第四單元分?jǐn)?shù)·其四：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)篇【十四大考點(diǎn)】-2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版

篇首寄語(yǔ)我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但在面對(duì)琳瑯滿目的資料時(shí)，總是費(fèi)時(shí)費(fèi)力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來(lái)創(chuàng)作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學(xué)需求的同時(shí)，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結(jié)合自己教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際情況后，最終創(chuàng)作出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)，又適應(yīng)課后作業(yè)，還適合階段復(fù)習(xí)的大綜合系列?！?023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》，它基于教材知識(shí)和常年真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精煉高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。黃金無(wú)足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過(guò)程中有任何寶貴意見，請(qǐng)留言于我改進(jìn)，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學(xué)創(chuàng)作社2024年3月18日2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第四單元分?jǐn)?shù)·其四：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)篇【十四大考點(diǎn)】專題解讀本專題是第四單元分?jǐn)?shù)·其四：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)篇。本部分內(nèi)容主要是最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)及應(yīng)用，建議作為本章核心內(nèi)容進(jìn)行講解，其中考點(diǎn)劃分較多，一共劃分為十四個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。目錄導(dǎo)航TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】最大公因數(shù) 3【考點(diǎn)二】最小公倍數(shù) 5【考點(diǎn)三】三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù) 8【考點(diǎn)四】特殊情況其一：質(zhì)因數(shù)中的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù) 9【考點(diǎn)五】特殊情況其二：互質(zhì)數(shù)中的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù) 11【考點(diǎn)六】特殊情況其三：倍數(shù)關(guān)系中的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù) 13【考點(diǎn)七】最大公因數(shù)的應(yīng)用其一：分線段問(wèn)題 14【考點(diǎn)八】最大公因數(shù)的應(yīng)用其二：分長(zhǎng)方形問(wèn)題 16【考點(diǎn)九】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其一：分東西問(wèn)題 18【考點(diǎn)十】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其二：人數(shù)問(wèn)題 20【考點(diǎn)十一】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其三：日期問(wèn)題 22【考點(diǎn)十二】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其四：同余數(shù)問(wèn)題 25【考點(diǎn)十三】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其五：同差問(wèn)題 26【考點(diǎn)十四】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其六：綜合型 28典型例題【考點(diǎn)一】最大公因數(shù)。【方法點(diǎn)撥】1.最大公因數(shù)的定義：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)2.求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：（1）列舉法；（2）短除法3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)用小括號(hào)表示?！镜湫屠}】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。36和48

11和13

21，42和70【答案】12；1；7【分析】根據(jù)求兩個(gè)（或兩個(gè)以上）數(shù)最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)；當(dāng)兩個(gè)數(shù)互為質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)是1；據(jù)此解答?！驹斀狻?6和4836＝2×2×3×348＝2×2×2×2×3則36和48的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12；11和1311和13互為質(zhì)數(shù)，所以11和13的最大公因數(shù)是：1；21，42和7021＝3×742＝2×3×770＝2×5×7則21，42和70的最大公因數(shù)是：7。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】找出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)。5和36

24和72

14、26和32【答案】1；24；2【分析】?jī)蓴?shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1；兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小數(shù)；全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)?！驹斀狻?和36是互質(zhì)數(shù)，5和36的最大公因數(shù)是1；72÷24＝3，24和72的最大公因數(shù)是24；14＝2×726＝2×1332＝2×2×2×2×214、26和32的最大公因數(shù)是2?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】寫出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。15和25

7和15

22和33

35和28【答案】5；1；11；7【分析】全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。兩數(shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1，據(jù)此求出各組數(shù)的最大公因數(shù)?！驹斀狻?5＝3×5、25＝5×515和25的最大公因數(shù)是5；7和15是互質(zhì)數(shù)，7和15的最大公因數(shù)是1；22＝2×11、33＝3×1122和33的最大公因數(shù)是11；35＝5×7、28＝2×2×735和28的最大公因數(shù)是7?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】寫出每組數(shù)的最大公因數(shù)。12和18

