安徽省合肥市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期三模試題含答案

安徽省合肥市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期三模試題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號(hào)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法，結(jié)合交集的定義即可求解.【詳解】由，得，所以，由，得，解得，所以.故選：B.2.已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，列出方程求解即可．詳解】由得，，即，解得，故選：B．3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若與獨(dú)立，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】分別求出，，，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求解.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，則基本事件總數(shù)為，事件“n次中至多有一次反面朝上”，則n次全部正面朝上或n次中恰有1次反面朝上，則，事件“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，則，于是，因?yàn)锳與B獨(dú)立，所以，即，分別代入，3，4，5，驗(yàn)證，可得符合題意.故選：B4.在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，是異面直線， B.，是相交直線，C.，是異面直線，與不垂直 D.，是相交直線，與不垂直【答案】A【解析】【分析】先用定理判斷，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點(diǎn)，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而得解．【詳解】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因平面，平面，所以，因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕蔬x：A．5.波斯詩人奧馬爾?海亞姆于十一世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的幾何求解方法.在直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)在軸上，以為直徑的圓與拋物線：交于點(diǎn)，.已知是方程的一個(gè)解，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得以為直徑的圓的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，消去，可得的方程，由題意考慮兩個(gè)三次方程有相同的解，可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為，與拋物線聯(lián)立，可得，化簡可得，由于，可得，的橫坐標(biāo)相等，則方程和方程有相同的解，即有，解得，則．故選：A．6.已知數(shù)列滿足，，若，則（）A.512 B.678 C.1010 D.1022【答案】B【解析】【分析】由，計(jì)算出前10項(xiàng)，利用分析分類討論進(jìn)行計(jì)算【詳解】由題意知，，，，因?yàn)?，所以中至少有一?xiàng)是負(fù)數(shù)．①若，則，若均為正數(shù)，則，比1010多12，所以前9項(xiàng)中必有負(fù)項(xiàng)，且其和為．易得當(dāng)，且其他項(xiàng)為正項(xiàng)時(shí)滿足題意，故．②若，當(dāng)均為負(fù)數(shù)時(shí)，數(shù)列的前9項(xiàng)和最小，此時(shí)，，不符合題意．綜上，故選：7.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】若關(guān)于的方程在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，即在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)榍榈淖钚≌芷?，且?dāng)時(shí)，，所以，若，則關(guān)于的方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，所以，此時(shí)，即，解得，所以．故選：A8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.1 C.－1 D.【答案】A【解析】【分析】先通過圖象經(jīng)過點(diǎn)列方程求出，進(jìn)而可得的解析式，再代入計(jì)算即可.【詳解】由已知得，所以，又圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，即，又為單調(diào)減區(qū)間上的點(diǎn)，為單調(diào)增區(qū)間上的點(diǎn)，且在一個(gè)周期內(nèi)，所以，兩式相減得，所以，又，所以，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.某校高一年級(jí)共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級(jí)女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05【答案】ABD【解析】【分析】利用分層抽樣計(jì)算判斷A；求出第75百分位數(shù)判斷B；利用線性相關(guān)系數(shù)的意義判斷C；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷D.【詳解】對(duì)于A，該校高一年級(jí)女生人數(shù)是，A正確；對(duì)于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對(duì)于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，D正確.故選：ABD10.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，使得平面B.當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A，E，的平面截該正方體所得的截面的面積為C.點(diǎn)E到直線的距離的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】由題意分別畫出圖形，再逐項(xiàng)解決線面垂直、截面面積、距離最值和軌跡問題即可.【詳解】對(duì)于A，如下圖所示，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)也是線段的中點(diǎn)，所以平面即為平面.根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以與重合時(shí)，平面，故A正確；對(duì)于B，如下圖所示，取的中點(diǎn)，根據(jù)分別為的中點(diǎn)，易得，所以四點(diǎn)共面，所以截面為四邊形，且該四邊形為等腰梯形.又因?yàn)椋缘妊菪蔚母邽?，所以截面面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由圖可得，，所以，設(shè)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以時(shí)，距離最小，最小為，故C正確；對(duì)于D，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，易得平面，又因平面，所以，所以，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故D正確.故選：ACD.11.我們把方程的實(shí)數(shù)解稱為歐米加常數(shù)，記為.和一樣，都是無理數(shù)，還被稱為在指數(shù)函數(shù)中的“黃金比例”.下列有關(guān)的結(jié)論正確的是（）A.B.C.，其中D.函數(shù)的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A：構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷；對(duì)于B：對(duì)，，取對(duì)數(shù)整理即可；對(duì)于C：設(shè)，整理得，結(jié)合選項(xiàng)A分析判斷；對(duì)于D：結(jié)合不等式分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合的零點(diǎn)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：構(gòu)建，則為的零點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在內(nèi)無零點(diǎn)；若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；綜上所述：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，即，兩邊取?duì)數(shù)可得：，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，整理得，即，可得，所以，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，所以的最小值為，不為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，若，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，因?yàn)?