第四單元比例·比例的意義和基本性質(zhì)篇【十二大考點】-2023-2024學年六年級數(shù)學下冊典型例題系列（解析版）人教版

篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生，但在面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創(chuàng)作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學需求的同時，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結合自己教學經(jīng)驗和學生實際情況后，最終創(chuàng)作出了一個既適宜課堂教學，又適應課后作業(yè)，還適合階段復習的大綜合系列?！?023-2024學年六年級數(shù)學下冊典型例題系列》，它基于教材知識和常年真題總結與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優(yōu)點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學創(chuàng)作社2024年2月24日2023-2024學年六年級數(shù)學下冊典型例題系列第四單元比例·比例的意義和基本性質(zhì)篇【十二大考點】專題解讀本專題是第四單元比例·比例的意義和基本性質(zhì)篇。本部分內(nèi)容包括比例的意義、基本性質(zhì)以及解比例等，考點考題較多，難度不大，建議作為本章核心內(nèi)容進行講解，一共劃分為十二個考點，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【考點一】比例的意義其一：判斷是否成比例 3【考點二】比例的意義其二：組比例 6【考點三】比例的意義其三：求某項 7【考點四】比例的基本性質(zhì)其一：求某項 10【考點五】比例的基本性質(zhì)其二：項的變化規(guī)律 12【考點六】比例的八種變換形式 13【考點七】比例中項 16【考點八】解比例方程其一：比例式 17【考點九】解比例方程其二：分數(shù)式 19【考點十】解比例方程其三：混合式 20【考點十一】解比例方程其四：復雜的比例方程 21【考點十二】配比例 22典型例題【考點一】比例的意義其一：判斷是否成比例?！痉椒c撥】1.比例的意義：（1）表示兩個比相等的式子叫做比例。（2）根據(jù)比例的意義可以判斷兩個比能否組成比例。2.比例的各部分名稱：（1）組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。（2）在比例中，兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項。3.比例的三種常見形式：（1）比例式：例如：80:2=200:5（2）分數(shù)式：例如：（3）乘積式：例如：80×5=200×2【典型例題】下面式子中，()是比例。A．∶4＝1∶20 B．16∶4＝4 C．3∶5＝5∶3 D．7∶2＝∶【答案】A【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義可知，比值相等的兩個比可以組成比例?！驹斀狻緼．∶4＝÷4＝×＝1∶20＝1÷20＝＝，所以∶4＝1∶20，是比例；B．16∶4＝4是一個等式，不是比例；C．3∶5＝3÷5＝5∶3＝5÷3＝≠，所以3∶5＝5∶3不是比例；D．7∶2＝7÷2＝∶＝÷＝×2＝≠，所以7∶2＝∶不是比例。故答案為：A【對應練習1】下面每組中的兩個比不成比例的是()。A．6∶9和9∶12 B．1.4∶2和7∶10 C．0.5∶0.2和∶ D．∶和7.5∶1【答案】A【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義可知，比值相等的兩個比可以組成比例。分別求出各選項中兩個比的比值，比值相等的成比例；比值不相等的，就不成比例?！驹斀狻緼．6∶9＝6÷9＝9∶12＝9÷12＝不等于，比值不相等，所以6∶9和9∶12不成比例，符合題意；B．1.4∶2＝1.4÷2＝0.77∶10＝7÷10＝0.7比值相等，所以1.4∶2和7∶10成比例，不符合題意；C．