72和48

78和117

23和32【答案】6；24；39；1【分析】當(dāng)兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，最大公因數(shù)是較小數(shù)；其它情況可以用分解質(zhì)因數(shù)找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式。兩個(gè)或兩個(gè)以上的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)就是最大公因數(shù)?！驹斀狻浚?）12＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數(shù)是2×3＝6；（2）72＝2×2×2×3×348＝2×2×2×2×372和48的最大公因數(shù)是2×2×2×3＝24；（3）78＝2×3×13117＝3×3×1378和117的最大公因數(shù)是3×13＝39；（4）23和32是互質(zhì)數(shù)，所以23和32的最大公因數(shù)是1?！究键c(diǎn)二】最小公倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.最小公倍數(shù)的定義：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù)。2.求最小公倍數(shù)的方法：（1）列舉法；（2）短除法。3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個(gè)數(shù)的最小公因數(shù)用中括號(hào)表示?！镜湫屠}】求下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)。27和72

36和60

76和80【答案】216；180；1520【分析】全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。可以用短除法進(jìn)行計(jì)算，把公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)，連續(xù)去除這幾個(gè)數(shù)，直到得出的商只有公因數(shù)1為止。然后把所有的除數(shù)、商都相乘，得到最小公倍數(shù)?！驹斀狻?×3×3×8＝21627和72的最小公倍數(shù)是216；2×2×3×3×5＝18036和60的最小公倍數(shù)是180；2×2×19×20＝152076和80的最小公倍數(shù)是1520?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求下面各組數(shù)的最小公倍數(shù)。10和60

8和14

11和34【答案】60；56；374【分析】全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；兩數(shù)互質(zhì)，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積?！驹斀狻?0÷10＝6，10和60的最小公倍數(shù)是60；8＝2×2×2、14＝2×72×2×2×7＝568和14的最小公倍數(shù)是56；11×34＝37411和34的最小公倍數(shù)是374。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和24

15和25

11和19【答案】最大公因數(shù)6；最小公倍數(shù)72；最大公因數(shù)5；最小公倍數(shù)75；最大公因數(shù)1；最小公倍數(shù)209【分析】把兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù)，直到得出的商只有公因數(shù)1為止，然后把所有除數(shù)連乘起來(lái)，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；最后把所有除數(shù)和商連乘起來(lái)，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）18和24的最大公因數(shù)：2×3＝618和24的最小公倍數(shù)：2×3×3×4＝72（2）15和25的最大公因數(shù)：515和25的最小公倍數(shù)：5×3×5＝75（3）11和19的最大公因數(shù)：111和19的最小公倍數(shù)：11×19＝209【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求下面各組數(shù)的最小公倍數(shù)。3和12

4和13

7和49

24和15【答案】12；52；49；120【分析】最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積；若兩個(gè)數(shù)互為倍數(shù)關(guān)系，則較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；若兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則最小公倍數(shù)就是它們的乘積。據(jù)此計(jì)算即可。【詳解】因?yàn)?2÷3＝4，所以3和12互為倍數(shù)關(guān)系，所以3和12的最小公倍數(shù)是12；因?yàn)?和13互質(zhì)，所以4和13的最小公倍數(shù)是4×13＝52；因?yàn)?9是7的倍數(shù)，所以7和49的最小公倍數(shù)是49；因?yàn)?4＝2×2×2×315＝3×5所以24和15的最小公倍數(shù)是2×2×2×3×5＝120?！究键c(diǎn)三】三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)用短除法。【典型例題】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。13、39和117

42、56和84

240、840和360解析：（13,39,117）=13

（42,56,84）=14

(240,840,360)=120[13,39,117]=117

[42,56,84]=168

[240,840,360]=5040【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。54，72和9060，90和120解析：略?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】用短除法求下列數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．286和429

384，192和64解析：143，858；64，384【考點(diǎn)四】特殊情況其一：質(zhì)因數(shù)中的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：求兩數(shù)的最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最大公因數(shù)也就是這幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積。【典型例題1】問(wèn)題一。如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：A和B公因數(shù)只有3，所以3就是最大公因數(shù)；A＝2×3×5＝6×5＝30B＝3×7＝21最小公倍數(shù)：30×21÷3＝630÷3＝210【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：21

462【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】，，A和B的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：12

120【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】A＝2×2×3，B＝2×3×7，A和B的最大公因數(shù)是()，A和B的最小公倍數(shù)是()。解析：6

