浙江省寧波市金蘭教育合作組織2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

浙江省金蘭教育合作組織2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題學(xué)校：滸山中學(xué)審題學(xué)校：夢麟中學(xué)龍賽中學(xué)考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并核對條形碼信息.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知（，且），則的值為（）A.30 B.42 C.56 D.72【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式求出，再根據(jù)排列數(shù)公式計算可得.【詳解】因為，所以，解得或（舍去），所以.故選：C2.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，，，求得經(jīng)驗回歸方程為，已知，，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】利用回歸直線方程過樣本中心點，可求的值.【詳解】因為，，所以樣本中心點，因為回歸方程過樣本中心點，所以，解得.故選：C.3.設(shè)，，這兩個變量的正態(tài)曲線如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖示和正態(tài)分布密度曲線的對稱性可比較與，由圖象的“瘦高”與“矮胖”可比較與，由此可得正確選項.【詳解】由題可得的正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為直線，的正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為直線.由題圖可得，由于表示標準差，越小圖象越“瘦高”，故，所以D正確.故選：D.4.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（）A.60種 B.80種 C.90種 D.100種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論，求出確定乙，丙的選擇方法，即可得每種情況的選法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理，即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時甲的選法有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；則一共有種選法.故選：B.5.若的展開式中第3項和第9項的二項式系數(shù)相等，則以下判斷正確的是（）A.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 B.所有奇數(shù)項的系數(shù)和為C.第6項的系數(shù)最大 D.【答案】A【解析】【分析】由已知可推得，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解可判斷A；賦值令以及，即可求解判斷B；根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，即可得出C項；判斷各項的符號，去掉絕對值，即可求解判斷D.【詳解】由，可得二項式展開式的通項公式可得，，由已知可得，所以，所以由二項式的展開式可知所有二項式系數(shù)和為，所以奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故A正確；令，可得，令，可得，解得，故B錯誤；由通項公式可知，奇數(shù)項的系數(shù)全為正，偶數(shù)項的系數(shù)全為負，故第6項的系數(shù)不是最大值，故C錯誤；令，可得，所以，所以，故D錯誤.故選：A.6.已知離散型隨機變量的分布列如下表：01其中滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分布列的性質(zhì)得，再利用期望、方差的性質(zhì)列式求解即得.【詳解】依題意，，解得，可得，則，而，則當時，.故選：B.7.現(xiàn)有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理計算“用四種不同得顏色要對如圖形中的五部分進行著色”和“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”的涂色方法，由古典概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，用四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，每個部分都有4種涂色方法，則有種涂色方法；若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法；②用四種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為.故選：C8.某單位有1000名職工，想通過驗血的方式篩查乙肝病毒攜帶者．假設(shè)攜帶病毒的人占．給出下面兩種化驗方法．方法1：對1000人逐一進行化驗．方法2：將1000人分為100組，每組10人．對于每個組，先將10人的血各取出部分，并混合在一起進行一次化驗.如果混合血樣呈陰性，那么可斷定這10人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次．運用概率統(tǒng)計的知識判斷下面哪個值能使得混合化驗方法優(yōu)于逐份化驗方法（）（參考數(shù)據(jù)：）A.18 B.22 C.26 D.30【答案】A【解析】【分析】設(shè)逐份化驗方式，樣本需要檢測的總次數(shù)，設(shè)混合化驗方式，每組樣本需要化驗的次數(shù)為(可能取值為1，11)，求得均值，，根據(jù)，列不等式并求解式即可確定正確答案.【詳解】設(shè)逐份化驗方式，樣本需要檢測的總次數(shù)，則，設(shè)混合化驗方式，每組樣本需要化驗的次數(shù)可能取值為1，11．，，，所以100組的化驗次數(shù)的均值為要使得混合化驗方式優(yōu)于逐份化驗方式，需，即，即，即，又，，，．故選：A.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法中錯誤的有（）A.相關(guān)系數(shù)越小，表明兩個變量相關(guān)性越弱B.