2025年中考數(shù)學(xué)自主專題集訓(xùn)《專題五　函數(shù)中的幾種數(shù)學(xué)思想》

中考數(shù)學(xué)自主專題集訓(xùn)專題五函數(shù)中的幾種數(shù)學(xué)思想一、選擇題1．若關(guān)于x的函數(shù)y＝mx2＋2x＋1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0或1B．－2C．1D．22．已知二次函數(shù)y＝(x－h(huán))2(h為常數(shù))，當(dāng)自變量x的值滿足－1≤x≤3時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為4，則h的值為()A．1或5B．－5或3C．－3或1D．－3或53．已知二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x－3，將二次函數(shù)的圖象沿著x軸平移使其經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)，則二次函數(shù)圖象平移的長(zhǎng)度為()A．1B．2C．1或3D．34．已知拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(－2，0)，B(5，0)，拋物線y＝a(x－h(huán)－m)2＋k與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(1，0)，則m的值是()A．3B．－4C．3或－4D．－3或－45．已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y＝ax2－2ax－3(a≠0)上，存在正數(shù)m，使得－2＜x1＜0且m＜x2＜m＋1時(shí)，都有y1≠y2，則m的取值范圍是()A．0＜m≤4B．1＜m≤4C．0＜m≤1或m≥4D．1＜m≤2或m≥46．如圖，已知拋物線y1＝－x2＋4x和直線y2＝2x，我們約定：當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2.下列判斷：①當(dāng)x＞2時(shí)，M＝y(tǒng)2；②當(dāng)x＜0時(shí)，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，則x＝1.其中正確的是()A．①②B．①②③C．②③D．②③④二、填空題7．設(shè)函數(shù)y＝(x＋a)(x＋b)的圖象與x軸有m個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y＝(ax＋1)(bx＋1)的圖象與x軸有n個(gè)交點(diǎn)，則所有可能的數(shù)對(duì)(m，n)是____________．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，3)，(3，3)，若拋物線y＝x2－x＋c與線段AB有交點(diǎn)，則c的取值范圍為_______________．9．已知點(diǎn)A(1，yA)，B(xB，yB)在函數(shù)y＝(x－m)(x＋m－1)的圖象上，當(dāng)eq\f(1,2)<xB<1時(shí)，yA_______yB.(填“>”“<”或“＝”)10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，4)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，已知點(diǎn)P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合)，過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，作PQ⊥BC所在直線于點(diǎn)Q，若四邊形CQPR的面積S＝4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的值為____________．三、解答題11．已知一次函數(shù)y1＝3x－3的圖象與反比例函數(shù)y2＝eq\f(m,x)的圖象交于點(diǎn)A(a，3)，B(－1，b).(1)求a，b的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)設(shè)點(diǎn)P(h，y1)，Q(h，y2)分別是兩函數(shù)圖象上的點(diǎn)．①直接寫出當(dāng)y1>y2時(shí)，h的取值范圍．②若y2－y1＝3，求h的值．12．已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－(x－m).(1)判斷該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．(2)若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(7,2)，n)，求m，n的值．(3)若把該函數(shù)圖象向上平移k個(gè)單位，使得對(duì)于任意的x都有y＞0，求證：k>eq\f(1,4).13．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式為y＝ax2＋(a＋1)x，其中a≠0.(1)若此函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，－3)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)若(x1，y1)，(x2，y2)為此二次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同點(diǎn)，①若x1＋x2＝2，則y1＝y(tǒng)2，試求a的值．②當(dāng)x1＞x2≥－2時(shí)，對(duì)任意的x1，x2都有y1＞y2，試求a的取值范圍．14．已知二次函數(shù)y＝mx2－2mx＋3，其中m≠0.(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1，6)，求二次函數(shù)解析式．(2)若該拋物線開口向上，當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，拋物線的最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6，求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．(3)在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，當(dāng)a≤x1＜x2≤a＋2時(shí)，總有y1＞y2，求a的取值范圍．【參考答案】一、選擇題1．若關(guān)于x的函數(shù)y＝mx2＋2x＋1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為(A)A．0或1B．－2C．1D．22．已知二次函數(shù)y＝(x－h(huán))2(h為常數(shù))，當(dāng)自變量x的值滿足－1≤x≤3時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為4，則h的值為(D)A．1或5B．－5或3C．－3或1D．－3或53．已知二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x－3，將二次函數(shù)的圖象沿著x軸平移使其經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)，則二次函數(shù)圖象平移的長(zhǎng)度為(C)A．1B．2C．1或3D．34．已知拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(－2，0)，B(5，0)，拋物線y＝a(x－h(huán)－m)2＋k與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(1，0)，則m的值是(C)A．3B．－4C．3或－4D．－3或－45．已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y＝ax2－2ax－3(a≠0)上，存在正數(shù)m，使得－2＜x1＜0且m＜x2＜m＋1時(shí)，都有y1≠y2，則m的取值范圍是(C)A．0＜m≤4B．1＜m≤4C．0＜m≤1或m≥4D．1＜m≤2或m≥46．如圖，已知拋物線y1＝－x2＋4x和直線y2＝2x，我們約定：當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2.下列判斷：①當(dāng)x＞2時(shí)，M＝y(tǒng)2；②當(dāng)x＜0時(shí)，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，則x＝1.其中正確的是(C)A．①②B．①②③C．②③D．②③④二、填空題7．設(shè)函數(shù)y＝(x＋a)(x＋b)的圖象與x軸有m個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y＝(ax＋1)(bx＋1)的圖象與x軸有n個(gè)交點(diǎn)，則所有可能的數(shù)對(duì)(m，n)是__(1，1)，(1，0)，(2，2)，(2，1)__．