84【典型例題2】問(wèn)題二。把自然數(shù)A和B分解質(zhì)因數(shù)得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因數(shù)是35，則A和B的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?10【分析】分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式。兩個(gè)或兩個(gè)以上的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)就是最大公因數(shù)；把公有的質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)，就是最小公倍數(shù)?！驹斀狻緼＝2×5×NB＝3×5×NA和B的最大公因數(shù)是：5N＝35；N＝35÷5＝7A和B的最小公倍數(shù)是：2×3×5×N；當(dāng)N＝7時(shí)，2×3×5×7＝210；所以，A和B的最小公倍數(shù)是210。【點(diǎn)睛】掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】把自然數(shù)X和Y分解質(zhì)因數(shù)，分別是，，如果X和Y的最大公因數(shù)是6，那么n＝()，X和Y的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?60【分析】X和Y公有質(zhì)因數(shù)的乘積是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，目前公有質(zhì)因數(shù)只有3，6÷3＝2，那么n是2，才能保證這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6；公有質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的乘積是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此列式求出X和Y的最小公倍數(shù)?！驹斀狻?÷3＝22×3×5×2＝60所以，n＝2，X和Y的最小公倍數(shù)是60?！军c(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，掌握最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然數(shù)且m不等于0），如果a與b的最大公因數(shù)是14，則m是()，a和b的最小公倍數(shù)是()。【答案】7210【分析】全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。據(jù)此可知2×m＝14，根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊同時(shí)÷2，即可求出m的值。全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。【詳解】2×m＝14解：2×m÷2＝14÷2m＝72×3×5×7＝210已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然數(shù)且m不等于0），如果a與b的最大公因數(shù)是14，則m是7，a和b的最小公倍數(shù)是210。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的意義，掌握最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因數(shù)是8，那么m＝()，A和B的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?120【分析】由題意可知，B＝2×3m＝2m×3，則A和B的最大公因數(shù)是2m，A和B的最小公倍數(shù)是2m×3×5，據(jù)此解答?！驹斀狻緼＝2m×5，B＝2×3m＝2m×3，則2m是兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，m＝8÷2＝4，A和B的最小公倍數(shù)是2×4×3×5＝120，所以m＝4，A和B的最小公倍數(shù)是120?！军c(diǎn)睛】本題主要考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，根據(jù)兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)求出m的值是解答題目的關(guān)鍵。【考點(diǎn)五】特殊情況其二：互質(zhì)數(shù)中的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。2.當(dāng)兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)關(guān)系時(shí)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。【典型例題】b和t是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

bt【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】?jī)蓚€(gè)連續(xù)的自然數(shù)（均不為0），它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

它們的乘積【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如果a，b的公因數(shù)只有1，那它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

