高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第01講 有限樣本空間與隨機事件、事件的關(guān)系和運算（解析版）

第01講10.1.1有限樣本空間與隨機事件+10.1.2事件的關(guān)系和運算

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解隨機試驗的概念及特點。

1.數(shù)學(xué)建模：隨機實驗及樣本空間的概念

②理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的

2.邏輯推理：分析隨機實驗的樣本空間

樣本點和樣本空間。

3.數(shù)學(xué)運算：計算隨機實驗的樣本空間

③理解隨機事件、必然事件、不可能事件的

4.數(shù)據(jù)分析：會求所給試驗的樣本點和樣本空間；

概念，并會判斷某一事件的性質(zhì)。

知識點1：有限樣本空間

1.1．隨機試驗

(1)定義：把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗．

(2)特點：①試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；

②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；

③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．

1.2．樣本點和樣本空間

(1)定義：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．

(2)表示：一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點．如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果1，2，…，

n，則稱樣本空間{1,2,n}為有限樣本空間．

、

【即學(xué)即練1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的4個球，其中黑色球2個，記為B1B2，

、

白色球2個，記為W1W2，從袋中任意取2個球，請寫出該隨機試驗一個不等可能的樣本空間：.

【答案】{B1B2,B1W1,B2W1}（答案不唯一）

【詳解】從袋中任取2個球，

共有如下情況B1B2,B1W1,B1W2,B2W1,B2W2,W1W2.

其中一個不等可能的樣本空間為Ω{B1B2,B1W1,B2W1}，

此樣本空間中兩個黑球的情況有1個，一黑一白的情況有2個，是不等可能的樣本空間.

故答案為：Ω{B1B2,B1W1,B2W1}.(答案不唯一)

知識點2：事件的分類

(1)隨機事件：

①我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．

②隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．

③在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生．

(2)必然事件：

作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱

為必然事件．

(3)不可能事件：空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為不可能事件．

知識點3：事件的關(guān)系

3.1包含關(guān)系

一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，

記作：BA(或AB)

圖示

3.2相等關(guān)系

如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，則稱事件A與事件B相等，

記作：AB；

圖示

知識點4：事件的運算

4.1并事件(或和事件)

一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，

我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，

記作：AB(或AB).

圖示：

4.2交事件(或積事件)

一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這

樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)，

記作：AB(或AB).

圖示：

【即學(xué)即練2】（2023上·高一課時練習(xí)）擲一枚骰子，下列事件：A{擲出奇數(shù)點}，B{擲出偶數(shù)點}，

C{點數(shù)小于3}.則①BC；②AB.

【答案】{擲出2點}{擲出1,2,3,4,5,6點}

【詳解】因為A{擲出奇數(shù)點}，B{擲出偶數(shù)點}，C{點數(shù)小于3}，

所以BC{擲出2點}，AB{擲出1,2,3,4,5,6點}.

故答案為：{擲出2點}；{擲出1,2,3,4,5,6點}.

知識點5：互斥事件與對立事件

5.1互斥事件

一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說AB是一個不可能事件，即AB，則稱事

件A與事件B互斥(或互不相容)，符號表示：AB.

圖示：

5.2對立事件

一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即AB，且AB，那么

稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為A，符號表示：AB，且AB.

圖示：

【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若PAB1，則互斥事件A和B的關(guān)系是（）

A．ABB．A,B是對立事件

C．A,B不是對立事件D．AB

【答案】B

【詳解】由題意，事件A與B是互斥事件，則PABPAPB1，

則A,B是對立事件.

