人教版高中數(shù)學選修2-2教案全集

人教版高中數(shù)學選修2-2教案全集

第一章導數(shù)及其應用

§1.1.1變化率問題

教學目標：

i.理解平均變化率的概念；

2.了解平均變化率的幾何意義；

3.會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率

教學重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率：

教學難點：平均變化率的概念.

教學過程：

一.創(chuàng)設情景

為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產生了微積分，微

積分的劃立以自然科學中四類問題的處理直接相關：

一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度及加速度等；

二、求曲線的切線；

三、求已知函數(shù)的最大值及最小值；

四、求長度、面積、體積和重心等。

導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具。

導數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.

二.新課講授

(一)問題提出

問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.

從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢？

44

■氣球的體積/(單位：￡)及半徑T(單位:血之間的函數(shù)關系是丫(r)=§行3

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么r(V)

分析：獲

(1)當V從0增加到1時,氣球半徑增加了r(l)-r(0)?0.62(曲i)

氣球的平均膨脹率為一()b0.62(2m/L)

⑵當V從1增加到2時,氣球半徑增加了r(2)-r(l)?0.16(曲z)

氣球的平均膨脹率為一；。）X0.16（Jnt/￡）

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.

思考：當空氣容量從匕增加到匕時，氣球的平均膨脹率是多少？

“匕）一-（匕）

問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度力（單位：叫）及起跳后的時間”單

位：s）存在函數(shù)關系力（力=-4.9內■&51+10.如何用運動員在某些時間段內的立均

速V度粗略地描述其運動狀態(tài)？

思考計算：0</（0.5和1的平均速度;

在0?1W0.5這段時間里，V='°$）-）。）=4.05（/71/5）；

0.5-0

在1WfW2這段時間里，v=一二一8.2（根/s）

探究：計算運動員在04，W竺這段時間里的平均速度，并思考以下問題:

49

⑴運動員在這段時間內使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)。*）=-4.9/+6.5伊10的圖像，結合圖形可知，人（（|）=〃（0）,

_躍一獻。）

所以口=——3------=0（5/〃?）,

竺-0

49

雖然運動員在0?/?果這段時間里的平均速度為O（s/m）,但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可

以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).

<->平均變化率概念：

1.上述問題中的變化率可用式子--一1-表示，稱為函數(shù)/?（*）從X到照的平均變化率

一

X22

2.若設政=工2一再，紂=/（々）一/區(qū)）（這里Ac看作是對于汨的一個“增量”可用加+Ax代替加,

同樣紂=

Ay=f(x2)~/(%)))

AyAf/(x2)-/(X))/(x,+Ax)-/(x.)

3.則平均變化率為12)八"二乙」------J"

ArArx,—x{Ax

思考：觀察函數(shù)F(x)的圖象

例2.求y=/在％=與附近的平均變化率。

22

解：0，=(%+?)27。2,所以包=—

AxAx

所以y=%2在x=%附近的平均變化率為2x0+Ax

四.課堂練習

1.質點運動規(guī)律為s=*+3,則在時間(3,3+△1)中相應的平均速度為.

2.物體按照s1)=3/+什4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.25+32V

3.過曲線『FCr)=系上兩點尸(1,1)和0nl作曲線的割線，求出當^尸。.1時割線的斜率.

五.回顧總結

1.平均變化率的概念

2.函數(shù)在某點處附近的平均變化率

六.教后反思：

§1.1.2導數(shù)的概念

教學目標：

1.了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2.理解導數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵；

3.會求函數(shù)在某點的導數(shù)

教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數(shù)的概念:

教學難點：導數(shù)的概念.

教學過程：

一.創(chuàng)設情景

(-)平均變化率

(二)探究：計算運動員在OWEV奐這段時間里的平均速度，并思考以下問題:

49

⑴運動員在這段時間內使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)力3=Y.9/+6.5什10的圖像，結合圖形可知，71(—)=/2(0),

49

_碟)-碗)

所以口=——與-------=0(5/m)，

奐-0

49

雖然運動員在0Wt<關這段時間里的平均速度為0($/，但實際情況是運

動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).

二.新課講授

1.瞬時速度

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度、運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度.

