廣東省佛山市2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題 含解析

2024~2025學(xué)年佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測（二）高三數(shù)學(xué)2025.4本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項目.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4.請考生保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后，將答題卷交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（）A. B.25 C. D.5【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法化簡求值.【詳解】.故選：B2.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用集合的并運算求集合即可.【詳解】由題設(shè).故選：B3.已知向量，，若，則實數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先利用線性運算坐標(biāo)公式求得，然后利用向量垂直的坐標(biāo)運算列式求解即可.【詳解】因為，，所以.若，則，所以，解得.故選：A4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：的周長為（）A.12 B.14 C.16 D.20【答案】D【解析】【分析】曲線C：去絕對值得四條線段，然后根據(jù)距離公式分別求出四條線段的長度，即可得解.【詳解】曲線C：等價于或或或.對于表示以和為頂點線段，其長度為，對于表示以和為頂點線段，其長度為，對于表示以和為頂點線段，其長度為，對于表示以和為頂點線段，其長度為，所以曲線C：的周長為.故選：D5.若，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用正切和角公式得到，展開要求式子，再代入求出答案.【詳解】因為，則，則，所以，則，所以.故選：D.6.學(xué)校舉辦籃球賽，將6支球隊平均分成甲、乙兩組，則兩支最強的球隊被分在不同組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合排列組合公式和古典概型計算公式確定滿足題意的概率值即可.【詳解】由題意可知，兩支最強的球隊被分在不同組的分組組數(shù)為：，所有的分組組數(shù)為：，結(jié)合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值為：.故選：C.7.已知函數(shù)，命題p：是奇函數(shù)，命題q：在上是減函數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值，結(jié)合指數(shù)等相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)判斷的區(qū)間單調(diào)性判斷充分性；根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)等相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)判斷必要性，即可得.【詳解】若的奇函數(shù)，則，即恒成立，所以，則，在上單調(diào)遞增，所以在上是減函數(shù)，充分性成立；若在上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，故，此時不一定有，必要性不成立；所以p是q充分不必要條件.故選：A8.已知球O的表面積為，球面上有A，B，C，D四點，，，與平面所成的角均為，若是正三角形，則（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由題意三棱錐為正三棱錐，則正三棱錐的外接球的球心在高線上，作出圖形，根據(jù)外接球的表面積求出外接球半徑為，，根據(jù)線面角的定義得，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的等式，解出的值，即可得解.【詳解】由題意三棱錐為正三棱錐，球O為該正三棱錐的外接球，設(shè)其半徑為，因為球O的表面積為，所以，設(shè)，即正的邊長為，取中點，連接，作，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知球心O在上，如下圖所示：根據(jù)線面角的定義知，則，因為，，所以，在中，，所以，解得或，即.（若球心O在的延長線上時，，求得，此時）故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.最大值為1【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)確定的關(guān)系判斷A；應(yīng)用奇偶性定義判斷B；由特殊值判斷C；由，應(yīng)用換元法及分式不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域判斷D.【詳解】由，顯然不是的周期，A錯；由的定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，B對；由解析式，易得，顯然在上不是單調(diào)遞增，C錯；由，令，則，且，若，則，又在、上都單調(diào)遞減，在上，，在上，，所以的最大值為1，D對.故選：BD10.