基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)理解關(guān)系、感悟“模型”-我的教學(xué)札記之七

基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)理解“關(guān)系，，、感悟“模型”

——我的教學(xué)札記之七

牛獻(xiàn)禮

案例：常見的數(shù)量關(guān)系——路程、時(shí)間與速度

教學(xué)思考：

“常見的數(shù)量關(guān)系”是《課標(biāo)》（2011版）中新增的教學(xué)

內(nèi)容?！墩n標(biāo)》中的要求為“在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)

系：總價(jià)二單價(jià)X數(shù)量、路程二速度X時(shí)間，并能解決簡單的實(shí)際

問題”。怎樣理解這一要求呢？

“在具體情境中”這一前提條件說明教學(xué)不能離開具體的

情境空談數(shù)量關(guān)系，學(xué)習(xí)材料的選擇要貼近生活，貼近兒童，密

切聯(lián)系學(xué)生經(jīng)驗(yàn)。

“能解決簡單的實(shí)際問題”這一要求說明教學(xué)的重點(diǎn)在“關(guān)

系”的理解與掌握。比如，路程、時(shí)間、速度是三個數(shù)量，而“路

程二速度X時(shí)間、速度二路程：時(shí)間、時(shí)間二路程4■速度”則是它

們之間的關(guān)系，這些關(guān)系彼此關(guān)聯(lián)，并可以相互轉(zhuǎn)化。

更進(jìn)一步思考，對“關(guān)系”具有統(tǒng)攝作用的是“模型”。

速度是描述物體運(yùn)動快慢的物理量，定義為路程和時(shí)間的比值，

它離不開路程、時(shí)間。從數(shù)學(xué)模型的角度，它屬于“乘法模型”，

是“總數(shù)=每份數(shù)X數(shù)量”關(guān)系的具體化（更高層面上看，就是

“幾個幾相加”的乘法意義的具體化）。數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)模型思

想，就是要落實(shí)“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并

進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”的教學(xué)理念。

為此，一方面要將數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生熟悉的經(jīng)驗(yàn)

基礎(chǔ)之上，通過呈現(xiàn)富有啟發(fā)性的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼

光去尋找、發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系；另一方面，要基于數(shù)量關(guān)系來

構(gòu)建模型，感悟模型思想。

片斷一：聯(lián)系“比快慢”的經(jīng)驗(yàn)，引出“速度”，感受“關(guān)系”。

師：在我們生活中經(jīng)常比快慢，以跑步為例，兩個同學(xué)跑步要比

快慢，怎么比才能知道誰快誰慢？

生：都跑100米，看誰用的時(shí)間少。

師：你的意思是跑同樣長的路，比時(shí)間，我們把跑多遠(yuǎn)叫做路程。

（板書：路程）

課件演示：小紅和小麗跑100米的情景

（出示：路程相同，可以直接比時(shí)間）。

師：生活中哪里經(jīng)常用這種方法？

生：體育比賽時(shí)，跑200米、400米、1000米等等。

師：除了用這樣的方法比快慢，還有其他的比法嗎？

生：時(shí)間一樣，看誰跑得多。

師：舉個例子。

生：都跑2分鐘，一個跑300米，一個跑400米。

師：也就是說，比快慢時(shí)，時(shí)間相同的話，只要比誰跑的路程遠(yuǎn)，

誰就跑得快。

課件演示：小紅與小麗跑的時(shí)間相同，跑的路程不同。

（出示：時(shí)間相同，可以直接比路程）

出示：喜羊羊和懶羊羊分別從家到學(xué)校去

喜羊羊上學(xué)走了6分鐘懶羊羊上學(xué)走了4分鐘

師：你覺得他倆誰走得快一些？

生1：懶羊羊走得快一些，因?yàn)樗玫臅r(shí)間少。

生2：不一定！有可能是懶羊羊家離學(xué)校近，喜羊羊家離學(xué)校遠(yuǎn)

