模糊邏輯課件

模糊邏輯課件布爾邏輯/模糊邏輯?

布爾邏輯是以二值（

“0

”和“

1

”

，真和假）

邏輯為基礎(chǔ)的一種邏輯運(yùn)算

體系

，

它通過一系列的“

與或非”來對邏輯命題進(jìn)行操作和推理

。在布

爾邏輯中

，

每個(gè)命題只能有兩種狀態(tài)之一：

要么為真，

要么為假

。

這種邏輯體系被用于設(shè)計(jì)電路

、

編寫程序和進(jìn)行邏輯推理。?模糊邏輯是一種多值邏輯，與傳統(tǒng)的布爾邏輯（只有真和假兩種值）不同，它允許中間值存在，用來處理不確定性和模糊性。模糊邏輯主要用于模擬人類的模糊思維和模糊推理（人在判斷環(huán)境是否“熱”時(shí)，通常不會(huì)像布爾邏輯那樣只能說“熱”或“不熱”。而是會(huì)說：“有點(diǎn)熱”、“非常熱”、“挺舒服的”等。這種描述就是模糊的，不是非黑即白。）。?模糊邏輯主要應(yīng)用在控制系統(tǒng)（如空調(diào)控制、洗衣機(jī)控制和汽車防滑控制系統(tǒng)），決策支持（用于處理不確定性和模糊性，幫助決策者在復(fù)雜

和模糊的環(huán)境中做出更好的決策）。隸屬度?

隸屬度是模糊邏輯中的一個(gè)核心概念，用來表示一個(gè)元素屬于某個(gè)模糊集合的程度。與經(jīng)典集合不同，在模糊集合中，隸屬度不是簡

單的“屬于”或“不屬于”，而是一個(gè)介于0和1之間的值，表示元素屬于集合的“模糊程度”。數(shù)

學(xué)定

義

：

在

模糊

集

合

A

中，元素

x

的

隸屬

度

記為μA(x)

，

其中

μA

:

X→

[0,1]是一個(gè)映射，

X是元素的全集

。

隸屬度值越接近1

，

表示

元素x越屬于模糊集合A；隸屬度值越接近0

，表示元素x越不屬于模糊集合A。比如：模糊集合“年輕人”模糊集合“甜的水果”{(18歲,1.0),(25歲,0.9),(35歲,0.6),(45歲,0.3)}{(蘋果,0.6),(葡萄,0.8),(哈密瓜,0.9),(檸檬,0.2)}模糊集合?

域U中模糊集合A被定義為一組順序?qū)?，每個(gè)對包含元素及其隸屬度。一個(gè)人年齡是35歲，他可能同時(shí)滿足：模糊集合A：“年輕人，隸屬度為0.6；模糊集合B：“中年人”隸屬度為0.4A

=

{

X,

μA

X,其中X

∈

U且μA

X

∈

[0,1]}其中，?一個(gè)元素可能屬于多個(gè)模糊集合模糊隸屬函數(shù)?

在模糊集合中，隸屬函數(shù)用于描述元素屬于某個(gè)模糊集合的隸屬度。?

隸屬函數(shù)定義了元素與其屬于某模糊集合的隸屬度的關(guān)系，從而將一個(gè)集合中的元素映射為其對應(yīng)的模糊值（隸屬度值）?

針對集合X，集合X上的隸屬函數(shù)是將集合X映射到單位實(shí)數(shù)區(qū)間

[0,1]的函數(shù)。假設(shè)我們定義一個(gè)表示“年輕人”的模糊集合A，其隸屬度函數(shù)μA(X)定義如下：例假設(shè)有一位農(nóng)業(yè)專家，他能夠根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷水果的成熟度，并根據(jù)水果的顏色來定義隸屬度函數(shù)。?水果顏色完全綠色時(shí)，隸屬度為0（完全不成熟）。?水果顏色部分黃色時(shí)，隸屬度線性增高（逐漸成熟）。?水果顏色完全紅色或黃色時(shí)，隸屬度為1（完全成熟）。隸屬度函數(shù)的確立目前還沒有一套成熟有效的方法，大多數(shù)確立方法