市場監(jiān)督管理局對9家工廠生產(chǎn)的甲、乙產(chǎn)品進(jìn)行抽查評分，且得分的平均數(shù)分別為77、60，其中A工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品得分如下表：分?jǐn)?shù)名次（按高分到低分排名）甲產(chǎn)品754乙產(chǎn)品666則在此次抽查評分中（）A.9家工廠甲產(chǎn)品得分的中位數(shù)一定小于平均數(shù)B.9家工廠乙產(chǎn)品得分的中位數(shù)一定大于平均數(shù)C.9家工廠甲產(chǎn)品得分中一定存在極端高分?jǐn)?shù)（高于平均數(shù)10分以上）D.9家工廠乙產(chǎn)品得分中一定存在極端低分?jǐn)?shù)（低于平均數(shù)10分以上）【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義及已知判斷A、B；找到一個特殊數(shù)據(jù)判斷C；假設(shè)乙產(chǎn)品所有評分都為66分，結(jié)合平均數(shù)得差值，即可判斷D.【詳解】對于甲乙產(chǎn)品，9家工廠抽查評分從低到高的第5位是中位數(shù)，由75分是甲產(chǎn)品按高分到低分的第4位，即從低到高的第6位，故中位數(shù)小于等于75分，由66分是乙產(chǎn)品按高分到低分的第6位，即從低到高的第4位，故中位數(shù)大于等于66分，又甲、乙得分的平均數(shù)分別為77分、60分，A、B對；甲產(chǎn)品評分可以為，此時不存在極端高分?jǐn)?shù)，C錯；對于乙產(chǎn)品，假設(shè)所有評分都為66分，則分，所以從低到高的前3個評分平均比66分低18分，故必存在極端低分?jǐn)?shù)，D對.故選：ABD11.圓C過拋物線：上的兩點、，則（）A.圓C面積的最小值為B.圓C與拋物線的公共點個數(shù)為2或4C.若圓C與拋物線還有另外兩個交點P、Q，則P、Q的縱坐標(biāo)之和為2D.若圓C與拋物線還有另外兩個交點P、Q，則直線PQ的斜率為2【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得拋物線的方程，對于A，圓C以為直徑時，圓的面積最小，求出半徑，可得圓C的面積；對于B，寫出過、、的圓C的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后的方程有3個解，則B錯誤；對于D，寫出直線的方程，設(shè)出直線的方程為，設(shè)出過、P、Q的曲線方程，由方程中的系數(shù)為0，可求得直線PQ的斜率的值；對于C，由直線的方程與聯(lián)立，消元后利用韋達(dá)定理可得P、Q的縱坐標(biāo)之和.【詳解】因為點在拋物線：上，所以，解得，所以拋物線的方程為，對于A，因為圓C過拋物線上兩點、，則以為直徑時，圓的面積最小，半徑，此時圓C的面積為，故A正確；對于B，過、、的圓C的方程為，與聯(lián)立，得，所以或，解得或，則圓C與拋物線的公共點為，個數(shù)為3，故B錯誤；對于D，直線的方程為，由已知可知直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程設(shè)為，設(shè)過、P、Q的曲線方程為，方程左邊的系數(shù)為，因為、P、Q的曲線方程為圓，所以，即，故D正確；對于C，直線的方程為，與聯(lián)立，得，設(shè)的縱坐標(biāo)為，則，故C正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題.12.焦點分別為，且經(jīng)過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點坐標(biāo)代入即可求解.【詳解】由題意得，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入方程可得，解得或（舍），從而，，所以，故答案為：.13.已知的面積為，，，則______.【答案】2【解析】【分析】應(yīng)用三角形面積公式可得，再由向量數(shù)量積的運算律有，結(jié)合已知即可得.【詳解】由題設(shè)，則，又，所以，則，綜上，.故答案為：214.已知函數(shù)，若有三個零點，，，則實數(shù)a的取值范圍為______；若，則的最大值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)解析式畫出大致圖象，數(shù)形結(jié)合可得參數(shù)范圍，進(jìn)而有，且，，即可得，最后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最大值.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下，由有三個零點，則，由，而，則，又，則，，則，且，對于且，則，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，所以，綜上，最大值.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點處的切線與曲線也相切，求a；（2）若圖象恒在圖象的上方，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線為，，根據(jù)切線重合列方程求參數(shù)值；（2）問題化為在上恒成立，導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的最大值，即可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，則，則切線為，由，令，可得且，則，所以切線為，則，曲線在點處的切線與曲線也相切，則；【小問2詳解】由圖象恒在圖象的上方，則恒成立，所以在上恒成立，對應(yīng)，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以，故.16.如圖，將一個棱長為2的正方體沿相鄰三個面的對角線截出多面體，E是的中點.