一些。

師：生2說得有沒有道理？

生（異口同聲）：有道理。

師：也就是說，只知道時(shí)間還不能比出快慢來，還需要知道它們

兩家到學(xué)校的路程。

（出示補(bǔ)充信息：喜羊羊從家到學(xué)校要走480米，懶羊羊從家到

學(xué)校要走280米。）

師：剛才我們比快慢，要先規(guī)定相同的路程或者相同的時(shí)間?，F(xiàn)

在路程不相同，時(shí)間也不相同，還能比嗎？試試看。

學(xué)生嘗試計(jì)算。

師：誰走得快一些？你是怎么想的？

生：喜羊羊走得快一些。因?yàn)?80+6=80（米）280：4=70

（米）70<80

師：70<80,他在比什么？你們看懂了嗎？

生：70是懶羊羊1分鐘走的路程，80是喜羊羊1分鐘走的路程。

師：1分鐘走70米是什么意思呢？我們可以在線段圖上表示出

來。（出示：用線段圖來說明，突出平均分成6份或4份）

師：我們通過計(jì)算、畫圖知道了喜羊羊1分鐘走80米，懶羊羊

1分鐘走70米。他們誰走得快？

生：喜羊羊走得快。因?yàn)槎际?分鐘，喜羊羊走得多。

師：喜羊羊和懶羊羊上學(xué)走的路程不相同，走的時(shí)間也不相同，

我們通過計(jì)算它們1分鐘走的路程比出了快慢。像這樣表示1分

鐘走的路程叫做“速度”，速度跟什么有關(guān)？

生：跟路程、時(shí)間有關(guān)。

師：我們是怎么求速度的？

生：路程：時(shí)間二速度（板書）

思考：路程、時(shí)間、速度這三個數(shù)量中，速度是最難理解

的，但卻是最核心的。教學(xué)中，一方面把抽象的“速度”概念與熟

悉的“比快慢”生活經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)接，將學(xué)生對速度粗淺的、模糊的

認(rèn)識上升到數(shù)學(xué)高度；另一方面精心設(shè)置“認(rèn)知沖突”，讓學(xué)生從

速度的計(jì)算中感受路程、時(shí)間與速度的關(guān)系。

片斷二：認(rèn)識“速度單位”，理解“速度”，強(qiáng)化“關(guān)系”。

出示：（1）“神十”飛船在太空中5秒飛行了約40千米，“神

十”的速度約是（）。

（2）張老師騎自行車，2小時(shí)行了16千米，張老師騎自行車的

速度是（）。

學(xué)生列式：404-5=8（千米），164-2=8（千米）

師：大家是怎樣計(jì)算速度的呀？

生：路程4■時(shí)間二速度

師（故作驚訝地）：哎呀！我發(fā)現(xiàn)張老師騎車的速度真快呀！竟

然和“神十”飛船的速度一樣，都是8千米。

生（笑）：不是這樣的！“神十”飛船的速度是每秒8千米，騎

自行車的速度是每小時(shí)8千米。

師：但是黑板上寫的都是8千米，怎么能區(qū)分清楚呢？

生：寫上時(shí)間。

（板書：8千米/秒、8千米/時(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生讀一讀。）

師：仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)速度的單位與以前我們學(xué)過的單位有什么

不同？

生：速度單位是由兩個單位組成的。

師：哪兩個單位？

生：路程單位和時(shí)間單位。

師：沒錯！速度單位是由長度單位和時(shí)間單位復(fù)合而成的，復(fù)合

單位里的“/”也可以看成是。喜羊羊和懶羊羊上學(xué)走路

速度的單位應(yīng)該怎么寫？（板書：80米/分、70米/分）

思考：速度單位和速度的意義緊密相連，因?yàn)樗俣仁菃挝?/p>

時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的路程，所以速度的單位一般寫作“長度單位/時(shí)間單

位”的形式，這樣的復(fù)合單位學(xué)生是第一次接觸，需要結(jié)合具體

情境理解。教學(xué)時(shí)，通過引導(dǎo)學(xué)生思考"兩個答案都是8千米，

是不是張叔叔騎車的速度與‘神十’飛船的速度一樣呢？”，由此引

發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新的疑問，產(chǎn)生強(qiáng)烈的區(qū)別這兩個得數(shù)的需求。進(jìn)而