那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，，=2時的瞬時速度是多少？考察，=2附近的情況：

4<0時，在［2+4,2］這段時間內.4>0時，在［2,2+4］這段時間內

-奴2)-4(2+4)4.9Ad+13.14-奴2+4)-奴2)-49△尸一133

V=-------------=------------V=------------=---------------

2—(2+4)—&(2+AE)-2A/

=-4.94-13.1

當位=一0.01時，4=-13.051；/當4=0.01時，4=-13.051；?

當4=-0.001時，4=73.0951一當4=0.001時,AZ=-13.0951；

當0.001時，AZ=-13.09951；/當4=0.001時,M=73.09951一

當4=-0.0001時，4=-13.099951；/當4=0.0001時,4=-13.099951一

當&=-0.00001時,4=73.099951一當4=0.00001時,4=-13.099951一

...P?..P

思考：當△，趨近于0時;平均速度v有什么樣的變化趨勢?

結論：當趨近于0時，即無論(從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度U都趨近

于一個確定的值一13.1.

從物理的角度看，時間|A/|間隔無限變小時，平均速度［就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在r=2

時的瞬時速度是一

為了表述方便，我們用limh(2+'，)-h(2)=一為7

8->o&

表示“當/=2,ZV趨近于。時，平均速度3趨近于定值-13.1”

小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬

時速度的精確值。

2導數(shù)的概念

從函數(shù)尸/'(x)在尸劉處的瞬時變化率是：

我們稱它為函數(shù)y=/(x)在x=/出的導數(shù)，記作/(%)或yk與，即

說明：C)導數(shù)即為函數(shù)片/*(力在產用處的瞬時變化率

(2)Ax=x-x0,當—0時，x—>x^,所以/"(Xo)=lim~

KTOX-XQ

三.典例分析

9

例1.(1)求函數(shù)片3x在尸1處的導數(shù).

o

分析：先求A#=△y=f{14-△x)-A1)=6△(Ax)

再求包=6+Ax再求lim—=6

AxA—。Ax

解：法一定義法(略)

3r2-3-123(x2-I2)

法二：y|.=lim--------=lim-......=lim3(x+l)=6

XIX-\IX-\3

(2)求函數(shù)F(x)=-x2+%在x=-l附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù).

解：包…)"=3…

ArM

例2.(課本例1)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第力2

時，原油的溫度(單位：°C)為/(x)=f-7x+15(OWx(8),計算第2%時和第6力時，原油溫度的

瞬時變化率，并說明它們的意義.

解：在第2〃時和笫6力時，原油溫度的瞬時變化率就是7'(2)和f(6)

根據導數(shù)定義，"(2+詞—

AxAx

所以/'(2)=lim—=lim(A￥-3)=-3

Ax->oArA—o

同理可得：/⑹=5

在第2〃時和第6%時，原油溫度的瞬肘變化率分別為-3和5,說明在2萬附近，原油溫度大約以3°C“7

的速率下降，在第6〃附近，原油溫度大約以5℃/0的速率上升.

注：一般地，/'(/)反映了原油溫度在時刻/附近的變化情況.

四.課堂練習

1.質點運動規(guī)律為$=產+3,求質點在/=3的瞬時速度為.

2.求曲線片〃力=/在冗=1時的導數(shù).

3.例2中，計算第30時和第5/1時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

五.回顧總結

1.瞬時速度、瞬時變化率的概念

2.導數(shù)的概念

六.教后反思：

§LL3導數(shù)的幾何意義

教學目標：

1.了解平均變化率及割線斜率之間的關系；

2.理解曲線的切線的概念；

3.通過函數(shù)的圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義，并會用導數(shù)的幾何意義解題；

教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數(shù)的幾何意義：

教學難點：導數(shù)的幾何意義.

教學過程：

一.創(chuàng)設情景

(-)平均變化率、割線的斜率

(二)瞬時速度、導數(shù)

我們知道，導數(shù)表示函數(shù)尸f(x)在尸加處的瞬時變化率，反映了函數(shù)片〃力在尸照附近的變化情況，導數(shù)

f\xQ)的幾何意義是什么呢？

二.新課講授

(一)曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2,當4(與，/(與))(〃=1,2,3,4)沿著曲線/(x)趨近于點

尸(%,/(%))時，割線的變化趨勢是什么？

率是4=""）一"/），當點e沿著曲線無限接近點/時,左無限趨近于切線外的斜率左,即

與一與

k=lim/（＞+〃）-"/）=?。?/p>

0

.TOAr

說明，（1）設切線的傾斜角為。，那么當ALO時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點夕處的切線的斜率.