還停留在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。1.專家經(jīng)驗(yàn)法根據(jù)專家的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，直接構(gòu)造隸屬函數(shù)。這種方法適用于具有豐富經(jīng)驗(yàn)的領(lǐng)域?qū)＜?，他們可以基于?jīng)驗(yàn)判斷隸屬度的變化。隸屬函數(shù)的確定例某城市需要定義「高溫天氣」的模糊隸屬函數(shù)，傳統(tǒng)方法可能主觀設(shè)定“30。C

以上屬于高溫”，但數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法通過實(shí)際數(shù)據(jù)建模。比如，空調(diào)使用率就可以反應(yīng)當(dāng)天氣溫屬于”高溫天氣“這個(gè)模糊集合的隸屬度。比如當(dāng)日全市空調(diào)使用率95%，則可認(rèn)為當(dāng)日氣溫屬于“高溫天氣”這個(gè)模糊集合的隸屬度為0.95。通過多個(gè)氣溫和空調(diào)使用率的組合數(shù)據(jù)來擬合曲線，就得到了某天溫度屬于「高溫天氣」這個(gè)模糊集合的隸屬度。隸屬度函數(shù)的確立目前還沒有一套成熟有效的方法，大多數(shù)確立方法

還停留在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。2.數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法通過對實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和建模來確定隸屬函數(shù)。這種方法利用統(tǒng)計(jì)和機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)，從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)隸屬函數(shù)。隸屬函數(shù)的確定例以“心臟病風(fēng)險(xiǎn)”評估為例：1.定義邏輯規(guī)則：1.若患者收縮壓≥140

mmHg，則心臟病風(fēng)險(xiǎn)增加；2.構(gòu)建隸屬函數(shù)：根據(jù)醫(yī)學(xué)指南調(diào)整分段，避免絕對化風(fēng)險(xiǎn)：1.收縮壓≤120

→

隸屬度0（正常范圍）2.

收縮壓∈(120,140)

→

隸屬度線性增長至0.5（反映高血壓前期風(fēng)險(xiǎn)）3.收縮壓≥140

→隸屬度繼續(xù)線性上升至1（如≥160時(shí)隸屬度1）隸屬度函數(shù)的確立目前還沒有一套成熟有效的方法，大多數(shù)確立方法

還停留在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。3.邏輯推理法基于某些邏輯規(guī)則和推理來確定隸屬函數(shù)。這種方法依賴?yán)碚撃Ｐ停?/p>

通過邏輯推導(dǎo)定義模糊概念的邊界和過渡規(guī)律。隸屬函數(shù)的確定例模糊集“優(yōu)秀”的隸屬度函數(shù)隸屬度1隸屬度函數(shù)應(yīng)該如何設(shè)計(jì)呢？0

1

2

3

4

5

績點(diǎn)例子如果學(xué)生的績點(diǎn)可以表示為[0,5]區(qū)間上的實(shí)數(shù)，請確定學(xué)生績點(diǎn)為“優(yōu)

秀”的模糊集合的隸屬度函數(shù)。一般地，績點(diǎn)為3以下屬于“優(yōu)秀”這個(gè)模糊集的隸屬度為0，績點(diǎn)在4.5

以上則屬于“優(yōu)秀”這個(gè)模糊集的隸屬度為1

。在3和4.5之間，我們可以使用線性函數(shù)或其他適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來描述隸屬度的變化情況。如果使用

線性函數(shù)：如果學(xué)生的績點(diǎn)可以表示為[0,5]區(qū)間上的實(shí)數(shù)，請確定學(xué)生績點(diǎn)為“優(yōu)

