高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第09講 平面幾何中的向量方法及向量在物理中的應(yīng)用舉例（解析版）

第09講6.4.1平面幾何中的向量方法

6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.在系統(tǒng)學(xué)習(xí)向量知識的基礎(chǔ)上，能用向量方法解決簡

①.能用向量方法解決簡單的幾何問題。

單的幾何問題；

②.能用向量方法解決簡單的幾何應(yīng)用類問

2.提升學(xué)生實際問題中的知識抽象，能用向量方法解決

題和其他實際問題。

簡單的幾何應(yīng)用類問題和其他實際問題；

③體會向量在解決幾何在生活中的實際問

3.體會向量在解決幾何問題在生活中的實際問題中的

題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的運算、分析和解決

作用，培養(yǎng)學(xué)生的運算、分析和解決實際問題的能力，

實際問題的能力。

提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).；

知識點01：平面幾何中的向量方法

（1）向量在平面幾何中的應(yīng)用

①平面兩個向量的數(shù)量積：；

ab|a||b|cosabx1x2y1y2.

②向量平行的判定:；

a//b(b0)aba//bx1y2x2y10.

③向量平行與垂直的判定:；

abab0abx1x2y1y20.

④平面內(nèi)兩點間的距離公式：22（其中，）

|AB|(x1x2)(y1y2)A(x1,y1)B(x2,y2)

⑤求模：；22；22

aaaaxya(x1x2)(y1y2)

⑥對于題目中遇到的有些平面圖形(如長方形、正方形、直角三角形等)的計算求解問題,可通過建立平面直

角坐標系,用坐標把向量表示出來,通過代數(shù)運算來解決(“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”).

（2）用向量解決平面幾何問題的步驟

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

②通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題；

③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

【即學(xué)即練1】（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實驗高中?？计谥校┮阎狝BC的三個頂點分別

,13

是A1,0，B10，C,，則ABC的形狀是（）

22

A．等腰三角形B．直角三角形

C．斜三角形D．等腰直角三角形

【答案】B

3313

【詳解】易知AC,,BC,，

2222

3133

可得ACBC0，即ACBC，且AC3BC1，

2222

所以可得ABC的形狀是直角三角形.

故選：B

知識點02：向量在物理中的應(yīng)用舉例

向量的定義有著豐富的物理背景,物理學(xué)中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就

是向量的數(shù)量積的物理背景,因此,向量可以解決一些物理問題歸納.

（1）力學(xué)問題的向量處理方法

①解決此類問題必須用向量知識將力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即將力學(xué)各量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型,再

利用建立的數(shù)學(xué)模型解析或回答相關(guān)物理現(xiàn)象；

②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向線段可以有共同的起點,也可以沒有共同的起點.力是既

有大小,又有方向的量.用向量知識解決共點力的問題,往往需要把向量平移到同一作用點上.

（2）速度、位移問題的向量處理方法

速度、加速度與位移的合成和分解,實質(zhì)就是向量的加減運算,而運動的疊加也用到了向量的合成.

①向量在速度、加速度上的應(yīng)用,實質(zhì)是通過向量的線性運算解決物理問題,最后獲得物理結(jié)果.

②用向量解決速度、加速度和位移等問題,用的知識主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘,有時也可借助坐標

來求解.

（3）功、動量問題的向量處理方法

物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質(zhì)是力F與位移s的數(shù)量積,

即WFs|F||s|cos(為F與s的夾角).功是一個標量,它可正,也可負.動量mv實際上是數(shù)乘向

量.

在解決問題時要注意數(shù)形結(jié)合

（4）利用向量法解決物理問題的步驟

用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：

①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.

③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.

④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.