這個概念：①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法；

②切線斜率的本質一函數(shù)在X=x0處的導數(shù).

（2）曲線在某點處的切線：1）及該點的位置有關;2）要根據割線是否有極限位置來判斷及求解.如有極限，則

在此點有切線,且切線是唯一的；如不存在，則在此點處無切線;3）曲線的切線,并不一定及曲線只有一個交點，可

以有多個,甚至可以無窮多個.

（二）導數(shù)的幾何意義：

函數(shù)尸F(xiàn)（x）在后田處的導數(shù)等于在該點（X。，/（%））處的切線的斜率，

即/,（%）=5—八一/（/）=R

0.TOAx

說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟：

①求出尸點的坐標；

②求出函數(shù)在點/處的變化率/'（%）=lim/■0（八口―/（玉））=%,得到曲線在點（x°

-Ax

的切線的斜率；

③利用點斜式求切線方程.

（二）導函數(shù)：

由函數(shù)/U)在產X。處求導數(shù)的過程可以看到，當時，/(小)是一個確定的數(shù)，那么，當X變化時，便是X的

一個函數(shù),我們叫它為r(x)的導函數(shù).記作：/(X)或y,

/(x+Ar)-/(尤)

即:r(x)=y=lim

Ar

注：在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù).

(=)函數(shù)/(x)在點/處的導數(shù)/'(%)、導函數(shù)/'(%)、導數(shù)之間的區(qū)別及聯(lián)系。

(1)函數(shù)在一點處的導數(shù)/'(%),就是在該點的函數(shù)的改變量及自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù),

不是變數(shù)。

(2)函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)

(3)函數(shù)/(%)在點/處的導數(shù)f(%)就是導函數(shù)/'(X)在X=X0處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點玉1處的

導數(shù)的方法之一。

三.典例分析

例1:(1)求曲線片F(xiàn)(x)=/+1在點P(1,2)處的切線方程.

(2)求函數(shù)尸3,在點(1,3)處的導數(shù).

222

皿小”r[(1+Ar)+1]-(14-1)-2Ax+Ax.

解：⑴yL=1=hm--------------------=hm----------=2,

—Ax-Ax

所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為y-2=2(x—1)即2x-y=0

3x2-3-123(x2-I2)

(2)因為y'L=[=Hm---------=lim---------=lim3(x+1)=6

■一XTlX~\XTI%—1A—>1

所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y—3=6(x—l)即6x—y—3=0

(2)求函數(shù)/'(才)=一12+x在1=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù).

解

Ay-(-1+AJT)2+(-1+Ax)-2_.

—=-------------------------=3—zlr

AxAx

例2.(課本例2)如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨

時間變化的函數(shù)

2

/7（%）=-4.9%+6.5x+10,根據圖像，請描述、比較曲線力（1）在J、％、J附近的變化情況.

解:我們用曲線〃（。在務、4、，2處的切線，刻畫曲線人。）在上述三個時刻附近的變化情況.

（1）當/=務時，曲線/iQ）在辦處的切線4平行于x軸，所以，在，附近曲線比較平坦，幾乎沒有開

降.

（2）當，=乙時，曲線〃?）在，?處的刃線4的斜率〃'儲）＜0,所以，在1=乙附近曲線下降，即函數(shù)

h（x）=-4.9x2+6.5x4-10在，二乙附近單調遞減.

（3）當，一弓時，曲線屈。在與處的切線12的斜率〃'02）＜0，所以，在，_，2附近曲線下降，即函數(shù)

〃（x）=-4.9x~+6.5x+10在/=芍附近單調遞減.

從圖3.1-3可以看出，直線4的傾斜程度小于直線6的傾斜程度，這說明曲線在4附近比在G附近下降的緩

慢.

例3.（課本例3）如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度C=f（t）（單位："2g//%L）隨時間/（單位:

min）變化的圖象.根據圖像，估計1=0.2,0.4,0.6,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到0.1）.

解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度了?）在此時刻的導數(shù)，從圖像上看，它表示曲線

/?）在此點處的切線的斜率.

