2025年中考數(shù)學(xué)自主專題集訓(xùn) 專題七　中點(diǎn)問題的模型

中考數(shù)學(xué)自主專題集訓(xùn)專題七中點(diǎn)問題的模型一、選擇題1．如圖所示，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，A，B，C三點(diǎn)不共線，設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，測(cè)得MN＝16米，可求出A，B兩點(diǎn)之間的距離為()A．32米B．24米C．20米D．18米第1題圖2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，且EF∥BC交AD于點(diǎn)F，已知AD＝8，EF＝3，連結(jié)DE，則DE的長(zhǎng)為()4B．5C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)第2題圖3．如圖，一根竹竿AB斜靠在豎直的墻上，P是AB的中點(diǎn)，在竹竿的頂端沿墻面下滑的過(guò)程中，OP長(zhǎng)度的變化情況是()A．不斷增大B．不斷減小C．先減小后增大D．不變第3題圖4．如圖，P是線段AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，M，N分別是PC，PD的中點(diǎn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段MN的長(zhǎng)()A．隨著點(diǎn)P的位置變化而變化B．保持不變，長(zhǎng)為eq\f(5,2)C．保持不變，長(zhǎng)為eq\r(5)D．保持不變，長(zhǎng)為eq\f(\r(17),2)第4題圖5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE＝4，若M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為()A．2B．3C．3.5D．4第5題圖6．2024·西安模擬如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D為邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AD，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)CE，若BC＝2CD＝4，CE＝eq\r(3)，則△ABC的面積為(B)A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．8D．8eq\r(3)二、填空題7．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BC邊中點(diǎn)，若CD＝5，DE＝3，則BC＝___________．第7題圖8．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，則∠BAD的度數(shù)為___________．第8題圖9．如圖，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AO，DO.若AO＝3，則DO的長(zhǎng)為__________．第9題圖10．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A2B2C2，再以△AB2C2各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A3B3C3，……，如此下去，則△AB2024C2024的周長(zhǎng)為__________．第10題圖三、解答題11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，在邊AC上截取AD＝AB，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E.已知AB＝6，BC＝8，如果F是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF.(1)求CD的長(zhǎng)．(2)求EF的長(zhǎng)．12．如圖，BD，CE分別為△ABC的中線，BD，CE交于點(diǎn)G，M，N分別是BG，CG的中點(diǎn)．求證：(1)EM∥DN.(2)CG＝2EG.13．(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察如圖1，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)．求證：∠PMN＝∠PNM.(2)用數(shù)學(xué)的思維思考如圖2，延長(zhǎng)圖1中的線段AD交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：∠AEM＝∠F.(3)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AC＜AB，點(diǎn)D在AC上，AD＝BC，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，連結(jié)MN并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連結(jié)GD.若∠ANM＝60°，試判斷△CGD的形狀，并進(jìn)行證明．【參考答案】一、選擇題1．如圖所示，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，A，B，C三點(diǎn)不共線，設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，測(cè)得MN＝16米，可求出A，B兩點(diǎn)之間的距離為(A)A．32米B．24米C．20米D．18米第1題圖2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，且EF∥BC交AD于點(diǎn)F，已知AD＝8，EF＝3，連結(jié)DE，則DE的長(zhǎng)為(B)4B．5C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)第2題圖3．如圖，一根竹竿AB斜靠在豎直的墻上，P是AB的中點(diǎn)，在竹竿的頂端沿墻面下滑的過(guò)程中，OP長(zhǎng)度的變化情況是(D)A．不斷增大B．不斷減小C．先減小后增大D．不變第3題圖4．如圖，P是線段AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，M，N分別是PC，PD的中點(diǎn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段MN的長(zhǎng)(D)A．隨著點(diǎn)P的位置變化而變化B．保持不變，長(zhǎng)為eq\f(5,2)C．保持不變，長(zhǎng)為eq\r(5)D．保持不變，長(zhǎng)為eq\f(\r(17),2)第4題圖第4題答圖【解析】如圖，連結(jié)CD，過(guò)D作DH⊥AC于H，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴四邊形ABDH是矩形，∴DH＝AB＝4，AH＝BD＝2.∵AC＝3，∴CH＝AC－AH＝1，∴CD＝eq\r(DH2＋CH2)＝eq\r(17).