故選：B

知識點6：事件的關(guān)系或運算的含義及符號表示

事件的關(guān)系或運算含義符號表示

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AB

并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生AB或AB

交事件(積事件)A與B同時發(fā)生AB或AB

互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生AB

互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生AB，AB

題型01事件類型的判斷

【典例1】（2023上·新疆·高二八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對擲一粒骰子的試驗，在概率論中把“出現(xiàn)零點”稱

為（）

A．樣本空間B．必然事件C．不可能事件D．隨機事件

【答案】C

【詳解】解：對擲一粒骰子的試驗，出現(xiàn)的點數(shù)分別為：1，2，3，4，5，6，

所以在擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)零點是不可能事件，

故選：C．

【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件．其

中為必然事件的是（）．

A．3件都是正品B．至少有1件是次品

C．3件都是次品D．至少有1件是正品

【答案】D

【詳解】12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件，次品的個數(shù)可能為0,1,2，正品

的個數(shù)分別為3,2,1，因此只有“至少有1件正品”一定會發(fā)生，它是必然事件，ABC三個選項中的事件都有

可能不發(fā)生．

故選：D．

【典例3】（多選）（2024上·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件

產(chǎn)品，其中是隨機事件的是（）

A．5件都是正品B．至少有1件次品

C．有3件次品D．至少有3件正品

【答案】AB

【詳解】在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都

是隨機事件，A、B正確，

在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，

則“有3件次品”不是隨機事件，是不可能事件，C錯誤；

在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中取5件，則“至少有3件正品”為必然事件，不是隨機事件，D錯誤.

故選：AB

【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機事件的是（）

A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100C，必會沸騰B．走到十字路口，遇到紅燈

C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為abD．實系數(shù)一元一次方程必有一實根

【答案】B

【詳解】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；

B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；

C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為ab是必然事件；故本選項不符合題意；

D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．

故選：B．

【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球，這些球的大小、質(zhì)

地完全相同，隨機從袋子中摸出4個球，則下列事件是必然事件的是（）

A．摸出的4個球中至少有一個是白球

B．摸出的4個球中至少有一個是黑球

C．摸出的4個球中至少有兩個是黑球

D．摸出的4個球中至少有兩個是白球

【答案】B

【詳解】因為袋中有大小、質(zhì)地完全相同的5個黑球和3個白球，

所以從中任取4個球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種情況.

故事件“摸出的4個球中至少有一個是白球”是隨機事件，故A錯誤；

事件“摸出的4個球中至少有一個是黑球”是必然事件，故B正確；

事件“摸出的4個球中至少有兩個是黑球”是隨機事件，故C錯誤；

事件“摸出的4個球中至少有兩個是白球”是隨機事件，故D錯誤.

故選：B.

【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列現(xiàn)象中，隨機現(xiàn)象有哪些？

（1）某射手射擊一次，射中10環(huán)；

（2）同時擲兩顆骰子，都出現(xiàn)6點；

（3）某人購買福利彩票未中獎；

（4）若x為實數(shù)，則x211.

【答案】（1）（2）（3）

【詳解】某射手射擊一次，射中10環(huán)是隨機事件；

同時擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點是隨機事件；

某人購買福利彩票未中獎是隨機事件；

若x為實數(shù)，則x211是必然事件．

題型02樣本點與樣本空間

【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）寫出下列試驗的樣本空間：

(1)連續(xù)拋擲一枚硬幣2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；

(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加演講比賽，通過抽簽確定演講的順序，記錄抽簽的結(jié)果；

(3)連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察2次擲出的點數(shù)之和；

(4)設(shè)袋中裝有4個白球和6個黑球，從中不放回地逐個取出，直至白球全取出，記錄取球的次數(shù)．

【答案】(1){(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}

(2)答案見解析；

(3){2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；

(4){4,5,6,7,8,9,10}．

【詳解】（1）第一次硬幣向上面與第二次硬幣向上的面構(gòu)成一個樣本點，樣本空間為：

{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}

（2）四個同學(xué)的一個排列構(gòu)成一個樣本點，樣本空間為：

{甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙

丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙

丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙}；

（3）第一枚骰子和第二枚骰子的點數(shù)和構(gòu)成一個樣本點，樣本空間為：

{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；

（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，樣本空間為：{4,5,6,7,8,9,10}．

【典例2】（2023上·高一課時練習(xí)）做投擲2枚均勻骰子的試驗，用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第一

枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)．寫出：

(1)試驗的樣本空間Ω；

(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含的樣本點；

(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的樣本點；

(4)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和等于7”包含的樣本點．

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)

(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)

【詳解】（1）試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，

(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，

(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，

(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，

(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，

(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．

（2）“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含以下10個樣本點：

(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).