想到速度單位不能只用路程的單位來表示，它還與時(shí)間單位有

關(guān)，因此要用復(fù)合單位才能準(zhǔn)確地表達(dá)意思。這樣的教學(xué)巧妙地

突破了復(fù)合單位的難點(diǎn)，也進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生對速度概念的理

解。

片斷三：類比抽象，感悟模型，“升華”關(guān)系。

師（指黑板上書寫的“路程、時(shí)間與速度”的三組關(guān)系）：它們

之間有聯(lián)系嗎？為什么用速度和時(shí)間計(jì)算路程要用乘法？

生：因?yàn)?分鐘行多少米X行的時(shí)間二行的路程。

師：速度是每分、每秒、每小時(shí)行駛的路程，相當(dāng)于每份有多少，

時(shí)間相當(dāng)于有幾份，路程就是求幾個幾是多少，所以求路程要用

速度去乘時(shí)間。

出示：《學(xué)數(shù)學(xué)長智慧》的單價(jià)是12元，全班買30本，總價(jià)是

多少元？

師：如果把這道題看成是走路問題，誰相當(dāng)于速度？誰相當(dāng)于時(shí)

間？誰相當(dāng)于路程？你是怎樣想的？

生：單價(jià)相當(dāng)于速度，因?yàn)樗敲糠莸腻X；數(shù)量相當(dāng)于時(shí)間，因

為它表示幾份；總價(jià)相當(dāng)于路程。

師：應(yīng)該怎樣列式呢？

生：12X30=360（元）

師：好多數(shù)學(xué)知識之間都有著密切的聯(lián)系，帶著聯(lián)系的眼光學(xué)數(shù)

學(xué)，會讓我們把復(fù)雜的問題變得越來越簡單。

思考：教師引導(dǎo)學(xué)生“回顧與反思”，尋找知識之間的聯(lián)系，

并將學(xué)生熟悉的價(jià)錢問題“轉(zhuǎn)換”成走路問題，這就使得“路程、

時(shí)間、速度之間的關(guān)系”具有了數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，能夠用來解決

一類具有相同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題。

教什么？怎么教?

——聽課隨想之五

案例：

下面記述的是一節(jié)四年級科學(xué)課一一“聲音是如何傳播

的”的教學(xué)流程：

一、引入。

1、呈現(xiàn)上節(jié)科學(xué)課上一個小組的研究報(bào)告一一“你可以用

什么方法產(chǎn)生聲音？”，全班交流。時(shí)長大約2分鐘。

2、教師演示：尺子放在講桌面上，露出桌面外的長短不同,

用手下按尺子再放手，讓學(xué)生觀察產(chǎn)生聲音的不同。時(shí)長大約2

分鐘。

3、情境引入：學(xué)校食堂、走道上安裝的“噪音測量儀”，

為什么一走近發(fā)出聲音，測量儀上面的數(shù)字就發(fā)生變化了呢？

師生交流：聲音震動引起測量儀上的數(shù)字發(fā)生變化

質(zhì)疑：如果測量儀安裝在月球上，有人在旁邊大聲喊，

測量儀上的數(shù)字會有變化嗎？

引出：聲音需要空氣幫著傳播。

二、展開:

（一）探究活動一

1、（呈現(xiàn)）猜想：空氣如何幫助我們傳播聲音？

活動小組通過實(shí)驗(yàn)探究一一敲擊音叉后放入水中，發(fā)現(xiàn)

