第二十八章 銳角三角函數(shù) 單元測試（含解析）2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊

第二十八章銳角三角函數(shù)單元測試一、單選題1．如圖，在中，，，，的值為（

）A． B． C． D．2．如圖，正方形中，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，則的值是（

）A． B． C． D．3．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，P是上一點．若，，則的長為（

）．A．2 B．4 C． D．4．如圖，在中，，點為的中點，連接．若，則的值為（

）A． B． C． D．5．在中，，，，則（

）．A． B． C． D．6．已知，且為銳角，則（

）．A． B． C． D．7．在中，，，，則的正切值為（

）A． B． C． D．8．小穎在國際龍舟競渡中心廣場點處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點位于點的北偏西方向上，終點位于點的北偏東方向上，米，則點到賽道的距離約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）．A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米9．如圖，菱形的邊長為2，點C在y軸的負(fù)半軸上，拋物線過點B．若，則為（）A． B． C． D．110．如圖，將激光筆傾斜固定在長方體水槽A處，開啟激光筆發(fā)射一束紅光線，水槽中不裝溶液介質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)光斑恰好落在處，此時，當(dāng)向槽內(nèi)緩緩加入溶液介質(zhì)上升至處時，光斑隨之緩緩移至處．已知為的中點，，，作出法線與的交點，測得折射角等于，則光斑移動的距離為（）A． B． C． D．11．如圖，的對角線，交于點，，平分交于點，交于點．若，且，則的值為（

）A．6 B．8 C．9 D．1212．如圖，在中，于點D，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．二、填空題13．在中，，，，D是上一點，過點D作交延長線于點E，若，則的值為．14．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．連接，，若，則．15．如圖，小海想測量塔的高度，塔在圍墻內(nèi)，小海只能在圍墻外測量．這時無法測得觀測點到塔的底部的距離，于是小海在觀測點處仰望塔頂，測得仰角為，再往塔的方向前進(jìn)米至觀測點處，測得塔頂?shù)难鼋菫?，點、、在一直線上，小海測得塔的高度為米（小海的身高忽略不計，用含、的三角比和的式子表示）．16．如圖，在中，，，，點M與點N分別在邊與上，，將沿翻折得到，連接并將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．三、解答題17．計算：18．如圖，在中，，點為線段上一點，過點作的垂線交的延長線于點．

