江蘇省沭陽(yáng)縣沭陽(yáng)塘溝高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析）

2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（總分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.的值為（）A.0 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】逆用兩角和差的余弦公式，再根據(jù)特殊角計(jì)算即可.【詳解】原式故選：B.2.已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量平行的坐標(biāo)表示求解，【詳解】由題意得.故選：B3.已知D是的邊BC上的點(diǎn)，且，則向量（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法以及數(shù)乘的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意作圖如下：由，則，.故選：C.4.已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解。【詳解】解：根據(jù)余弦定理得：，又因?yàn)?所以,故選.【點(diǎn)睛】這題考查余弦定理，已知三邊求角。屬于基礎(chǔ)題。5.已知向量，滿(mǎn)足，且與的夾角為，則（）A.6 B.8 C.10 D.14【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開(kāi)所求的式子，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.詳解】`由，且與的夾角為，所以.故選：B.6.若，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知，結(jié)合角的范圍，即可得出，.然后根據(jù)兩角差余弦公式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?又，所以.所以，.故選：C.7.如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，，若，則的值是A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】將,作為平面向量的一組基底，再利用平面向量基本定理可得=,再由運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)樵谥?，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，，所以==,又，所以，即,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理，屬中檔題.8.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)題目條件進(jìn)行三角恒等變化，得，將轉(zhuǎn)化為，求出最值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，即，所以，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知向量，，，則（）A. B.向量、的夾角為C. D.在上的投影向量是【答案】BCD【解析】【分析】由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷BC選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄?，，則，因?yàn)?，則，解得，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋驗(yàn)?，故，即向量、的夾角為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在上的投影向量為，D對(duì).故選：BCD.10.關(guān)于函數(shù)，下列命題中為真命題的是（）A.函數(shù)的周期為πB.直線(xiàn)是的一條對(duì)稱(chēng)軸C.點(diǎn)是的圖案的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象【答案】ACD【解析】【分析】利用輔助角公式先化簡(jiǎn)函數(shù)式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可.【詳解】由，顯然的周期為，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，顯然，由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知B錯(cuò)誤，C正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.為偶函數(shù)B.的最小值為C.在上共有4個(gè)零點(diǎn)D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AB【解析】【分析】利用奇偶函數(shù)定義可判斷A；由可判斷B；令，由得，結(jié)合圖形可判斷C；由B可知，存在，使得，此時(shí)取到最小值，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，令|，則，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，令，則，，令，則，即，所以在上共有5個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B可知，存在，使得，此時(shí)取到最小值，而，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）．12.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則角的值為_(kāi)__________.【答案】##60°【解析】【分析】由余弦定理變形可后求得角．【詳解】由得，，是銳角，所以．故答案為：．13.已知，是第三象限角，則_______________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再根據(jù)兩角差的正切公式求解即可.【詳解】由，得，又第三象限角，所以，所以，.故答案為：.14.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓(正方形內(nèi)部，含邊界)，則的取值范圍為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為4，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)當(dāng)在弧中點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍為，由于，，，所以，因?yàn)?，所以，故，所以，即的取值范圍?故答案為：.四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）．15.設(shè)向量，滿(mǎn)足，，.（1）求向量，的夾角；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可；（2）由，代入求解即可【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，所以，又，所以；【小?wèn)2詳解】.16.已知.（1）求的值;（2）若，且，求角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知化弦為切即可得解；（2）分別求出，，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，解得；【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?，則，解得，又，所以，又因，所以，則，所以.17.已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足．（1）求角的值；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，則，，利用余弦定理即可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）設(shè)，則，，利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積公式，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，，利用余弦定理可得，又因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】設(shè)，則，，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，兩邊平方可得，即，所以，可得，所以．18.已知函數(shù)，其相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（3）設(shè)，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間是；（2），；（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.（2）函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再結(jié)合幾何圖形求出范圍.【小問(wèn)1詳解】依題意，，顯然函數(shù)的周期，解得，因此，由，得，故單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，函數(shù)上單調(diào)遞增，函數(shù)值從0增大到，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到1，函數(shù)在的圖象，如圖，由，得，函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，即直線(xiàn)與函數(shù)在的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱(chēng)向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；（2）記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；（3）當(dāng)向量時(shí)，伴隨函數(shù)為，函數(shù)，若在區(qū)間上的最小值為，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）將函數(shù)的解析式利用兩角和的正弦公式展開(kāi)并合并同類(lèi)項(xiàng)，結(jié)合伴隨向量的定義可求出向量；（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，由已知條件可得出，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出的值，結(jié)合兩角差的正弦公式可求出的值；（3）設(shè)，可得出，于是得出在區(qū)間上的最小值為，進(jìn)而對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合最值可求得實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，結(jié)合題意可知，函數(shù)的伴隨