，可得，解?故答案為：.13.已知拋物線的焦點(diǎn)為，半徑為6的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)以及，且與該拋物線的準(zhǔn)線相切，則____________.【答案】8【解析】【分析】首先得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意可知圓心在直線上，且，解得即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，因?yàn)閳A過坐標(biāo)原點(diǎn)以及，所以圓心在直線上，因?yàn)閳A的半徑為且與該拋物線的準(zhǔn)線相切，所以，解得.故答案為：14.歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)且與互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).已知，其中，，…，是的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如.若數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則______.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后，結(jié)合歐拉函數(shù)計(jì)算即可得解.【詳解】由題意可得，則，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分及進(jìn)行討論，結(jié)合題中公式求的通項(xiàng)公式.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，（1）求角A.（2）若，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)D滿足，且BC平分，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩角和的正切公式結(jié)合題意化簡得，即可得解；（2）設(shè)，由正弦定理把邊化成角，再用三角形面積公式得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.【小問1詳解】由題，即，即，所以，即，所以，又，所以.【小問2詳解】由題（1）知，又，設(shè)，由中，，故，則，由正弦定理有，，則，故面積，令，則，又，所以，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故面積的取值范圍為.16.已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）設(shè)臨界值時(shí)，將1個(gè)Ⅰ級(jí)品芯片和1個(gè)Ⅱ級(jí)品芯片分別應(yīng)用于A型手機(jī)和B型手機(jī)．求兩部手機(jī)有損失的概率（計(jì)算結(jié)果用小數(shù)表示）；（2）設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級(jí)品、Ⅱ級(jí)品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)，試估計(jì)芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的最小值．【答案】（1）0.163（2）136萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，I級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于60的頻率和II級(jí)品中該指標(biāo)大于60的頻率，即可求解；（2）由題意分別計(jì)算A、B型手機(jī)的損失費(fèi)用可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】臨界值時(shí)，I級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于60的頻率為，II級(jí)品中該指標(biāo)大于60的頻率為0.1，故將1個(gè)I級(jí)品芯片和1個(gè)II級(jí)芯片分別應(yīng)用于A型手機(jī)和B型手機(jī)，兩部手機(jī)有損失的概率為：；【小問2詳解】當(dāng)臨界值時(shí)，I級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的概率為，可以估計(jì)10000部A型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；II級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值的概率為，可以估計(jì)10000部B型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；故可以估計(jì)芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用又，所以，即芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的最小值為136萬元.17.如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，是正三角形，是的重心，點(diǎn)滿足.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)重心的性質(zhì)可得，即可根據(jù)線線平行求證，（2）根據(jù)線線垂直可得線面垂直，進(jìn)而可得平面平面，根據(jù)余弦定理以及勾股定理求解長度，即可利用等體積法求解長度，利用線面角的幾何法求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與直線方向向量的夾角求解即可.【小問1詳解】如圖，連接，交點(diǎn)為，則是的中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹匦?，所?又是的中點(diǎn)，所以.由知在線段上，且，所以，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】方法1：設(shè)，則.取中點(diǎn)，連接，則，，平面,故平面，又平面，所以平面平面，交線為.由，，則,得.所以到平面的距離等于到直線的距離.設(shè)到平面的距離為，由平面知到平面的距離也是.由得，，，從而.在中，，，，由余弦定理得，所以直線與平面所成角的正弦值是.方法2：如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，所以,,,設(shè)平面的法向量是，由.令，則，.所以，，從而直線與平面所成角的正弦值是.18.若正實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱是一個(gè)對(duì)數(shù)凸數(shù)列；若實(shí)數(shù)列滿足，則稱是一個(gè)凸數(shù)列.已知是一個(gè)對(duì)數(shù)凸數(shù)列，．（1）證明：；（2）若，證明：；（3）若，，求的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）10.【解析】【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到；法二：由得到；（2）法一：由題意得，從而得到，證明出；法二：考慮反證法，假設(shè)，得到，進(jìn)而推出，假設(shè)不成立；法三：得到，且，利用累加法得到，證明出結(jié)論；（3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化簡得：，顯然符合題意，此時(shí)，綜上，的最大值為10．【小問1詳解】法一：由題意得：，∴，∴，，，，，將以上式子累乘得：，也即成立．法二：由題意得：，∴，∴成立．【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，則，∴，∴．法二：考慮反證法，假設(shè)，由得，∴，∴，同理：，∴，∴，同理可證：，，…，，綜上可得：，與條件矛盾，∴假設(shè)不成立，∴成立．法三：∵，∴，也即，同時(shí)，由可得：，∴，也即，∴，，…，，將以上式子累加得：，也即，同理可得：，，……，將以上式子累加得：，∴，∴，∴成立．【小問3詳解】由可得：，∴，也即，∴，，…，，將以上式子累加得：，①另外，，，…，，將以上式子累加得：，②結(jié)合①②式可得：，∴，化簡得：，另外，顯然有符合題意，此時(shí)，綜上，的最大值為10．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)