【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在傾角為37、高h2m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體

沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的0.5倍，g10N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程

43

中，物體所受各力對物體所做的功，（參考數(shù)據(jù)cos37，sin37）．

55

【答案】答案見解析

ur

【詳解】物體受三個力，重力，斜面對物體的支持力，摩擦力，

GfNf

且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，則重力與位移之間的夾角

GF1F2Gs

903753，

2

則重力對物體做的功WGsGscos53510cos53100J，

Gsin37

支持力f與位移方向垂直，做功為WfNsfNscos900J，

NsfN

ur

摩擦力f與位移s方向相反，對物體做功Wffsfscos1800.5F2s

2

0.5510cos3766.7J．

sin37

題型01利用向量解決平面幾何中的平行（共線）問題

【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，若ACABAD，且ACBD0，則四邊形ABCD

是（）

A．矩形B．等腰梯形

C．正方形D．菱形

【答案】D

【詳解】因為ACABAD，可得ABBCABAD，所以BCAD，

即BC//AD且BCAD，所以四邊形ABCD為平行四邊形，

又由ACBD0，可得四邊形ABCD的對角線互相垂直，

所以四邊形ABCD為菱形.

故選：D.

【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC

和CD的中點.求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

【答案】證明見解析

【詳解】因為點E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點，

11

所以FEAD,GHAD,

22

所以FEGH，

又因為FE與GH不共線，所以FE//GH，且FEGH，

所以四邊形EFGH為平行四邊形.

uuuruuuruuuruuur

【變式1】（2023上·山東泰安·高二?？奸_學(xué)考試）在四邊形ABCD中，ABBC0,BCAD，則四邊形ABCD

的形狀是.

【答案】矩形

uuuruuur

【詳解】由ABBC0,可知ABBC,進而ABBC，

由BCAD可得BCAD且BC//AD，所以四邊形為矩形，

故答案為：矩形

題型02利用向量解決垂直問題

【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，ABAC，點M為邊BC

的中點，求證：AMBC．

【答案】證明過程見解析

uuur1uuuruuur

【詳解】由題意得AMABAC，BCACAB，

2

1122122

故AMBCABACACABACABACAB，

222

122

因為ABAC，所以AMBCACAB0，

2

故AMBC.

【典例2】（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為6,E是AB

的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M．

(1)求EMF的余弦值．

(2)若點P自A點逆時針沿正方形的邊運動到C點，在這個過程中，是否存在這樣的點P，使得EFMP？

若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．

2

【答案】(1)

10

213

(2)存在MP．

7

【詳解】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系．

則D0,6,E3,0,A0,0,F6,2,DE3,6,AF6,2．

uuuruuur

由于EMF就是DE,AF的夾角．

DEAF18122

cosF的余弦值為2．EMFEM

DEAF9363641010

（2）設(shè)Mx,y,DMx,y6,DM∥DE,3y66x0,2xy60

6

AMx,y,AF6,2,AM∥AF,2x6y0,x3y,7y6,y．

7

18186

x,M,．

777

由題得EF3,2．

186

①當(dāng)點P在AB上時，設(shè)Px,0,0x6,MPx,，

77

22

5412222246213

3x0,x,P,0,MP；

7777777

246

②當(dāng)點P在BC上時，設(shè)P6,y,(0y6),MP,y，

77

721230

2y0,y，舍去．

777

222

綜上，存在P,0,MP13．

77

【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，AC為O的一條直徑，ABC為圓周角.求證：ABC90.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：如圖，

設(shè)AOa，OBb，

uuurrr

則ABab，OCa，BCOCOBab，ab，

2

222

∴ABBCabababab0，

∴ABBC，∴ABC90.

【變式2】（2023下·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知在ABC中，點M是BC邊上靠近點B的四等分點，點N

為AB中點，設(shè)AM與CN相交于點P.

(1)請用AB、AC表示向量AM；

1

(2)設(shè)AB和AC的夾角為，若cos，且AC2AB，求證：CNAB.

4

31

【答案】(1)AMABAC.

44

(2)證明見解析.

1131

【詳解】（1）AMABBMABBCAB(ACAB)ABAC.

4444

1

（2）CNANACABAC，

2

11212121

CNABABACABABABACABABACcosABAB2AB

22224

121

ABAB2AB0，CNAB.

24

題型03利用向量求線段長度

【典例1】（2023下·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）一個人騎自行車由A地出發(fā)向東騎行了6km到達B地，由B

地向南東30方向騎行了6km到達C地，從C地向北偏東60騎行了23km到達D地，則A，D兩地的距

離是km．

【答案】239

【詳解】以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖，

則A(0,0),B(6,0)，C(66sin30,6cos30)，即C(9,33)，

D(923sin60,3323cos60)，即D(12,23)，

所以AD(12,23)，故AD122(23)2239.