ab【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如果a－1＝b（a、b分別為非零的自然數(shù)），那么a、b的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?ab【分析】求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)既不互質(zhì)，也不是倍數(shù)關(guān)系，則先把兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答?！驹斀狻咳绻鸻－1＝b（a、b分別為非零的自然數(shù)），則a和b是兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，它們的公因數(shù)只有1，所以a和b互質(zhì)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是ab?！军c(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，掌握相應(yīng)的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵。【考點(diǎn)六】特殊情況其三：倍數(shù)關(guān)系中的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)?！镜湫屠}】如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然數(shù)，那么a和b的最大公因數(shù)是()；最小公倍數(shù)是()。【答案】ba【分析】若兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。據(jù)此填空即可。【詳解】因?yàn)閍＝3b，所以a÷b＝3則a和b的最大公因數(shù)是b；最小公倍數(shù)是a?！军c(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，明確互為倍數(shù)關(guān)系的特殊求法是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如果a＝2b（a、b均為大于9的整數(shù)），則a、b的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()?！敬鸢浮縜b【分析】若兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)，較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)?！驹斀狻恳?yàn)閍＝2b，所以a÷b＝2；則a和b成倍數(shù)關(guān)系；a和b的最小公倍數(shù)是a，a和b的最大公因數(shù)是b。因此如果a＝2b（a、b均為大于9的整數(shù)），則a、b的最小公倍數(shù)是a，最大公因數(shù)是b?！军c(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，明確兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)，較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如果自然數(shù)C是B的5倍，則B與C的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()?！敬鸢浮緾B【分析】求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)既不互質(zhì)，也不是倍數(shù)關(guān)系，則先把兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答?！驹斀狻坑煞治隹芍喝绻匀粩?shù)C是B的5倍，則B與C的最小公倍數(shù)是C，最大公因數(shù)是B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，熟練掌握相應(yīng)的方法是解答本題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如果A＝7B，那么A和B的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。【答案】BA【分析】求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的數(shù)；據(jù)此解答。【詳解】如果A＝7B則A和B是倍數(shù)關(guān)系，那么A和B的最大公因數(shù)是B，最小公倍數(shù)是A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法?！究键c(diǎn)七】最大公因數(shù)的應(yīng)用其一：分線段問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】分線段問(wèn)題解題步驟：1.分析每小段的長(zhǎng)度和每條線段長(zhǎng)度的關(guān)系；2.短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問(wèn)的是每個(gè)小段的長(zhǎng)度還是求一共可以分成多少個(gè)小段。【典型例題】用下面的兩種彩帶包裝禮品盒?，F(xiàn)在要把它們剪成同樣長(zhǎng)的小段且沒有剩余，每段最長(zhǎng)是多少分米？一共能剪成幾段？解析：56＝2×2×2×748＝2×2×2×2×32×2×2＝8每段最長(zhǎng)是8分米，（56＋48）÷8＝104÷8＝13（段）答：每段最長(zhǎng)是8分米，一共能剪成13段?