產(chǎn)生了波紋，證明聲音是以“波紋”的形式傳播。

師舉例：小青蛙跳到水中，波紋向四周擴(kuò)散。

2、全班交流

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？（生：有波紋）

（二）探究活動二

1、（呈現(xiàn)）聲音可以在氣體中傳播

猜想：聲音也可以在液體和固體中傳播

師讓生舉例說明，學(xué)生有困難。

生：手拍水的聲音（注：此例不能說明問題。能聽到手

拍水的聲音，只能說明聲音是在空氣中傳播的，不能說明聲音在

液體中傳播。說明學(xué)生并沒有想明白“驗(yàn)證猜想的方法”。）

師演示：把一個開著的收音機(jī)裝入塑料袋中，再將塑料

袋放入水中，仍然能聽到收音機(jī)發(fā)出的聲音。

（三）探究活動三

1、師：聲音在氣體、液體和固體中傳播，哪個最清晰？

有依據(jù)嗎？

隨學(xué)生說出不同的想法，師板書：假設(shè)1、假設(shè)2、假設(shè)

3（學(xué)生的想法三種情況都有）

2、師生交流試驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法后，學(xué)生小組探究，并填寫

試驗(yàn)報(bào)告單：（1）你的假設(shè)是什么；（2）試驗(yàn)結(jié)果是什么？（3）

你有什么新發(fā)現(xiàn)？

3、全班交流，由于實(shí)驗(yàn)條件和試驗(yàn)方式的粗放，試驗(yàn)結(jié)

果千差萬別，學(xué)生意見不一。

4、師讓一名學(xué)生到講臺前和教師一起做試驗(yàn)的示范，講

試驗(yàn)的注意事項(xiàng)。（滯后，應(yīng)放在小組探究試驗(yàn)前進(jìn)行）

5、引導(dǎo)反思：結(jié)論是固體傳播聲音效果最清晰。可是我

們的試驗(yàn)結(jié)果卻五花八門，這是為什么呢？

生的回答照例五花八門，師說明“有干擾因素”。

三、應(yīng)用拓展：

1、引申：借助工具聽一個人的心跳聲,有什么好辦法？（生:

用聽診器）

2、質(zhì)疑：能否做一個聽診器？

（呈現(xiàn)）拓展試驗(yàn)：固體物質(zhì)傳聲試驗(yàn)測試，包括：你

的假設(shè)、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、你的結(jié)論

（下課）

思考：

1、探究活動是指向“結(jié)論的得出"？抑或其它？（為

什么而教？）

《小學(xué)科學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素質(zhì)

為宗旨，實(shí)施探究式的科學(xué)教育，通過引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)科學(xué)探究過

程，初步形成對科學(xué)的認(rèn)識，學(xué)生要在探究過程中理解科學(xué)概念,

掌握科學(xué)方法，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度。具體到本節(jié)課的核心目標(biāo)應(yīng)該是:

經(jīng)歷科學(xué)探究過程，知道“聲音通過固體傳播更清晰”?？茖W(xué)結(jié)

論的得出一定是在非常精細(xì)的試驗(yàn)環(huán)境下，排除了各種干擾變

量，經(jīng)過多次精密試驗(yàn)才獲得的。僅靠課上粗陋的試驗(yàn)材料和環(huán)

境是無法得出科學(xué)結(jié)論的，探究學(xué)習(xí)的目的更在于讓學(xué)生親身經(jīng)

歷探究性學(xué)習(xí)活動，使他們像科學(xué)家那樣進(jìn)行科學(xué)探究，體驗(yàn)學(xué)

習(xí)科學(xué)的樂趣，增長科學(xué)探究能力。

2、教學(xué)中設(shè)計(jì)了三個“探究活動”，哪個是目標(biāo)達(dá)成必

須的？（教什么？）

教什么一旦確定，怎么教的問題就迎刃而解了。教學(xué)內(nèi)

容切忌“廣而淺”，宜“精而深”。應(yīng)該圍繞這節(jié)課的核心目標(biāo)

“聲音通過固體傳播比通過氣體或液體傳播更清晰”，設(shè)計(jì)有意

義的探究活動。從上述案例可見，“探究活動三”與核心目標(biāo)的

關(guān)聯(lián)性更大。

3、以怎樣的路徑展開教學(xué)？如何知道學(xué)生的探究性學(xué)

