5.3.1函數(shù)的單調(diào)性課件高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

5.3.1函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)：如果對于屬于定義域I內(nèi)同一個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1

，x2

，當x1<x2

時，都有f(x1)<f(x2)，則稱f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。減函數(shù)：如果對于屬于定義域I內(nèi)同一個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1

，x2

，當x1<x2

時，都有f(x1）>f(x2)，則稱f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法、復合函數(shù)法函數(shù)的單調(diào)性3、證明單調(diào)性只能用定義法取值——作差——變形——判斷復雜函數(shù)變形不易或不能變形例如：y=x3-5x2+x-6y=xlnxy=ln(1+x)-x函數(shù)的單調(diào)性xyOxxyOxy=xy=x2y=x3

觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負的關系.

在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果恒有，則是常數(shù)。xyO(2)xyO(4)能否從導數(shù)的幾何意義的角度來探討導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關系？xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))如圖示，導數(shù)f

'(x0)表示函數(shù)y=f

(x)的圖象在點(x0,f

(x0))處的切線的斜率，可以發(fā)現(xiàn):在x=x0處f′(x0)>0函數(shù)y=f(x)的圖象上升，在x=x0附近單調(diào)遞增切線“左下右上”上升在x=x1處f′(x1)<0函數(shù)y=f(x)的圖象下降，在x=x1附近單調(diào)遞減切線“左上右下”下降導數(shù)的應用—判斷函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律:1.如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi),

則f(x)在此區(qū)間是單調(diào)增加;2.如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi),

則f(x)在此區(qū)間是單調(diào)減少.xyOy=x3規(guī)律:1.如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加則2.如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少則abxoyAB

?x1、x2∈（a,b）,經(jīng)過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線AB的斜率就是平均變化率

設函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上的導數(shù)f

'(x)為正

直觀上，能找到一點T(x0，f(x0))，使函數(shù)

f(x)的圖像在點T處的切線與直線AB平行，即

T從而函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增用此方法同樣可以說明函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞減，結(jié)論：利用導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性，與函數(shù)單調(diào)性定義是一致的。在(a,b)內(nèi)f(x)>0是函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加的

條件定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：知識點一函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系f′(x)的正負f(x)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞___f′(x)<0單調(diào)遞___f′(x)＝0常數(shù)函數(shù)思考“在某個區(qū)間上f′(x)>0”是“f(x)是增函數(shù)”的什么條件？答案充分不必要條件.在某個區(qū)間上個別點使f′(x)＝0不會影響f(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性.增減觀察函數(shù)圖象，分析函數(shù)的導數(shù)絕對值的大小與函數(shù)圖象的變化關系如下表：知識點二函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)絕對值大小的關系圖象

導數(shù)導數(shù)為正，且絕對值越來越大導數(shù)為正，且絕對值越來越小導數(shù)為負，且絕對值越來越大導數(shù)為負，且絕對值越來越小函數(shù)值函數(shù)值變化越來越___函數(shù)值變化越來越___函數(shù)值變化越來越___函數(shù)值變化越來越___圖象特點越來越_____越來越_____越來越_____越來越_____快慢快慢陡峭平緩陡峭平緩例如：如何說明對數(shù)函數(shù)y=lnx與冪函數(shù)y=x3在區(qū)間(0,＋∞)上增長快慢的情況的不同呢？y=lnxxyO1?(1)y=x3xyO(2)例xyO1?解：知識點三利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求導數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式

，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式

，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.思考如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個，那么這些區(qū)間可否用“∪”連接？答案不可以.可用“，”隔開或用“和”連接.f′(x)>0f′(x)<01.函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減.(

)2.函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f′(x)>0.(

)3.函數(shù)y＝x3＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).(

)4.函數(shù)y＝

的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)思考辨析判斷正誤√×××讀圖：1、函數(shù)f(x)

的導函數(shù)y=f'(x)

的圖象如圖，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________-102x2、如果函數(shù)f(x)的圖象如右圖，那么導函數(shù)f'(x)的圖象可能是(-1,0)和（2,+∞）練習：(1)已知y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則所給四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是√一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間③把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；④確定在各個小開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判定函數(shù)在每個小開區(qū)間內(nèi)的增減性。求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：①確定函數(shù)的定義域區(qū)間；②求，令＝０，解此方程，求出它在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實根；求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-36x+1的單調(diào)區(qū)間。解：f'(x)=6x2+6x-36=6(x+3)(x-2).令f'(x)=0，解得x=-3或x=2，x=-3和x=2把函數(shù)的定義域劃分為三個區(qū)間，f'(x)在各個區(qū)間上的正負以及f(x)的單調(diào)性如表，x(-∞，-3)-3(-3，2)2(2，+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增f(-3)單調(diào)遞減f(2)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-3)，(2，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(-3，2).

含參函數(shù)的單調(diào)性例2

試求函數(shù)f(x)＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間.解函數(shù)f(x)＝kx－lnx的定義域為(0，＋∞)，當k≤0時，kx－1<0，∴f′(x)<0，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.綜上所述，當k≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞增區(qū)間；

二、求參數(shù)的取值范圍(1)解題步驟：函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(減)→f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間(a，b)上恒成立利用分離參數(shù)法或函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問題→→對等號單獨驗證(2)注意事項：一般地，要檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0，若f′(x)恒等于0，則參數(shù)的這個值應舍去；若只有在個別點處有f′(x)＝0，則由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的參數(shù)取值范圍為最后解.

跟蹤訓練

1

√(2)若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1，k+1)上不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍是A.(-∞，-3]∪[-1，1]∪[3，+∞)B.(-3，-1)∪(1，3)C.(-2，2)D.不存在這樣的實數(shù)k√由題意得，f'(x)=3x2-12=0在區(qū)間(k-1，k+1)上至少有一個實數(shù)根.又f'(x)=3x2-12=0的根為±2，且f'(x)在x=2或-2兩側(cè)導數(shù)異號，而區(qū)間(k-1，k+1)的區(qū)間長度為2，故只有2或-2在區(qū)間(k-1，k+1)內(nèi)，∴k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1，∴1<k<3或-3<k<-1，故選B.例4、解方程三、求方程根的問題或解不等式

不等式2x