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，3)，(3，3)，若拋物線y＝x2－x＋c與線段AB有交點(diǎn)，則c的取值范圍為__－3≤c≤eq\f(13,4)__．9．已知點(diǎn)A(1，yA)，B(xB，yB)在函數(shù)y＝(x－m)(x＋m－1)的圖象上，當(dāng)eq\f(1,2)<xB<1時(shí)，yA__>__yB.(填“>”“<”或“＝”)10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，4)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，已知點(diǎn)P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合)，過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，作PQ⊥BC所在直線于點(diǎn)Q，若四邊形CQPR的面積S＝4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的值為__1或3__．三、解答題11．已知一次函數(shù)y1＝3x－3的圖象與反比例函數(shù)y2＝eq\f(m,x)的圖象交于點(diǎn)A(a，3)，B(－1，b).(1)求a，b的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式．解：∵一次函數(shù)y1＝3x－3的圖象與反比例函數(shù)y2＝eq\f(m,x)的圖象交于點(diǎn)A(a，3)，B(－1，b)，∴3＝3a－3，b＝－3－3，解得a＝2，b＝－6，∴A(2，3)，B(－1，－6)，把A(2，3)代入反比例函數(shù)y2＝eq\f(m,x)中，得3＝eq\f(m,2)，∴m＝6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式是y2＝eq\f(6,x).(2)設(shè)點(diǎn)P(h，y1)，Q(h，y2)分別是兩函數(shù)圖象上的點(diǎn)．①直接寫出當(dāng)y1>y2時(shí)，h的取值范圍．②若y2－y1＝3，求h的值．解：①h>2或－1<h<0.②∵點(diǎn)P(h，y1)，Q(h，y2)分別是兩函數(shù)圖象上的點(diǎn)，∴y1＝3h－3，y2＝eq\f(6,h)，∵y2－y1＝3，∴eq\f(6,h)－(3h－3)＝3，整理得3h2＝6，∴h＝±eq\r(2).12．已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－(x－m).(1)判斷該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．解：該二次函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．理由如下：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∵(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1>0，∴該二次函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．(2)若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(7,2)，n)，求m，n的值．解：∵該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(7,2)，n)，∴－eq\f(－（2m＋1）,2)＝eq\f(7,2)，eq\f(4（m2＋m）－（2m＋1）2,4)＝－eq\f(1,4)＝n，∴m＝3，n＝－eq\f(1,4).(3)若把該函數(shù)圖象向上平移k個(gè)單位，使得對(duì)于任意的x都有y＞0，求證：k>eq\f(1,4).證明：∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－eq\f(2m＋1,2))2－eq\f(1,4)，∴拋物線y＝(x－eq\f(2m＋1,2))2－eq\f(1,4)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(2m＋1,2)，－eq\f(1,4))，∴把拋物線y＝(x－eq\f(2m＋1,2))2－eq\f(1,4)向上平移k個(gè)單位后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(2m＋1,2)，－eq\f(1,4)＋k).∵把函數(shù)圖象向上平移k個(gè)單位后，使得對(duì)于任意的x都有y＞0，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)在x軸上方，∴－eq\f(1,4)＋k>0，∴k>eq\f(1,4).13．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式為y＝ax2＋(a＋1)x，其中a≠0.(1)若此函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，－3)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．解：∵函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，－3)，將x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋(a＋1)x，得－3＝a＋a＋1.∴a＝－2.∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－2x2－x.(2)若(x1，y1)，(x2，y2)為此二次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同點(diǎn)，①若x1＋x2＝2，則y1＝y(tǒng)2，試求a的值．解：∵y1＝y(tǒng)2，∴這兩點(diǎn)關(guān)于二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱．∵x1＋x2＝2，∴對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(x1＋x2,2)＝1.∴－eq\f(a＋1,2a)＝1.∴a＝－eq\f(1,3).②當(dāng)x1＞x2≥－2時(shí)，對(duì)任意的x1，x2都有y1＞y2，試求a的取值范圍．解：∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(a＋1,2a)，當(dāng)x1>x2≥－2時(shí)，對(duì)任意的x1，x2，都有y1>y2，∴當(dāng)a>0時(shí)，－eq\f(a＋1,2a)≤－2，解得0<a≤eq\f(1,3)，當(dāng)a<0時(shí)，不符合題意，舍去，∴0<a≤eq\f(1,3).14．已知二次函數(shù)y＝mx2－2mx＋3，其中m≠0.(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1，6)，求二次函數(shù)解析式．解：把點(diǎn)(－1，6)代入二次函數(shù)解析式得，m＋2m＋3＝6，解得m＝1，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x＋3.(2)若該拋物線開口向上，當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，拋物線的最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6，求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：∵拋物線開口向上，∴m＞0.∵y＝mx2－2mx＋3＝m(x－1)2＋3－m，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3－m)，∴當(dāng)x＜1時(shí)y隨x增大而減小，當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x增大而增大，∴當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，最低點(diǎn)為N(1，3－m)，∵當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝3m＋3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3，且m＞0，∴3m＋3＞3，∴當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，最高點(diǎn)為M(－1，3m＋3)，∴3m＋3＝6，∴m＝1，代入點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)得M(－1，6)