信號與系統(tǒng)課件 第20講學(xué)習(xí)資料

信號與系統(tǒng)第20講教材位置:第9章拉普拉斯變換

§9.8-§9.9內(nèi)容概要:系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示； 單邊拉普拉斯變換2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講2開講前言－前講回拉普拉斯變換用于系統(tǒng)特性的分析系統(tǒng)特性：因果性穩(wěn)定性微分方程表示的系統(tǒng)的分析系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)收斂域與系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性分析舉例巴特沃斯濾波器設(shè)計從系統(tǒng)函數(shù)的約束性要求到系統(tǒng)方程的推導(dǎo)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講3開講前言－本講導(dǎo)入拉普拉斯變換在系統(tǒng)分析中作用頻率特性分析穩(wěn)定性分析因果性分析拉普拉斯變換在系統(tǒng)模擬與設(shè)計中作用用功能單元描述系統(tǒng)（框圖法）根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)或微分方程，作出框圖根據(jù)功能需求構(gòu)造框圖，求出系統(tǒng)函數(shù)或方程2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講42025/4/304§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示1、系統(tǒng)模擬基本單元加法器框圖運算關(guān)系x1(t)X1(s)X2(s)x2(t)y(t)Y(s)

y(t)=x1(t)+x2(t)Y(s)=X1(s)+X2(s)

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講52025/4/305§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示乘法器框圖運算關(guān)系x(t)X(s)ay(t)Y(s)y(t)=ax(t)Y(s)=aX(s)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講62025/4/306§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示

∫x(t)y(t)y(0)∫x(t)y(t)

X(s)1sy(0)sY(s)Y(s)X(s)1s2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講72025/4/307§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示2、模擬框圖－直接模擬一階系統(tǒng)模擬設(shè)y’+a0y=x，改寫成y’=x-a0y，拉普拉斯變換為sY(s)=X(s)–a0Y(s)。X(s)sY(s)Y(s)1s1sy(0)∫x(t)y(t)

-a0y’(t)

y(0)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講82025/4/308§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示二階系統(tǒng)模擬設(shè)y’’+a1y’+a0y=x改寫得y’’=x－a1y’

－a0y∫xy(t)

-a1y’’y’∫-a02025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講92025/4/309§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示∫xy(t)

-an-1y’’y’-a0y(n)∫∫y(n-1)-a1n階系統(tǒng)框圖y(n)+an-1y(n-1)+----+a1y’+a0y=x或y(n)=x－an-1y(n-1)－----－a1y’－a0y2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講10§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示方程中含有x的導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)的模擬設(shè)y’’+a1y’+a0y=b1x’+b0x

X(s)

-a11/s-a0Y(s)1/sZ(s)X(s)

-a11/s-a0Y(s)1/s

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講112025/4/3011§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示方程中含有x的導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)的模擬設(shè)y’’+a1y’+a0y=b1x’+b0x，引用一輔助函數(shù)，使q(t)=y’’+a1y’+a0y=b1x’+b0x可得：x=q’’+a1q’+a0q，y=b1q’+b0q輔助函數(shù)的正確性可以在復(fù)頻域很方便的確認?！襵q

-a1q’’q’∫-a0

b0b1y2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講122025/4/3012§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示2、模擬框圖－并聯(lián)模擬對于復(fù)雜系統(tǒng)，直接模擬網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜，隔離性不好將系統(tǒng)函數(shù)進行部分分式展開，寫成求和方式模擬框圖可以并聯(lián)表示2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講132025/4/3013§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示例如其中各個單元11-2

1s+1

1s+3

1s+4

X(s)Y(s)y’+ay=x∫x(t)y(t)

-a0y’(t)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講142025/4/3014§9.8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示2、模擬框圖－級聯(lián)模擬X(s)Y(s)H1(s)H2(s)H3(s)

-3

1s12-X(s)Y(s)并聯(lián)系統(tǒng)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講152025/4/3015補充：信號流圖1、信號流圖的定義和意義問題提出轉(zhuǎn)移函數(shù)的求取是系統(tǒng)分析重要的問題多回路、多節(jié)點復(fù)雜情況下，輸入－輸出法推導(dǎo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)不易信號流圖方式可以簡化這個過程信號流圖定義包括結(jié)點、路徑以及標注在路徑上的傳輸值的模擬圖結(jié)點代表信號變量，同時兼有加法器功能路徑連接結(jié)點表示信號變量間的因果關(guān)系路徑方向是信號流動的方向，起點是因，終點是果傳輸值是兩個變量之間的轉(zhuǎn)移函數(shù)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講162025/4/3016補充：信號流圖例：一個簡單系統(tǒng)模擬圖的信號流圖表示X(s)Y(s)