決定系數(shù)越接近1，表明模型的擬合效果越好C.若隨機變量服從兩點分布，其中，則，D.隨機變量，若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念即可判斷A；根據(jù)決定系數(shù)的概念判斷B；根據(jù)兩點分布的均值與方差公式及均值與方差的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可判斷D．【詳解】對于A：值越小，表明兩個變量相關(guān)性越弱，故A錯誤；對于B，決定系數(shù)越接近1，表明模型的擬合效果越好，故B正確；對于C，若，則，，，所以，，故C錯誤；對于D，隨機變量，若，則，故D正確；故選：AC．10.楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現(xiàn)于南宋杰出數(shù)學(xué)家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規(guī)律如圖所示：在第一行的中間寫下數(shù)字1；在第二行寫下兩個1，和第一行的1形成三角形；隨后的每一行，第一個位置和最后一個位置的數(shù)都是1，其他的每個位置的數(shù)都是它左上方和右上方的兩個數(shù)之和.那么下列說法中正確的是（）A.從第2行起，第行的第個位置的數(shù)是B.記第行的第個數(shù)為，則C.從第3行起，每行第3個位置的數(shù)依次組成一個新的數(shù)列，則D.從第3行起，每行第3個位置的數(shù)依次組成一個新的數(shù)列，則【答案】BCD【解析】【分析】由楊輝三角形的特征，可直接判斷A；逆用二項展開式，即可判斷B；由題意易知，根據(jù)累加法即可判斷C；D選項，根據(jù)題意可得，利用裂項相消法計算可判斷D.【詳解】A選項，從第2行起，第行的第個位置的數(shù)是，故A錯誤；B選項，第行的第個數(shù)為，則，因為，故B正確；C選項，由題意可得，則,，以上各式相加得，因此，故C正確；D選項，由題意可得從第3行起，每行第3個位置的數(shù)，所以所以.故D正確.故選：BCD.11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是（）A.2次傳球后球在甲手上的概率是 B.3次傳球后球在乙手上的概率是C.4次傳球后球在甲手上的概率是 D.2025次傳球后球在甲手上的概率小于【答案】ACD【解析】【分析】利用列舉法，求得第2次、3次傳球后的所有可能，在利用古典概型的概率計算公式，可判定A正確，B不正確；設(shè)次傳球后球在甲手上為，則有，令，利用相互獨立事件的概率及條件概率的公式，得到，得到數(shù)列是等比數(shù)列，進而求得的通項公式，可判定C、D正確.【詳解】對于A中，第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)構(gòu)為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共有4個結(jié)果，且它們等可能，其中2次傳球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，有2個結(jié)果，所以概率為，所以A正確；對于B中，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個結(jié)果，且它們等可能，其中3次傳球后球在乙手上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，有3個結(jié)果，所以3次傳球后球在乙手上的概率是，所以B不正確；設(shè)次傳球后球在甲手上的事件為，則有，令，則，所以，所以，則，因為第一次有甲傳球后，求不可能在甲手中，所以，則，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，因為，可得，所以，所以D正確；當時，可得，所以C正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.在的展開式中的系數(shù)為______．【答案】240【解析】【分析】利用二項式的展開式的通項公式可求解.【詳解】由可得二項式的展開式的通項公式為，令，解得，所以.所以在的展開式中的系數(shù)為.故答案：.13.設(shè)隨機事件，已知，，，則______．【答案】##0.25【解析】【分析】直接利用條件概率求解即可【詳解】故答案為：14.某藍莓基地種植藍莓，按1個藍莓果重量（克）分為4級：的為級，的為級，的為級，的為級，的為廢果．將級與級果稱為優(yōu)等果．已知藍莓果重量可近似服從正態(tài)分布．對該藍莓基地的藍莓進行隨機抽查，每次抽出1個藍莓果，記每次抽到優(yōu)等果的概率為（精確到0.1）.若為優(yōu)等果，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽出優(yōu)等果，但抽查次數(shù)最多不超過次，若抽查次數(shù)的期望值不超過3，則的最大值為______．參考數(shù)據(jù)：若，則：；；．【答案】4【解析】【分析】依題意可得，設(shè)，利用錯位相減法求出，即可得到，從而得到，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及所給數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】因為藍莓果重量服從正態(tài)分布，其中，，，設(shè)第次抽到優(yōu)等果的概率，恰好抽取次的概率，所以，設(shè)①，則②，兩式相減得：所以，由，即，又，，所以的最大值為4．故答案為：4．四、解答題（本大題共5小題，共計77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物交易額也快速提升，某網(wǎng)上交易平臺工作人員對2020年至2024年每年的交易額（取近似值）進行統(tǒng)計分析，結(jié)果如下表：年份20202021202220232024年份代碼12345交易額（單位：百億）1.523.5815（1）據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算與的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并說明與的線性相關(guān)性的強弱；（若，則認為與線性相關(guān)性很強；若，則認為與線性相關(guān)性一般；若，則認為與線性相關(guān)性較弱．）（2）利用最小二乘法建立關(guān)于線性回歸方程，并預(yù)測2025年該平臺的交易額．