福建省福州市2025屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

福建省福州市2025屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025屆·福建福州·三模]已知全集為,,,則圖中陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.1．答案：C解析：易知.所以.故選:C.2．[2025屆·福建福州·三模]若,則()A.1 B. C.2 D.42．答案：B解析：因為,所以.故選:B.3．[2025屆·福建福州·三模]已知隨機(jī)變量,若,則()A. B. C. D.3．答案：B解析：,解得,所以.故選:B.4．[2025屆·福建福州·三模]設(shè),則()A.-2 B.-1 C.0 D.14．答案：A解析：令易知,令可得,,所以.故選:A.5．[2025屆·福建福州·三模]已知菱形的邊長為2,為的中點,則()A. B. C. D.35．答案：D解析：,,所以,故選:D.6．[2025屆·福建福州·三模]在正方體中,M為的中點,l為平面與平面的交線,則()A. B. C. D.6．答案：D解析：設(shè)N為的中點,連接,,M為的中點,N為的中點,,又,,,M,N,四點共面,平面與平面的交線為,則l即為所在直線,與是異面直線,即l與是異面直線,故A錯誤;,而在直角中,,則與不垂直,故與不垂直,即與不垂直,故B錯誤;平面,平面,,又,,,平面,平面,又,平面,即平面,平面,,故C錯誤,D正確,故選:D.7．[2025屆·福建福州·三模]已知數(shù)列是首項和公比均大于0的無窮等比數(shù)列,設(shè)甲:為遞增數(shù)列;乙:存在正整數(shù),當(dāng)時,,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．答案：A解析：若為遞增數(shù)列,則,即,即,則公比,為指數(shù)型遞增數(shù)列,易得存在正整數(shù),當(dāng)時,.充分性成立;不妨設(shè),此時不是遞增數(shù)列,所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選:A.8．[2025屆·福建福州·三模]設(shè)O為坐標(biāo)原點,若曲線和曲線上分別存在A,B兩點,使得,則a的取值范圍為()A. B. C. D.8．答案：C解析：設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號;設(shè),則令,則,令,所以時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減,所以,取,,此時,解得.故選:C.二、多項選擇題9．[2025屆·福建福州·三模]已知直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸,則()A.的最小正周期為 B.C. D.的圖象關(guān)于點對稱9．答案：BC解析：對于A,的最小正周期為,故選項A錯誤;對于B,因為,因為在對稱軸處取得極值,所以,解得,故選項B正確;對于C,由A和B可知,,所以,故選項C正確;對于D,,故選項D錯誤.故選:BC.10．[2025屆·福建福州·三模]過點的直線交圓于點P,Q,交圓于點M,N,其中T,P,Q,M,N順次排列.若,則()A. B. C. D.10．答案：ABD解析：A選項:,,均為鈍角,因為,則,故,A選項正確.B選項:同上述分析可知,所以.因為,所以,,B選項正確.C選項:取中點S,則,C選項錯誤.D選項:因為,,所以.由B選項的分析可知,,所以,D選項正確.故選:ABD.11．[2025屆·福建福州·三模]已知四棱錐的高為2,底面是邊長為2的正方形,,則()A.的面積為定值B.C.四棱錐表面積的最小值為D.若四棱錐存在內(nèi)切球,則該球半徑為11．答案：ABD解析：對于A,因為,所以P在底面的射影在直線的垂直平分線上,過作垂直于H,連接,由題意可得,又,,平面,所以平面,因為平面,則,,的面積為,故選項A正確;對于B,由題意可得,所以,故選項B正確;對于C,過分別作,的垂線,垂足分別為E,F,所以當(dāng)最小時,四棱錐表面積取得最小值,不妨設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即為底面正方形的中心時,所以四棱錐表面積的最小值為四個全等三角形面積加底面面積,即,故選項C錯誤;對于D,若四棱錐存在內(nèi)切球,則該球與平面,平面,平面均相切,過作垂直于G,所以的內(nèi)切圓半徑等于該球半徑,設(shè)為r,由等面積法可得,解得,當(dāng)四棱錐為正四棱錐時,存在內(nèi)切球,滿足題意,故選項D正確.故選:ABD.三、填空題12．[2025屆·福建福州·三模]已知,則________.12．答案：解析：,所以.故答案為:.13．[2025屆·福建福州·三模]已知橢圓的焦點為,,P為C上的一點,若的周長為18,則C的離心率為________.13．答案：/0.8解析：因為橢圓長半軸a大于半焦距c,若橢圓的長半軸,則的周長,不符合題意,所以橢圓的長半軸為,所以,解得,即,所以,,所以橢圓C的離心率為.故答案為:.14．[2025屆·福建福州·三模]6根長度相同的繩子平行放置在桌面上,分別將左、右兩邊的6個繩頭各自隨機(jī)均分成3組,然后將每組內(nèi)的兩個繩頭打結(jié),則這6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為________.14．答案：解析：左、右兩邊的各6個繩頭各自隨機(jī)均分成3組,共有種,先選定左邊第一條繩子的繩頭,然后從左邊剩下的5個繩頭里任取一個打結(jié),然后按照從右邊4個繩頭里任取一個,從左邊3個繩頭里任取一個,從右邊2個繩頭里任取一個的順序打結(jié),一共有種,所以6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為.