如蟄3.1-4,畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化

率的近似值.

作，=0.8處的切線，并在切線上去兩點，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,則它的斜率為：

0.48-0.91

k

1.0-0.7

所以/'(0.8)。一1.4

下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:

t0.20.40.60.8

藥物濃度瞬時變化率/(/)0.40-0.7-1.4

四.課堂練習

1.求曲線*/*(?=/在點(1,1)處的切線;

2.求曲線y=y在點(4,2)處的切線.

五.回顧總結

1.曲線的切線及切線的斜率；

2.導數(shù)的幾何意義

六.教后反思：

§1.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)

教學目標：

21

1.使學生應用由定義求導數(shù)的三個步驟推導四種常見函數(shù)y=c、y=%、j=了=一的導數(shù)公式；

x

2.掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導數(shù).

21

教學重點：四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=x\y=—的導數(shù)公式及應用

x

教學難點：四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=x\y的導數(shù)公式

x

教學過程：

一.創(chuàng)設情景

我們知道，導數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.那

么，對于函數(shù)＞=/(%),如何求它的導數(shù)呢？

由導數(shù)定義本身，給出了求導數(shù)的最基本的方法，但山于導數(shù)是用極限來定義的，所以求導數(shù)總是歸結到求

極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù)，這一單元我們將研究比較簡捷

的求導數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導數(shù).

二.新課講授

1.函數(shù)y=/(x)=c的導數(shù)

根據導數(shù)定義，因為包=但也二?=二=0

AxAxAx

所以y=lim—=lim0=0

Ax->0ArAx->0

函數(shù)導數(shù)

y=cy=o

了=0表示函數(shù)、=。圖像(圖3.2-1)上每一點處的切線的斜率都為0.若表示路程關于時間的函數(shù),

則了=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0,即物體一直處于靜止狀態(tài).

2.函數(shù)y=/(x)=x的導數(shù)

因為竺=F(x+Ax)_/(x)=x+Ax-x=]

ArAxAx

所以y=lim—=lim1=1

Ar-?0ArAr->0

函數(shù)導數(shù)

y=xV=1

y'=l表示函數(shù)y=x圖像(圖3.2-2)上每一點處的切線的斜率都為1.若y=x表示路程關于時間的函數(shù),

則/=1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動.

3.函數(shù)y=f(x)=/的導數(shù)

因為包=/(x+Ar)―/(x)=，+以尸一心

AxAxAx

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

-ArAx->o

函數(shù)導數(shù)

y=x2V=2%

y'=2x表示函數(shù)y=/圖像(圖32—3)上點(二丁)處的切線的斜率都為2x,說明隨著工的變化，切線的

斜率也在變化.另一方面，從導數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，表明：當x<0時，隨著工的增加，函

數(shù)y=V減少得越來越慢；當%>0時，隨著x的增加，函數(shù)y=f增加得越來越快.若>=/表示路程

關于時間的函數(shù)，則y'=2x可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x的瞬時速度為2尤.

4.函數(shù)y=/(x)=，的導數(shù)

X

11

因為Ay=/(4+&)_/(4)=x+加一］

AxAxAx

所以y'=lim—=lim(——--------)=\

△soAx-x+x-Axx"

函數(shù)導數(shù)

1)，'=」

y=-

XXT

5.函數(shù)y=/(x)=4的導數(shù)

因為包=次四二」史=正運二正

MMAx

所以y'=lim—=lim-/:—五=—產

A—O^Vx+Ax4-Vx2yjx

函數(shù)導數(shù)

-1

y=E

(2)推廣：若＞=/(x)=x"(〃wQ"),則f\x)=nx"~l

三.課堂練習

1.課本上探究1

2.課本%探究2

四.回顧總結

函數(shù)導數(shù)

y=cy=0

y=xy=1

y=x2y=2x

11

)'=一

X

y=\[x

y=/(x)=x”￡。*)y=nxn~l

五.教后反思：

§1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則

教學目標：

1.熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；

2.掌握導數(shù)的四則運算法則；

3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).