∵M(jìn)，N分別是PC，PD的中點(diǎn)，∴MN是△PCD的中位線，∴MN＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(17),2).5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE＝4，若M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為(B)A．2B．3C．3.5D．4第5題圖第5題答圖【解析】如圖，連結(jié)CM，CN，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6.∵DE＝4，M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝5，CM＝eq\f(1,2)DE＝2.當(dāng)C，M，N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，∴MN的最小值為5－2＝3.6．2024·西安模擬如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D為邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AD，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)CE，若BC＝2CD＝4，CE＝eq\r(3)，則△ABC的面積為(B)A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．8D．8eq\r(3)【解析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB＝AC，∴BF＝CF＝4×eq\f(1,2)＝2.∵2CD＝4，∴CD＝2，∴C為DF的中點(diǎn)．∵E為AD的中點(diǎn)，∴EC為△AFD的中位線．∴EC∥AF，EC＝eq\f(1,2)AF，∴AF＝2CE＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC×AF＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3).二、填空題7．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BC邊中點(diǎn)，若CD＝5，DE＝3，則BC＝__8__．第7題圖8．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，則∠BAD的度數(shù)為__70°__．第8題圖9．如圖，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AO，DO.若AO＝3，則DO的長(zhǎng)為__3__．第9題圖10．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A2B2C2，再以△AB2C2各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A3B3C3，……，如此下去，則△AB2024C2024的周長(zhǎng)為__eq\f(1,22024)a__．第10題圖【解析】根據(jù)題意可知，△A1B1C1的周長(zhǎng)＝△AB1C1的周長(zhǎng)＝eq\f(1,2)a，△A2B2C2的周長(zhǎng)＝eq\f(1,2)△A1B1C1的周長(zhǎng)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,22)a，所以△AB2024C2024的周長(zhǎng)＝eq\f(1,2)△A2023B2023C2023的周長(zhǎng)＝eq\f(1,22024)a.三、解答題11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，在邊AC上截取AD＝AB，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E.已知AB＝6，BC＝8，如果F是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF.(1)求CD的長(zhǎng)．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10.∵AD＝AB＝6，∴CD＝AC－AD＝10－6＝4.(2)求EF的長(zhǎng)．解：∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BE＝ED.∵BF＝FC，∴EF是△BDC的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)CD＝2.12．如圖，BD，CE分別為△ABC的中線，BD，CE交于點(diǎn)G，M，N分別是BG，CG的中點(diǎn)．求證：(1)EM∥DN.證明：連結(jié)AG，∵BD，CE分別為△ABC的中線，M，N分別是BG，CG的中點(diǎn)，∴AE＝BE，BM＝GM，AD＝CD，CN＝GN，∴EM∥AG，DN∥AG，∴EM∥DN.(2)CG＝2EG.解：由(1)知AE＝BE，BM＝GM，AD＝CD，CN＝GN，∴EM＝eq\f(1,2)AG，DN＝eq\f(1,2)AG，∴EM＝DN.∵EM∥DN，∴∠MEG＝∠DNG，∠EMG＝∠NDG，∴△EMG≌△NDG(ASA)，∴EG＝GN，∴CG＝2EG.13．(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察如圖1，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)．求證：∠PMN＝∠PNM.證明：∵P是BD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，∴PN是△BCD的中位線，PM是△ABD的中位線，∴PN＝eq\f(1,2)BC，PM＝eq\f(1,2)AD.∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM.(2)用數(shù)學(xué)的思維思考如圖2，延長(zhǎng)圖1中的線段AD交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：∠AEM＝∠F.證明：由(1)知，PN是△BDC的中位線，PM是△ABD的中位線，∴PN∥BC，PM∥AD，∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM.∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F.(3)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AC＜AB，點(diǎn)D在AC上，AD＝BC，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，連結(jié)MN并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連結(jié)GD.若∠ANM＝60°，試判斷△CGD的形狀，并進(jìn)行證明．解：△CGD是直角三角形，理由如下：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，PN，∵N是CD的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∴PN是△BCD的中位線，PM是△ABD的中位線，∴PN∥BC，PN