0.5∶0.2＝0.5÷0.2＝2.5∶＝÷＝×4＝2.5比值相等，所以0.5∶0.2和∶成比例，不符合題意；D．∶＝÷＝×10＝7.57.5∶1＝7.5÷1＝7.5比值相等，所以∶和7.5∶1成比例，不符合題意。故答案為：A【對應練習2】下面每組中的兩個比?？梢越M成比例的是()。A．2∶3和21∶14 B．和 C．1∶0.25和8∶2 D．和【答案】C【分析】表示兩個比相等的式子叫比例，據(jù)此分別求出各選項中比的比值，比值相等的可以組成比例?！驹斀狻緼．2∶3＝2÷3＝、21∶14＝21÷14＝＝，比值不相等，2∶3和21∶14不可以組成比例；B．、，比值不相等，和不可以組成比例；C．1∶0.25＝1÷0.25＝4、8∶2＝8÷2＝4，比值相等，1∶0.25和8∶2可以組成比例；D．、，比值不相等，和不可以組成比例?？梢越M成比例的是1∶0.25和8∶2。故答案為：C【對應練習3】下列()中的兩個比可以組成比例。A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】表示兩個比相等的式子叫作比例，分別求出各比的比值，再找出比值相等的選項，據(jù)此解答。【詳解】A．＝＝＝，＝＝＝，因為≠，所以和不能組成比例；B．＝＝1.6×3＝4.8，＝＝6×0.8＝4.8，因為4.8＝4.8，所以和可以組成比例；C．＝6÷9＝，＝9÷6＝，因為≠，所以和不能組成比例；D．＝3.2÷1.4＝，＝4.1÷2.3＝，因為≠，所以和不能組成比例。故答案為：B【點睛】本題主要考查比例的認識，掌握比例的意義是解答題目的關鍵?！究键c二】比例的意義其二：組比例。【方法點撥】組成比例要根據(jù)比例的意義來解決?！镜湫屠}】寫出比值是9的兩個比，并組成一個比例：()?！敬鸢浮?∶1＝18∶2【分析】比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義可知，比值相等的兩個比可以組成比例?！驹斀狻?∶1＝9÷1＝918∶2＝18÷2＝9組成比例：9∶1＝18∶2。（答案不唯一）【對應練習1】寫出比值都是的兩個比，并且組成比例。()【答案】1∶4＝2∶8【分析】比的前項除以比的后項，即為比值；然后根據(jù)比例的意義，比值相等的兩個比可以組成比例。【詳解】例如：1∶4和2∶8，比值都為，組成的比例為：1∶4＝2∶8。（答案不唯一）【對應練習2】用比值是4的兩個比組成一個比例()?！敬鸢浮?∶1＝20∶5【分析】根據(jù)比例的意義：即表示兩個比相等的式子，叫做比例，比值已知，從而寫成符合要求的比，進而組成比例?！驹斀狻勘戎凳?；4∶1的比值是4；20∶5的比值是4；組成的比例是：4∶1＝20∶5。用比值是4的兩個比組成一個比例4∶1＝20∶5（答案不唯一）?！緦毩?】10的因數(shù)有()，用這些因數(shù)組成一個比例式()。【答案】1、2、5、101∶2＝5∶10【分析】根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法，可以利用乘法算式，按因數(shù)從小到大的順序一組一組地找；據(jù)此找出10的所有因數(shù)，然后根據(jù)比例的意義寫出兩個比值相等的比并組成比例即可?！驹斀狻?0÷1＝1010÷2＝510的因數(shù)有：1、2、5、10因為1∶2＝，5∶10＝，所以1∶2＝5∶10?！究键c三】比例的意義其三：求某項?！痉椒c撥】組成比例的兩個比，前一個比不知后項，后一個比不知前項，就用比的前項除以比值，即可求出前一個比的后項，用比的后項乘比值，即可求出后一個比的前項，最后再寫出比例?！镜湫屠}】在一個比例里，兩個外項分別是5和6，比值是，這個比例是()或()?！敬鸢浮?∶15＝2∶66∶18＝∶5【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例，兩個外項分別是5和6，組成這個比例的兩個比中，前一個比缺少后項，后一個比缺少前項，根據(jù)“后項＝前項÷比值”“前項＝后項×比值”分別求出比例的內(nèi)項，最后寫出比例，據(jù)此解答。【詳解】情況一：5為前一個比的前項，6為后一個比的后項。5÷＝5×3＝156×＝2則這個比例是5∶15＝2∶6。情況二：6為前一個比的前項，5為后一個比的后項。6÷＝6×3＝185×＝則這個比例是6∶18＝∶5。