110.

（2）平均數(shù)為92.50.197.50.35102.50.35107.50.2100.75g.

【變式4】（2022上·貴州黔東南·高二?？计谀└鶕?jù)閱兵領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室介紹，2019年國(guó)慶70周年閱兵

有59個(gè)方（梯）隊(duì)和聯(lián)合軍樂(lè)團(tuán)，總規(guī)模約1.5萬(wàn)人，是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次．其中，徒步方隊(duì)

15個(gè)．為了保證閱兵式時(shí)隊(duì)列保持整齊，各個(gè)方隊(duì)對(duì)受閱隊(duì)員的身高也有著非常嚴(yán)格的限制，太高或太矮

都不行．徒步方隊(duì)隊(duì)員，男性身高普遍在175cm至185cm之間；女性身高普遍在163cm至175cm之間，這是

常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)．要求最為嚴(yán)格的三軍儀仗隊(duì)，其隊(duì)員的身高一般都在184cm至190cm之間．經(jīng)過(guò)隨機(jī)調(diào)查某個(gè)閱

兵陣營(yíng)中女子100人，得到她們身高的直方圖，其中ab20．

(1)求直方圖中a,b的值；

(2)估計(jì)這個(gè)陣營(yíng)女子身高的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

(3)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)閱兵陣營(yíng)中女子身高的中位數(shù)．

【答案】(1)a12.5，b7.5；

(2)1.6912

(3)1.69

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

5ba11b6.50.021，且ab20，

解得：a12.5，b7.5；

（2）這個(gè)陣營(yíng)女子身高的平均值為

1.6451.667.51.6812.51.70111.727.51.746.50.021.6912

（3）前3組的頻率和為50.027.50.0212.50.020.5，

所以中位數(shù)為1.69.

題型06眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)的比較

【典例1】（2023下·重慶江津·高一校聯(lián)考期末）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，下面敘述一定錯(cuò)．

誤．的是（）

A．?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值B．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同

C．?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值D．這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的

【答案】D

【詳解】一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，說(shuō)明數(shù)據(jù)中可能有偏大或偏小的值，即可能有異常值，故A

選項(xiàng)不符合題意；

一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，可能眾數(shù)和中位數(shù)相同，故B選項(xiàng)不符合題意；

一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，說(shuō)明數(shù)據(jù)中可能有偏大或偏小的值，故C選項(xiàng)不符合題意；

若這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的，不會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，故D選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【典例2】（2022下·河北·高一校聯(lián)考期末）某校舉行校園歌手大賽，6位評(píng)委對(duì)某選手的評(píng)分分別為9.2，

9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，設(shè)該選手得分的平均數(shù)為x，中位數(shù)為y，眾數(shù)為z，則（）

A．xyzB．xyzC．yxzD．xzy

【答案】A

9.29.58.89.98.99.59.29.5

【詳解】由題意可得，x9.3，y9.35，z9.5，

62

則xyz．

故選：A.

【典例3】（多選）（2022下·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）病毒研究所檢測(cè)甲乙兩組實(shí)驗(yàn)小白鼠的某

醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）

A．甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)

B．甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)

C．甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)

D．乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)

【答案】BCD

【詳解】根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知為單峰的，直方圖在右邊“拖尾”，所以甲組的平均數(shù)大

于中位數(shù)，且都小于7，

同理可得乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，

故甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故A錯(cuò)誤；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，故B正確；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故C正確；

乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故D正確.

故選：BCD.

【變式1】（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從使用該產(chǎn)品的用戶

中隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)用戶,根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分,得到如圖所示的用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖.

若用戶滿意度評(píng)分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為a,b,c,則（）

A．a(chǎn)bcB．bacC．a(chǎn)cbD．b<c<a

【答案】B

【詳解】解:由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為65,即b65,

由表可知,組距為10,

所以平均數(shù)為:450.15550.2650.25750.2850.1950.167,

故c67,記中位數(shù)為x,

則有:100.015100.02x600.0250.5,

解得:x66,即a66,

所以bac.

故選：B.

【變式2】（2021·福建龍巖·統(tǒng)考三模）平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)

的分布形態(tài)有關(guān).如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，記這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為M，中位數(shù)為N，平均數(shù)為P，則（）

A．NMPB．MNP

C．MPND．PNM

【答案】B

【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖可得，眾數(shù)為M5；

56

共有23106322230個(gè)數(shù)據(jù)，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)為5,6，所以中位數(shù)為N5.5；

2

233410566372829210

平均數(shù)P5.97，

30

所以MNP.

故選：B.

【變式3】（2021·陜西西安·統(tǒng)考一模）某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是

10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，記這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a,b,c由大到小的順序

為.

【答案】cba

101214215216173

【詳解】平均效a14.7，

10

中位數(shù)b15，眾數(shù)c=17，則cba.

故答案為：cba.

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了研究我國(guó)男女性的身高情況，某地區(qū)采用分層隨機(jī)抽樣的方式抽

取了100萬(wàn)人的樣本，其中男性約占51%?女性約占49%，統(tǒng)計(jì)計(jì)算樣本中男性的平均身高為175cm，女性

的平均身高為165cm，則樣本中全體人員的平均身高約為（）

A．166cmB．168cmC．170cmD．172cm

【答案】C

【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】樣本中全體人員的平均身高約17551%16549%170(cm)，

故選：C

2．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（）

A．14B．16C．18D．20

【答案】B

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

3．（2024上·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）眾數(shù)?平均數(shù)?中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和

數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖所示的分布形態(tài)中，平均數(shù)?眾數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系是（）（由小到大排列）

A．眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)

B．平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

C．中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)

D．眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)直方圖矩形高低以及數(shù)據(jù)的分布趨勢(shì)，判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)在第二列的中點(diǎn)處.

因?yàn)橹狈綀D第二、三列所占數(shù)據(jù)較多，且在右邊拖尾，

所以平均數(shù)大于中位數(shù)，在第三?四列的位置，因此有眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù).

故選：A.

4．（2023上·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)

3x11,3x21,,3xn1的平均數(shù)為（）

A．1B．3C．4D．9

【答案】C

【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)得到平均數(shù)為3114.

【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的平均數(shù)為x，

記數(shù)據(jù)ax1b,ax2b,,axnb的平均數(shù)為x，

axbaxbaxbax1x2xnnb

則x12n

nn

anxnb

axb，

n

故數(shù)據(jù)3x11,3x21,,3xn1的平均數(shù)為3x13114.

故選：C.

5．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）2023年10月31日，神州十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，激發(fā)

了學(xué)生對(duì)航天的熱愛(ài).某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直

方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（）

A．x88,y90B．x83,y90

C．x83,y85D．x88,y85

【答案】D

【分析】首先a0.05，再根據(jù)百分位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法即可.

【詳解】由題意得0.0050.03a0.015101，解得a0.05，

因?yàn)?.050.30.35，0.050.30.50.85，則0.350.750.85，

則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)位于80,90，則0.35x800.050.75，解得x88，

8090

因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中位于成績(jī)80,90之間最多，則眾數(shù)為y85，

2

故選：D.

6．（2024上·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）已知100個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有且僅有50個(gè)數(shù)小于或等于8

B．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，8是第50個(gè)數(shù)據(jù)

C．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，8是第50個(gè)和第51個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)

D．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，8是第50個(gè)和第49個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念