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】有兩根彩帶，一根長(zhǎng)45厘米，另一根長(zhǎng)60厘米。現(xiàn)在要把它們剪成長(zhǎng)度一樣的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長(zhǎng)是多少厘米？一共可以剪成幾根？解析：45＝3×3×560＝2×2×3×545和60的最大公因數(shù)是：3×5＝15。即每根短彩帶最長(zhǎng)是15厘米。（45÷15）＋（60÷15）＝3＋4＝7（根）答：每根短彩帶最長(zhǎng)是15厘米，一共可以剪成7根?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】有兩根繩子，一根長(zhǎng)36米，另一根長(zhǎng)42米，要把這兩根繩子都剪成同樣長(zhǎng)的小段，不許有剩余，每小段最長(zhǎng)多少米？一共可以剪成多少段？解析：36＝2×2×3×342＝2×3×726和42的最大公因數(shù)是2×3＝6。（36＋42）÷6＝78÷6＝13（段）答：每小段最長(zhǎng)6米；一共可以剪成13段?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】有兩根鋼管，分別長(zhǎng)45厘米、30厘米，把它們截成長(zhǎng)度相等的小段，且沒有剩余。每一小段最長(zhǎng)多少厘米？一共可以截成多少段？解析：45＝3×3×530＝2×3×545和30的最大公因數(shù)是：3×5＝15。即每一小段最長(zhǎng)是15厘米。（45÷15）＋（30÷15）＝3＋2＝5（段）答：每一小段最長(zhǎng)15厘米，一共可以截成5段。【考點(diǎn)八】最大公因數(shù)的應(yīng)用其二：分長(zhǎng)方形問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】分長(zhǎng)方形問(wèn)題解題步驟：1.分析每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)和大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系；2.短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問(wèn)的是小正方形的邊長(zhǎng)還是求一共可以分成多少個(gè)小正方形?！镜湫屠}】選修課上，老師要求同學(xué)們將一張長(zhǎng)28厘米，寬12厘米的長(zhǎng)方形彩紙。在無(wú)剩余的前提下，裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長(zhǎng)是多少？一共可以裁成多少?gòu)垼拷馕觯?8＝2×2×712＝2×2×32×2＝4（厘米）28×12÷（4×4）＝336÷16＝21（張）正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，一共可以裁成21張?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】把一塊長(zhǎng)48厘米，寬36厘米的長(zhǎng)方形硬紙裁成同樣大小，面積盡可能大的正方形，紙板沒有剩余。至少可以裁成多少個(gè)正方形？每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？解析：48＝2×2×2×2×336＝2×2×3×32×2×3＝12（厘米）48×36÷（12×12）＝1728÷144＝12（個(gè)）答：至少可以裁成12個(gè)正方形，每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】爸爸打算給長(zhǎng)72分米、寬48分米的客廳鋪上地磚。從不浪費(fèi)材料的角度考慮（使用的地磚都是整塊），可以選擇邊長(zhǎng)是多少分米的正方形地磚？（地磚的邊長(zhǎng)是整分米數(shù)且在5～10分米之間）解析：72的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；72和48在5～10的公因數(shù)有6、8；答：可以選擇邊長(zhǎng)是6分米或8分米的正方形地磚?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】李伯伯家挖了一個(gè)長(zhǎng)15分米，寬10分米，深8分米的長(zhǎng)方體水池。（1）現(xiàn)在要用邊長(zhǎng)是整分米數(shù)的藍(lán)色正方形地磚把這個(gè)水池的底面鋪滿（使用的地磚必須都是整塊），藍(lán)色地磚的邊長(zhǎng)最大是幾分米？一共需要多少塊這樣的藍(lán)色地磚？（2）如果把水池內(nèi)壁的四周貼上白色瓷磚，每平方米需要10塊同樣大小的白色瓷磚，那么這個(gè)水池一共需要多少塊這樣的白色瓷磚？（藍(lán)色地磚的厚度忽略不計(jì)）解析：（1）15和10的最大公因數(shù)為5，所以藍(lán)色地磚的邊長(zhǎng)最大是5分米。（15×10）÷（5×5）＝150÷25＝6（塊）答：藍(lán)色地磚的邊長(zhǎng)最大是5分米，一共需要6塊這樣的藍(lán)色地磚。（2）（15×8＋10×8）×2＝（120＋80）×2＝200×2＝400（平方分米）400平方分米＝4平方米4×10＝40（塊）答：這個(gè)水池一共需要40塊這樣的白色瓷磚。【考點(diǎn)九】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其一：分東西問(wèn)題。【方法點(diǎn)撥】分東西問(wèn)題：若平均分給m個(gè)小朋友可以恰好分完，那么總數(shù)是m的倍數(shù)，若平均分給n個(gè)小朋友可以恰好分完，那么總數(shù)也是n的倍數(shù)，所以總數(shù)是m和n的公倍數(shù)，根據(jù)題目要求求出符合題意的公倍數(shù)即可?！