(1)如圖，若，，，求線段的長度．(2)如圖，若，點為線段延長線上一點，連接交線段于點，且，求證：．19．已知內(nèi)接于，是的直徑，過點B作的切線，與的延長線相交于點D，點E在上，，與相交于點F．(1)如圖①，若，求和的大??；(2)如圖②，若，，求的長．20．乒乓球桌的側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)（如圖所示）是軸對稱圖形，臺面（臺面厚度忽略不計）且與地面平行，高度為（臺面與地面之間的距離），直線型支架與的上端與臺面下方相連，與的下端各是一個腳輪（腳輪大小忽略不計），直線型支架與的上端與臺面相連，下端與相連，圓弧形支架分別與在點相連，且，，已知，，．求的長度．參考答案題號12345678910答案BCCABAABAC題號1112答案BB1．B【分析】本題考查了求余弦，勾股定理，勾股定理求得，然后根據(jù)余弦的定義即可求解．熟練掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故選：B．2．C【分析】過作，垂足為，根據(jù)兩個三角形全等的判定定理，確定，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，確定為等腰三角形，結(jié)合“三線合一”得到是邊上的中線，進(jìn)而，即，在中，，設(shè)，則，由勾股定理得到，利用正弦值定義求解即可得到答案．【詳解】解：過作，垂足為，如圖所示：，在正方形中，，，，，，在和中，，∴，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，，，由“三線合一”可得是邊上的中線，即，，在中，，設(shè)，則，由勾股定理得到，，故選：C．【點睛】本題考查求正弦值，涉及正方形的性質(zhì)、全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)幾何概念、判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)圓周角定理，余弦函數(shù)的應(yīng)用解答即可．本題考查了圓周角定理，余弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握定理和函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的直徑，P是上一點．∴，∴，∵，∴，故選：C．4．A【分析】本題考查解直角三角形，銳角三角函數(shù)，熟練掌握解直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，求得的長度，進(jìn)而求解即可；【詳解】解：，點為的中點，，，，；故選：A5．B【分析】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，由勾股定理求出斜邊的長，再根據(jù)正弦的定義計算即可求解，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，∴，故選：．6．A【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，且為銳角，∴，故選：．7．A【分析】本題主要考查了勾股定理和解直角三角形，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故選：A．8．B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點P作，垂足為P，設(shè)米，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再根據(jù)米，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：過點P作，垂足為C，設(shè)米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴點P到賽道的距離約為86.6米，故選：B．9．A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和菱形的性質(zhì)及解直角三角形，過點作軸交軸于點，求出點的坐標(biāo)，代入即可求解，求出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作軸交軸于點，∵菱形的邊長為，∴，∵，∴，∴，，∴，把代入，∴，∴，故選：A．10．C【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得，四邊形、是矩形，則有，然后根據(jù)三角函數(shù)可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴四邊形是矩形，同理可得也為矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵為的中點，，∴，∵，∴，∴；故選C．11．B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)已知條件得出，，是等邊三角形，得出，則，證明得出，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵∴，∵平分交于點，∴∴，∴∴∴是的中點∵的對角線，交于點∴∴∵∴∵∴∴是等邊三角形，∵，∴∴∴∵∴∴∴，∴的值為故選：B．12．B【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，先根據(jù)，求出，得出，解直角三角形得出，，求出，得出，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，∴，，，，，，∴，，．故選：B．13．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)，勾股定理．過點A作于點P，過點E作交BC的延長線于點F，由正切函數(shù)得和，求得，，在中，求得，推出，由，求得，，，進(jìn)而得，設(shè)，，則，，由正切函數(shù)，，即可求解．【詳解】解：過點A作于點P，過點E作交的延長線于點F，如圖所示：∴，在中，，∴設(shè)，，∵，∴，解得，∴，，在中，∵，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，設(shè)，，，∴，在中，，∵，∴，在中，，解得：，，∴．故答案為：．14．【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理以及求角的正切值，設(shè)，，得，，根據(jù)得方程，解方程求出即可得解．【詳解】解：設(shè)，，∴，，又，，∵，∴，整理得，，∴，∴，解得，，或，∵，∴，∴，∴，故答案為：．15．（答案不唯一）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角找到直角三角形各邊之間的聯(lián)系，從而求解．在中，的對邊是，鄰邊是，則，表示出，在中，表示出，結(jié)合即可求解．【詳解】解：設(shè)米．在中，，，在中，，，，，∴，答：塔的高度約為米．故答案為：．16．/【分析】由折疊的性質(zhì)得，，證明是等邊三角形得，可得點在與夾角為的射線上運(yùn)動，設(shè)交于點，證明是等邊三角形得，由可知將逆時針旋轉(zhuǎn)后所得線段在上，證明，求出，得出點在直線上運(yùn)動，作于點，則當(dāng)與重合時，的值最?。蟪黾纯汕蠼猓驹斀狻拷猓哼B接并延長，∵在中，，，，，由折疊的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，，∴點在與夾角為的射線上運(yùn)動，設(shè)交于點，，∴是等邊三角形，，，，∴將逆時針旋轉(zhuǎn)后所得線段在上，∴，，∴，，，，，，，∴點在直線上運(yùn)動，作于點H，則當(dāng)E與H重合時，的值最小．，∴的值最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，確定點和點運(yùn)動的軌跡是解答本題的關(guān)鍵．17．【分析】本題考查了實數(shù)的混合運(yùn)算，算術(shù)平方根，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，乘方運(yùn)算，負(fù)整指數(shù)冪運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)法則正確運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．分別進(jìn)行算術(shù)平方根，零指數(shù)冪，乘方，負(fù)整指數(shù)冪運(yùn)算，最后相加減即可．【詳解】解：，，．18．(1)(2)證明見解析【分析】（）由直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)得，再根據(jù)勾股定理即可求解；（）如圖，作于點，可證，得到，，由是等腰直角三角形，可證得，得到，進(jìn)而可證明，得到，又由，得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，作于點，

∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，余角性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．(1)，(2)【分析】（1）利用切線性質(zhì)得出，結(jié)合直徑所對圓周角是直角得，根據(jù)同角的余角相等求出．由同弧所對圓周角相等得，再根據(jù)得出，最后利用三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)而由算出的度數(shù)．（2）連接、，根據(jù)圓周角定理及推出，通過全等三角形判定證明，得到垂直平分，從而得出，結(jié)合判定為等邊三角形，得出，在中求出的長．算出的度數(shù)，在中利用正切函數(shù)求出的長．【詳解】（1）解：是的切線，，，又為直徑，，，，，∵，，，，；（2）解：連接，，，，，，，，，∴，垂直平分，即垂直平分，，又，，為等邊三角形，∴，在中，，，∵，∴，，在中，，，長為．