人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)教案

16.1二次根式

第1課時(shí)二次根式的概念

教爵

i.能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，體會(huì)研究二次根式的必要性；(難

2.能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念及性質(zhì)，會(huì)求二次根式中被開方數(shù)中

字母的取值范圍.(重點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

問題1：你能用帶有根號(hào)的式子填空嗎？

(1)面積為3的正方形的邊長為,面積為S的正方形的邊長為.

(2)一個(gè)長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2,則它的寬為m.

(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間f(單位：s)與落下的高度〃(單位：

m)滿足關(guān)系/?=5尸，如果用含有的式子表示h則￡=.

問題2：上面得到的式子小，小,刷,分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次根式的定義

@D下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)VH；(2)V7r5；⑶?(—7)2；

(4)^13；I；⑹-3—x(xW3)；

(7)y[--x(x^0)；⑻d(〃一1『；(9h/—x2—5；

(10)M(〃一/)2(ab20).

解析：要判斷一個(gè)根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2,二是看被開方數(shù)是不

是非負(fù)數(shù).

解：因?yàn)?TT,7(一7)233-X（xW3）,7（4—1）2,7（〃—力）

(")0)中的根指數(shù)都是2,且被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.折5的根指數(shù)不是2,

[-5,x(x20),4-%2—'5的被開方數(shù)小于0,所以不是二次根式.

方法總結(jié)：判斷一個(gè)式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶

二次根號(hào)“廠”；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

探究點(diǎn)二：二次根式有意義的條件

【類型一】根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍

求使下列式子有意義的x的取值范圍.

⑴也F⑵X-2：⑶X.

解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0且分母不等于0,列

不等式(組)求解.

44I

解：(1)由題意得4—3x>0,解得當(dāng)時(shí)，廣一有意義;

33y]4~3x

[3-x20,

(2)由題意得―解得xW3且x=2.當(dāng)xW3且xK2時(shí)，工\l3二~廠x有意義;

[x—2W0,》一/

[x+520,\lx+5

(3)由題意得彳解得x2—5且xWO.當(dāng)x》一5且xWO時(shí)，-有意義.

方法總結(jié)：含二次根式的式子有意義的條件：

(1)如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是各個(gè)二次根式中的被

開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)

為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

[類型二]利用二次根式的非負(fù)性求解

畫U(l)已知4、b滿足，24+8+|6—小|=0,解關(guān)于x的方程3+2)x+〃=a-l；

(2)已知x、y都是實(shí)數(shù)，且產(chǎn)出‘-3+<3-x+4,求必的平方根.

解析：(1)根據(jù)二次根式的非負(fù)性和絕對值的非負(fù)性求解即可；(2)根據(jù)二次根式的非負(fù)

性即可求得x的值，進(jìn)而求得y的值，進(jìn)而可求出尸的平方根.

j2a+8=0,f?=—4,

解：(1)根據(jù)題意得小_O解得fb—小則①+2)田+/=。一1,即一2欠+3=—5,

解得x=4；

[x—320,._

(2)根據(jù)題意得《解得x=3.則y=4,故)4=43=64,*7區(qū)=±8,的平方根

為±8.

方法總結(jié)：二次根式和絕對值都具有非負(fù)性，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為

0.

探究點(diǎn)三：和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題

頤1先觀察下列等式，再回答下列問題.

(1)請你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，寫出的結(jié)果;

(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用

含n的式子表示的等式（〃為正整數(shù)）.

解析：（1）從三個(gè)等式中可以發(fā)現(xiàn)，等號(hào)右邊第一個(gè)加數(shù)都是1,第二個(gè)加數(shù)是個(gè)分?jǐn)?shù)，

設(shè)分母為"，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母就是〃+1,結(jié)果是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1,分?jǐn)?shù)部分的

分子也是1,分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母的積；（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律寫出表示這個(gè)規(guī)律的式子.

解：⑴{1+.+/=1+廣本=由

QBX/I+H（〃，）2=1+1_*?=:（〃；i）（”為正整數(shù)）?

方法總結(jié)：解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通過閱

讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來.

三、板書設(shè)計(jì)

1.二次根式的定義

一般地，我們把形如如320）的式子叫做二次根式.

2.二次根式有意義的條件

被開方數(shù)（式）為非負(fù)數(shù)；W有意義

投卷鰻

通過將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與對比，隨后由學(xué)生熟悉的實(shí)際問題出發(fā)，用己有的知

識(shí)進(jìn)行探究，由此引入二次根式.在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實(shí)際的需要，

體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活間的緊密聯(lián)系，以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

第一十六章二次根式

教材分析：

i.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式.

