現(xiàn)代控制理論線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

自動(dòng)控制原理Ⅱ

第二章線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程解第1頁線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程解準(zhǔn)備知識A1準(zhǔn)備知識A2一.線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次方程解(零輸入響應(yīng))二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣三.線性定常系統(tǒng)非齊次方程解第2頁準(zhǔn)備知識A1

1.利用狀態(tài)和狀態(tài)方程來定義系統(tǒng)線性性質(zhì).用符號表示狀態(tài)和輸入激勵(lì)出輸出和狀態(tài),并稱其為輸入-狀態(tài)-輸出對.第3頁定義:一個(gè)系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)對于任何兩個(gè)允許對

和任何實(shí)數(shù)和所組成輸入---狀態(tài)---輸出對.第4頁

也是允許,則稱該系統(tǒng)是線性,不然該系統(tǒng)是非線性.簡而言之,滿足迭加原理系統(tǒng)為線性系統(tǒng).第5頁2.對定義討論

(1)若設(shè)并有則假如是線性系統(tǒng)話,按定義,則.第6頁從而,假如系統(tǒng)是線性系統(tǒng)話,則必有當(dāng)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)亦為零—這也是線性系統(tǒng)一個(gè)必要條件.第7頁(2)式(1)中,若稱式(1)關(guān)系為可加性。若則稱式(1)關(guān)系為齊次性。第8頁(3)式(1)中,若設(shè),及假定則或第9頁所以系統(tǒng)響應(yīng)對是由兩個(gè)狀態(tài)-輸入對所激勵(lì)稱由激勵(lì)響應(yīng)為零輸入響應(yīng),只是由產(chǎn)生。稱由激勵(lì)響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng),只是由產(chǎn)生。第10頁這么對于線性系統(tǒng)來講,能夠獨(dú)立地考慮其零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),而系統(tǒng)全部響應(yīng),則是它們和.依據(jù)線性系統(tǒng)性質(zhì):若第11頁則傳函法描述是零狀態(tài)響應(yīng)第12頁

3.對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程來講零輸入響應(yīng)為:--------齊次方程零狀態(tài)響應(yīng)為:--------非齊次方程.第13頁線性系統(tǒng)響應(yīng)能夠分解為.第14頁定義:[零輸入響應(yīng)]:

線性系統(tǒng)零輸入響應(yīng)定義為只有初始狀態(tài)作用即,而無輸入作用即時(shí)系統(tǒng)響應(yīng).第15頁注意:

數(shù)學(xué)上,零輸入響應(yīng)就是無輸入自治狀態(tài)方程(齊次方程)狀態(tài)解.物理上,零輸入響應(yīng)代表系統(tǒng)狀態(tài)自由運(yùn)動(dòng)，特點(diǎn)是響應(yīng)形態(tài)只由系統(tǒng)矩陣所決定，不受外部輸入影響.第16頁定義:[零狀態(tài)響應(yīng)]:

線性系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)定義為只有輸入作用,即而無初始狀態(tài)作用,即時(shí),系統(tǒng)響應(yīng).第17頁注意:數(shù)學(xué)上,零狀態(tài)響應(yīng)即為零初始狀態(tài)下強(qiáng)迫方程狀態(tài)解.物理上,零狀態(tài)響應(yīng)代表系統(tǒng)狀態(tài)由輸入u所激勵(lì)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)第18頁準(zhǔn)備知識A2不加證實(shí)地給出以下定理和定義.

(1)定理1.全體解集合,形成在實(shí)數(shù)域上n維向量空間.(2)定義1.矩陣函數(shù)中,當(dāng)且僅當(dāng)n個(gè)列分別是n個(gè)線性無關(guān)解時(shí),稱為基本矩陣,即,且非奇.第19頁

(3)定理2.每一個(gè)基本矩陣,對(-∞,∞)中全部t而言,是非奇.(4)定義2.設(shè)是任一基本矩陣,對全部(-∞,∞)中稱是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.第20頁一.線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次方程解(零輸入響應(yīng))1.討論

顯然是矩陣微分方程,在解該方程之前先觀察純量微分方程解,其中第21頁在解時(shí),先假定解代入方程得到第22頁假如所求解是方程真實(shí)解，那么上述方程對任意t都成立，所以使t冪次項(xiàng)各系數(shù)相等就可得到:第23頁顯然,從而方程解可寫為其中指數(shù)函數(shù)第24頁仿上述純量微分方程解法,對于矩陣微分方程其中,則稱是按矩陣A定義矩陣指數(shù)函數(shù),并可證實(shí),若A是n

n

方陣時(shí)，則有：并對于有限時(shí)間是絕對收斂.第25頁結(jié)論：[零輸入響應(yīng)]線性定常連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng),即系統(tǒng)齊次方程解,并含有以下形式:第26頁推論:(1).零輸入響應(yīng)運(yùn)動(dòng)特征.

對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),其零輸入響應(yīng)是由其齊次方程解屬性決定，狀態(tài)空間中x(t)隨時(shí)間演化軌道(幾何表征)，屬于由偏離系統(tǒng)平衡狀態(tài)初始狀態(tài)引發(fā)自由運(yùn)動(dòng).第27頁一個(gè)經(jīng)典例子是:人造衛(wèi)星在末級火箭脫落后運(yùn)行軌道,以脫落時(shí)刻運(yùn)行狀態(tài)為初始狀態(tài)自由運(yùn)動(dòng)即零輸入響應(yīng).第28頁

(2).零輸入響應(yīng)形態(tài).

