2024-2025學年浙江省麗水市發(fā)展共同體高一（下）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省麗水市發(fā)展共同體高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)z滿足z2?i=2i，則z的虛部為(

)A.?4 B.?4i C.4 D.4i2.已知向量a,b滿足a+b=(2,3),A.?2 B.?1 C.0 D.13.已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為(

)A.2 B.22 C.4 4.在△ABC中，已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，a2?c2=ab?A.π6 B.π3 C.2π35.設復數(shù)z滿足z+2z=6+i(i是虛數(shù)單位)，則復數(shù)z在復平面內所對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n

B.若m//α，m//β，則α//β

C.若α∩β=n，m//α，m//n，則m//β

D.若m，n為異面直線，且m?α，n?β，α∩β=l，則l與m，n中至少一條相交7.在等腰△ABC中，BC=2，點P在底邊BC(包括端點)上運動，設PA?PC的最小值為m，最大值為M，則(

)A.m不是定值，M是定值 B.m是定值，M不是定值

C.m是定值，M是定值 D.m不是定值，M不是定值8.如圖所示，等邊△ABC內有3個全等的小三角形，且EF=2，tan∠ABE=32，則△ABC的面積為A.7

B.73

C.14

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數(shù)z，z1，其中i為虛數(shù)單位，則以下命題正確的是(

)A.若z1=2z，則z1?=2zC.若z1=z+iz，則|z1|=10.已知平面向量a，b，c都是單位向量，且a?b=tcA.若a?b=1，則t=0

B.若t=2，則a//b

C.若t=1，則a?b=?1211.在正四棱錐P?ABCD中，AB=2，PA=6，過AB的平面α(不與底面重合)與側棱PC，PD分別交于點E，F(xiàn)，且平面α將四棱錐P?ABCD分成上下兩個部分的體積分別為V1，V2A.AF//BE

B.CD//EF

C.若E是PC的中點，則V1V2=35

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復數(shù)(2?i)(a+i)是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)a的值為______．13.在正四棱臺ABCD?A1B1C14.在△ABC中，已知∠A=2∠B，AB=2，△ABC的面積是15，則AB邊上的中線長是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3sinx,cosx)，x∈[0,π2]．

(1)若a//b，求x的值；

(2)16.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB=2，B1B=3，D是棱AC的中點．

(1)求證：AB1//平面17.(本小題15分)

在△ABC中，已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且asinB=bcosA2．

(1)求A；

(2)若a=3，sinBsinC=118.(本小題17分)

如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=4，AD=3，E是BC邊上一點(含端點)，AE與BD交于點F，設AE=xAB+yAD，x，y∈R．

(1)若E與點C重合，求x，y的值；

(2)若x=23，求|AF||AE|的值；19.(本小題17分)

祖暅是南北朝時期偉大的數(shù)學家，5世紀末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，現(xiàn)有以下三個幾何體：半徑為R的半球，底面半徑和高均為R的圓錐與圓柱，體積分別記為V半球，V圓錐，V圓柱．

(1)寫出V半球，V圓錐，V圓柱三者之間的關系；

(2)過半徑上一點A，且平行于半球大圓的平面將半球分割成兩部分，位于上方的部分稱為“球缺”.根據(jù)祖暅原理，其體積為一個圓柱的體積減去一個圓臺的體積.當點A為半徑中點時，求解下面兩個問題：

i)求截得的“球缺”的體積；

參考答案1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】?113.【答案】13314.【答案】1915.解：(1)由a//b，得cos2x?3sin2x=0，即tan2x=13，

∵x∈[0,π2]，∴tanx=33，∴x=π6；

(2)f(x)=a?b=3sinxcosx+sinxcosx=2sin2x，

∵x∈[0,π2]，

根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知，x=π4時，f(x)取得最大值為2．

16.解：(1)證明：根據(jù)題目：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，

已知AB=2，B1B=3，D是棱AC的中點．

連接B1C，交BC1于點E，則E為B1C中點，連接DE，如圖所示，

在△AB1C中，因為D，E17.解：(1)因為asinB=bcosA2，

所以由正弦定理得：sinAsinB=sinBcosA2，

因為sinB≠0，所以sinA=cosA2．

所以2sinA2cosA2=cosA2，

因為A∈(0,π)，所以A2∈(0,π2)，

所以cosA2≠0，所以sinA2=12，所以A2=π6，即A=π3；

(2)由正弦定理得：bsinB=csinC=asinA=2，

所以b=2sinB，c=2sinC，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2sinB×2sinCsinA=3?sinBsinC=34，

所以△ABC的面積為34．

18.解：(1)由點E與點C重合，AB=2CD，

可得AE=AC=AD+DC=12AB+AD，

由題意，AE=xAB+yAD，

根據(jù)平面向量基本定理，

可知x=12，y=1；

(2)由AE=23AB+yAD=23AB+y(AC+CD)=(23?y2)