故答案為:四、解答題15．[2025屆·福建福州·三模]記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.（1）求A;（2）D為邊上一點,若,且,求的面積.15．答案：（1）（2）解析：（1）方法一:因為,所以由正弦定理可得,,又因為,所以,由于,所以,所以,因為,所以;方法二:因為,所以由余弦定理可得,整理可得,所以,因為,所以;（2）方法一:由（1）及題設(shè)知,,,.在中,由正弦定理得,.在中,由正弦定理得,.兩式相除可得,即,在中,由余弦定理可得,即所以的面積;方法二:如圖所示,過C作,垂足為E.在中,,所以.由于,所以,所以,即,得,后同方法一;方法三:由（1）及題設(shè)知,,.因為兩個三角形的高相同,所以與的面積之比等于,又因為與的面積之比還等于,所以,,后同方法一.16．[2025屆·福建福州·三模]如圖,在長方體中,,與交于點M,N為棱的中點.（1）證明:平面;（2）設(shè),其中,若二面角的大小為,求.16．答案：（1）證明見解析（2）.解析：（1）方法一:以為坐標(biāo)原點,為單位長,為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知,,,,由得,.由得,.而平面,平面,,所以平面.方法二:取中點P,設(shè),連結(jié).在長方體中,,,故,,,,故,因為,,平面,所以平面.（2）方法一:由題設(shè)知,.由（1）,平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量,則即令,可得平面的一個法向量.則,又二面角的余弦值為,解得或（舍去）,故的值為.方法二:在平面內(nèi)過Q作交于H,則平面,在平面內(nèi)過H作HG垂直于G,所以,又,,,平面,所以平面,所以,為二面角的平面角,設(shè),由余弦定理得,則所以所以,解得.17．[2025屆·福建福州·三模]已知函數(shù).（1）當(dāng)時,求的極小值;（2）若存在唯一極值點,證明:.17．答案：（1）極小值.（2）證明見解析解析：（1）的定義域為.當(dāng)時,,.令得,或.當(dāng)時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.所以當(dāng)時,取極小值.（2）方法一:,.當(dāng)時,與同號.因為的圖象關(guān)于對稱,又存在唯一極值點,如圖可得,所以,所以,故.將代入得,構(gòu)造,,則,所以,即,所以方法二:以前步驟同方法一.易知在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.（i）當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,函數(shù)無極值點.（ii）當(dāng)時,令可得,.由于,故在區(qū)間單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,從而有兩個極值點,不合題意.（iii）當(dāng)時,,,故在區(qū)間單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,恰有唯一極值點,符合題意.所以.設(shè),,,所以在單調(diào)遞減,,故.18．[2025屆·福建福州·三模]設(shè)拋物線的焦點為F,過F的直線交C于A,B兩點（A在第一象限）,當(dāng)垂直于x軸時,.（1）求C的方程;（2）過F且與垂直的直線交C于D,E兩點（D在第一象限）,直線與直線和分別交于P,Q兩點.（i）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,求;（ii）是否存在以為直徑的圓與y軸相切?若存在,求,的方程;若不存在,請說明理由.18．答案：（1）（2）（i）;（ii）不存在,理由見解析解析：（1）設(shè)各點坐標(biāo)分別為,,,,其中,.由題意可知,當(dāng)軸時,直線的方程為,將代入,可得,,所以,,所以C的方程為;（2）（i）依題意,直線的方程為,即,由得,故,,則,.直線的方程為,即,由得,故,,則,.所以直線的方程為,令得,直線的方程為,令得,所以;（ii）方法一:設(shè)直線的方程為,不妨設(shè).由得,,同理.直線的方程為,即令得.由于,,所以.從而的中點恒為F,以為直徑的圓與軸相切等價于.若,則.由得,,故,,所以,不妨如圖設(shè)點的分布,可知,所以,所以,因此,回代得,而判別式,該方程無解,從而不存在以為直徑的圓與y軸相切;方法二:設(shè)直線的方程為,其中.由得,,,.因為,所以,.從而.令得.故.當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,同理,而P,Q分別在第一、第四象限,故,從而不存在以為直徑的圓與y軸相切.19．[2025屆·福建福州·三模]將區(qū)間中的全體有理數(shù)按一定順序排列得到數(shù)列,規(guī)則如下:①,其中正整數(shù)與互質(zhì),如,;②,當(dāng)且僅當(dāng)時,.（1）寫出的前5項;（2）若,,求;（3）記的前n項和為,證明:.19．答案：（1）,,,,.（2）1080（3）證明見解析解析：（1）的前5項為,,,,.（2）因為,,所以.又因為,故,,因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,.由于,故由與2025互質(zhì)可得既不是3的倍數(shù),也不是5的倍數(shù).而在1到2024之間的正整數(shù)中,是3的倍數(shù)的整數(shù)有個,是5的倍數(shù)的整數(shù)有個,是15的倍數(shù)的整數(shù)有個.所以.（3）方法一:依題意,若正整數(shù)與互質(zhì),則與也互質(zhì),記中分母為正整數(shù)的共