2024年高考數(shù)學(xué)真題（上海卷）試題試卷原卷答案解析

2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷2024.06一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1-6題每題4分，第7-12題每題滿分5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.設(shè)全集，集合，則______．2.已知則______．3.已知則不等式的解集為______．4.已知，，且是奇函數(shù)，則______．5.已知，且，則的值為______．6.在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為______．7.已知拋物線上有一點到準(zhǔn)線的距離為9，那么點到軸的距離為______．8.某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是______．9.已知虛數(shù)，其實部1，且，則實數(shù)為______．10.設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值______．11.已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則______(精確到0.1度)12.無窮等比數(shù)列滿足首項，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是______．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分)每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分.13.已知氣候溫度和海水表層溫度相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（）A.氣候溫度高，海水表層溫度就高B.氣候溫度高，海水表層溫度就低C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢14.下列函數(shù)的最小正周期是的是（）A. B.C. D.15.定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（）A. B.C. D.16.已知函數(shù)的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函數(shù) B.存在在處取最大值C.存在是嚴(yán)格增函數(shù) D.存在在處取到極小值三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.如圖為正四棱錐為底面的中心．（1）若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的大?。?8.若．（1）過，求解集；（2）存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．19.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？（2）估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？（附：其中，．）20.已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.（1）若離心率時，求的值．（2）若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標(biāo)．（3）連接并延長，交雙曲線于點，若，求取值范圍．21.對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．（1）對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；（2）對于，請判斷是否存在一個點，它是在“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；（3）已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調(diào)性．2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷2024.06一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1-6題每題4分，第7-12題每題滿分5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.設(shè)全集，集合，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)補集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故答案為：2.已知則______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.【詳解】因故，故答案為：.3.已知則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【詳解】方程的解為或，故不等式的解集為，故答案為：.4.已知，，且是奇函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù).【詳解】因為是奇函數(shù)，故即，故，故答案為：.5.已知，且，則的值為______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，，解得．故答案為：15．6.在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.【詳解】令，，即，解得，所以的展開式通項公式為，令，則，．故答案為：10．7.已知拋物線上有一點到準(zhǔn)線的距離為9，那么點到軸的距離為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，將其再代入拋物線方程即可.【詳解】由知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點，由題意得，解得，代入拋物線方程，得，解得，則點到軸的距離為．故答案為：．8.某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各題庫所占比，根據(jù)全概率公式即可得到答案.【詳解】由題意知，題庫的比例為：，各占比分別為，則根據(jù)全概率公式知所求正確率．故答案為：0.85．9.已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為______．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.【詳解】設(shè)，且.則，，，解得，故答案為：2.10.設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個位是0和個位不是0討論即可.【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，①當(dāng)個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個；②當(dāng)個位不為0時，則個位有個數(shù)字可選，百位有個數(shù)字可選，十位有個數(shù)字可選，根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有，最后再加上單獨的奇數(shù)，所以集合中元素個數(shù)的最大值為個．故答案為：329．11.已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則______(精確到0.1度)【答案】【解析】【分析】設(shè)，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.【詳解】設(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因為，得，利用計算器即可得，故答案為：.12.無窮等比數(shù)列滿足首項，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時，不妨設(shè)，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對任意的恒成立，故可求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，因為，故，故，當(dāng)時，，故，此時為閉區(qū)間，當(dāng)時，不妨設(shè)，若，則，若，則，若，則，綜上，，又為閉區(qū)間等價于為閉區(qū)間，而，故對任意恒成立，故即，故，故對任意的恒成立，因，故當(dāng)時，，故即.故答案為：.【點睛】思路點睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時可利用參變分離來處理.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分)每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分.13.已知氣候溫度和海水表層溫度相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（）A氣候溫度高，海水表層溫度就高B.氣候溫度高，海水表層溫度就低C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項.【詳解】對于AB，當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯誤.對于CD，因為相關(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，故C正確，D錯誤.故選：C.14.下列函數(shù)的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．15.定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三個向量共面，顯然當(dāng)時，三個向量構(gòu)成空間的一個基底，則即可分析出正確答案.【詳解】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，對A，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故A錯誤；對B，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故A錯誤；對C，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，則由能推出，對D，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故D錯誤.故選：C．16.已知函數(shù)的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函數(shù) B.存在在處取最大值C.存在是嚴(yán)格增函數(shù) D.存在在處取到極小值【答案】B【解析】【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對于B，構(gòu)造函數(shù)即可判斷.【詳解】對于A，若存在是偶函數(shù),取,則對于任意,而,矛盾,故A錯誤；對于B，可構(gòu)造函數(shù)滿足集合，當(dāng)時，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則該函數(shù)的最大值是，則B正確；對C，假設(shè)存在，使得嚴(yán)格遞增，則，與已知矛盾，則C錯誤；對D，假設(shè)存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，故D錯誤；故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.如圖為正四棱錐為底面的中心．（1）若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【小問1詳解】正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是【小問2詳解】連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個側(cè)面都是等邊三角形，由是中點，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.即為所求.18.若．（1）過，求的解集；（2）存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【小問1詳解】因為的圖象過，故，故即（負(fù)的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.小問2詳解】因為存在使得成等差數(shù)列，故有解，故，因為，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域為，故即.19.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？（2）估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.【小問1詳解】由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，則估計該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．【小問2詳解】估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為．則估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.【小問3詳解】由題列聯(lián)表如下：其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關(guān)．其中．．則零假設(shè)不成立，即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)．20.已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.（1）若離心率時，求的值．（2）若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標(biāo)．（3）連接并延長，交雙曲線于點，若，求取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式計算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計算向量數(shù)量積的等式計算即可.【小問1詳解】由題意得，則，．【小問2詳解】當(dāng)時，雙曲線，其中，，因為為等腰三角形，則①當(dāng)以為底時，顯然點在直線上，這與點在第一象限矛盾，故舍去；②當(dāng)以為底時，，設(shè)，則,聯(lián)立解得或或，因為點在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；③當(dāng)以為底時，，設(shè)，其中，則有，解得，即．綜上所述：.小問3詳解】由題知，當(dāng)直線的斜率為0時，此時，不合題意，則，則設(shè)直線，設(shè)點，根據(jù)延長線交雙曲線于點，根據(jù)雙曲線對稱性知，聯(lián)立有，顯然二次項系數(shù)，其中，①，②，，則，因為在直線上，則，，即，即，將①②代入有，即化簡得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因為，則，綜上知，，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，為了方便運算可設(shè)，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再寫出相關(guān)向量，代入計算，要注意排除聯(lián)立后的方程得