學(xué)情分析：

新學(xué)期，根據(jù)八年級(jí)的實(shí)際，首先是先摸清底子，穩(wěn)住學(xué)生，然后根據(jù)學(xué)生學(xué)情分布情況，

重新劃分學(xué)習(xí)小組，對新轉(zhuǎn)班過來的學(xué)生，做好各方面的工作，使他們迅速適應(yīng)新環(huán)境，然

后，盡快幫他們找到新的學(xué)習(xí)榜樣和新學(xué)伴，幫他們樹立競爭意識(shí)和發(fā)展意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí),

鼓勵(lì)大家在新學(xué)期，獲得更大的進(jìn)步，取得更大的發(fā)展。

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能

（1）理解二次根式的概念.

（2）理解（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（）2=a（a20）,=a（a20）.

(3)掌握夜?\[b=\[ab(a20,bNO),4ab=4a?4b；

=、口(a>0,b>0),/Z-2^.(a20,b>0).

加Nb\b4h

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對二次根式進(jìn)行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.?再對概念的內(nèi)

涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡.

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定，?并運(yùn)用

規(guī)定進(jìn)行計(jì)算.

(3)利用逆向思維，?得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡.

(4)通過分析前面的計(jì)算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，?給出最簡二次根式的概

念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對二次根式進(jìn)行計(jì)算和

化簡的目的.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過探索二

次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.二次根式6(a20)的內(nèi)涵.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(、份)2=a(a>0)；后=a

(a20)?及其運(yùn)用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)

1.對G(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對等式(、份)2=a(a20)及J/=a(a20)

的理解及應(yīng)用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡二次根式.

教學(xué)關(guān)鍵

1.潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

2.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，?培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍

的科學(xué)精神.

單元課時(shí)劃分

本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下:

16.1二次根式3課時(shí)

16.2二次根式的乘法3課時(shí)

16.3二次根式的加減3課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)2課時(shí)

16.1二次根式

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解二次根式的概念，并利用6（a》0）的意義解答具體題目.

過程與方法目標(biāo)：提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如、G（a>0）的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用（a，0）”解決具體問題.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用：2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與平方根進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進(jìn)行

分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的模型，形成有效的學(xué)習(xí)策

略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：

3

問題1：已知反比例函數(shù)y=2,那么它的圖象在第一象限橫、?縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)

x

是.

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長是

老師點(diǎn)評(píng)：

問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即*=丫，所以X2=3.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=百，所以

所求點(diǎn)的坐標(biāo)(百，V3).

問題2：由勾股定理得AB=JI6

二、探索新知

很明顯6、M,都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，

我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如G(a20)?的式子叫做二次根式,“”

稱為二次根號(hào).

議一議：

1.一1有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)a<0,有意義嗎？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：血、g、L石(x>0),而、

X

蚯、-近、--—、Jx+y(x>0,y?20).

x+y

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“一”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)

或0.

解：二次根式有：0、G(x>0)>爬、-JI、>jx+y(x20,y》0)；不是二次

根式的有：垂>、蚯、—.

xx+y

例2.當(dāng)x是多少時(shí)，J3『-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-l20,?J3X-1

才能有意義.

解：由3x-120,得：X21

3

當(dāng)X21時(shí)，J3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時(shí)，,23+3+'一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X+1

分析：要使,2x+3+—L在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足j2x+3中的在0和」一中

X+lX+1

的X+1W0.

2x+3>0

解：依題意，得《

x+lwO

3

由①得：x'--

2

由②得：x#-l

當(dāng)X2-—且xW-l時(shí)，，2x+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4（1）已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.（答案⑵

y

________2

（2）若不萬=0,求azw+b?00,的值.（答案:三）

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

1.形如五（a20）的式子叫做二次根式，稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V?B.近C.\[xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A."B.V16C.瓜D.-

X

3.已知一個(gè)正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.小C.-D.以上皆不對

5

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負(fù)數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為In?的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計(jì)需要，?底面應(yīng)

做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

2.當(dāng)x是多少時(shí),+3+*2

X

3.若-X+y]x-3有意義，則\Jx2=

4.使式子J—（X-5）2有意義的未知數(shù)X有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.無數(shù)

5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且夜一5+2>/10—2〃=b+4,求a、b的值.