秀”的模糊集合的隸屬度函數(shù)。專家經(jīng)驗(yàn)法和邏輯推理法相結(jié)合隸屬度函數(shù)可以表示為：例子（三角形隸屬函數(shù)）Gaussianmembership

function

（高斯隸屬函數(shù)）(梯形隸屬函數(shù))sigmoidmembership

function

（sigmoid隸屬函數(shù)）Trapezoidalmembership

functiontriangularmembershipfunction模糊隸屬函數(shù)triangularmembershipfunction

（三角形隸屬函數(shù)）假設(shè)我們想用模糊邏輯描述“溫暖”的溫度范圍，可以設(shè)計(jì)一個(gè)三角形隸屬模糊隸屬函數(shù)函數(shù)：能表示平坦區(qū)域Trapezoidalmembership

function(梯形隸屬函數(shù))定義“適宜沖泡某種奶粉溫度”的模糊集合模糊隸屬函數(shù)模糊隸屬函數(shù)

?常用于需要平滑過渡的場景?改變

。會(huì)調(diào)整曲線的寬度，增大。會(huì)

使曲線變寬，減小。會(huì)使曲線變窄。?高斯函數(shù)的優(yōu)勢在于其平滑性和對稱

性，能更貼近實(shí)際場景中隸屬度的漸變特性（例如人對溫度的感知并非嚴(yán)

格線性變化）（高斯隸屬函數(shù)）Gaussianmembership

function假設(shè)想用高斯隸屬函數(shù)描述人體感到“舒適”的溫度范圍，定義如下：均值u=25"c,標(biāo)誰差o=3"ca

控制曲線的陡峭度。

b是拐點(diǎn)

b

假設(shè)我們想用Sigmoid函數(shù)表示溫度屬于“高溫”的隸屬度?

適用于需要表示非線性變化的場景?

改變a會(huì)調(diào)整曲線的陡峭度，增大a會(huì)使曲線更陡，減小a會(huì)使曲線更平緩。?

改變b會(huì)平移曲線的位置。模糊隸屬函數(shù)sigmoidmembershipfunction

（sigmoid隸屬函數(shù)）模糊集合操作(Fuzzysetoperations)?

并集

ua

ub(u)=max{u

a(u),u

o(u)}元素U屬于集合A

∪

B的隸屬度等于元素U屬于集合A的隸屬度與

元素U屬于集合B的隸屬度之間的較大值模糊集合的并集示意圖隸屬度AB模糊集合操作(Fuzzysetoperations)?交集元素U屬于集合A

∩

B的隸屬度等于元素U屬于集合A的隸屬度與

元素U屬于集合B的隸屬度之間的較小值模糊集合的交集示意圖隸屬度BA模糊集合操作(Fuzzysetoperations)?

補(bǔ)集

μ-a(u)=1-μa(u)補(bǔ)集就是1減去元素u屬原模糊集合A的隸屬度。隸屬度模糊集合的補(bǔ)集示意圖A考慮一組圖書。某本書可購性的隸屬函數(shù)A定義如下：A=0,如果此書價(jià)格高于4999A=1-{價(jià)格/500}，否則已知每本書的價(jià)格，以及每本書屬于高質(zhì)量Q這個(gè)模糊集合的隸屬度，

試計(jì)算每本書屬于模糊集合可購性A的隸屬度，并找出既經(jīng)濟(jì)質(zhì)量又高的書。書籍價(jià)格高質(zhì)量Q可購性A值得購買書籍150001書籍24000.5書籍33000.8書籍41500.6書籍54000.2書籍61000.3模糊集合操作(Fuzzysetoperations)習(xí)題考慮一組圖書。某本書可購性的隸屬函數(shù)A定義如下：A=0,如果此書價(jià)格高于4999A=1-{價(jià)格/500}，否則已知每本書的價(jià)格，以及每本書屬于高質(zhì)量Q（這個(gè)模糊集合的隸屬