教學重點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則

教學難點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的應用

教學過程：

一.創(chuàng)設情景

五種常見函數(shù)y=c、y=x.y=x2.y=—

______________________________x

函數(shù)導數(shù)

y=y/x的導數(shù)公式及應用

y=c

二.新課講授y=0

（一）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表

\)=Y、:-1

（二）導數(shù)函數(shù)導數(shù)的運算法則

y=cy=0

y=nxn~'

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=fM=axy=axlna(a>0)

y=fW=e'y=ex

fM=log,X/(x)=log”#(x)=(a>。且。w1)

xlna

/(x)=lnxf,M=-

X

導數(shù)運算法則

1.[f(x)±g(x)]-f\x)±g'(x)

2-[fM'gM]=fXx)g(x)±f(x)g\x)

f(x)g(x)-/(x)g'(x)

3.(g(x)wO)

g(x)

（2）推論：［（/（切=cf\x）

（常數(shù)及函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)）

三.典例分析

例L假設某國家在20年期間的年均道貨膨脹率為5%,物價P（單位：元）及時間f（單位：年）有如

下函數(shù)關系〃Q）=Po（l+5%y,其中為f=O時的物價.假定某種商品的，0=1，那么在第10個年頭,

這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）?

解：根據基本初等函數(shù)導數(shù)公式表，有pQ）=l.O5」nl.O5

所以P(1O)=1.O510In1.05?0.08(元/年)

因比,在第io個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲.

例2.根據基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)y=x3-2x+3

11

1+y/~X1-y[x

(3)y=x-sinx-\nx；

x

(4)y=一；

“4'

1-lnx

(5)y=--------

1+lnx

(6)y=(2x2-5x+l)-ex；

sinx-xcosx

(7)y=-----------:—

cosx+xsinjc

解：(1)y'=(d—2%+3)'=(%3)'—(2X)'+(3)'=3%2—2,

y-(7777)-(中)

(3)y=(xsinxlnx)=[(x-lnx)-sinx]

./X、，x.4r-x-(4A)'b4x-x-4vln4l-xln4

⑷y=(N=——=——

￡

1—Inx-212

(5)y=(-----)=(一1+-----)=2(------)=2-----Y--------------

1+lnx1+Inx1+lnx(l+lnx)2x(l+lnx)2

(6)y=(2x2—5x+1)-ex+(2x2—5x+l)-(efr)

sinx-xcosx?

⑺y=(z：)

cosx+xsinx

【點評】

①求導數(shù)是在定義域內實行的.

②求較復雜的函數(shù)積、商的導數(shù)，必須細心、耐心.

例3日常生活中的飲水通常是經過凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知將1噸水

凈化到純凈度為X%時所需費用(單位：元)為

求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：(1)90%(2)98%

解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化幫用函數(shù)的導數(shù).

5284

(1)因為c(90)=--------7=52.84,所以，純凈度為90%時，費用的瞬時變化率是52.84

(100-90)2

元/噸.

5284

(2)因為c(98)=--------=1321,所以，純凈度為98%時，費用的瞬時變化率是1321

(100-90)72

元/噸.

函數(shù)/(幻在某點處導數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢.由上述計算可知，c(98)=25c(90).它

表示純凈度為98%左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為90%左右時凈化費用的瞬時變化率的25

倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快.

四.課堂練習

1.課本%練習

2.已知曲線Gy=3X4-2?-9V+4,求曲線。上橫坐標為1的點的切線方程；

(y=-12x+8)

五.回顧總結

(1)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表

（2）導數(shù)的運算法則

六.教后反思：

§1.2.3復合函數(shù)的求導法則

教學目標理解并掌握復合函數(shù)的求導法則.

教學重點復合函數(shù)的求導方法：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于己知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對

自變量的導數(shù)之積.

教學難點正確分解及合函數(shù)的復合過程，做到不漏，不重，熟練，正確.