镜湫屠}】籃子里的蘿卜無(wú)論是分給12只小兔子，還是分給15只小兔子，都能正好分完。籃子里至少有多少根蘿卜？解析：12＝2×2×315＝3×52×2×3×5＝6012和15的最小公倍數(shù)是60，答：籃子里至少有60根蘿卜?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】學(xué)校新買一批故事書，不論分給15個(gè)小朋友，還是20個(gè)小朋友，都正好分完。這批書至少有多少本？解析：15＝3×520＝2×2×515和20的最小公倍數(shù)是：2×2×3×5＝60。答：這批書至少有60本。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】媽媽買了一盒巧克力，無(wú)論平均分給5個(gè)人還是7個(gè)人，都剛好分完，那么這盒巧克力最少有多少顆？解析：依題意得，巧克力總數(shù)應(yīng)該是5和7的公倍數(shù).其中最小的是35，所以這盒巧克力最少有35顆?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】為慶祝“五一”，張老師買來(lái)一些糖果，如果每位小朋友分4顆或6顆，都正好分完。這些糖果的顆數(shù)在30－40之間，張老師買來(lái)多少顆糖果？解析：4＝2×26＝2×34、6的最小公倍數(shù)是：3×2×2＝12因?yàn)?2×3＝36，糖果總數(shù)在30~40之間，所以張老師一共買來(lái)36顆糖果。答：張老師買了36顆糖果?！究键c(diǎn)十】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其二：人數(shù)問(wèn)題。【方法點(diǎn)撥】分析已知條件，列出乘法算式?！镜湫屠}】籃球隊(duì)的同學(xué)們分組練習(xí)，分成6人一組或8人一組都多4人，已知籃球隊(duì)的人數(shù)在50－60人之間，籃球隊(duì)有多少人？【答案】52人【分析】由題意可知，籃球隊(duì)的人數(shù)應(yīng)是6和8的公倍數(shù)再4，先求出6和8的最小公倍數(shù)，再結(jié)合人數(shù)在50－60人之間解答即可?！驹斀狻?＝2×38＝2×2×2則6和8的最小公倍數(shù)是2×3×2×2＝2424×2＋4＝48＋4＝52（人）答：籃球隊(duì)有52人?！军c(diǎn)睛】本題考查公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，明確求公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】學(xué)校參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)的開幕式體操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，參加體操表演的學(xué)生在90~100人之間，請(qǐng)問(wèn)有多少人參加體操表演？【答案】96人【分析】由題意可知：參加體操表演的學(xué)生人數(shù)是12的倍數(shù)，也是16的倍數(shù)，即是12和16的公倍數(shù)。先求出12和16的最小公倍數(shù)，然后再求出90~100之間12和16的最小公倍數(shù)的倍數(shù)，即是參加體操表演的人數(shù)?！驹斀狻?2和16的最小公倍數(shù)是2×2×3×4＝48。48×2＝96（人）90＜96＜100答：有96人參加體操表演?！军c(diǎn)睛】當(dāng)所求量分別與兩個(gè)已知量的倍數(shù)有關(guān)時(shí)，可以用公倍數(shù)或最小公倍數(shù)的知識(shí)解決?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一次會(huì)餐有三種飲料，餐后統(tǒng)計(jì)，三種飲料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A飲料，每3人用一瓶B飲料，每4人用一瓶C飲料。有多少人參加會(huì)餐？【答案】60人【分析】根據(jù)題意可知參加會(huì)餐的人數(shù)是不變的，一定是2、3、4的公倍數(shù)，那就先求出2、3、4的最小公倍數(shù)是12，若安排12人一桌，那么一桌共需要飲料12÷2＋12÷3＋12÷4＝13瓶，而三種飲料共用了65瓶，所以一共有65÷13＝5桌，用一桌的12人乘5即得參加會(huì)餐的人數(shù)；據(jù)此解答?！驹斀狻?、3、4的最小公倍數(shù)是12。12÷2＋12÷3＋12÷4＝6＋4＋3＝13（瓶）65÷13＝5（桌）12×5＝60（人）答：有60人參加會(huì)餐?！军c(diǎn)睛】此題主要是考查了公倍數(shù)的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是參加會(huì)餐的人數(shù)是不變的，一定是2、3、4的公倍數(shù)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】三（1）班參加跳繩比賽的人數(shù)在40－50人之間，如果把參賽的人數(shù)分成6人一組或分成8人一組，都正好分完。三（1）班參加跳繩比賽的有多少人？【答案】48人【分析】把參賽的人數(shù)分成6人一組或分成8人一組，都正好分完，說(shuō)明參賽人數(shù)是6和8的公倍數(shù)，先求出6和8的最小公倍數(shù)，再通過(guò)最小公倍數(shù)找到40－50之間的公倍數(shù)即可。【詳解】6＝2×38＝2×2×22×2×2×3＝24（人）24×2＝48（人）答：三（1）班參加跳繩比賽的有48人。