題型四 圓的相關(guān)證明與計算2025年中考數(shù)學(xué)重難題型分類練含答案

題型四圓的相關(guān)證明與計算類型一圓基本性質(zhì)的證明與計算1.(2024浙江)如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD,延長AD至點E，使AE=AC,,延長BA至點F,連接EF,使∠AFE=∠ADC.(1)若∠AFE=60°,CD為直徑，求(2)求證:(①EF‖BC;②EF=BD.2.(2024煙臺)如圖,AB是⊙O的直徑,△ABC內(nèi)接于⊙O，點I為△ABC的內(nèi)心，連接CI并延長交⊙O于點D.E是BC上任意一點，連接AD,BD,BE,CE.(1)若∠ABC=25°,求(2)找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；(3)若CI=22,DI=132類型二與切線有關(guān)的證明與計算3.(2024遂寧)如圖,AB是⊙O的直徑,AC是一條弦,點D是AC的中點，DN?AB于點E,交AC于點F,連接DB交AC于點G.(1)求證:AF=DF;(2)延長GD至點M,使.DM=DG,連接AM.①求證:AM是⊙O的切線;②若DG=6,DF=5,求⊙O的半徑.4.新考法新設(shè)問(2024云南定心卷)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,⊙O外的點D在射線AC上,過點D作DE垂直AB的延長線于點E，且BD平分∠ADE.(1)求證:BC=BE;(2)若AD=13,DE=5,求AC的長；(3)過點B作⊙O的切線BF，交AD于點F，是否存在常數(shù)k，使CF?AEAC

5.|一題多設(shè)問(2024云南)如圖,AB是⊙O的直徑.點D,F是⊙O上異于A,B的點.點C在⊙O外,(CA=CD,延長BF與CA的延長線交于點M，點N在BA的延長線上，∠AMN=∠ABM,AM?BM=AB·MN.點H在直徑AB上,∠AHD=90(1)求∠AFB的度數(shù)；(2)求證:直線CM與⊙O相切;(3)看一看，想一想，證一證：以下與線段CE、線段EB、線段CB有關(guān)的三個結(jié)論：(CE+EB<CB,CE+EB=CB,CE+EB>CB,你認(rèn)為哪個正確?請說明理由.(4)設(shè)BC交⊙O于點G,AG,HD的延長線交于點K,關(guān)于線段DK,線段DE有關(guān)的兩個結(jié)論：DK=2DE,DK=36.(2024福建)如圖,在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,，以AB為直徑的⊙O交BC于點D,AE?OC,垂足為E，BE的延長線交(1)求OEAE(2)求證:△AEB△BEC;(3)求證:AD與EF互相平分.7.(2024河北)已知⊙O的半徑為3,弦MN=25.△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=32.在平面上，先將(1)當(dāng)點B與點N重合時，求劣弧AN的長；(2)當(dāng)OA‖MN時，如圖②，求點B到OA的距離，并求此時x的值；(3)設(shè)點O到BC的距離為d.①當(dāng)點A在劣弧MN上，且過點A的切線與AC垂直時，求d的值；②直接寫出d的最小值.

