2024-2025高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式3.1二維形式的柯西不等式教案新人教A版選修4-5

PAGEPAGE13.1二維形式的柯西不等式一、教學(xué)目標(biāo)1．相識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義．2．通過運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡潔問題．二、課時支配1課時三、教學(xué)重點(diǎn)相識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義．四、教學(xué)難點(diǎn)通過運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡潔問題．五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)基本不等式。（二）講授新課教材整理二維形式的柯西不等式內(nèi)容等號成立的條件代數(shù)形式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立向量形式設(shè)α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|當(dāng)且僅當(dāng)，或，等號成立三角形式設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＋eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))≥當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（三）重難點(diǎn)精講題型一、二維柯西不等式的向量形式及應(yīng)例1已知p，q均為正數(shù)，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2.【精彩點(diǎn)撥】為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構(gòu)造兩個向量．【自主解答】設(shè)m＝peq\s\up10(\f(3,2))，qeq\s\up10(\f(3,2))，n＝(peq\s\up12(\f(1,2))，qeq\s\up12(\f(1,2)))，則p2＋q2＝peq\s\up12(\f(3,2))peq\s\up12(\f(1,2))＋qeq\s\up12(\f(3,2))qeq\s\up12(\f(1,2))＝|m·n|≤|m||n|＝eq\r(p3＋q3)·eq\r(p＋q)＝eq\r(2)eq\r(p＋q).又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤eq\r(2)eq\r(p＋q)，∴≤eq\r(2)·eq\r(p＋q)，則(p＋q)4≤8(p＋q)．又p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.規(guī)律總結(jié)：運(yùn)用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關(guān)鍵是合理構(gòu)造出兩個向量．同時，要留意向量模的計算公式|a|＝eq\r(x2＋y2)對數(shù)學(xué)式子變形的影響．[再練一題]1．若本例的條件中，把“p3＋q3＝2”改為“p2＋q2＝2”，試推斷結(jié)論是否仍舊成立？【解】設(shè)m＝(p，q)，n＝(1,1)，則p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝eq\r(p2＋q2)·eq\r(12＋12).又p2＋q2＝2.∴p＋q≤eq\r(2)·eq\r(2)＝2.故仍有結(jié)論p＋q≤2成立.題型二、運(yùn)用柯西不等式求最值例2若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．【精彩點(diǎn)撥】由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造(12＋12)作為一個因式而解決問題．【自主解答】由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x×1＝3y×1，即x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,6)時取等號．∴4x2＋9y2的最小值為eq\f(1,2).規(guī)律總結(jié)：1．利用柯西不等式求最值，不但要留意等號成立的條件，而且要擅長配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．2．常用的配湊的技巧有：①巧拆常數(shù)；②重新支配某些項的次序；③適當(dāng)添項；④適當(dāng)變更結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到運(yùn)用柯西不等式求最值的目的．[再練一題]2．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點(diǎn).【解】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.所以x2＋y2≥eq\f(4,25)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)時，“＝”成立．為求最小值點(diǎn)，需解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,\f(x,3)＝\f(y,4)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,25)，,y＝\f(8,25).))因此，當(dāng)x＝eq\f(6,25)，y＝eq\f(8,25)時，x2＋y2取得最小值，最小值為eq\f(4,25)，最小值點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25)，\f(8,25))).題型三、二維柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用例3已知|3x＋4y|＝5，求證：x2＋y2≥1.【精彩點(diǎn)撥】探求已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造柯西不等式進(jìn)行證明．【自主解答】由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥eq\f(3x＋4y2,32＋42).又因為|3x＋4y|＝5，所以eq\f(3x＋4y2,32＋42)＝1，即x2＋y2≥1.規(guī)律總結(jié)：1．利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時，須要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形．2．變形往往要求具有很高的技巧，必需擅長分析題目的特征，依據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)覺問題的本質(zhì)，找到突破口．[再練一題]3．設(shè)a，b∈R＋且a＋b＝2.求證：eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.【證明】依據(jù)柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2－a)＋\f(b2,2－b)))＝[(eq\r(2－a))2＋(eq\r(2－b))2]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2－a))))eq\s\up21(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(2－b))))eq\s\up21(2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2－a)·\f(a,\r(2－a))＋\r(2－b)·\f(b,\r(2－b))))eq\s\up21(2)＝(a＋b)2＝4.∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥eq\f(4,2－a＋2－b)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(2－a)·eq\f(b,\r(2－b))＝eq\r(2－b)·eq\f(a,\r(2－a))，即a＝b＝1時等號成立．∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.（四）歸納小結(jié)二維柯西不等式—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(代數(shù)形式),—\x(向量形式),—\x(三角形式),—\x(柯西不等式求最值)))（五）隨堂檢測1．設(shè)x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為()A.eq\r(13)B．169C．13D.0【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()A．2eq\r(6)B.eq\r(6)C．6D.12【解析】(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立．故選D.【答案】D3．平面對量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝________.【解析】|a|＝＝5，且|b|＝1，∴a·b＝|a|·|b|，因此，b與a共線，且方向相同，∴b＝eq\b\lc\(