答案：

一、1.A2.D3.B二、L4a(a20)2.4a3.沒有

三、1.設(shè)底面邊長為x,則02x2=1,解答：x=6.2.依題意得：，2“x+3>一0，「>一一5,

x。0八

I[x^O

.?.當(dāng)x>-3且xWO時(shí)，,2元+3+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

2x

1

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板書設(shè)計(jì)：

§16.1.1.二次根式(1)

情境引入例2學(xué)生板演

二次根式的定義例3

例1例4小結(jié)

16.1二次根式(2)

教學(xué)內(nèi)容

1.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(-Ja)2=a(a20).

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和(&)2=a(a20),并利用它們進(jìn)行

計(jì)算和化簡.

過程與方法目標(biāo)：過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出G(a>0)是一個(gè)非負(fù)

數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(、份)2=a(a>0)；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：4a（a，0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)：（）2=a（a，0）及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出G（a，0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；?用探究的方法導(dǎo)

出（\fa）2=a（a20）.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀、類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培

養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生理解五（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（JZ）

2=a（a20）,形成有效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時(shí)，而叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，G有意義嗎？

老師點(diǎn)評(píng)（略）.

二、探究新知

議一議：（a>0）是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評(píng):

、萬（a，0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（C）2=;（&）2=；（囪）2=;(G)2=

（卜=——；（卜——；心'——

老師點(diǎn)評(píng)：”是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，〃是一個(gè)平方等于4的

非負(fù)數(shù)，因此有（、"）2=34.

同理可得：(V2)2=2,(A/9)2=9,()2=3,(

2=0,所以

(y/a)2=a(a20)

例1、計(jì)算

22.(36)23.(E)24.(―)2

1.

V62

分析:我們可以直接利用（&）2=a（a20）的結(jié)論解題.

解：(2)2=2,(3石)2=32?(岔)2=32?5=45,

\22

(口2工(立),(V7)27

一二-------------——

\662224

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值:

(V18)2（Vo）2

(3A/5)2-(5A/3)2

四、應(yīng)用拓展

例2、計(jì)算

1.(Jx+1)2(x20)2.3.(d+2a+1)~

4.(44(4￡+)2

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)》0；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x-3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用（五）2=a（a>o）的重要結(jié)論解題.

解：（1）因?yàn)閤20,所以x+l>0

(Jx+1)2=x+1

(2)Va2^0,)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又「(a+1)220,/.a2+2a+120,/.yja2+\=a2+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2

又；(2x-3)22。

/.4X2-12X+9^0.(\/4x2-12x+9)2=4x2-12x+9

例3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4⑶2X2-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(y[a)2=a(a20);反之:a=(\[a)2(a20).

六、布置作業(yè)

一、選擇題

22

1.下列各式中厲、技、揚(yáng)―1、yja+b,JW+20、J-144,二次根式

的個(gè)數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空題

1.(_6)2=.

2.已知有意義，那么是一個(gè)數(shù).

三、綜合提高題

i.計(jì)算

(1)(V9)2(2)-(G)2(3)(-76)2(4)(-3J-)2

2\3

(5)(273+3V2)(2A/3-3V2)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.已知Jx—y+l+Jx-3=0,求x'的值.

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

答案：一、1.B2.C；二、1.32.非負(fù)數(shù)；三、1.(1)(V9)2=9(2)

i17Jo9

-(>/3)2=-3(3)(—x/6)2=—X6=—；(4)(-3./—)2=9X—=6(5)-6

242\33

2.(1)5=(A/5)2；(2)3.4=(J3.4)2；(3)—=(.—)2;(4)x=(\[x)

6\6

2(x20)

y+1—0x=3>—r—

3.4*《xy=34=81；4.(1)X2-2=(x+V2)(x-V2)

x-3=0[y=4

(2)x4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(x+6)(X-A/3)；(3)略

板書設(shè)計(jì):

§16.1.二次根式(2)

情境引入例1學(xué)生板演

1.4a(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；例2

2.(\[a)2=a(a20);

反之:a=(G)2(a，0).例3小結(jié)

16.1二次根式(3)

教學(xué)內(nèi)容:值=a(a20)

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解J/=a(a^O)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

過程與方法目標(biāo)：通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J/=a(a》0),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體

問題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：V7=a(a20).

2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a》0時(shí)，，了=2才成立.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)

學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟，戶=2(a20),形成有效的學(xué)習(xí)策

略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入

1.形如右(a>0)的式子叫做二次根式；

2.4a(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

3.(\fa)2=a(a》0).

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，，/=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題.

二、探究新知

填空：

(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

亞=2；血喬=00；而牙木杼q；病行M

因此，一般地：|行=a(a20)

例1、化簡

(1)V9(2)Ji、(3)V25(4)J(-3)2

分析:因?yàn)?1)9=-32,(2)(-4)2=42,⑶25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運(yùn)用(a20)?去化簡.

