《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下》課件第十八章 多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)

第十八章多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)空間解析幾何第二節(jié)向量的概念及向量的運(yùn)算第三節(jié)空間的平面、直線及常見二次曲面第四節(jié)多元函數(shù)的概念第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分第六節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法第七節(jié)多元函數(shù)的極值和條件極值第十八章多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)

在第二篇中討論了一元函數(shù)的微積分.但在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，很多問題都與多種因素有關(guān)，反映到數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)的問題.本篇將在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上討論多元函數(shù)的微積及其應(yīng)用，而本章主要介紹空間解析幾何的基本知識(shí)和多元函數(shù)的微分及一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.第一節(jié)空間解析幾何圖18-1右手系示意一、空間直角坐標(biāo)系

建立了空間直角坐標(biāo)系后，就可以討論間的與三個(gè)有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.18-2

三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成了八部分，每部分叫做一個(gè)卦限（見圖18-3）.這八個(gè)卦限次序規(guī)定如下:圖18-2點(diǎn)P位置下面將平面上兩點(diǎn)間的距離公式推廣到空間（證明從略）圖18-3八卦限示意圖解1.曲面方程的概念18-4二、曲面及其方程

一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和為平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面簡(jiǎn)單介紹平面和一些常見的二次曲面方程.圖18-4曲面示意2.平面方程由兩點(diǎn)距離公式知圖18-5例2示意圖解解解3.球面方程圖18-7球面示意圖圖18-6例4示意圖解4.柱面方程圖18-8柱面示意圖解稱這樣的柱面為圓柱面（見圖18-9）圖18-9例5示意圖1.空間曲線及其方程三、空間曲線及方程解2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第二節(jié)向量的概念及向量的運(yùn)算

向量研究數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)及工程技術(shù)問題的一個(gè)重要工具.本節(jié)主要介紹向量的概念和向量的基本運(yùn)算.一、向量的概念

通常遇到的量可以分為兩類：一類是只有大小的量，如長(zhǎng)度、面積、溫度、時(shí)間及質(zhì)量等，它們叫作數(shù)量或標(biāo)量.另一類量，不僅有大小，而且有方向，如力、位移、速度、加速度及電場(chǎng)強(qiáng)度等，它叫作向量或矢量.二、向量的加法與減法1.向量的加法

由物理實(shí)驗(yàn)可知，作用于一點(diǎn)的兩個(gè)不平行力的合力可由可由平行四邊形法則來確定.完全類似，可定義向量的加法.容易證明，向量的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律.2.向量的減法向量的減法是加法的逆運(yùn)算.三、數(shù)與向量的乘法

在實(shí)際應(yīng)用中，常遇到像速度加快了幾倍，力增大了幾倍等問題.速度加快了幾倍，實(shí)際上是指速度的大小增大了幾倍，而速度的方向并沒有改變.在數(shù)學(xué)上，這就是數(shù)與向量相乘的問題.四、向量的坐標(biāo)表示法1.向量的坐標(biāo)解解如圖18-15所示2.向量的模和方向余弦解五、向量的數(shù)量積1.向量的夾解與投影解2.數(shù)量積的概念不難驗(yàn)證，數(shù)量積滿足以下運(yùn)算規(guī)律：由數(shù)量積的定義還可得出解3.數(shù)量積的坐標(biāo)表示式解證六、向量的向量積1.向量積的概念2.向量積的坐標(biāo)表示式解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)空間的平面上、直線及常見二次曲面

在第一節(jié)中簡(jiǎn)單介紹了曲面和空間曲線方程的概念.本節(jié)將以向量為工具較系統(tǒng)地介紹平面和空間直線的知識(shí)，并對(duì)常見二次曲面加以介紹.1.平面的點(diǎn)法式方程

通過第一節(jié)的學(xué)習(xí)知道平面是曲面的一種特殊情形，并得到了平面的一般方程和截距式方程.下面討論平面的點(diǎn)法式方程.18-2318-23一、平面方程及兩平面間的夾角稱上式為平面的點(diǎn)法式方程.18-24解18-24解這就是平面的一般方程.2.兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角叫作這兩個(gè)平面的夾角.解1.空間直線的一般式方程

由第一節(jié)可知空間曲線可以看成是兩個(gè)曲面的交線，因此，空間直線可看成是兩個(gè)平面的交線.二、空間直線的方程及其夾角2.空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程解圖18-26例4示意圖解3.空間直線方程一般式與標(biāo)準(zhǔn)式的互換解4.空間兩條直線的夾角兩直線的方向向量之間的夾角叫作兩直線的夾角.在第一節(jié)中介紹了球面和柱面，下面再介紹幾種二次曲面.1.旋轉(zhuǎn)曲面

一條兩面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)曲面.其中定直線叫旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸.在這里，只討論旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面.三、常用二次曲線及方程下面，建立該曲面方程.解圖18-28圓錐面2.橢球面橢球面的圖形是什么形狀呢？下面用截痕法討論橢球面的具體形狀

因此，球面、旋轉(zhuǎn)橢球是橢球面的特例.3.雙曲面圖18-30單葉雙曲面4.拋物面圖18-32橢圓拋物面圖18-33雙曲拋物面思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第四節(jié)多元函數(shù)的概念

在第十四章中，討論了含有一個(gè)自變時(shí)的函數(shù)，即一元函數(shù)，但在實(shí)際問題中，還會(huì)遇到含有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，這就是本節(jié)所要討論的多元函數(shù).在這里重點(diǎn)介紹二元函數(shù).一、二元函數(shù)的定義先看下面的例子.圖18-34例2示意圖一般地，二元函數(shù)的定義如下.解

對(duì)于一元函數(shù)，一般假定在某個(gè)區(qū)間上有定義進(jìn)行討論.對(duì)于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論.

所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分（見圖18-35），所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可用完全屬于此部分平面的折線連結(jié)起來.圖18-35區(qū)域示意

若區(qū)域能延伸到無限遠(yuǎn)處，就稱這區(qū)域是無界的，如圖18-35(c)所示，否則，它總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)O為中心，而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖18-30(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.開區(qū)域：不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開區(qū)域.

為方便使用，將開區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn).解二、二元函數(shù)的幾何意義圖13-38例6示意圖三、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)的極限

函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，但是二元函數(shù)的自變量有兩個(gè)，所以自變量的變化過程比一元函數(shù)要復(fù)雜得多.

二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)極限的運(yùn)算法則和定理,都可以推廣二元函數(shù)的極限，下面舉例說明.

解方法一

方法二

這說明，二元函數(shù)的極限問題有時(shí)可以先轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題，再求解.解2.二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案答案第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法解解證解二、高階偏導(dǎo)數(shù)解三、全微分1.全微分的定義解解解2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第六節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.復(fù)合函數(shù)的中間變量均是二元函數(shù)的情形解2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形解解3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形解4.復(fù)合函數(shù)是抽象函數(shù)的情形解解二、全微分形式不變性解三、隱函數(shù)的求導(dǎo)法解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第七節(jié)多元函數(shù)的極值和條件極值一、多元函數(shù)極值1.極值的定義及求法