（3）“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下6個樣本點：

(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).

（4）“出現(xiàn)點數(shù)之和等于7”包含以下6個樣本點：

(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).

【典例3】（2022·高一課時練習(xí)）指出下列試驗的樣本空間：

(1)從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個的袋子中任取2個小球；

(2)從1，3，6，10四個數(shù)中任取兩個數(shù)(不重復(fù))作差．

【答案】(1){{紅球，白球}，{紅球，黑球}，{白球，黑球}}

(2)9,7,5,4,3,2,2,3,4,5,7,9

【詳解】（1）由題意可得：{{紅球，白球}，{紅球，黑球}，{白球，黑球}}.

（2）由題意可知：132,312；165,615；

1109,1019；363,633；

3107,1037；6104,1064；

即試驗的樣本空間9,7,5,4,3,2,2,3,4,5,7,9．

【變式1】（2023·全國·高一課堂例題）“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點數(shù)是偶數(shù)”記為事件A，試分別寫出

樣本空間及事件A所包含的樣本點．

【答案】答案見解析

【詳解】記“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點數(shù)是k”為kk1,2,3,4,5,6，則

Ω1,2,3,4,5,6，

A2,4,6．

【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）拋擲兩枚硬幣，用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，寫出試驗

的樣本點和樣本空間．

【答案】答案見解析

【詳解】解將第一枚硬幣視為硬幣1，第二枚硬幣視為硬幣2，則試驗有4個樣本點，它們分別是

HH：硬幣1正面朝上，硬幣2正面朝上；

HT：硬幣1正面朝上，硬幣2反面朝上；

TH：硬幣1反面朝上，硬幣2正面朝上；

TT：硬幣1反面朝上，硬幣2反面朝上．

因此，樣本空間Ω{HH,HT,TH,TT}．

【變式3】（2023·高一課時練習(xí)）從兩名男生（記為B1和B2）和兩名女生（記為G1和G2）這四人中依次選

取兩名學(xué)生．

(1)請寫出有放回簡單隨機抽樣的樣本空間；

(2)請寫出不放回簡單隨機抽樣的樣本空間．

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【詳解】（1）有放回簡單隨機抽樣時，樣本空間為：

Ω1B1,B1,B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,B2,B2,G1,B2,G2,

G1,B1,G1,B2,G1,G1,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1,G2,G2,共16個樣本點.

（2）不放回簡單隨機抽樣時，樣本空間為：

Ω2B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G1,G2,

G2,B1,G2,B2,G2,G1,共12個樣本點.

題型03事件的關(guān)系

【典例1】（2023上·河南信陽·高二潢川一中?？茧A段練習(xí)）同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件A，

“向上的面至少有一枚是正面”為事件B，則有()

A．ABB．ABC．ABD．A與B之間沒有關(guān)系

【答案】C

【詳解】由同時拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，

其中事件A{（正，正）}，事件B{（正，正），（正，反），（反，正）}，

所以AB.

故選：C.

【典例2】（2022下·高一課時練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci=“點數(shù)為i”，其中

i1,2,3,4,5,6；D1=“點數(shù)不大于2”，D2=“點數(shù)大于2”，D3=“點數(shù)大于4”；E=“點數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點數(shù)為偶

數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.

（1）C1與C2互斥；（2）C2，C3為對立事件；（3）C3D2；（4）D3D2；（5）D1D2，D1D2；

（6）D3C5C6；（7）EC1C3C5；（8）E，F(xiàn)為對立事件；（9）D2D3D2；（10）D2D3D3

【答案】（1）正確；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）正確；（7）正確；（8）正

確；（9）正確；（10）正確.

