2024-2025學(xué)年湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校高一下學(xué)期4月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知{e1,e2}為基底，設(shè)向量AB=e1?ke2，CB=2eA.?4 B.?2 C.2 D.32.若復(fù)數(shù)z=21+i，則|z?2i|=(

)A.2 B.2 C.10 3.角α以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為13，則sinα?1cos2αA.?97 B.?67 C.4.如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′=6cm，C′D′=2cm，則原圖形OABC的面積是(

)cm2．

A.12 B.122 C.24 5.享有“天下江山第一樓”美譽(yù)的黃鶴樓位于湖北武漢，地處蛇山之巔，瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江，更因歷代詩(shī)人登樓作詩(shī)而名聞天下.如圖，某同學(xué)為測(cè)量黃鶴樓的高度MN，在黃鶴樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為26m，在地面上點(diǎn)C處(B,C,N三點(diǎn)共線)測(cè)得建筑物頂部A，黃鶴樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角為15°，則黃鶴樓的高度約為(

)

A.48m B.51m C.52m D.54?m6.已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|，且，則a與A.π6 B.π3 C.2π37.設(shè)函數(shù)f(x)=2sinωx，|f(x1)?f(x2)|=4A.3 B.4 C.5 D.68.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且2CD=DB，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)AE=λAB，AF=μAC，(λ>0,μ>0)，則A.1+33 B.1+233二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.z的虛部是i B.z的共軛復(fù)數(shù)是1?i

C.z?z=|z10.已知向量a=(λ,1)，b=(1,?2)，記向量a，b的夾角為θ，則(

)A.若θ為鈍角，則λ<2 B.若θ為銳角，則λ>2

C.當(dāng)λ=?2時(shí)，θ為直角 D.當(dāng)λ=?12時(shí)，11.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用(圖1)，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理(圖2).若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米(圖3)，已知水輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖3中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)t秒后點(diǎn)P距離水面的高度為?米，下列結(jié)論正確的有(

)

A.?關(guān)于t的函數(shù)解析式為?=2sin(π6t?π6)+1(t≥0)

B.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí)5秒

C.點(diǎn)P再次接觸水面需用時(shí)8秒

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)ω=?12+3213.已知=OA(2,3)，OB=(1,2)，OC=(3,1)，點(diǎn)M在直線OC上運(yùn)動(dòng)，則MA?14.直線x=t與曲線y=sinx和曲線y=cos(x+φ)分別相交于點(diǎn)M，N．

(1)若φ=0，則|MN|的最大值為

;

(2)若|MN|的最大值為3，則φ四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知向量a，b滿足a=(1,2)，(1)求|2(2)求a+b與a(3)求向量a?2b在向量b16.(本小題15分)已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，且z+2i和z2?i均為實(shí)數(shù)，其中i(1)求向量OZ(2)若z1=z+17.(本小題15分)

如圖所示，四邊形地塊ABCD是東湖畔擬建造的一個(gè)露營(yíng)基地.為考慮露營(yíng)客人娛樂(lè)休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊AB，BC，CD，DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護(hù)欄，其中CD=100米，BC=200米，∠A=π3．(1)如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為240014(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉觀賞區(qū)的周長(zhǎng)盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道AB和DA?18.(本小題17分)已知a=(cosx+sinx,2(1)求函數(shù)f(x)的解析式及對(duì)稱中心;(2)若f(α2+7π24)=(3)在銳角△ABC中，角A，B，C分別為a，b，c三邊所對(duì)的角，若b=3，f(B)=1，求△ABC19.(本小題17分)如圖示，矩形ABCD中，點(diǎn)P，Q分別是邊DC，BC上的兩點(diǎn)，AB=3，AD=2．(1)設(shè)DP=λDC，CQ=λCB，0≤λ≤1(2)若∠PAQ=π4，求AP(3)若DP=12PC，連接AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，Q為BC的中點(diǎn)，試探究線段AB上是否存在一點(diǎn)H，使得∠THQ最大.若存在，求BH的長(zhǎng);若不存在，說(shuō)明理由．參考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.C

6.B

7.A

8.D

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.0

13.311014.2；2kπ+π15.解：(1)因?yàn)橄蛄縜，b滿足a=(1,2)，b=(?3,?1)，

所以2a+3b=2(1,2)+3(?3,?1)=(2,4)+(?9,?3)=(?7,1)，

故|2a+3b|=(?7)2+1=52；

(2)因?yàn)閍+b=?2,1，a?b=(4,3)，

所以(a+b)·(a?b)=?8+3=?5，

16.解：(1)設(shè)=a+bi(a,b∈R)，則由z+2i=a+(b+2)i為實(shí)數(shù)，∴b+2=0，∴b=?2．則由z2?i=a+bi2?i=∴z=4?2i，

∴(2)z又∵z1∴4m?3m?1∴?2<m<34或1<m<32．

17.解：(1)S△BCD=12BC?CD?sinC=12×100×200×sinC=240014，

解得sinC=61425，

所以cosC=±1125，

當(dāng)cosC=1125時(shí)，

BD=BC2+CD2?2BC?CD?cosC

=1002+2002?2×100×200×1125=10324=180，

當(dāng)cosC=?1125時(shí)，

BD=BC2+CD2?2BC?CD?cosC

=18.解：(1)因?yàn)閍=(cosx+sinx,2sinx)，b=(cosx?sinx,3cosx)，

所以f(x)=a?b=cos2x?sin2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，

即函數(shù)的解析式為f(x)=2sin(2x+π6)，

所以對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足2x+π6=kπ，k∈Z，解得x=kπ2?π12，k∈Z，

所以函數(shù)的對(duì)稱中心(kπ2?π12,0)，k∈Z.

(2)因?yàn)閒(α2+7π24)=65，所以2sin(α+7π12+π6)=2sin(α+3π4)=219.解：(1)由AB=3，AD=2，

故DP=λDC=3λ，CQ=λCB又矩形ABCD，

所以AP?AQ=0+2(2?2λ)+3λ·3+0=5λ+4，由0≤λ≤1，故AP?(2)如圖所示，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)∠QAB=α∈0,π4則Q3,3tanαAP?AQ=121+?1221+當(dāng)且僅當(dāng)21+tanα=tan即AP?AQ的最小值為(3)如圖所示，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，

由題意可得P(1,2)，Q(3,1)，TC=