習(xí)？（怎么教？）

探究性學(xué)習(xí)不僅要模擬科學(xué)探究之“形”，更要滲透科

學(xué)探究之“神”。組織學(xué)生探究學(xué)習(xí)的基本步驟為：一、提出或

生成問題；二、圍繞問題，提出和形成假設(shè)；三、收集證據(jù)，形

成解釋；四、交流和評價(jià)。這幾個環(huán)節(jié)也可以看作是幾個要素。

這其中既有學(xué)生對現(xiàn)象、事件和觀點(diǎn)的質(zhì)疑，對問題的自由行探

索和觀察實(shí)驗(yàn)的自主性設(shè)計(jì)，也有教師對學(xué)生探索的智慧性啟發(fā)

和引導(dǎo)。包括教師的示范和與學(xué)生的互動，以及組織學(xué)生和學(xué)生

之間的討論和辯論，將學(xué)習(xí)引向深入。

重建:

、情境引入。

呈現(xiàn)學(xué)校樓道或食堂的“噪音測試儀”圖片，引出問題:

從測試儀旁經(jīng)過的人發(fā)出的聲音能引起“測試儀”上的數(shù)字發(fā)

生變化，為什么？

引出：聲音通過空氣傳播到了“測試儀”，才能測出聲

音。

引申：在太空中的“神舟十號”飛船里，航天員是如何

交流的？別人說話能聽到嗎？(增長見識)

二、探究活動

1、基于問題提出假設(shè)

(1)質(zhì)疑：聲音可以在液體或固體中傳播嗎？

(2)引出猜想：通過哪種介質(zhì)傳播最清晰呢？

2、自主設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案

討論：試驗(yàn)步驟、試驗(yàn)方法、注意事項(xiàng)等。

在相關(guān)環(huán)節(jié)，可適當(dāng)安排“師生示范”。

3、收集證據(jù)形成解釋

學(xué)生分組試驗(yàn)，教師巡視指導(dǎo)。

4、交流和評價(jià)

介紹科學(xué)家們是在什么環(huán)境和條件下研究“聲音的傳

播”的，開闊視野，增長見識，使學(xué)生體驗(yàn)到科學(xué)結(jié)論得出所經(jīng)

歷的嚴(yán)謹(jǐn)試驗(yàn)論證的過程。

三、應(yīng)用拓展

介紹試驗(yàn)得出的科學(xué)結(jié)論在工作生活中是如何應(yīng)用的

（如醫(yī)生用的聽診器等），讓學(xué)生體會科學(xué)的價(jià)值。

“學(xué)得有效”離不開教師的價(jià)值引領(lǐng)

——以“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”教學(xué)片斷為

例

好的課堂要讓兒童的學(xué)習(xí)看得見。也就是說，要讓人看

到學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到什么困難或提出什么問題，看到老師是

如何把不會的學(xué)生教會，看到學(xué)生如何經(jīng)過自己的思考和探究解

決問題，經(jīng)過自己的努力學(xué)會知識、學(xué)會思考的，要讓人感受到

學(xué)生在變化、在提高、在進(jìn)步。

可見，有效的教學(xué)是圍繞著學(xué)生的學(xué)習(xí)展開的，課堂應(yīng)該

由“教得精彩”向“學(xué)得有效”轉(zhuǎn)變。但是，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是

“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”，有效的教學(xué)活動一定是學(xué)生學(xué)與教師教的