【詳解】解：該試驗的樣本空間可表示為1,2,3,4,5,6,

由題意知Cii,D11,2,D23,4,5,6,D35,6,E1,3,5,F2,4,6.

（1）C11,C22,滿足C1C2,所以C1與C2互斥,故正確；

（2）C22,C33,滿足C2C3但不滿足C2C3.所以為互斥事件,但不是對立事件,故錯誤；

根據(jù)對應(yīng)的集合易得,（3）正確；（4）正確；（5）正確；

（6）C5C65,6,所以D3C5C6,故正確；（7）C1C3C51,2,3,故EC1C3C5正確；

（8）因為EF,EF,所以E,F為對立事件,故正確；

（9）正確；（10）正確.

【變式1】（2022下·高一課時練習(xí)）同時拋擲兩枚硬幣，“向上面都是正面”為事件M，“至少有一枚的向上

面是正面”為事件N，則有（）

A．MNB．MNC．M=ND．MN

【答案】A

【詳解】事件N包含兩種結(jié)果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以當(dāng)M發(fā)生時,事件N一定發(fā)生,

則有MN.

故選：A.

【變式2】（2022下·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A{至少1枚正面朝

上}，B{至多2枚正面朝上}，事件C{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（）

A．CABB．CAB

C．CAD．CB

【答案】D

【詳解】記事件D={1枚硬幣正面朝上}，E{2枚硬幣正面朝上}，F(xiàn){3枚硬幣正面朝上}，則ADEF，

BCDE，

顯然CAB，CAB，CB，C不含于A.

故選：D

題型04事件的運算

【典例1】（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點數(shù)，若A表示事件“點

數(shù)大于3”，B表示事件“點數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點數(shù)為5”可以表示為（）

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】B

【詳解】AB表示“點數(shù)為2”，AB表示“點數(shù)5”，AB表示“點數(shù)為3或2或1或4或6”，AB表

示“點數(shù)為1或3或4或5或6”，

故選：B

【典例2】（2022上·海南省直轄縣級單位·高二?？计谀┰O(shè)A，B，C表示三個隨機事件，試將下列事件用

A，B，C表示出來．

(1)三個事件都發(fā)生；

(2)三個事件至少有一個發(fā)生；

(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；

(4)A，B，C中恰好有兩個發(fā)生．

【答案】(1)ABC

(2)ABC

(3)ABC

(4)ABCABCABC

【詳解】解：（1）三個事件都發(fā)生表示為ABC；

（2）三個事件至少有一個發(fā)生表示為ABC；

（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為ABC；

（4）恰好有兩個發(fā)生表示為ABCABCABC．

【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）盒中有標(biāo)號1~3的同樣白球各1個，標(biāo)號1~2的同樣黑球各1個，

從中倒出3個，觀察結(jié)果，寫出樣本空間.

(1)用集合A表示事件“3個都是白球”；

(2)用集合B表示事件“至少2個白球”；

(3)用集合C表示事件“至少1個白球”；

(4)計算AB，AB，A\B，C\B（其中A\B表示屬于集合A，且不屬于集合B），并解釋它們的含義.

【答案】(1)A{abc}；

(2)B{abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf}；

(3)C{abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}；

(4)答案見解析.

【詳解】（1）記標(biāo)號1~3的白球為a，b，c，標(biāo)號1~2的黑球為e，f，

則樣本空間{abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}，

所以A{abc}.

（2）由（1）得B{abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf}.

（3）由（1）得C{abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}.

（4）ABB“至少2個白球”，ABA“3個都是白球”，

A\B“不可能事件”，C\B{aef,bef,cef}“1個白球”．

【變式1】（2023上·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期中）某籃球運動員進行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)

事件A表示隨機事件“兩次都投中”，事件B表示隨機事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機事件“恰有一次

投中”，事件D表示隨機事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系不正確的是（）

A．ADB．BDC．ABBDD．ACD

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意可得：事件A表示表示“兩次都投中”；

事件B表示“兩次都未投中”；

事件C表示“恰有一次投中”；

事件D表示“至少有一次投中”，即表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，

故AD，所以選項A正確；

事件B和事件D是對立事件，故BD，所以選項B正確；

事件AB表示“兩次都投中”或“兩次都未投中”，而事件BD表示“兩次都未投中”、“兩次都投中”或“恰有

一次投中”，故選項C錯誤；

事件AUC表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故ACD，所以選項D正確；

故選：C.