一.創(chuàng)設情景

（一）基本初等函數(shù)的

導數(shù)公式表函數(shù)導數(shù)

（二）導數(shù)的運算法則

y=cy=0

y=fM=xn(neQ^)y=nxn~l

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=fM=優(yōu)y=ax-Ind(67>0)

?V

y=/U)=exy=e

f(x)=log]X/(x)=logxf(x)=(a>0且awl)

flx\na

f(x)=\nxf'M=-

X

導數(shù)運算法則

1?1g(X)]=f\x)±g\x)

2.[f(X)^g(X)]=fXx)g(X)±f(X)gXx)

7(x)~二/a)ga)-/(x)ga)

3.(g(X)H0)

一g(機[g(x)『

（2）推論：［（/（X）］=cf（X）

（常數(shù)及函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)）

二.新課講授

復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和〃=g(x),如果通過變量〃，y可以表示成x的

函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)的復合函數(shù)，記作y=/(g(x))。

復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y=/(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=/(w)和％=g(x)的導數(shù)間的關系為

y'=y：?,即y對x的導數(shù)等于y對w的導數(shù)及〃對x的導數(shù)的乘積.

若V=/(g(x))，則/=[/(g(x))J=/(g。))?g'(x)

三.典例分析

例1(課本例4)求下列函數(shù)的導數(shù)：

(I)y=(2x+3)2；(2)y=

(3)y=sinQFx+e)(其中4，0均為常數(shù)).

解：(1)函數(shù)y=(2x+3『可以看作函數(shù)y=〃2和〃=2%+3的復合函數(shù)。根據復合函數(shù)求導法則有

(2)函數(shù)y=可以看作函數(shù)y=e"和〃=-0.05%+1的復合函數(shù)。根據復合函數(shù)求導法則有

(3)函數(shù)y=sin(萬x+°)可以看作函數(shù)y=sin〃和〃=0的復合函數(shù)。根據復合函數(shù)求導法則

有

例2求y=sin(tanx2)的導數(shù).

解：y=[sin(tanx2)]=cos(tanx2)-sec2(x2)-2x

【點評】

求要合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于搞清楚復合函數(shù)的結構，明確復合次數(shù)，由外層向內層逐層求導，直到關于自

變量求導，同時應注意不能遺漏求導環(huán)節(jié)并及時化簡計算結果.

x—a

例3求y二-----------的導數(shù).

yjx2-2ax

a

1-yjx2-2ax-(x-Q)?—2

解：y=-----------------、——2收一ax

x"-2ax

【點評】本題練習商的導數(shù)和復合函數(shù)的導數(shù).求導數(shù)后要予以化簡整理.

例4求y=sin'x+cos的導數(shù).

【解法一】y=sin'x+cosXx=(sin2AT+cos2^r)2—2sin2cos2x=1——sin22x

2

131

=l——(1—cos4x)----1---cos\x.y=—sin4x.

444

【解法二】y'=(sin4x)1+(cos1x)f=4sin3Ar(sinx)'+4cos-(cosx)'

=4sinaxcosx+4cos3x(-sinx)=4sinxcosx(sin2x-cos'公

=-2sin2xcos2x=—sin4x

【點評】

解法一是先化簡變形，簡化求導數(shù)運算，要注意變形準確.解法二是利用復合函數(shù)求導數(shù)，應注意不漏步.

例5曲線y=x(彳+1)(2—3有兩條平行于直線y=彳的切線，求此二切線之間的距離.

[?]y=-x3+x2+2xy1=-3X2+2x+2

令/=1即3y-2x-1=0,解得x=一工或x=1.

3

114

于是切點為夕(1,2),。(一一，-----),

327

過點尸的切線方程為，y—2=x—1即x—y+1=0.

顯然兩切線間的距離等于點Q到此切線的距離，故所求距離為

四.課堂練習

sin2x

32

1.求下列函數(shù)的導數(shù)⑴y=sin/+sin3^；(2)y=-------;(3)loga(X—2)

2x-\

2.求ln(2x2+3x+1)的導數(shù)

五.回顧總結

六.教后反思：

§1.3.1函數(shù)的單調性及導數(shù)(2課時)

教學目標：

1.了解可導函數(shù)的單調性及其導數(shù)的關系；

2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次；

教學重點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間

教學難點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間

教學過程：

一.創(chuàng)設情景

函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈及減、增減的快及慢以及函數(shù)的最大

值或最小值等性質是非常重要的.通過研究函數(shù)的這些性質，

我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解.下面，我們

⑴⑵

變化的函數(shù)〃Q)=-4.9*+6.5,+10的圖像，圖3.3-1(2)表示高臺跳水運動員的速度以隨時間f變化的函

數(shù)v(r)=h(t)=-9.8r+6.5的圖像.