所以，這個比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5?！军c睛】掌握比例的意義，并靈活運用比的前項、后項、比值之間的關系是解答題目的關鍵。【對應練習1】已知一個比例是由兩個比值是4的比組成，又知道比例的兩個外項分別是1.2和5。這個比例是()?！敬鸢浮?.2∶0.3＝20∶5/5∶1.25＝4.8∶1.2【分析】比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義，分兩種情況討論：情況一，設這個比例是1.2∶a＝b∶5，已知兩個比的比值都是4，得出1.2∶a＝4，b∶5＝4，由此分別求出a、b的值，寫出這個比例；情況二，設這個比例是5∶a＝b∶1.2，已知兩個比的比值都是4，得出5∶a＝4，b∶1.2＝4，由此分別求出a、b的值，寫出這個比例?！驹斀狻壳闆r一：設比例的兩個內(nèi)項分別是a和b，則這個比例是1.2∶a＝b∶5。由1.2∶a＝4，即1.2÷a＝4，可得a＝1.2÷4＝0.3；由b∶5＝4，即b÷5＝4，可得b＝4×5＝20；所以，這個比例是1.2∶0.3＝20∶5。情況二：設比例的兩個內(nèi)項分別是a和b，則這個比例是5∶a＝b∶1.2。由5∶a＝4，即5÷a＝4，可得a＝5÷4＝1.25；由b∶1.2＝4，即b÷1.2＝4，可得b＝4×1.2＝4.8；所以，這個比例是5∶1.25＝4.8∶1.2。綜上所述，這個比例是1.2∶0.3＝20∶5或5∶1.25＝4.8∶1.2。【點睛】本題考查比例的意義以及兩個內(nèi)項的求法，注意交換兩個外項的位置，可以得出兩個不同的比例?！緦毩?】如果一個比例中的兩個外項都是3，并且組成這個比例的兩個比的比值也是3，那么這個比例可以寫成()?！敬鸢浮?∶1＝9∶3【分析】根據(jù)題意可知，組成比例的兩個比，前一個比不知后項，后一個比不知前項，就用比的前項除以比值，即可求出前一個比的后項，用比的后項乘比值，即可求出后一個比的前項，進而寫出比例即可?！驹斀狻壳耙粋€比的后項：3÷3＝1后一個比的前項：3×3＝9則這個比例可以寫成3∶1＝9∶3?！军c睛】此題考查求比的前、后項的方法，用到的關系式有：比的后項＝比的前項÷比值，比的前項＝比的后項×比值；也考查了比例的意義。【對應練習3】請你再添上一個數(shù)，讓它能與3、、0.5組成比例，所組成的這個比例是()。【答案】3∶＝9∶0.5【分析】若兩組比的比值相等，則這兩組比可以組成比例?！驹斀狻?÷＝1818×0.5＝9所組成的這個比例是3∶＝9∶0.5（答案不唯一）【點睛】本題考查比例的意義，明確比例的意義是解題的關鍵?！究键c四】比例的基本性質(zhì)其一：求某項。【方法點撥】1.在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫做比例的基本性質(zhì)，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不為0），那么ad=bc。2.組成比例有條件，兩比相等不能變，外項內(nèi)項積相等，性質(zhì)應用最廣泛。3.比和比例的聯(lián)系與區(qū)別：【典型例題】一個比例的兩個外項互為倒數(shù)，其中一個外項是1.25，另一個外項是()?！敬鸢浮?.8/【分析】乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。根據(jù)題意，一個比例的兩個外項互為倒數(shù)，那么這兩個外項的積等于1；用兩個外項的積除以已知的一個外項，即可求出另一個外項?！驹斀狻?÷1.25＝0.8另一個外項是0.8。【對應練習1】一個比例的兩個外項互為倒數(shù)，如果其中一個內(nèi)項為0.4，另一個內(nèi)項是()?！敬鸢浮?.5/【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)“在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積”，根據(jù)倒數(shù)的意義，兩個外項互為倒數(shù)即兩外項的乘積是1，故兩內(nèi)向的乘積也是1，據(jù)此可計算出另一個內(nèi)項?！驹斀狻坑煞治隹芍?，0.4乘另一個內(nèi)項等于1，求另一個內(nèi)項；1÷0.4＝2.5所以另一個內(nèi)項是2.5。