8.(2024湖南省卷)【問題背景】已知點A是半徑為r的⊙O上的定點，連接OA，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90【初步感知】(1)如圖①,當(dāng)α=60°時，【問題探究】(2)以線段AC為對角線作矩形ABCD，使得邊AD過點E，連接CE，對角線AC,BD相交于點F.①如圖②，當(dāng)AC=2r時，求證：無論α在給定的范圍內(nèi)如何變化，BC=CD+ED總成立；②如圖③，當(dāng)AC=43r,CE題型四圓的相關(guān)證明與計算1.(1)解:∵CD是直徑,∴∠CBD=90°,∵∠ADC=∠AFE=60°,四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=180°-∠ADC=120°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°;(2)證明：①∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE+∠FBC=180°,∴EF∥BC;②如解圖，將△AFE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)使得點E和點C重合,得到△ACG,則∠AGC=∠AFE=∠ADC,∠EAF=∠CAG,CG=EF,∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠AGC+∠ABC=180°,即點G在該圓上.由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知，∠DAB+∠BCD=180°,∵∠EAF+∠BAD=180°,∴∠EAF=∠BCD,∴∠EAF=∠CAG=∠BCD,∴∴BD=CG,即EF=BD.2.解:(1)∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∵∠ABC=25°,∴∠BAC=65°,∵四邊形ABEC為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAC+∠CEB=180°,∴∠CEB=18(2)解題思路根據(jù)Ⅰ為△ABC的內(nèi)心,連接AI,BI,可得到∠DCA=∠DCB,∠BAI=∠CAI,根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠DAB=∠DCB,可推出∠DIA=∠DAI,同理∠DIB=∠DBI,即可得證DA=DI=DB.DI=DA=DB,證明:如解圖,連接AI,BI,∵點I為△ABC的內(nèi)心,∴CD平分∠ACB,AI平分∠BAC,∴∠DCA=∠DCB,∠BAI=∠CAI,∵∠DAB=∠DCB,∴∠DCA=∠DAB,∵∠DIA為△AIC的外角,∴∠DIA=∠CAI+∠DCA,∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∴∠DIA=∠DAI,∴DI=DA.同理可得,∠DIB=∠DBI,∴DI=DA=DB;(3)解題思路I為△ABC三條角平分線的交點，由角平分線上的點到角兩邊距離相等，將AC，BC部分長度轉(zhuǎn)化到AB邊上去，求出剩余長度與CI的關(guān)系，即可求出△ABC的周長.解：如解圖，過點I分別作AC，AB，BC的垂線，垂足分別為F,G,H,由(2)得,DI=DA=DB=∴在Rt△ABD中,AB=∵點I是△ABC的內(nèi)心,∴AI平分∠FAG,∴∠FAI=∠GAI,∵∠AFI=∠AGI=90°,∴△AFI≌△AGI(AAS),∴AF=AG,同理,BG=BH,∵∠ACB=90°,CI平分∠ACB且IF⊥FC,∴△FIC為等腰直角三角形，∴CF=同理，CH=∴△ABC的周長為AB+AC+BC=2AB+2CF=26+4=30.3.(1)解題思路要證明線段相等，需證明等腰三角形兩個底角相等.證明：如解圖，連接AD，∵D是?AC的中點，∴∴∠ABD=∠CAD,∵DN⊥AB,AB為⊙O的直徑,∴∴∠ADN=∠ABD,∴∠ADN=∠CAD,∴AF=DF;(2)①解題思路由AB為直徑,推出∠ADB=90°,再結(jié)合DM=DG,得到AD是MG的垂直平分線，由等角代換求出∠BAM的值即可證明切線.