度，試計(jì)算每本書屬于模糊集合可購性（A）的隸屬度，并找出既經(jīng)濟(jì)實(shí)惠質(zhì)量又高的書。書籍價(jià)格高質(zhì)量Q可購性A值得購買書籍1500010書籍24000.50.2書籍33000.80.4書籍41500.60.7書籍54000.20.2書籍61000.30.8模糊集合操作(Fuzzysetoperations)習(xí)題考慮一組圖書。某本書可購性的隸屬函數(shù)A定義如下：A=0,如果此書價(jià)格高于4999A=1-{價(jià)格/500}，否則已知每本書的價(jià)格，以及每本書屬于高質(zhì)量Q（這個(gè)模糊集合的隸屬

度，試計(jì)算每本書屬于模糊集合可購性（A）的隸屬度，并找出既經(jīng)濟(jì)實(shí)惠質(zhì)量又高的書。書籍價(jià)格高質(zhì)量Q可購性A值得購買書籍15000100書籍24000.50.20.2書籍33000.80.40.4書籍41500.60.70.6書籍54000.20.20.2書籍61000.30.80.3模糊集合操作(Fuzzysetoperations)習(xí)題模糊集合的性質(zhì)?

模糊集合遵循可交換性，結(jié)合性，可分配性，冪等性，同一性，

對合性，傳遞性，德摩根定律?

模糊集合的性質(zhì)來自于對模糊集合操作的定義（并，交，補(bǔ)）?試證明可交換性？模糊關(guān)系?模糊關(guān)系是模糊集合的擴(kuò)展，

用于表示元素之間的模糊關(guān)系

。在模

糊關(guān)系中

，每對元素的關(guān)系有一個(gè)隸屬度

，表示兩者之間關(guān)系的強(qiáng)

弱程度。?隸屬度矩陣：模糊關(guān)系通常用隸屬度矩陣表示，其中每個(gè)元素的值表示對應(yīng)的元素對的隸屬度。?

模糊集合通過隸屬度函數(shù)表示單

個(gè)元素對集合的隸屬程度，而模

糊關(guān)系通過隸屬度矩陣表示元素

對之間的關(guān)系強(qiáng)弱。集合A到集合B中的模糊關(guān)系模糊關(guān)系1.模糊關(guān)系在推薦系統(tǒng)中的應(yīng)用假設(shè)有三個(gè)商品：商品A、商品B和商品C。用戶對這些商品的評分如下：發(fā)現(xiàn)商品A和商品B在評分模式高度相似，那么當(dāng)下一個(gè)客戶購買A時(shí)候，就可以推薦B，是因?yàn)橘徺I商品A

的用戶群體通常也對商品B有較高的評價(jià)。通過評價(jià)數(shù)據(jù)，可以計(jì)算商品之間的評分相似度，進(jìn)而得到以下模糊關(guān)系：模糊關(guān)系2.模糊關(guān)系在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用在醫(yī)療診斷中，模糊關(guān)系可以用來表示不同癥狀與疾病之間的關(guān)系。

醫(yī)生可以根據(jù)這些關(guān)系來判斷患者的病情。例子假設(shè)有三個(gè)癥狀：發(fā)熱、咳嗽和疲勞，

以及三個(gè)疾?。毫鞲?、肺炎和疲勞綜合癥。我們可以用模糊關(guān)系矩陣表示癥狀與疾病之間的關(guān)系：在這個(gè)矩陣中，

μR

(發(fā)熱,流感)=0.8表示發(fā)熱與流感之間高度關(guān)聯(lián)，

μR

(發(fā)熱,疲勞綜合癥)=0.2表示發(fā)熱與疲勞綜合癥之間的關(guān)系很小。醫(yī)生將患者的癥狀進(jìn)行模糊化處理（如輕度發(fā)熱=0.4，嚴(yán)重疲勞=0.9），再

與癥狀—疾病之間的模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行運(yùn)算，就能計(jì)算出每種疾病的匹配程度模糊關(guān)系3.模糊關(guān)系在交通系統(tǒng)中的應(yīng)用?