所以A，D兩地距離為239km.

故答案為：239.

【典例2】（2023下·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，

111

AB4,AC6,BDDC,BEEA,AFFC,DEDF4.

222

(1)求BC的長；

(2)求AD的長.

【答案】(1)222

27

(2)

3

11111

【詳解】（1）DEDBBECBABABACABAC；

33333

22222

DFDCCFBCCAABACACAB，

33333

2

DEDFABAC4，故ABAC18，

9

222

BCACABAC2ABACAB163636222.

1121

（2）ADABBDABBCABACABABAC，

3333

2

2142412

ADABACABABACAC

33999

44127

161836.

9993

【變式1】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知

π

ABab,ACa2b,|a|2|b|2,a,b的夾角為，則三角形ABC的BC邊上中線的長為.

3

【答案】13

2

【詳解】設(shè)D為BC的中點，則2ADABAC，

22

所以2ADABAC，

22

所以4AD2ab，

2

b2

所以221113

ADaab221.

4422

故答案為：13

2

【變式2】（2023下·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在菱形ABCD中，O為菱形ABCD內(nèi)一點.

(1)用OA，OB，OC，表示OD；

(2)若AB2，DAB60，求ABAD，ABAD.

【答案】(1)ODOAOBOC

(2)ABAD23；ABAD2

【詳解】（1）因為四邊形ABCD為菱形，所以BCAD，

則OCOBODOA，所以O(shè)DOAOBOC.

（2）因為AB2，DAB60，

1

所以ABADABADcosDAB222，

2

22

則ABAD(ABAD)2AB2ABADAD44423，

22

ABAD(ABAD)2AB2ABADAD4442.

題型04向量在物理中的應(yīng)用

【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知兩個力F1，F(xiàn)2的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與F1

的夾角為60°，那么F1的大小為（）．

A．53NB．5NC．10ND．52N

【答案】B

【詳解】

如圖，OAF1，OBF2，AOC60，OAC90，OC10.

在RtOAC中，有OAOCcosAOC5，

所以，F(xiàn)1的大小為5N.

故選：B.

【典例2】（2022上·江西·高二南昌縣蓮塘第一中學(xué)校考期中）在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根

細繩均勻地固定在橫梁上．在其中一個秤盤中放入重量為60N的物品，在另一個秤盤中放入重量60N的砝

碼，天平平衡．3根細繩通過秤盤分擔(dān)對物品的拉力（拉力分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3)，若3根細繩兩兩之間的

π

夾角均為，不考慮秤盤和細繩本身的質(zhì)量，則F的大小為N．

31

【答案】106

【詳解】依題意，F(xiàn)1F2F3且F1F2F360，

222

所以F1|F2||F3|2F1F22F2F32F3F13600，

1

即3F|232F|23600，解得F106．

1121

故答案為：106．

【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在傾角為37、高h2m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體沿斜

面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的0.5倍，g10N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，

43

物體所受各力對物體所做的功，（參考數(shù)據(jù)cos37，sin37）．

55

【答案】答案見解析

ur

【詳解】物體受三個力，重力，斜面對物體的支持力，摩擦力，

GfNf

且重力G可分解為沿斜面向下的分力F1和垂直斜面的分力F2，則重力G與位移s之間的夾角

903753，

2

則重力對物體做的功WGsGscos53510cos53100J，

Gsin37

支持力f與位移方向垂直，做功為WfNsfNscos900J，

NsfN

ur

Wfsfscos1800.5Fs

摩擦力f與位移s方向相反，對物體做功f2

2

0.5510cos3766.7J．

sin37

【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）飛機從A地向西北飛行200km到達B地后，又從B地向東飛行1002km

到達C地，再從C地向南偏東60°飛行502km到達D地，求飛機從D地飛回A地的位移．

【答案】大小為506km，方向為南偏西60

【詳解】

如圖，飛機從A運動到D的過程，

由已知可得，AB200，BC1002，且BAC45，

所以，AC1002，ACB90.

過點D作DEAC，

因為ECD60，

所以CECDcos60252，DECDsin60256，

所以，AEACCE752.

由勾股定理可得，ADDE2AE2506，

DE2561

cosADE，所以ADE60.