證明：如解圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°=∠ADM,∴∠B+∠BAD=90°,∵DM=DG,∴AD是MG的垂直平分線，∴∠MAD=∠GAD,∵∠GAD=∠B,∴∠MAD=∠B,∴∠MAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,∴∠BAM=90°,∵AB為⊙O的直徑,∴AM是⊙O的切線;②解題思路由DN⊥AB,推出DE∥AM,得到△GDF∽△GMA,求出AM值，利用勾股定理求出AD值，再由tanM=ADMD解:∵DG=6,∴DM=DG=6,MG=12,∵DN⊥AB,∠MAB=90°,∴DE∥AM,∴△GDF∽△GMA,∴∵DF=5,∴AM=10,∴AD=∴即8解得AB=∴⊙O的半徑為204.(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠BCD=90°.∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∵BD平分∠ADE,∴BC=BE;(2)解:在Rt△BCD和Rt△BED中,{∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴CD=ED=5,∴AC=AD-CD=13-5=8;一題多解在Rt△AED中,∠AED=90°,AD=13,DE=5,∴AE=設(shè)BC=BE=x,則AB=12-x,∵∠AED=90°,∴又∵∠ACB=90°,∴∴∴x=∴AB=12?∴AC=(3)解題思路第一步:證明△ACB∽△AED,得到AB解：存在常數(shù)k=1，使CF?AEAC理由如下：∵∠A=∠A,∠ACB=∠AED,∴△ACB∽△AED,∴第二步:由BF為⊙O的切線,得到∠ABF=90°,推出∠A=∠CBF,得到△AED∽△BCF,得到DE∵BF為⊙O的切線,∴∠ABF=90°,∴∠ABC+∠CBF=90°.∵∠ABC+∠A=90°,∴∠CBF=∠A.∵∠E=∠BCF,∴△AED∽△BCF,∴第三步：將CF?AEAC假設(shè)CF?AE則k=CF?AEAC∴存在常數(shù)k=1,使CF?AEAC一題多解存在常數(shù)k=1，使CF?AEAC理由如下：∵BF切⊙O于點B,∴BF⊥AB,∴∠ABC+∠CBF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠CBF,∵∠ACB=∠BCF=90°,∴∴∵∠AED=90°,∠ABF=90°,∴∴∴∴要使CF?AEAC只需令k=1,∴存在常數(shù)k=1，使CF?AEAC5.(1)解:∵AB是⊙O的直徑,點F是⊙O上異于A,B的點，∴∠AFB=9(2)證明:∵AM·BM=AB·MN,∴∵∠AMN=∠ABM,∴△AMN∽△ABM,∴∠NAM=∠MAB.∵∠NAM+∠MAB=180°,∴∠NAM=∠MAB=90°,∴OA⊥CM.∵OA為⊙O的半徑,∴直線CM與⊙O相切;(3)證明:我認(rèn)為CE+EB=CB正確,理由如下:如解圖①,連接OC,OD,AD,BD,設(shè)OC交AD于點G,∵OA=OD,∴點O在線段AD的中垂線上，∵CA=CD,∴點C在線段AD的中垂線上，∴OC⊥AD,∴∠OGA=90°,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠OGA=∠ADB,∴OG∥BD,∴∠AOC=∠ABD.∵∠AHD=90°,∴∠DHB=90°,∴∵E為DH的中點,∴EH=∴∵tan∠AOC=AC∴∵∠AOC=∠ABD,∴tan∠HBE=tan∠ABC,∴∠HBE=∠ABC,∴B,E,C三點共線,∴CE+EB=CB.一題多解(3)證明：我認(rèn)為(CE+EB=CB正確，理由如下：如解圖②,連接OC,OD,過點B作⊙O的切線,交CD的延長線于點K，設(shè)BC與DH交于點G，在△OAC和△ODC中{∴△OAC≌△ODC(SSS),∴∠OAC=∠ODC.由(2)知OA⊥CM,∴∠OAC=∠ODC=90°,∴OD⊥CD.∵OD為⊙O的半徑,∴CK為⊙O的切線.∵BK為⊙O的切線,∴DK=BK,BK⊥AB.∵DH⊥AB,CA⊥AB,∴AC∥DH∥BK,∴△BHG△BAC,△CDG△CKB,∴∴∵CA=CD,∴GH=GD,∴點G是線段DH的中點，∵點E是線段DH的中點，∴點G與點E重合.∴線段BC經(jīng)過點E,∴CE+EB=CB.一題多解(3)證明:我認(rèn)為CE+EB=CB正確,理由如下:如解圖③,連接OC,OD,在△OAC和△ODC中{∴△OAC≌△ODC(SSS),∴∠CDO=∠CAO=90°,連接BD并延長與AC延長線交于點P，設(shè)BC與DH交于點G，∵∠CDO=∠CAO=90°,∠BAC=90°,∴∠P+∠OBD=90°,∠CDP+∠ODB=90°,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠P=∠CDP,∴CP=CD,∵CA=CD,∴AP=2AC,∵∠CAO=∠BHD=90°,∴AP∥HD,∴△BHG∽△BAC,△BHD∽△BAP,∴∴∵AP=2AC,∴HD=2HG,即G為HD中點,又∵E是DH的中點，∴點G與點E重合，∴CE+EB=CB.