在交通系統(tǒng)中，模糊關(guān)系可以用來表示不同路段之間的擁堵情況。

交通管理部門可以根據(jù)這些關(guān)系來優(yōu)化交通流量。假設(shè)有三個(gè)路段：路段A

、路段B和路段C

。我們可以用模糊關(guān)系矩

陣表示這些路段之間的擁堵情況：在這個(gè)矩陣中，μR

(路段A,路段B)=0.7表示路段A和路段B之間的擁

堵情況的關(guān)系程度為0.7

。代表A發(fā)生堵塞的時(shí)候，B也有很大可能發(fā)生堵塞。交通管理部門可以將當(dāng)前路段的擁堵程度作為輸入，結(jié)

合路段之間的模糊關(guān)系矩陣，預(yù)測其他路段的擁堵風(fēng)險(xiǎn)。模糊關(guān)系的并集模糊關(guān)系R和

s的并集R∪S的結(jié)果是一個(gè)新的模糊關(guān)系，其關(guān)系矩陣定義為兩個(gè)模糊矩陣對應(yīng)位置的較大值：μnus(r,y)=max(un(ar,y),μs(ar,y))模糊關(guān)系的補(bǔ)集模糊關(guān)系R的補(bǔ)集的結(jié)果是一個(gè)新的模糊關(guān)系，其關(guān)系矩陣定義為1-模糊矩陣中的每個(gè)位置的值：模糊關(guān)系的交集模糊關(guān)系R和s的交集R∩s的結(jié)果是一個(gè)新的模糊關(guān)系，其關(guān)系矩陣定

義為兩個(gè)模糊矩陣對應(yīng)位置的較小值：注意：兩個(gè)模糊關(guān)系必須作用于相同的笛卡爾積

X×Y，才可以做交并操作。*這里，μR

和

μS分別是模糊關(guān)系矩陣R和

s中的關(guān)系值模糊關(guān)系的“交并補(bǔ)”人（P）使用機(jī)器（M）的舒適程度的模糊矩陣。比如p1使用機(jī)器m1時(shí)候，非常

舒適人（P）對機(jī)器（M）上的軟件很熟練的的模糊矩陣。比如p3使用機(jī)器m3時(shí)

候，非常不熟練。模糊關(guān)系的“交并補(bǔ)”?有3個(gè)人和3臺(tái)機(jī)器模糊關(guān)系的操作?我們希望人在使用機(jī)器時(shí)，

既要很舒適，也要對機(jī)器軟件很熟練。?在這里我們需要使用模糊關(guān)系的交集操作。模糊關(guān)系的交集被定義為兩個(gè)隸屬度間的較小值。人（P）在使用機(jī)器（M）時(shí)，既使用舒適，又操作熟練的模糊矩陣因此，機(jī)器的分配p1->m1,p2->m3,p3->m2模糊規(guī)則表定義：模糊規(guī)則表也稱為模糊規(guī)則庫或規(guī)則基，是一系列if-

then（如果

…那么

…）語句的集合，用語言化的規(guī)則對系統(tǒng)

中輸入（通常用模糊集合描述）與輸出（同樣用模糊集合描

述）之間的關(guān)系進(jìn)行描述。

模糊規(guī)則表將專家知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)形式化，在具體推理時(shí)通過規(guī)則激活相應(yīng)的模糊關(guān)系，最終得出結(jié)論。例如，一個(gè)規(guī)則可能是“如果溫度是高的，那么風(fēng)扇速度應(yīng)是快的”，規(guī)則中“高溫”與“快風(fēng)扇”都是模糊集合，通過模糊關(guān)系和推理方法映射

起來。輸出模糊集合B

模糊集合C模糊集合A+模糊集合B

輸入模糊集合A模糊規(guī)則表I去模糊化/解模糊化?