-a0sY(s)1sX(s)1sY(s)1sY(s)1Y(s)-a02025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講172025/4/3017補充：信號流圖2、基本術(shù)語結(jié)點－表示信號變量的點支路－表示信號變量之間的因果關(guān)系支路傳輸值－支路變量之間的轉(zhuǎn)移函數(shù)入支路－流向結(jié)點的支路出支路－流出結(jié)點的支路源結(jié)點－僅有出支路的結(jié)點，一般表示輸入激勵信號匯結(jié)點－僅有入支路的結(jié)點，一般表示輸出響應(yīng)信號閉環(huán)－信號流經(jīng)的閉合路徑自環(huán)－僅有一條支路的閉環(huán)前向路徑－源結(jié)點到匯結(jié)點不含任何環(huán)路的信號流通路徑2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講182025/4/3018補充：信號流圖3、信號流圖構(gòu)造視察法構(gòu)圖步驟－適應(yīng)簡單系統(tǒng)由電路圖找出從輸入信號到輸出信號的流程及流程中的各有關(guān)信號變量；找出各信號變量間相互的傳輸函數(shù)；用結(jié)點表示各信號變量。用支路表示信號流向及傳輸值并按信號的流程相連接。2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講192025/4/3019補充：信號流圖例：電路形式信號變量與流程傳輸函數(shù)信號流圖+-E(s)sLR2Il(s)R1I2(s)+-U1(s)1sCU

(s)+-E(s)I1(s)U1(s)I2(s)U(s)

E(s)I1(s)U1(s)I2(s)U(s)U(s)1R11R1-sL-sLsC-sCR212025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講202025/4/3020補充：信號流圖根據(jù)電路方程作圖－適應(yīng)復(fù)雜系統(tǒng)復(fù)雜系統(tǒng)不易分清結(jié)點和回路的電流電壓關(guān)系用矩陣形式的代數(shù)方程描述電路的電流電壓關(guān)系信號流圖可以通過其代數(shù)方程組來建立過程中需要經(jīng)過變換，使每一變量表示為各個變量和激勵的線性組合。對于電路方程組Ax=Kex為變量矩陣,A、K為方程中相應(yīng)系數(shù)矩陣。上式兩邊同加以矩陣x，則有Ax+x=Ke+x整理后可得x=-Ke+(A+I)x=[-KA+I]式中I為單位矩陣ex2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講212025/4/3021補充：信號流圖例：設(shè)一連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方程為系數(shù)矩陣為：矩陣運算得：改寫后得：畫出信號流圖整理后得2-24ex1x2x32-1112-1eex1x3x2x2122-112411-1-22025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講222025/4/3022補充：信號流圖4、信號流圖的化簡支路串聯(lián)順向的支路串連可以合并為一條支路，等效傳輸值等于各個串聯(lián)支路傳輸值的乘積。原支路等效支路H1H2H3

X1X2X3X4

X1X4

H1H2H3

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講232025/4/3023補充：信號流圖支路并聯(lián)若干支路并聯(lián)，可以用一條等效支路代替，等效傳輸值等于各個并聯(lián)支路傳輸值的和原支路等效支路X1H2X2

H1H3

X1X2

H1+H2+H3

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講242025/4/3024補充：信號流圖節(jié)點消除連接結(jié)點消除后，在結(jié)點之間構(gòu)筑新的支路，新支路的傳輸值為前后結(jié)點間通過被消除結(jié)點的各順向支路傳輸值的乘積原支路等效支路X1X0

a1X2

a3a2

X3

X1X0

a1X2a3a2X3

X1X3X2X4

a1a3a2a4

X0

X1a1X2a3a2

X3

a1X1a3X2a3a2X3

a1X1X3X2X4

a1a3a2a4

a2a3

a1a42025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講252025/4/3025補充：信號流圖自環(huán)消除傳輸值為t的自環(huán)消除后，該結(jié)點所有入支路的傳輸值除以（1－t）的因子原支路等效支路a1a2

t

X1X2

X0X1X3

X2

X0t

a1a3

a2

X1X2

X0X1X3

X2

X02025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講262025/4/3026補充：信號流圖化簡例1化簡流圖例2消I1消自環(huán)消U1消自環(huán)

X1

X2

X0

ab

c

消去X0

X1X2

ab

消自環(huán)

X1X2

bc

1ss11-1-s-sEI1U1I2UU

s11

-s-sEU1I2UU-ss11EU1I2UUs-s

11EI2UU-s

11EI2UU2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講272025/4/3027補充：信號流圖消自環(huán)消I2消自環(huán)