解題技巧本題求證CE+BE與CB的數(shù)量關(guān)系，只需證明CE與BE共線即可,可用方法一:證明∠HBE=∠ABC或方法二、三：利用三角形相似.(4)解:我認(rèn)為DK=2DE正確,理由如下:如解圖④,延長DE交⊙O于點Q,根據(jù)相交弦定理知：DE·EQ=GE·EB,又∵AB為直徑,AB⊥DQ,∴HQ=HD,∵DE=HE,∴QE=3DE.又∵∠KGE=180°-∠AGB=90°=∠EHB,∠GEK=∠HEB,∴△EHB∽△EGK,∴EH·EK=EG·EB,∴EK=EQ=3DE.∴DK=2DE.6.(1)解題思路由∠BAC=90°,且AE⊥OC,利用tan∠AOC=解:∵AB=AC,且AB是⊙O的直徑,∴AC=2AO.∵∠BAC=90°,∴在Rt△AOC中,tan∵AE⊥OC,∴在Rt△AOE中,tan∴(2)解題思路第一步：利用倍長中線OE，構(gòu)造與△AEO全等的三角形，求出∠OEB的度數(shù)；證明：如解圖①，過點B作BM∥AE，交EO的延長線于點M.∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.∵AO=BO,∴△AOE≌△BOM(AAS),∴AE=BM,OE=OM.∵∴BM=2OE=EM,∴∠MEB=∠MBE=45°,第二步:由AE⊥OC,推出∠AEB=BEC;∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,∠BEC=18∴∠AEB=∠BEC.第三步:由AB=AC,且∠BAC=90°,推出∠CBA的度數(shù)，再由第一步證明的三角形全等，通過等角計算，推出∠BAE=∠CBE即可得證.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°,∴∠ABM=∠CBE,∴∠BAE=∠CBE,∴△AEB∽△BEC;(3)解題思路第一步:由AB=AC,∠BAC=90°且∠ADB=90°,推出2BD=BC,由(2)知△AEB∽△BEC,推出△AOE∽△BDE,進(jìn)而推出AF∥DE;證明：如解圖②，在解圖①的基礎(chǔ)上，連接DE，DF.∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BC=2BD,∠DAB=45°.由(2)知,△AEB∽△BEC,∴∴△AOE∽△BDE,∴∠BED=∠AEO=90°.∴∠DEF=90°.∴∠AFB=∠DEF,∴AF∥DE.第二步:由(2)知∠AEB度數(shù),推出∠AEF=∠DFB,進(jìn)而推出AE∥FD;由(2)知,∠AEB=135°,∴∠AEF=18∵∠DFB=∠DAB=45°,∴∠DFB=∠AEF,∴AE∥FD,第三步：由兩組對邊分別平行推出四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明.∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AD與EF互相平分.7.解:(1)如解圖①,連接OA,ON,∵AN=OA=ON=3,∴△AON是等邊三角形，∴∠AON=60°,∴劣弧?AN的長為60×π×3(2)解題思路第一步：將點B到AO的距離轉(zhuǎn)化成點O到MN的距離是解題的關(guān)鍵，然后利用垂徑定理即可求解點B到AO的距離；如解圖②,過點O作OD⊥MN于點D,過點B作BE⊥AO于點E,連接ON,則DN=∵ON=3,∴OD=BE=OD=2,∴點B到OA的距離為2.第二步：利用勾股定理求出AE，然后求解x即可.∵AE=∴BD=EO=AO?AE=3?∴x=BN=BD+DN=3?(3)解題思路由勾股定理求出AC，再根據(jù)半徑求出CO，利用相似三角形即可求出O到BC的距離d.①過點A的切線與AC垂直時，AC過圓心O，如解圖③,過點O作OF⊥BC于點F,AC=∵∠ABC=∠OFC=90°,∠ACB=∠OCF,∴△ABC∽△OFC,∴OCAC=②2【解法提示】如解圖④，過點O作OJ⊥BC于點J，連接OB,在Rt△OBJ中,∵OJ=OB2?BJ2,?.當(dāng)OB最小時,即OB⊥MN時,d最小,過點A作AQ⊥BO于點Q,連接OA,∵AB=AO=3,AQ⊥OB,∴BQ=8.(1)解:30;【解法提示】∵∠AOE=α=60°,OA=OE,∴△OEA是等邊三角形,∴∠OAE=60°,∵直線