向量組的線性表示與線性相關(guān)性

1大家好2班級：

星期：節(jié)年月日第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性3友情提示本次課講第四章第一二節(jié)：向量組的線性表示與線性相關(guān)性；下一次課講第四章第二節(jié)（續(xù)）與第三節(jié)：相關(guān)性與向量組的秩；下次上課時交作業(yè)P25－P264第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性5一、向量組及其相關(guān)概念1.向量:(1)向量的定義(2)向量與矩陣

n維向量可寫成一行—行向量；也稱行矩陣；也可寫成一列—列向量，也稱列矩陣因此規(guī)定：行向量和列向量都按矩陣的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算（3）向量的記法：

1）列向量用用字母表示；行向量用表示.第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性62.向量組的概念（1）向量組的定義：若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合：如矩陣：有n個m維列向量（2）所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性7（2）矩陣與向量組：由m個n維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個

m×n矩陣因此，矩陣與它所對應(yīng)的行（列）向量組有一一對應(yīng)的關(guān)系，向量組稱矩陣的向量組，矩陣稱向量組的矩陣矩陣A組成的向量組稱為矩陣

A

的列向量組；反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣.由m個n維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個n×m矩陣();,,,21maaaAL=第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性83.線性組合的概念：定義2給定向量組A：，對于任何一組實(shí)數(shù)向量稱為向量組A

的一個線性組合，稱為這個線性組合的系數(shù).4.線性表示的概念：給定向量組A：和向量，如果存在一組數(shù)使則向量是向量組A的線性組合，這時稱向量能由向量組A

線性表示。線性表示的關(guān)鍵是線性表示系數(shù)的存在與求解第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性9即向量能由向量組線性表示.例如：5.向量組由向量組線性表示概念定義3設(shè)有兩個向量組A：及B：，則稱向量組B

能由向量組A

線性表示。6.向量組的等價：向量組A

與向量組B

能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。這是第二次遇到等價概念：一個是矩陣間互相初等變換的等價；這里是向量組間間互相線性表示的等價若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示，第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性107.向量組的線性相關(guān)概念(1)定義給定向量組A：，如果存在不全為零的數(shù)使則稱向量組A

是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)“否則”只有當(dāng)時，式才成立?；蛉粝蛄拷MA：，線性無關(guān)，且式成立，則必有第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性11二、用方程組判斷和求解向量組的線性表示的系數(shù)向量能由向量組A

線性表示，也就是方程組有解證：將方程組變形為：第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性12第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性13（1）秩的等式定理2:的秩等于矩陣向量組:能由向量組:

線性表示的充分必要條件是矩陣的秩.即:2.用方程組判定與求解向量組間的線性表示系數(shù).設(shè)向量組A

與向量組B所構(gòu)成的矩陣依次記作B組能由

A組線性表示，即對每個向量第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性14第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性15特別提示：定理所涉及的向量組均是列向量組，方程組的解也是列向量表示，“行變換、列向量”一定要記牢(2)兩個推論。由以上定理，不難推出以下結(jié)論分析：由定理2和向量組等價定義易推出結(jié)論成立第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性16（4）線性表示秩的解法的概括：例2：設(shè)向量組證明:能

由向量組線性表示,并求出表達(dá)式.第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性17證：～R(A)=R(B)=2,因能

由向量組線性表示.所以(其中C可取任意值)第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性18第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性19第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性例3（05，2，9分）20第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性21繼續(xù)往行階梯化下去：第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性22三、用方程組判定線性相關(guān)無關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性23（1）按照定義判定。思路：用定義，無關(guān)即向量的齊次線性方程組只有非零解，即系數(shù)行列式不等于零證:設(shè)有使即因線性無關(guān)，故的系數(shù)只有零解4.線性相關(guān)性的判定：例4

已知向量組線性無關(guān)，試證向量組線性無關(guān).第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性24此方程組的系數(shù)行列式為方程組只有零解所以向量組線性無關(guān).定理4（2）按照向量組的秩判定：向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩R(A)<m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是

R(A)=m.第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性25例5已知試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.解對矩陣施行初等行變換，則R向量組R=2,線性無關(guān).向量組線性相關(guān)；第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性26（3）按照整體與部分的關(guān)系判定定理5（1）若向量組

A：線性相關(guān)，則向量組

B：也相關(guān)；反言之，若向量組

B

線性無關(guān)，則向量組A

也線性無關(guān).（4）用向量的維數(shù)判定：

m個n

維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān).（5）線性表示與相關(guān)性的關(guān)系定理：第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性27證明：記由秩的定理，有R(A)≤R(B).因A

組線性無關(guān)，有R(A)=m；因B

組線性相關(guān)，有R(B)<m+1.所以m≤R(B)<m+1,

即有R(B)=m.由R(A)=R(B)=m,及線性方程組秩的解法定理，知方程組有唯一解，即b能由A組線性表示且表示唯一.第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性28證:1)因線性無關(guān),由定理線性無關(guān),又線性相關(guān),由定理能由線性表示.所以2)設(shè)能由線性表示.由(1)能由線性表示.線性無關(guān)矛盾.與證明:1)能由線性表示.2)不能由線性表示.分析：1.部分無關(guān)、整體相關(guān)則增加部分可由無關(guān)組線性表示，2.否