【變式2】（2023上·新疆·高二八一中學(xué)?？计谥校┻B續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時的點數(shù).記事件A{兩次

出現(xiàn)的點數(shù)相同}，事件B{兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為4}，事件C{兩次出現(xiàn)的點數(shù)之差的絕對值為4}，事件

D={兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為6}.

(1)用樣本點表示事件CD，AB；

(2)若事件E1,3,1,5,2,2,2,6,3,1,5,1,6,2，則事件E與已知事件是什么運算關(guān)系？

【答案】(1)CD1,5,5,1，AB1,1,1,3,2,2,3,1,3,3,4,4,5,5,6,6

(2)EB∪C

【詳解】（1）由題意得，事件A1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，

事件B1,3,2,2,3,1，

事件C1,5,2,6,5,1,6,2，

事件D1,5,2,4,3,3,4,2,5,1.

則CD1,5,5,1，AB1,1,1,3,2,2,3,1,3,3,4,4,5,5,6,6；

（2）由（1）知，事件B1,3,2,2,3,1，C1,5,2,6,5,1,6,2，

因為E1,3,1,5,2,2,2,6,3,1,5,1,6,2，

所以EB∪C.

【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）拋擲兩枚骰子，一枚是紅色的，一枚是藍色的．設(shè)A“紅骰子的點

數(shù)是2”，B“藍骰子的點數(shù)是3”．

(1)寫出樣本空間，并用樣本點表示事件A，B；

(2)計算AB；

(3)計算AB．

【答案】(1)答案見解析；

(2)“紅骰子是2點，藍骰子是3點”；

(3)“紅骰子是2點或藍骰子是3點”.

【詳解】（1）用(i,j)表示紅骰子的點數(shù)是i，藍骰子的點數(shù)是j，則試驗的樣本空間是

{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}．

依題意A{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}，B{(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.

（2）AB{(2,3)}“紅骰子是2點，藍骰子是3點”．

（3）AB{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}“紅骰子是2點或藍骰子是3點”．

題型05互斥事件與對立事件的判定

【典例1】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀S一枚骰子，設(shè)事件A：落地時向上

的點數(shù)是奇數(shù)；B：落地時向上的點數(shù)是3的倍數(shù)；C：落地時向上的點數(shù)是2；D：落地時向上的點數(shù)是

2的倍數(shù)，則下列說法中，錯誤的是（）

A．A和B有可能同時發(fā)生B．A和D是對立事件

C．B和C是對立事件D．A和C是互斥事件

【答案】C

【詳解】依題意，事件A{1,3,5},B{3,6},C{2},D{2,4,6}，

對于A，事件A和B有相同的基本事件：點數(shù)3，A正確；

對于B，事件A和D不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，則A和D是對立事件，B正確；

對于C，事件B和C不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，則B和C不是對立事件，C錯誤；

對于D，事件A和C不能同時發(fā)生，它們是互斥事件，D正確.

故選：C

【典例2】（多選）（2024上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，記事件A為“第一次

中靶”，事件B為“至少一次中靶”，事件C為“至多一次中靶”，事件D為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是

（）

A．ABAB．B與C是互斥事件

C．CDD．B與D是互斥事件，且是對立事件

【答案】AD

【詳解】由題意可知，事件為“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中

靶”“兩次都沒有中靶”；

事件B為“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”；

事件C為“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都沒有

中靶”；

事件D為“兩次都沒中靶”；

故ABA，B與C不是互斥事件，B與D是互斥事件，且是對立事件，CD.