11EI2UUEUU1EU2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講282025/4/3028補充：信號流圖5、梅森（Mason）公式化簡流圖合并結(jié)點不難，但是計算總傳輸值不容易梅森公式可以解決這個問題公式表達式HXY－源結(jié)點X至非源結(jié)點Y的總傳輸值

n－源結(jié)點X至非源結(jié)點Y的正向傳輸路徑數(shù)GK－源結(jié)點X至非源結(jié)點Y的第K條正向傳輸路徑的傳輸值△－信號流圖的特征行列式＝1－（各環(huán)的傳輸值之和）＋（所有的任取兩個互不接觸環(huán)的傳輸值乘積之和）－（所有的任取三個互不接觸環(huán)的傳輸值乘積之和）…..△K－與第k條正向傳輸路徑不接觸部分的流圖的△值【互不接觸】指圖的兩部分間沒有公共的結(jié)點2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講292025/4/3029補充：信號流圖例1求共有4環(huán)其中只有L1

和L3

互不接觸有2條正向傳輸路徑：由于各環(huán)都與正向傳輸路徑G1相接觸只有環(huán)路L2不與正向傳輸路徑G2相接觸總傳輸值

X0mX1aX2bX3cX4X4

def1gL1=ad

L2=beL3=cfL4=gfed2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講302025/4/3030補充：信號流圖例2求流圖沒有變化，△不變有2條正向傳輸路徑△1＝1（各環(huán)都與正向傳輸路徑mab有公共結(jié)點）△2＝1（各環(huán)都與正向傳輸路徑mgf有公共結(jié)點）所求傳輸值

X0mX1aX2bX3cX4

defg2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講31§9.9單邊拉普拉斯變換O.單邊拉普拉斯變換定義雙邊拉普拉斯變換積分限改為（0，∞），即單邊拉普拉斯變換1.單邊拉普拉斯變換舉例(1)由階躍函數(shù)限定的單邊信號，單雙邊拉普拉斯變換一樣2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講32§9.9單邊拉普拉斯變換(2)非因果信號，單雙邊拉普拉斯變換不同(3)原點突變信號的單雙邊拉普拉斯變換(4)單邊拉普拉斯反變換如果是計算雙邊拉普拉斯反變換，需給出ROC2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講33§9.9單邊拉普拉斯變換2.單邊拉普拉斯變換性質(zhì)信號單邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換線性S域平移時域尺度變換共軛卷積時域微分S域微分時域積分初值終值2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講34§9.9單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換性質(zhì)的主要差別卷積性質(zhì)：需要兩個信號都是因果的，時域卷積才等于s域乘積時域微分：單邊變換需要減去信號的初值，雙邊變換不需要對于因果系統(tǒng)的分析單位沖激響應(yīng)就是一個因果信號單雙邊拉普拉斯變換分析結(jié)果相同利用單邊拉普拉斯變換求解系統(tǒng)微分方程可以直接代入初值，一次完成系統(tǒng)響應(yīng)的求解2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講35§9.9單邊拉普拉斯變換3.利用單邊拉普拉斯變換求解微分方程零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)自然響應(yīng)受迫響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講362025/4/3036補充：電路方程的s域分析分析設(shè)激勵為e(t)，響應(yīng)為i(t)寫出系統(tǒng)的微積分方程根據(jù)微分性質(zhì)iL(0-)是電感中的初始電流根據(jù)積分性質(zhì)uC(0-)是電容中的初始電壓微積分方程的拉普拉斯變換+-e(t)LRil(0)C+-uc(0)i2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講372025/4/3037補充：電路方程的s域分析整理后得到復(fù)頻域響應(yīng)時域響應(yīng)通過拉普拉斯反變換得到求解特點一次求得全響應(yīng)初始狀態(tài)看作等效電源i(t)=L

-1{I(s)}L-LiL(0)δ(t)+C+CuC(0)ε(t)-2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講382025/4/3038補充：電路方程的s域分析例題：已知e(t)=10(t)，C=1F,R12=(1/5),R2=1,L=1H,初始狀態(tài)為uc(0-)=-5V,iL(0-)=4A,方向如圖所示。試求響應(yīng)電流i1(t)。解：列方程求拉普拉斯變換整理代入?yún)?shù)+-e(t)LR12ilC|+uc(0-)R2iL(0-)i22025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講392025/4/3039補充：電路方程的s域分析運用行列式求解I1(s)求拉普拉斯反變換N元方程組求解，克拉默法則，輸入列向量替換參數(shù)矩陣第一列2025/4/30信號與系統(tǒng)－第20講402025/4/3040補充：電路方程的s域分析復(fù)頻域的電路模型電阻支路電路模型電路方程+-RuR(t)iR(t)(a)時域電路uR(t)=RiR(t)+-RUR(s)IR(s)(b)s