【對應練習2】在一個比例里，兩個外項的積是最小的質(zhì)數(shù)，其中一個內(nèi)項是，另一個內(nèi)項是()?！敬鸢浮俊痉治觥恳李}可知兩個外項的積是最小的質(zhì)數(shù)，即為2，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)：在比例里兩個內(nèi)項的積等于兩個外項的積，則兩個內(nèi)項的積也是2，據(jù)此解答?！驹斀狻坑煞治隹芍?÷＝，故另一個內(nèi)項為?！緦毩?】一個比例的兩個內(nèi)項的積互為倒數(shù)，一個外項是，另一個外項是()?！敬鸢浮俊痉治觥恳阎粋€比例的兩個內(nèi)項的積互為倒數(shù)，根據(jù)倒數(shù)的意義可知，這兩個內(nèi)項的積等于1；再根據(jù)比例的基本性質(zhì)可知，這個比例的兩個外項的積也等于1；那么用積除以已知的外項，即可求出另一個外項。乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。【詳解】1÷＝1×＝另一個外項是?！究键c五】比例的基本性質(zhì)其二：項的變化規(guī)律?！痉椒c撥】在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫做比例的基本性質(zhì)，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不為0），那么ad=bc?！镜湫屠}】在比例7∶2＝28∶8中，如果內(nèi)項2增加4，那么外項7增加()。解析：14【對應練習1】已知比例，如果將第一個比的后項加4，那么第二比的后項應該加()才能使等式成立。解析：（4＋4）×6÷3－8＝8×6÷3－8＝16－8＝8【對應練習2】如果比例的內(nèi)項4增加8，那么外項3應該增加()，比例才能成立。解析：（4＋8）÷4＝12÷4＝33×3－3＝9－3＝6【對應練習3】在比例“4.5:6=5.1:6.8”中，兩個外項不變，內(nèi)項6減去0.6，要使比例成立，另外一個內(nèi)項5.1應加上多少?解析：【考點六】比例的八種變換形式?！痉椒c撥】乘積式變形的常見八種形式，即如果a×b=c×d，那么①根據(jù)比例的基本性質(zhì)變形：a:c=d:b；②換比形式：d:b=a:c;③換內(nèi)項形式：a:d=c:b；④換比形式：c:b=a:d；⑤換外項形式：b:c=d:a；⑥換比形式：d:a=b:c；⑦前后換形式：c:a=b:d；⑧換比形式：b:d=c:a。【典型例題1】其一。如果，那么()?！敬鸢浮?∶2【分析】由比例的基本性質(zhì)可知，在比例中，兩外項之積等于兩內(nèi)項之積，可以把a和2看作比例中的兩個外項，b和6看作比例中的兩個內(nèi)項，據(jù)此進行解答?！驹斀狻?a＝6b，根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得：a∶b＝6∶2【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)?！緦毩?】已知3X＝4Y，那么X∶Y＝()，如果X＝1.2，則Y＝()?！敬鸢浮?∶30.9/【分析】等式兩端是兩個乘積，根據(jù)比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積）能改寫成比例的形式；已知X的值帶入等式即可求出Y值。【詳解】3X＝4Y，那么X∶Y＝4∶3將X＝1.2帶入等式，則Y的值為3×1.2÷4＝3.6÷4＝0.9【點睛】考查應用比例的基本性質(zhì)將等式轉(zhuǎn)換成比例的形式，并求出比例的未知項。【對應練習2】如果9A＝8B（A，B均不為0），那么A∶B＝()?！敬鸢浮?∶9【分析】在比例中，兩個內(nèi)項的乘積等于兩個外項的乘積，則A和9同時為比例的外項，B和8同時為比例的內(nèi)項，據(jù)此解答?！驹斀狻糠治隹芍?，如果9A＝8B（A，B均不為0），那么A∶B＝8∶9?！军c睛】熟練掌握并靈活運用比例的基本性質(zhì)是解答題目的關鍵?！緦毩?】如果7x＝8y，那么y∶x＝()∶()?！敬鸢浮?8【分析】比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積；據(jù)此寫出y∶x?！