模糊/解模糊。通過明確定義的隸屬函數(shù)，將數(shù)值轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)隸屬度

的過程稱為模糊化。比如，“年齡30歲”被轉(zhuǎn)化為“隸屬值為0.8的年輕人”。同樣，通過定義好的隸屬函數(shù)，將隸屬度轉(zhuǎn)換為其對應(yīng)數(shù)值的過

程稱為解模糊化。比如屬于“年輕人”這個(gè)模糊集的隸屬度為0.8轉(zhuǎn)化為“年齡30歲”。系統(tǒng)規(guī)則系統(tǒng)規(guī)則模糊

化的輸出模糊

化的輸入模糊規(guī)則表去模糊化輸入輸出輸出輸入這個(gè)模糊規(guī)則表定義了一個(gè)人吃食物的多少。食物的多少由饑餓的程度（Hunger）和食物的味道(Taste)共同

決定的，兩者分別有少、中、多(S,M,L)三個(gè)模糊集合。其隸屬度函數(shù)如下

圖所示，請根據(jù)給出的具體美味值和饑餓值來判斷具體的食量HungerSMLTasteSSSMMSMLLMLL模糊集合“非常饑餓（L）”，“中等饑餓（M）”，“一般饑餓（S）”的隸屬度函數(shù)（M）”，“一般美味（S）”的隸屬度函數(shù)模糊集合“非常美味（L）”，“中等美味例題1HungerS（0）M（

1）L（0）TasteS（0）SSMM（0.75）SMLL（0.25）MLL因?yàn)橄到y(tǒng)規(guī)則是“如果

Taste是某種程度

ANDHunger是某種程度，那么食物量是某種程度”，也就是需要“兩個(gè)條件同時(shí)成立”的前提。選取隸

屬度的較小值更能體現(xiàn)“兩個(gè)條件同時(shí)成立”的約束性。例題1問題：當(dāng)Taste=5.625,Hunger=5時(shí)，請判斷食量時(shí)多少？通過模糊隸屬函數(shù)將輸入（Taste=5.625,Hunger=5）模糊之后，Taste(S)=0

Taste(M)=0.75

，Taste(L)=0.25,

Hunger(S)=0,

Hunger(M)=1,

Hunger(L)=0HungerS（0）M（

1）L（0）TasteS（0）S（0）S（0）M（0）M（0.75）S（0）M（0.75）L（0）L（0.25）M（0）L（0.25）L（0）例題1問題：當(dāng)Taste=5.625,Hunger=5時(shí)，請判斷食量時(shí)多少？通過模糊隸屬函數(shù)將輸入（Taste=5.625,Hunger=5）模糊之后，Taste(S)=0

Taste(M)=0.75

，Taste(L)=0.25,

Hunger(S)=0,

Hunger(M)=1,

Hunger(L)=0模糊了輸入之后，輸出也是模糊的，食量屬于中等（M）的隸屬度是0.75，食量屬于大量（L）的隸屬度是0.25HungerSMLTasteSSSMMSMLLMLL例題1問題：當(dāng)Taste=5.625,Hunger=4.375時(shí)，請判斷食量時(shí)多少？HungerS（0.25）M（0.75）L（0）TasteS（0）SSMM（0.75）SMLL（0.25）MLL例題1問題：當(dāng)Taste=5.625,Hunger=4.375時(shí)，請判斷食量時(shí)多少？通過模糊隸屬函數(shù)將輸入（Taste=5.625,Hunger=4.375）模糊之后，Taste(S)=0：Taste(M)=0.75

，Taste(L)=0.25,

Hunger(S)=0.25,

Hunger(M)=0.75,Hunger(L)=0HungerS（0.25）M（0.75）L（0）TasteS（0）S（0）S（0）M（0）M（0.75）S（0.25）M（0.75）L（0）L（0.25）M（0.25）L（0.25）L（0）例題1問題：當(dāng)Taste=5.62