AD5062

所以，飛機從D地飛回A地的位移大小為506km，方向為南偏西60.

【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角

為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大?。?/p>

【答案】1002N

【詳解】

設(shè)細繩作用力為F，則F200N，

如圖，對力F進行分解，可得F1Fsin451002N.

根據(jù)力的平衡可知，物重G的大小為1002N.

【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，一艘船從長江南岸點A出發(fā)，以23km/h的速度垂直于對岸

的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度；

(2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．

【答案】(1)答案見解析

(2)船實際航行速度的大小為4km/h，方向與江水速度間的夾角為60

【詳解】（1）如圖所示，AD表示船速，AB表示水速，

以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，

則AC表示該船實際航行的速度；

（2）由題意ABAD，

在Rt△ABC中，AB2,BCAD23，

223

則AC22234，tanBAC3，所以BAC60，

2

所以船實際航行速度的大小為4km/h，方向與江水速度間的夾角為60.

A夯實基礎(chǔ)B能力提升

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1

1．（2023·高一課時練習(xí)）在四邊形ABCD中，若ABCD，則四邊形ABCD為（）

3

A．平行四邊形B．梯形C．菱形D．矩形

【答案】B

1

【詳解】四邊形ABCD中，若ABCD，

3

1

則ABCD，且ABCD，

3

所以四邊形ABCD是梯形.

故選：B

2．（2023下·貴州貴陽·高一校考階段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一

點，且OCB30，AB2，則AC等于（）

A．1B．2C．5D．2

【答案】A

【詳解】依題意，

如圖，連接AC，由OCOB，得ABCOCB30．

1

因為C為半圓上的點，所以ACB90，所以ACAB1．

2

故選：A．

3．（2022上·湖南岳陽·高二校聯(lián)考期中）ABC中，AB2,AC1,BAC120,2BD3DC，則ADBC等

于（）

4664

A．B．C．D．

5555

【答案】D

1

【詳解】由2BD3DC2ADAB3ACADAD2AB3AC，

5

1

而BCACAB，又由已知可得ABAC1，所以ADBC2AB3ACACAB

5

114

2|AB|23|AC|2ABAC(83+1).

555

故選：D

,

4．（2020下·高一課時練習(xí)）已知三個力f12,1，f23,2，f373同時作用于某物體上一點，

為使該物體保持平衡，需再加上一個力f4，則f4（）

A．2,2B．2,2C．1,2D．2,2

【答案】D

,

【詳解】由物理知識，知物體平衡，則所受合力為0，所以f1f2f3f40，故f4=(f1f2f3)22.

故選：D

5．（2022上·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)向量a與b的夾角為θ，定義

abasinbcos，已知a2，bab1，則ab（）

123

A．B．C．D．2

222

【答案】B

22

【詳解】a2，bab1，aba2abb1，

2

得ababcos1cos，0,π，

2

2

22

22，abab

sin1

2222

1212112

aabb21.

22222

故選：B

6．（2023下·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運動的節(jié)目深受觀眾們

的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時，每只胳膊的拉力大小為50N，此時兩只胳膊的夾角

為60，試估算小猴子的體重（單位:kg）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g10m/s2，31.732）

A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5

【答案】C

【詳解】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，F(xiàn)F50，，

F1F212F1,F260

222

|F1F2|(F1F2)F1F22F1F2

1

50250225050cos60250025002505050386.6，

2

10m86.6，解得m8.668.7．

小猴子的體重約為8.7kg．

故選：C．

7．（2022下·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生

做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60，每只胳膊的拉力大小均為2003N，

則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2）（）

A．603B．61C．75D．60

【答案】D

【詳解】如圖，OAOB2003，AOB60，

作平行四邊形OACB，則OACB是菱形，OCOAOB，

OC2OAsin60600，

所以GOC600，

600600

因此該學(xué)生體重為60（kg）.

g10

故選：D．

8．（2020上·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假

設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為v18km/h，水流的速度的大小為v24km/h，設(shè)v1和v2的夾角為