故選:：AD.

【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某城市有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，

事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報紙”，事件E為“一種報紙也

不訂”.試判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，判斷它們是不是對立事件.

（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C.

【答案】（1）不互斥；（2）既互斥也對立；（3）不互斥；（4）不互斥；

【詳解】（1）由于事件C“至多訂一種報紙”中，有可能“只訂甲報”，即事件A與C有可能同時發(fā)生，故A

與C不是互斥事件.

（2）事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故B與E是互斥事件，又

因市民要么“至少訂一種報紙”，要么“一種也不訂”，故B與E是對立事件.

（3）事件B“至少訂一種報紙”中，有可能“只訂乙報紙”，即有可能“不訂甲報紙”，即事件B發(fā)生，事件D

也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件.

（4）事件B“至少訂一種報紙”中，有這些可能：“只訂甲報紙”“只訂乙報紙”“訂甲、乙兩種報紙”；事件C“至

多訂一種報紙”中，有這些可能：“什么報紙也不訂”“只訂甲報紙”“只訂乙報紙”，

由于這兩個事件可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件.

【變式1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知事件M表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件N表示“3粒種子都不發(fā)

芽”，則M和N（）

A．是對立事件B．不是互斥事件

C．互斥但不是對立事件D．是不可能事件

【答案】C

【詳解】事件M表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件N表示“3粒種子都不發(fā)芽”，

所以事件M和事件N不會同時發(fā)生，是互斥事件，

因為3粒種子可能只發(fā)芽1粒，

所以事件M和事件N可以都不發(fā)生，則M和N不是對立事件.

故選：C

【變式2】（2024上·遼寧鐵嶺·高一?？计谀仈S一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機事件：E“點數(shù)為奇數(shù)”，

F“點數(shù)為偶數(shù)”，G“點數(shù)大于2”，H“點數(shù)不大于2”，R“點數(shù)為1”.則下列結(jié)論不正確的是（）

A．E，F(xiàn)為對立事件B．G，H為互斥不對立事件

C．E，G不是互斥事件D．G，R是互斥事件

【答案】B

【詳解】E，F(xiàn)是對立事件，選項A正確；G，H為互斥且對立事件，選項B不正確；

E，G不互斥，選項C正確；G，R為互斥事件，選項D正確.

故選：B.

【變式3】（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加

演講比賽，事件“至少1名女生”與事件“全是男生”（）

A．是互斥事件B．不是互斥事件C．是對立事件D．不是對立事件

【答案】AC

【詳解】從3男2女中人選2名同學(xué)，一共會出現(xiàn)的抽取情況為：2男，或者2女，或者1男1女，

至少一名女生包括一名或兩名女生，全是男生相當(dāng)于女生數(shù)為零，兩者間是互斥事件也是對立事件.

故選：AC

A夯實基礎(chǔ)B能力提升

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2024上·山東濰坊·高二臨朐縣第一中學(xué)期末）一個口袋中裝有3個白球和3個黑球，下列事件中，是獨

立事件的是（）

A．第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球

B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球

C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球

D．一次摸兩個球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球

【答案】B

【詳解】解：對于選項A，第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球，是互斥事件不是獨立事件；

對于選項B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，兩者不受影響，是獨立事件；

對于選項C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影響，不是獨立

事件；

對于選項D，一次摸兩個球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球，有影響，不

是獨立事件，

故選：B.

2．（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）一副撲克牌（含大王、小王）共54張，A，2，3，4，5，6，7，8，

9，10，J，Q，K各4張，從該副撲克牌中隨機取出兩張，事件A“取出的牌有兩張6”，事件B“取出的

牌至少有一張黑桃”，事件C“取出的牌有一張大王”，事件D=“取出的牌有一張紅桃6”，則（）

A．事件A與事件D互斥B．事件B與事件C互斥

C．事件B與事件D互斥D．事件A與事件C互斥

【答案】D

【詳解】ABC選項，因為事件A與事件D，事件B與事件C，事件B與事件D都可以同時發(fā)生，所以A，B，

C錯誤.