運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？

通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：

(1)運動員從起點到最高點，離水面的高度力隨時間/的增加而增加，即/iQ)是增函數(shù).相應地，

(2)從最高點到入水，運動員離水面的高度，隨時間/的增加而減少，即〃(，)是減函數(shù).相應地，

v(/)=/?(/)<0.

2.函數(shù)的單調性及導數(shù)的關系

觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調性及其導數(shù)正負的關系.

如圖3.3-3,導數(shù)/(Xo)表示函數(shù)f(X)在點(%,為)處的切線的斜率.

在X=X0處，/(X0)>0,切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)/(X)在與附近單調遞增；

在X=%處，/(%0)<0,切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)/(X)在芭附近單調遞減.

結論：函數(shù)的單調性及導數(shù)的關系

在某個區(qū)間(。,〃)內，如果/(元)>0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f(x)〈0,

那么函數(shù)丫=/(x)在這個區(qū)間內單調遞減.

說明：(D特別的，如果f(x)=0,那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內是常函數(shù).

3.求解函數(shù)y=/(幻單調區(qū)間的步驟：

(1)確定函數(shù)y=/(x)的定義域；

⑵求導數(shù)y，=/(x)；

(3)解不等式f(x)>0,解集在定義域內的部分為增區(qū)間；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內的部分為減區(qū)間.

三.典例分析

例1.已知導函數(shù)/(%)的下列信息，

當1<%<4時，/(%)>0；

當x>4,或x<l時，/(%)<0；

當x=4,或x=l時，/(x)=0

試畫出函數(shù)y=f(x)圖像的大致形狀.

解：當/<(x)>0,可知y=/(x)在此區(qū)間內單遍遞增：

當x>4,或x<l時，/(x)<0；可知y=/(x)在此區(qū)間內單調遞減；

當x=4,或x=l時，/(x)=0,這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”.

綜上，函數(shù)y=/(x)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示.

例2.判斷下列函數(shù)的單調性，并求出單調區(qū)間.

(1)f(x)=x3+3x；(2)f(x)=x2-2x-3

(3)f(x)=sinx-xxe(0,^-)；(4)/(x)=2A3+3不？-24^+1

解：(1)因為/(X)=X3+3X,所以，

因比，/(x)=13+3x在k上單調遞增，如圖3.3-5(1)所示.

(2)因為f(x)=x"-2x—3，所以，f(x)—2%—2—2(x—1)

當/。)>。,即%>1時，函數(shù)/(》)=/一2次一3單調遞增：

當f(x)<0,即x<l時，函數(shù)/(工)=/一2X一3單調遞減：

函數(shù)/(%)=%2—2次一3的圖像如圖3.3-5(2)所示.

(3)因為/(x)=sinx-x1￡(0,乃)，所以，f(x)=cosx-l<0

因比，函數(shù)f(x)=sinx-x在(0,4)單調遞減，如圖3.3-5(3)所示.

（4）因為/（工）=213+3%2-24x+l,所以.

當/（x）〉0，即時，函數(shù)f（x）=X2-2%-3；

當/（工）＜°，即時，函數(shù)/（x）=x?-2工一3；

函數(shù)/（幻=2丁+3/-24x+l的圖像如圖3.3-5（4）所示.

注:（3）、（4）生練

例3.如圖3.3-6,水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分

別找出及各容器對應的水的高度h及時間，的函數(shù)關系圖像.

分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增

加得越來越快.反映在圖像上，（A）符合上述變化情況.同理可知其它三種容器的情況.

解:⑴-（3），（2）f（A）,⑶-（。）,⑷-（C）

思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢.結合圖像，你能

從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？

一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內變化的快，這時，函數(shù)的圖

像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些.

如圖3.3-7所示，函數(shù)y=f（X）在（0,。）或（4,0）內的圖像“陡峭”，

在（。，+8）或（YO,。）內的圖像“平緩”.

例4.求證：函數(shù)丁=2丁+312-12%+1在區(qū)間（一2,1）內是減函數(shù).

證明：因為y=6f+6%-12=6（工2+工一2）=6（無一1）（元+2）

當x￡（―2,1）即一2vxv1時，y＜0,所以函數(shù)y=2x'3+3x~-12x+l在區(qū)間（一2,1）內是減函

數(shù).

說羽：證