(0180)，北岸的點B在A的正北方向，游船正好到達B處時，cos（）

3311

A．B．C．D．

2222

【答案】D

【詳解】解：設(shè)船的實際速度為v，則vv1v2，

北岸的點在的正北方向，游船正好到達處，則，

BABvv2

所以vv20，

21

即(vv)vvvcosv32cos160，解得cos，

1221222

故選：D．

二、多選題

9．（2023下·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）

22

A．ABC中，D為BC的中點，則ABACADBD

r

B．向量a1,2，b2,4可以作為平面向量的一組基底

ABAC

C．若非零向量與滿足BC0，則ABC為等腰三角形

ABAC

ABAC

D．已知點A1,5，B4,7，點P是線段AB的三等分點，則點P的坐標可以為(2,-1)

【答案】AC

【詳解】對于A，在ABC中，因為D為BC的中點，所以DCDB，

2222

所以ABACADDBADDCADDBADDBADDBADBD，

故選項A正確；

r

對于B，因為向量a1,2，b2,4，所以b2a，

可知a與b共線，不能作為平面向量的一組基底，故選項B錯誤；

uuur

ABAC

uuur

對于C，因為和分別表示與向量AB和AC同向的單位向量，

ABAC

uuur

ABAC

所以以和uuur為鄰邊的平行四邊形是菱形，

ABAC

ABAC

根據(jù)平行四邊形法則可知在BAC的平分線上，

ABAC

ABAC

又因為BC0，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC，

ABAC

即ABC為等腰三角形，故選項C正確；

uuur2uuur1

對于D，若點P是線段AB的三等分點，則APAB或APAB，

33

因為A1,5，B4,7，所以AB3,12，

21

所以APAB2,8或APAB1,4，

33

即點P的坐標可以為3,3或2,1，故選項D錯誤.

故選：AC.

10．（2022·高一課時練習(xí)）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李

包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，且F1F2，F(xiàn)1與F2的夾角為.下列結(jié)論中

正確的是（）

A．越大越費力，越小越省力B．的取值范圍為0,

2

C．當(dāng)時，F(xiàn)GD．當(dāng)時，F(xiàn)G

2131

【答案】AD

2222

【詳解】對于A，根據(jù)題意，得GF1F2，所以GF1F22F1F2cos2F1(1cos)，

2

2G

解得F，因為(0,)時，ycos單調(diào)遞減，所以越大越費力，越小越省力，故A正

12(1cos)

確；

對于B，由題意知的取值范圍是(0,)，故B錯誤；

22

2G

對于，因為，所以當(dāng)時，2G，所以2，故錯誤；

CFFF1GC

12(1cos)2122

2

2G222

對于，因為，所以當(dāng)時，，所以，故正確

DFF1GF1GD.

12(1cos)3

故選：AD.

三、填空題

11．（2022下·上海虹口·高一華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考期末）高一學(xué)生將質(zhì)量為20kg的物體用兩根

繩子懸掛起來，如圖（）（），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為和，則拉力與大小的比值

1245°30°f1f2

為.

【答案】2

2

【詳解】設(shè)f1xN，f2yN，

則xsin45ysin30，

f1xsin302

可得.

f2ysin452

故答案為：2

2

ABACABAC1

12．（2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，BC2，BC0，，

ABAC2

ABAC

則ABC的周長為.

【答案】6

ABAC

【詳解】設(shè)e1,e2，則有e,e均為單位向量，

ABAC12

且與同向，與同向，

e1ABe2AC

ABAC

所以與BAC的角平分線共線，

ABAC

ABAC

又因為BC0，

ABAC

所以BAC的角平分線與BC垂直，

即ABC的角平分線與高線合一,

所以ABC為等腰三角形，且ABAC,

ABAC1

又由e1e2e1e2cosBAC，

ABAC2

得BAC，

3

所以ABC是等邊三角形，則ABC的周長為3BC6.

故答案為:6.

四、解答題

13．（2023·全國·高一課堂例題）如圖所示，把一個物體放在傾角為30的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且

受到三個力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的彈力F2．已知|G|100N，求F1，

F2的大小．

【答案】F150N，F(xiàn)2503N．

【詳解】以平行于斜坡方向為x軸，垂直于斜坡方向為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則，．

F1F1,0F20,F2

又由已知可得G100sin30,100cos30(50,503)，

且GF1F20，所以(50,503)F1,00,F2(0,0)，

從而可知F150N，F(xiàn)2503N