參考數(shù)據(jù)：，，參考公式：相關(guān)系數(shù)；線性回歸方程中，斜率和縱截距的最小二乘估計分別為，．【答案】（1）0.92，線性相關(guān)性程度很強．（2），15.9百億．【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計算公式可得，再判斷可得答案；（2）根據(jù)公式求線性回歸方程，再將代入方程進行預(yù)測.【小問1詳解】由已知得，，，，，故，，所以線性相關(guān)性程度很強；【小問2詳解】，，則，所以關(guān)于的線性回歸方程為，當時，，所以預(yù)計2025年該平臺的交易額為15.9百億．16.在的展開式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列．求：（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）展開式中所有的有理項．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得，再利用組合數(shù)公式求得，進而利用中間項的二項式系數(shù)最大求解即可；（2）利用二項展開式的通項公式，通過的取值即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，，即，即，或，因為，所以．故，因為二項式系數(shù)最大的項為第4項和第5項，所以所求的項分別為，．【小問2詳解】是有理項，當且僅當，因為，，所以，故展開式中有2個有理項，分別是，．17.北京時間2024年10月30日凌晨4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號遙十九運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．為了某次航天任務(wù)，需要選拔若干名航天員參加該次任務(wù)．（1）若本次任務(wù)需要從4名男航天員和3名女航天員中選出4人，且至少有一名女航天員，共有多少種不同的選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）（2）若從7名航天員中選出4名航天員，分配到2個不同的實驗室去，每個實驗室至少一名航天員，每個航天員只能去一個實驗室，共有多少種不同的選派方式？（結(jié)果用數(shù)字作答）（3）若從7名航天員中選出4名航天員，分配到3個不同的實驗室去，每個實驗室至少一名航天員，每個航天員只能去一個實驗室.其中航天員甲和乙必須參加，但不能分配在同一個實驗室，請問共有多少種不同的選派方式？（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】（1）34（2）490（3）300【解析】【分析】（1）方法一：直接發(fā)，分類討論女性的人數(shù)，結(jié)合組合數(shù)運算求解；方法二：間接法，在所以組合中排除沒有女性的組合；（2）先選4名航天員，分類討論人數(shù)配比，結(jié)合組合數(shù)運算求解；（3）先選2名航天員，然后安排甲、乙兩人，最后安排剩下的2人，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.【小問1詳解】方法一：“直接法”，分成3種情況討論：恰有1名女性，共有種選法；恰有2名女性，共有種選法；恰有3名女性，共有種選法；所以共有種選法；方法二：“間接法”，總共有種，沒有一名女航天員有種，所以共有種選法．【小問2詳解】先選4名航天員，有種，然后先分組再分配，可分兩類：若分為2，2兩組再分配，有種；若分為1，3的兩組再分配，有種；所以共有種選法．【小問3詳解】先選2名航天員，有種；然后安排甲、乙兩人，有種；最后安排剩下的2人，有種；所以共有種選法．18.DeepSeek是杭州一家人工智能技術(shù)研究公司推出的AI助手．它能進行邏輯推理，解決復(fù)雜問題，實現(xiàn)多模態(tài)數(shù)據(jù)融合與學(xué)習(xí)．某科技公司在使用DeepSeek對某一類問題進行測試時發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為0.99；如果出現(xiàn)語法錯誤，它回答正確的概率為0.19．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為0.1，且每次輸入問題，DeepSeek的回答是否正確相互獨立．該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)DeepSeek，小張和DeepSeek各自從給定的10個問題中隨機抽取8個作答．已知在這10個問題中，小張能正確作答8個問題，答錯2個問題．（1）求小張能全部回答正確的概率；（2）求一個問題能被DeepSeek回答正確的概率；（3）設(shè)小張和DeepSeek答對的題數(shù)分別為和，求的分布列，并比較與的期望大?。敬鸢浮浚?）（2）（3）分布列見解析，．【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）設(shè)事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被DeepSeek正確回答”，利用全概率公式計算可得；（3）的可能取值是，，，求出所對應(yīng)的概率，即可求出分布列與數(shù)學(xué)期望，而，根據(jù)二項分布的期望公式計算可得.【小問1詳解】因為小張能全部回答正確的概率；【小問2詳解】設(shè)事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被DeepSeek正確回答”，由題意知，，，則，所以；【小問3詳解】已知小張答對的題數(shù)為，則的可能取值是，，，則，，，所以的分布列為：所以，已知DeepSeek答對的題數(shù)為，則，故，所以．19.乒乓球比賽一般有兩種賽制：“5局3勝制”和“7局4勝制”．“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利.（1）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，經(jīng)統(tǒng)計在某個賽季的所有比賽中，在不同賽制下甲、乙兩人的勝負情況如下表．請先將下面的列聯(lián)表補充完整，然后根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析不同賽制是否對甲獲勝的場數(shù)有影響.甲獲勝場數(shù)乙獲勝場數(shù)5局3勝8107局4勝1合計20（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為，沒有平局．