解：(1)必律=3(2)J(-4)2="=4

(3)A/25=5(4)J(-3『=3

三、應(yīng)用拓展

例2、填空：當(dāng)a》0時(shí)，_____；當(dāng)a<0時(shí)，，/=，?并根據(jù)這一性

質(zhì)回答下列問題.

(1)若，?=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若必=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：；G=a(a20),...要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)

變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)aWO時(shí)，后4-a)?,那么-a》0.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知，/=

Ia|,而|a|要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0.

解：(1)因?yàn)镃=a,所以a20；

(2)因?yàn)?-a,所以aWO；

(3)因?yàn)楫?dāng)a20時(shí)=a,要使J/>a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a,

要使J/>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3、當(dāng)x>2,化簡J(x—2)2-J(1一2xJ.

分析：(略)

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：G=a(a20)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a的應(yīng)用拓

展.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

22

A.0B.-C.4-D.以上都不對

33

2.a20時(shí)，J/、，口產(chǎn)、-J/,比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）.

A.=yl（-a）2B.

C.J（-a）.D.-\[a^>=7（-￡Z）2

二、填空題

1.-V0.0004=.

2.若J礪是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl—Za+a?的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+d（l_a）2=a+（1-a）=1；

乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+J"2000=a,求a-19952的值.

（提示：先由a-200020,判斷1995-a?的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值）

3.若-3WxW2時(shí)，試化簡|x-2|+J（X+3）2+&-10X+25。

答案:一、1.C2.A；二、1.-0.022.5；三、1.甲甲沒有先判定1-a是正數(shù)還是

負(fù)數(shù)

2.由己知得a--2000?20,22000

所以a-1995+,“一2000=a,y/a-2000=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3.10-x

板書設(shè)計(jì)：

§16.1.二次根式(3)

情境引入例2學(xué)生板演

=a(a20).例3

例1練習(xí)小結(jié)

教學(xué)反思:

16.2二次根式的乘除(1)

教學(xué)內(nèi)容：4a?\[h—yfab(a20,b20),反之>/拓=夜?y/h(a20,b20)及其

運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解G,y/b=yfab(a)0,b》0),\[ab--/a?4b(a'O,b

》0),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡

過程與方法目標(biāo)：由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出夜?嘉=，石(a20,b》0)并運(yùn)

用它進(jìn)行計(jì)算；?利用逆向思維，得出，石=6-y[b(a》0,bNO)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和

化簡.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精

神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：4a,4b=\[ah(a)0,b20),\[ab-\[a?4b(a>0,b20)及它們的運(yùn)

用.

難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出&?4b—4ab(a20,b^O).

關(guān)鍵：要講清ylab(a<O,b<O)=JZ、/,如J(-2)x(-3=J-?(-2)x-(-3)或

J(-2)x(-3)=J2x3=\/2XV3.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2,講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與算術(shù)平方根的乘法進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法后配以精

講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的乘法法則，形成有效的學(xué)

習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)完成下列各題.

1.填空

(1)X邪-,—4x9=___;

(2)y/16X＞/25=,J16x25=.

(3)7100X^6=,V100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“＞、＜或="填空.

V4XV9,V16X725716x25,7100X

A/36V100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

(1)&X百遍，(2)72x75M,

(3)V5XV6而,(4)V4X而，

(5)幣又回屈.

老師點(diǎn)評(píng)(糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤)

二、探索新知

(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；

(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，?并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作

為等號(hào)另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為:4a?\fb=\[ab.(a20,b20)

反過來：=??血（a》0,b，0）

例L計(jì)算

(1)75XV7(2)(3)A/9XV27(4)

分析：直接利用G?a=箍（a，0,b20）計(jì)算即可.

解：⑴小義布=莊

⑵卜眄=即=百

(3)V9X>/27=V9X27=V92X3=9A/3

(4)義瓜=Jgx6=G

例2化簡

(1)79x16(2)716x81(3)781x100

(4)02y2(5)V54

分析：利用5/茄=五?4b(a》0,b20)直接化簡即可.

解：(1)79x16=79X716=3X4=12

(2)716x81=716XV81=4X9=36

(3)-81x100=聞X=9X10=90

(4)y)9x2y2=5/3^xyjx2y2=V?xx=3xy

(5)V54=5/9x6-5/3^XV6=3V6

三、鞏固練習(xí)

(1)計(jì)算：①V16Xa②3V6X2>/10③V5a,[gay

(2)化簡：V20;V18；V24；V54；712a2/72

四、應(yīng)用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:

(1)J(T)x(-9)=Cx"

（2）JgX后=4義但X后=4侵X4=4/=86

解：（1）不正確.