驹斀狻恳驗?x＝8y所以y∶x＝7∶8【點睛】掌握比例的基本性質(zhì)是解答本題的關鍵?！镜湫屠}2】其二。甲數(shù)的20%等于乙數(shù)的（甲、乙均為非0自然數(shù)），甲∶乙＝()∶()?！敬鸢浮?03【分析】由題意可知：甲數(shù)×20%＝乙數(shù)×，于是逆運用比例的基本性質(zhì)，即可求出二者的比?！驹斀狻恳驗榧讛?shù)×20%＝乙數(shù)×，則甲數(shù)∶乙數(shù)＝∶20%＝∶＝10∶3甲∶乙＝10∶3?！军c睛】此題主要依據(jù)比例的基本性質(zhì)解決問題。【對應練習1】甲數(shù)的等于乙數(shù)的（甲數(shù)和乙數(shù)都不為0）那么甲數(shù)和乙數(shù)的比是()?！敬鸢浮?∶5【分析】根據(jù)題意可得，甲數(shù)×＝乙數(shù)×，因為甲數(shù)和乙數(shù)都不為0，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)：在比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，將等式化成比例，最后化簡成最簡整數(shù)比即可。據(jù)此解答?！驹斀狻坑深}意知：甲數(shù)×＝乙數(shù)×，所以：甲數(shù)∶乙數(shù)＝∶∶＝∶＝2∶5甲數(shù)和乙數(shù)的比是2∶5。【對應練習2】乙數(shù)的等于甲數(shù)的，甲∶乙＝()∶()?！敬鸢浮?4【分析】由題意知：，根據(jù)比例的基本性質(zhì)的逆運算，可得，再根據(jù)比的性質(zhì)，求得最簡整數(shù)比即可?！驹斀狻克裕海?∶4【點睛】靈活運用比例的基本性質(zhì)和比的性質(zhì)是解答的關鍵。【對應練習3】如果甲數(shù)的等于乙數(shù)的（甲數(shù)、乙數(shù)均不為0），那么甲∶乙＝()∶()?！敬鸢浮?528【分析】由題意可知，甲數(shù)×＝乙數(shù)×，再根據(jù)比例的基本形式，把乘積式化為比例式，然后再根據(jù)比的基本性質(zhì)進行化簡即可。【詳解】因為甲數(shù)×＝乙數(shù)×則甲數(shù)∶乙數(shù)＝∶＝（×20）∶（×20）＝25∶28則甲∶乙＝25∶28?！军c睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，明確內(nèi)項積等于外項積是解題的關鍵?！究键c七】比例中項?！痉椒c撥】如果a、b、c三個量成連比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中項。（內(nèi)項要相等時才稱為比例中項）?！镜湫屠}】已知數(shù)字4是數(shù)字2和另外一個數(shù)的比例中項，這個數(shù)是()。A．8 B．1 C．2 D．解析：解：設這個數(shù)是x，根據(jù)題意得，x∶4＝4∶2，解得x＝8。故答案選：A【對應練習1】如果6是x和9的比例中項，那么x＝()。解析：4【對應練習2】如果3是和9的比例中項，那么x=()。解析：1【對應練習3】如果是和x的比例中項，則x=()。解析：【考點八】解比例方程其一：比例式。【方法點撥】解比例式方程，利用比例的基本性質(zhì)：內(nèi)項積等于外項積來求解?！镜湫屠}】解比例。3.75∶x＝3∶12解析：3.75∶x＝3∶12解：3x＝3.75×123x＝453x÷3＝45÷3x＝15【對應練習1】解比例。（2－x）∶5＝3∶20解析：（2－x）∶5＝3∶20解：（2－x）×20＝5×3（2－x）×20＝15（2－x）×20÷20＝15÷202－x＝0.752－x＋x＝0.75＋x0.75＋x＝20.75＋x－0.75＝2－0.75x＝1.25【對應練習2】解比例。∶∶解析：∶∶解：【對應練習3】解比例。

x∶＝13.6∶2解析；x∶＝13.6∶2解：2x＝×13.62x＝3.4x＝3.4÷2x＝1.7【考點九】解比例方程其二：分數(shù)式?！痉椒c撥】解分數(shù)形式的比例，找準比例中的內(nèi)項和外項，一般以分子分母交叉相乘作為比例基本性質(zhì)的應用。【典型例題】解比例。＝解析：＝解：42%x＝6.3×0.90.42x＝5.670.42x÷0.42＝5.67÷0.42x＝13.5【對應練習1】解比例