D選項，因為取出的牌有兩張6的同時不可能再有一張大王，所以事件A與事件C互斥.

故選：D

3．（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲兩次，下列事件中與事件“至少一

次正面向上”互為對立事件的是（）

A．至多一次正面向上B．兩次正面都向上

C．只有一次正面向上D．兩次都沒有正面向上

【答案】D

【詳解】將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲兩次，有：正正，正反，反正，反反，共4種可能，

事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，

對A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，與事件“至少一次正面向上”不是對立事件；

對B：事件“兩次正面都向上”即：正正，與事件“至少一次正面向上”不是對立事件；

對C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，與事件“至少一次正面向上”不是對立事件；

對D：事件“兩次都沒有正面向上”即：反反，與事件“至少一次正面向上”是對立事件.

故選：D.

4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對

立的兩個事件是（）

A．至少有一個白球；都是白球B．至少有一個白球；至少有一個紅球

C．至少有一個白球；紅?黑球各一個D．恰有一個白球；一個白球一個黑球

【答案】C

【詳解】對于A，至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，A不是；

對于B，至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，B不是；

對于C，至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩

個事件，C是；

對于D，恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，D不是.

故選：C

5．（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點數(shù)，若A表示事件“點數(shù)大于

3”，B表示事件“點數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點數(shù)為5”可以表示為（）

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】B

【詳解】AB表示“點數(shù)為2”，AB表示“點數(shù)5”，AB表示“點數(shù)為3或2或1或4或6”，AB表

示“點數(shù)為1或3或4或5或6”，

故選：B

6．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高二?？计谀恼暹呅蔚奈鍌€頂點中，隨機選擇三個頂點連成三角形，記“這

個三角形是等腰三角形”為事件A，則下列推斷正確的是（）

11

A．事件A發(fā)生的概率等于B．事件A發(fā)生的概率等于

45

C．事件A是不可能事件D．事件A是必然事件

【答案】D

【詳解】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，可知任取三個頂點連成的三角形一定是等腰三角形，

所以事件A是必然事件．

故選：D．

7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）對滿足AB的非空集合A、B，有下列四個命題：

①“若任取xA，則xB”是必然事件；②“若xA，則xB”是不可能事件；

③“若任取xB，則xA”是隨機事件；④“若xB，則xA”是必然事件.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【詳解】①：因為AB，xA，所以xB，因此“若任取xA，則xB”是必然事件，故本命題是真

命題；

②：當(dāng)集合A是集合B的真子集時，顯然存在一個元素在集合B中，不在集合A中，

因此“若xA，則xB”是隨機事件，故本命題是假命題；

③：任取xB，當(dāng)集合A是集合B的真子集時，xA有可能成立，也可能不成立，

因此“若任取xB，則xA”是隨機事件,故本命題是真命題；

④：因為xB，所以一定有xA，顯然“若xB，則xA”是必然事件，故本命題是真命題．

因此①③④為真命題.

故選：B

8．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，事件M：向上的點數(shù)為奇數(shù)；事件

N：向上的點數(shù)是6，則事件M與事件N（）

A．既互斥又對立B．互斥但不對立C．對立但不互斥D．既不互斥也不對立

【答案】B

【詳解】由題意知事件M：向上的點數(shù)為奇數(shù)；事件N：向上的點數(shù)是6，

則事件M與事件N不會同時發(fā)生，故二者互斥，

當(dāng)M不發(fā)生時，N也不一定發(fā)生，因為可能是投擲出向上的點數(shù)為2或4，

故二者不對立，

故選：B

二、多選題

9．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？计谥校⒁幻顿|(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝

上的點數(shù)，設(shè)事件A“記下的點數(shù)為3”，事件B“記下的點數(shù)為偶數(shù)”，事件C“記下的點數(shù)小于3”，事

件D=“記下的點數(shù)大于2”，則（）

A．事件A與B互斥B．事件A與C互斥

C．事件B與D對立D．事件C與D對立

【答案】ABD

【詳解】依題意骰子面朝上的點數(shù)可能為1、2、3、4、5、6共6個基本事件，

則事件B“記下的點數(shù)為偶數(shù)”包含2、4、6共3個基本事件，

事件C“記下的點數(shù)小于3”包含1、2共2個基本事件，

事件D=“記下的點數(shù)大于2”包含3、4、5、6共4個基本事件，

所以事件A與B互斥，故A正確；

事件A與C互斥，故B正確；

事件B與D不互斥也不對立，故C錯誤；

事件C與D互斥且對立，故D正確；

故選：ABD

10．（2023上·廣東湛江·高二?？奸_學(xué)考試）下列四個命題中，是真命題的是（）

A．若事件A,B是互斥事件，則A,B是對立事件

B．若事件A,B是對立事件，則A,B是互斥事件

C．若事件A是必然事件，則PA1

D．若事件A,B是互斥事件，則PAB1

【答案】BC

【詳解】對于A，互斥事件不一定是對立事件，故A選項不符合題意，

對于B，對立事件一定是互斥事件，故B選項符合題意，

對于C，因為事件A是必然事件，所以PA1，故C選項符合題意，

對于D，若事件A,B是互斥事件，則只有當(dāng)事件A,B是對立事件時才有PAB1，故D選項不符合題意.

故選：BC.

三、填空題

11．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機選取1張，記錄它的花

色．事件A表示隨機事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示隨機事件“抽出的牌是紅心”，事件C表示隨機事

件“抽出的牌是方片”，事件D表示隨機事件“抽出的牌是草花”，下列說法中正確的序號是．

（1）A，B，C，D彼此互斥；

（2）A與D，B與C是對立事件；

（3）A的對立事件是BCD；

（4）AB的對立事件為CD；

（5）AUC與BD為互斥事件，但不是對立事件．

【答案】（1）（3）（4）．

【詳解】（1）A，B，C，D四個事件只能發(fā)生一個，不可能有兩個同時發(fā)生，它們彼此互斥，（1）正確；

（2）當(dāng)B發(fā)生時，A和D都不發(fā)生，因此A,D不是對立事件，（2）錯；

（3）事件A和事件BCD不可能同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，它們是對立事件，（3）正確；

（4）事件AB和事件CD不可能同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，它們是對立事件，（4）正確；

（5）事件AUC和事件BD不可能同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，它們是對立事件，（5）錯誤．

故答案為：（1）（3）（4）．

12．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關(guān)Ⅰ

閉合”“開關(guān)Ⅱ閉合”“開關(guān)Ⅲ閉合”，則A＝.(用B，C，D間的運算關(guān)系式表示)

【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)

【詳解】燈亮必須形狀開關(guān)I閉合，開關(guān)II和III中至少有一個閉合，

因此AB(CD)．

故答案為：B(CD)．也可寫成：(BC)(BD)．

四、解答題

13．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)A，B，C表示三個隨機事件，試將下列事件用A，B，C表示出來．

(1)三個事件都發(fā)生；

(2)三個事件至少有一個發(fā)生；

(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；

(4)A，B，C中恰好有兩個發(fā)生．

【答案】(1)ABC

(2)ABC

(3)ABC

(4)ABCABCABC

【詳解】解：（1）三個事件都發(fā)生表示為ABC；

（2）三個事件至少有一個發(fā)生表示為ABC；

（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為ABC；

（4）恰好有兩個發(fā)生表示為ABCABCABC．

14．（2023下·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）已知某校高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為

180，120，120．現(xiàn)采用樣本按比例分配的分層隨機抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)去敬老院參加獻愛心活動．

(1)應(yīng)從高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？

(2)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從該7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院

衛(wèi)生打掃工作．設(shè)7名同學(xué)中來自高一的3人分別為A，B，C，記事件M“抽取的兩名同學(xué)中至少有一名

來自高一年級”，試用所給字母寫出事件