改正：正而不5=X?=2X3=6

（2）不正確.

改正:X后=J^X25=VHI=J16>7=4幣

五、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）4a?4b=\[ab=（a^O,b》0）,\[ab-4a?4b

（a^O,b20）及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)：一、選擇題

1.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為厲cm和巫cm,?那么此直角三角形斜邊

長是（）.

A.3\J2cmB.3>/3cmC.9cmD.27cm

2.化簡a的結(jié)果是（）.

A.yj-ClB.\[uC.-yj-ClD.-yfa

3.等式而IJ7=1=1一一1成立的條件是)

A.xelB.x》-lC.“WxWlD.xN1或xW?l

4.下列各等式成立的是（).

A.4#>X2亞=8亞B.5百X4&=20石

C.473X3V2=7V5D.56X472=20>/6

二、填空題：1.71014=.

2.自由落體的公式為S=；gt2（g為重力加速度，它的值為lOm/s?）,若物體下落的高

度為720m,則下落的時(shí)間是.

三、綜合提高題：1.一個(gè)底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，?現(xiàn)將一部分

水例入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm,

鐵桶的底面邊長是多少厘米？

2.探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程.

歸_22一-2(22—1)廠一I2

V22-l+22-l-V22-1+22-l-V+3

通過上述探究你能猜測出:（a>0），并驗(yàn)證你的結(jié)論.

答案:一、1.B2.C3.A4.D；二、1.13瓜2.12s

三、1.設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為X,

貝ijx?X10=30X30X20,x2=30X30X2,

x=V30x30XV2=30V2.

驗(yàn)證:

板書設(shè)計(jì):

16.2二次根式的乘除（1）

情境引入例2學(xué)生板演

yja?y[h=\[ab(a20,b20),例3

反之=G?\[b(a20,b20).

例1練習(xí)小結(jié)

16.2二次根式的乘除（2）

教學(xué)內(nèi)容

\a_4a

（a，0,b>0）,反過來（a20,b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

4廠而

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解(aZO,b>0)（aNO,b>0）及利用它

和4呼

們進(jìn)行運(yùn)算.

過程與方法目標(biāo)：利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并

用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化筒.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精

神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

4a_[a[a_4a

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵:1.重點(diǎn)：理解(aZO,b>0),（a》O,b>0）及利用

它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與商的平方根進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并

進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的除法法則，形成有效的學(xué)

習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

V3656

而W,

3.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

乖>也V2_

(1),(2),(3)，(4)也

忑=------

規(guī)律：言（3也但V2（2旦17

4；耳3：出5；引

二、探索新知

y/aa

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:7rM(a20,b>0),

■SO,b>0)

反過來,

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目.

分析：上面4小題利用/=（a》O,b>0）便可直接得出答案.

4b\b

解：（1）警=后="=2

分析:直接利用(a>0,b>0)就可以達(dá)到化簡之目的.

三、應(yīng)用拓展

例3.已知，日三且x為偶數(shù)，求(1+x)-二￡'+4的值.

Vx-67^6Vx2-l

分析:式子只有a>0,b>0時(shí)才能成立.

因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8.

解A：由,題意?得《9-x>0,即<[x<9

x-6>0x>6

???6<xW9

???x為偶數(shù)

/.x=8

?,?原式=(1+X)

(X+1)0—1)

(1+x)J4..=J(l+x)(x—4)

J(x+1)

.,.當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=14x9=6.

四、歸納小結(jié)

y/a[a_y[a

本節(jié)課要掌握(a20,b>0)和(a20,b>0)及其運(yùn)用.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

2/72v2

A.-V5B.-C.V2D.一

777

2.閱讀下列運(yùn)算過程：

1百垂)2275275

值一品6-3'75-75x75~5

2

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過程稱作“分母有理化”,那么，化簡7己的結(jié)果是

).

A.2B.6C.-V6D.V6

3

二、填空題

1■分母有理化:(1)」產(chǎn)=________;(2)—^=_______；(3).

3V2V122V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的最后結(jié)果是

三、綜合提高題

1.有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長與寬之比為百：1,?現(xiàn)用直徑為

3715cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？

2.計(jì)算

(a>0)

__V3V3V10V2xV5V2V15

答案:-1?A2.C一、1.(1)——?;(2)——;(3)—產(chǎn)=--------T=-=-----2.---

662V52V523

三、1.設(shè)：矩形房梁的寬為x（cm）,則長為Gxcm,依題意，得：（百x）2+x2=（3厲）