【點(diǎn)睛】?jī)蓚€(gè)或多個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個(gè)公倍數(shù)就叫做這幾個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)?！究键c(diǎn)十一】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其三：日期問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】日期問(wèn)題也是典型的公倍數(shù)問(wèn)題，注意分析有沒有到下個(gè)月，以及每個(gè)月最后一天是幾號(hào)?！镜湫屠}1】問(wèn)題一。我市7路和10路公共汽車的起點(diǎn)站都在汽車西站。這兩路公共汽車同時(shí)發(fā)車后，過(guò)多少分鐘兩路車第二次同時(shí)發(fā)車？7路：每隔6分鐘發(fā)一次車10路：每隔8分鐘發(fā)一次車解析：6＝2×38＝2×2×26和8的最小公倍數(shù)就是：2×2×2×3＝24。即過(guò)24分鐘兩路車第二次同時(shí)發(fā)車。答：這兩路公共汽車同時(shí)發(fā)車后，過(guò)24分鐘兩路車第二次同時(shí)發(fā)車?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】那西公交8路車和3路車早上6：25同時(shí)從公交車站出發(fā)，若8路車每35分鐘發(fā)一次，3路車每20分鐘發(fā)一次，請(qǐng)問(wèn)下一次同時(shí)發(fā)車至少是幾時(shí)幾分？解析：因?yàn)?0＝2×2×535＝5×7所以20和35的最小公倍數(shù)是4×5×7＝20×7＝1406：25是6時(shí)25分6時(shí)25分＋140分＝8時(shí)45分答：下一次同時(shí)發(fā)車至少是8時(shí)45分?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】偃師802路和803路公交車早上7時(shí)同時(shí)從起始站發(fā)車，802路車每10分鐘發(fā)一輛，803路車每15分鐘發(fā)一輛。這兩路車第二次同時(shí)發(fā)車是什么時(shí)間？解析：10和15的最小公倍數(shù)是5×2×3＝30。即30分鐘后，兩車第二次同時(shí)發(fā)車。7時(shí)分時(shí)30分答：這兩路車第二次同時(shí)發(fā)車是7時(shí)30分。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】1路車每5分鐘發(fā)一次車，2路車每8分鐘發(fā)一次車，15路車每10分鐘發(fā)一次車。6時(shí)，1路、2路、15路車第一次同時(shí)發(fā)車，它們第二次同時(shí)發(fā)車是幾時(shí)幾分？解析：5、8、10的最小公倍數(shù)：5×2×1×4×1＝40所以，再經(jīng)過(guò)40分鐘1路、2路、15路車第二次同時(shí)發(fā)車。6時(shí)＋40分鐘＝6時(shí)40分答：它們第二次同時(shí)發(fā)車是6時(shí)40分?！镜湫屠}2】問(wèn)題二。甲、乙、兩人到圖書館去借書，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他們兩人在圖書館相遇，那么下一次都到圖書館是幾月幾日？解析：12和16的最小公倍數(shù)為：2×2×3×4＝484月25日＋48天＝6月12日答：下一次都到圖書館是6月12日?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】暑假期間，小林和小軍都去參加游泳訓(xùn)練。小林每6天去一次，小軍每8天去一次。7月31日兩人同時(shí)參加了游泳訓(xùn)練后，幾月幾日他們又再次相遇？解析：6＝2×38＝2×2×22×2×2×3＝246和8的最小公倍數(shù)是24。7月31日的24日之后是8月24日。答：8月24日他們又再次相遇。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】小明和小紅都喜歡去圖書館看書，小明每5天去一次，小紅每4天去一次，5月3日，他們一起到了圖書館，下次遇到是在幾月幾日?解析：5和4的最小公倍數(shù)為：4×5=20，3＋20=23所以，下次遇到是在5月23日?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】爸爸和媽媽都不是按雙休日休息，爸爸每工作3天輪休1天，媽媽每工作4天輪休1天，3月5日爸爸媽媽同時(shí)休息。按此計(jì)算，3，4兩個(gè)月爸爸和媽媽同時(shí)休息的有幾天？分別是哪幾天？解析：3＋1＝4（天）4＋1＝5（天）因?yàn)?和5是互質(zhì)數(shù)，所以4和5的最小公倍數(shù)是；4×5＝20。即20天后，爸爸和媽媽同時(shí)休息。5＋20＝25（日）即3月25日爸爸和媽媽會(huì)再次同時(shí)休息。3月有31天，31－25＝6（天）20－6＝14（日）即4月14日爸爸和媽媽會(huì)再次同時(shí)休息。答：3，4兩個(gè)月爸爸和媽媽同時(shí)休息的有3天，分別是3月5日，3月25日，4月14日?！究键c(diǎn)十二】最小公倍數(shù)的應(yīng)用其四：同余數(shù)問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】同余數(shù)問(wèn)題：余數(shù)相同時(shí)，減去余數(shù)得到整除。遇到有剩余且剩余的數(shù)量一樣多時(shí)，先求最小公倍數(shù)，再把剩余的加上。【典型例題】現(xiàn)在有一筐蘋果，無(wú)論是平均分給8個(gè)人，還是平均分給14個(gè)人，結(jié)果都剩下1個(gè)。這筐蘋果至少有多少個(gè)？解析：8＝2×2×214＝2×78和1