過點C，E，的平面與該多面體的面相交，交線圍成一個多邊形.（1）圖中畫出該多邊形（說明作法和理由），并求其面積；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）作圖、理由見解析，多邊形面積為；（2）.【解析】【分析】（1）若為的中點，連接，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)易得共面，即得多邊形，進(jìn)而求其面積；（2）先證平面平面，再求平面與平面的夾角的余弦值即可.【小問1詳解】若為中點，連接，顯然，所以共面，即交線圍成的多邊形為，由題意，為等腰梯形，且，，所以.【小問2詳解】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，易知，由平面，平面，則平面，同理得平面，都在平面內(nèi)，所以平面平面，故平面與平面的夾角，即為平面與平面的夾角，而是棱長為的正四面體，所以.17.因部分乘客可能誤機，航空公司為減少座位空置損失，會對熱門航班售賣超過實際座位數(shù)的機票，簡稱“超售”.已知某次熱門航班的信息如下：①票價1000元，有195個座位，航空公司超售了5張票；②每一位乘客準(zhǔn)時乘機的概率為，航空公司對誤機乘客不予以退費；③對于在超售情況下，如出現(xiàn)滿座導(dǎo)致個別旅客不能按原定航班成行，航空公司會讓受到影響的乘客乘坐下一趟非熱門航班，并賠償每人500元.（1）求該次航班不會發(fā)生賠償事件的概率；（2）航空公司在該次航班的收入記為Y，求.參考數(shù)據(jù)：若，則X的分布列部分?jǐn)?shù)據(jù)的近似值如下：X0123456…P000.0020.0070.0170.0360.061…【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)利用對立事件概率公式和二項分布的概率公式求解即可；（2）根據(jù)實際乘機人數(shù)與座位數(shù)的關(guān)系，確定收入Y的取值，根據(jù)二項分布概率公式結(jié)合題目給的數(shù)值及期望公式求解即可.【小問1詳解】由每一位乘客準(zhǔn)時乘機的概率為，得每一位乘客誤機的概率為，航班不會發(fā)生賠償事件，即實際乘機人數(shù)不超過195人，也就是誤機的乘客至少5人，設(shè)誤機人數(shù)為，則，所以該次航班不會發(fā)生賠償事件的概率為；【小問2詳解】設(shè)實際乘機人數(shù)為，則，當(dāng)誤機人數(shù)時，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機人數(shù)時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機人數(shù)時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機人數(shù)時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機人數(shù)時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機人數(shù)時，有人乘機，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；所以元18.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，和是下表第i行中的數(shù)（），且，，中的任何兩個數(shù)不在同一列，，，中的任何兩個數(shù)也不在同一列.

第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行5678第三行9101112（1）請問滿足題意的數(shù)列和各有多少個？寫出它們的通項公式（無需說明理由）；（2）若的公比為整數(shù)，且.數(shù)列滿足，求的前n項和.【答案】（1）滿足題意的數(shù)列有4個，分別為，，，；滿足題意的數(shù)列有2個，分別為，；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及題目中的數(shù)據(jù)分別求出數(shù)列的通項公式，即可解答；（2）結(jié)合（1）求出，裂項為，利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】對于等差數(shù)列，設(shè)公差為d，當(dāng)時，則，所以，當(dāng)時，則，所以，當(dāng)時，則，所以，當(dāng)時，則，所以，滿足題意的數(shù)列有4個，分別為，，，；對于等比數(shù)列，設(shè)公比為q，當(dāng)時，則，所以，當(dāng)時，則，所以，滿足題意的數(shù)列有2個，分別為，；【小問2詳解】因為的公比為整數(shù)，由（1）知，則，所以，所以，所以，所以，所以的前n項和.19.對于橢圓：上的任意兩點P，Q定義“”運算滿足：過點作直線直線（規(guī)定當(dāng)P和Q相同時，直線就是在點P處的切線），若l與有異于S的交點T，則；否則.已知“”滿足交換律和結(jié)合律，記.（1）若，，求，以及；（2）對于上的四點，，，，求證：的充要條件是；（3）是否存在異于S的點P，使得？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）存在，為或或.【解析】【分析】（1）依次寫出過的相關(guān)直線，聯(lián)立橢圓求交點，根據(jù)題設(shè)定義求，以及即可；（2）應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及三角恒等變換得，同理得，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示、輔助角公式化簡，即可證；（3）設(shè)，，根據(jù)平行關(guān)系及（2