對線性定常連續(xù)系統(tǒng),零輸入響應(yīng)即自由運(yùn)動(dòng)軌跡形態(tài),當(dāng)且僅當(dāng)由系統(tǒng)矩陣指數(shù)函數(shù)唯一地決定.不一樣系統(tǒng)矩陣A,造成不一樣形態(tài)零輸入響應(yīng),即自由運(yùn)動(dòng)軌道.表明即A系統(tǒng)矩陣,包含了零輸入響應(yīng)即自由運(yùn)動(dòng)形態(tài)全部信息.第29頁(3).零輸入響應(yīng)趨向平衡狀態(tài)x=0屬性.對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),零輸入響應(yīng),即自由運(yùn)動(dòng)軌跡最終趨向系統(tǒng)平衡狀態(tài)x=0條件是:當(dāng)且僅當(dāng)矩陣指數(shù)函數(shù)最終趨向零,即稱上述屬性為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.該式也是線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定充分條件.第30頁(4).零輸入響應(yīng)計(jì)算.依據(jù)解,則零輸入響應(yīng)計(jì)算關(guān)鍵是計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)。第31頁

(5).零輸入響應(yīng)表示式更普通形式.

對線性定常連續(xù)系統(tǒng),通常習(xí)慣地取初始時(shí)間。因?yàn)榫€性時(shí)不變系統(tǒng)分析只與相對時(shí)間相關(guān),這種處理也不失普通性.但若因某種需要,將初始時(shí)間取為，此時(shí),零輸入響應(yīng)更有普通形式：第32頁

(6).零輸入響應(yīng)幾何表征.對線性定常連續(xù)系統(tǒng),齊次方程解表示式表明:在時(shí)刻狀態(tài)點(diǎn),幾何上對應(yīng)于狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點(diǎn),經(jīng)線性變換導(dǎo)出一個(gè)變換點(diǎn).基于此,可推知,零輸入響應(yīng)隨時(shí)間t演化過程,幾何上即為狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)和由各個(gè)時(shí)刻變換點(diǎn)組成一條軌跡.第33頁

2.解性質(zhì)(矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì))矩陣指數(shù)函數(shù)在線性系統(tǒng)分析中含有主要意義,為此可基于定義,給出性質(zhì).第34頁性質(zhì)：

第35頁第36頁3．齊次方程拉普拉斯解法.一樣先考慮純量微分方程將方程兩端作拉氏變換則第37頁將這種方法推廣到矩陣微分方程解對兩邊取拉氏變換，則有

或即第38頁從而因?yàn)樗缘?9頁從而普通形式顯著地指出了一個(gè)算法.第40頁二．狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.概念推論1.對線性定常系統(tǒng)是一個(gè)基本矩陣。第41頁證實(shí)：設(shè),若是一個(gè)基本矩陣,則有,將代入，并利用微分性質(zhì)得到,且非奇異。故是線性定常連續(xù)系統(tǒng)一個(gè)基本矩陣。第42頁

推論2.對線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本矩陣表出第43頁

推論3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣唯一性對線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是唯一，且在按定義確定時(shí)，與所選擇無關(guān)。第44頁推論4.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式。對情形下，對情形下，推論5.零輸入響應(yīng)形式。第45頁依據(jù)零輸入響應(yīng)幾何表征，顯然是將初始狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到t時(shí)刻x(t)。而則是x(0)到x(t)轉(zhuǎn)移.故稱是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.第46頁2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì).第47頁第48頁3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣算法

(1)按定義計(jì)算(2)假如A是對角陣,則第49頁

(3)若A特征值互異,即互異,則可經(jīng)過變換,使,從而,而其中從而(4)第50頁三．線性定常系統(tǒng)非齊次方程解

1.零狀態(tài)響應(yīng)考慮連續(xù)線性定常系統(tǒng)，令系統(tǒng)初始狀態(tài)對應(yīng)狀態(tài)方程第51頁結(jié)論[零狀態(tài)響應(yīng)]：連續(xù)線性定常系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng),即上述方程解含有以下表示式：當(dāng)時(shí)第52頁討論：（1）數(shù)學(xué)特征即易證：稱矩陣指數(shù)函數(shù)和輸入作用函數(shù)影響在時(shí)序上是對偶，這種對偶在數(shù)學(xué)上稱為卷積分。第53頁（2）幾何特征若令則零狀態(tài)響應(yīng)顯然是t時(shí)刻輸入作用等價(jià)狀態(tài)，從而零狀態(tài)響應(yīng)是（等價(jià)狀態(tài)）以為變換陣導(dǎo)出變換點(diǎn)，在幾何上代表狀態(tài)空間中各個(gè)時(shí)刻t輸入作用等價(jià)狀態(tài)變換點(diǎn)組成一條軌道。第54頁（3）零狀態(tài)響應(yīng)運(yùn)動(dòng)屬性

是隨時(shí)間t演化軌跡，在屬性上屬于輸入驅(qū)動(dòng)下強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。輸入是造成零狀態(tài)響應(yīng)唯一激勵(lì)。第55頁（4）零狀態(tài)響應(yīng)對任意狀態(tài)點(diǎn)可達(dá)屬性對零狀態(tài)響應(yīng)，假如對任意指定狀態(tài)空間狀態(tài)點(diǎn)都存在一個(gè)輸入和有限時(shí)間，使成立，那么稱含有能達(dá)性，顯然能達(dá)性