統(tǒng)一，“學(xué)得有效”離不開教師的價(jià)值引領(lǐng)。

案例：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)片段

師：剛才我們一起認(rèn)識了1/2,你還想認(rèn)識幾分之一？

學(xué)生匯報(bào)，教師板書。

師：同學(xué)們桌上有一些圖形紙片，你能利用這些圖形紙片

表示出自己想認(rèn)識的幾分之一的分?jǐn)?shù)嗎？

學(xué)生自主動手折紙、涂色，表示出圖形的幾分之一。

師：你表示出了幾分之一？你是怎樣認(rèn)識這個分?jǐn)?shù)的？

學(xué)生匯報(bào)交流。

師：有沒有誰認(rèn)識了1/100這個分?jǐn)?shù)？

生：沒有。

師：那如果我想認(rèn)識1/100,還需要折紙嗎？可以怎么辦？

生：不需要折紙，我們只要想把圖形平均分成100份，每

一份就是它的1/100o

師：那如果我想認(rèn)識1/101呢？

生：只要把圖形平均分成101份，每一份就是它的1/101。

師：回顧剛才認(rèn)識的過程，想一想怎樣就能得到幾分之一

的分?jǐn)?shù)？

思考：折紙活動以一種直觀的方式，既可以幫助學(xué)生得到

一些分?jǐn)?shù)，又可以使學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生。但折紙也有其“局限

性”，諸如分母是奇數(shù)或者分母比較大的分?jǐn)?shù)時(shí)，“折”的受困

就成為學(xué)生認(rèn)知的羈絆。其實(shí)，折紙活動不是最終目的，重要的

是通過折紙活動給學(xué)生搭建認(rèn)知突破的臺階。直觀只是一個手

段，不管分?jǐn)?shù)能不能通過折紙直觀地表示出來，更本質(zhì)的應(yīng)該是

分?jǐn)?shù)的意義和內(nèi)涵。

“教師的工作是通過向?qū)W生問他們應(yīng)當(dāng)自己問自己的問題

來對學(xué)習(xí)和問題解決進(jìn)行指導(dǎo)?！苯虒W(xué)中，教師巧妙借助于1/100

和1/101兩個分?jǐn)?shù)，使學(xué)生深入認(rèn)識到：折紙的方便與否并不影

響分?jǐn)?shù)的得出，只要“把一個物體或一個圖形，平均分成幾份，

每一份就是它的幾分之一”。正是有了教師在關(guān)鍵的學(xué)習(xí)點(diǎn)處追

問和質(zhì)疑，增強(qiáng)了學(xué)生的概念性的理解。學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識逐步

從直觀中“剝離”，進(jìn)而走向抽象，有效實(shí)現(xiàn)對分?jǐn)?shù)意義的深度

建構(gòu)。

想學(xué)生所想研教學(xué)之法

——“平行

四邊形的面積”教學(xué)片斷與思考

（已發(fā)表）

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)

習(xí)者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和

學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過意義建構(gòu)的方式

而獲得的。那么，面對新的知識，學(xué)生到底是怎樣進(jìn)行意義建構(gòu)

的？達(dá)成意義建構(gòu)的內(nèi)因和外因是什么？在學(xué)生意義建構(gòu)過程

中會碰到哪些困難？教師和同伴應(yīng)該提供怎樣的幫助……顯然，

加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理和思維過程的研究有助于我們正確回

答這些問題。

就“平行四邊形的面積”的教學(xué)而言，本課要解答的無非是這樣

的問題：平行四邊形的面積公式是什么，不是什么？平行四邊形

的面積為什么是“底X高”，為什么不是“底義鄰邊”？而學(xué)生

在學(xué)習(xí)的過程中，一直在想的或許也是這些問題（當(dāng)然也可能只

是其中的某個問題）。教學(xué)就要基于學(xué)生的這種真實(shí)思維而展開,

想學(xué)生所想，研教學(xué)之法，才能促進(jìn)有效建構(gòu)。

教學(xué)片斷一：

首先，在無提示的狀態(tài)下讓學(xué)生自主嘗試計(jì)算平行四邊

形紙片的面積，學(xué)生的想法大致分為兩種情況：一種是用“底X

高”計(jì)算，另一種用“底X鄰邊”計(jì)算。接著，引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)

方格”的方法驗(yàn)證這兩種算法，發(fā)現(xiàn)“底義高”的計(jì)算結(jié)果是

正確的，而“底X鄰邊”的結(jié)果是錯誤的。然后，教師組織全班

同學(xué)交流想法：

師：平行四邊形面積用“底X高”來計(jì)算，到底有什么

道理呢？

生1:因?yàn)榘哑叫兴倪呅窝刂呒粝乱粋€三角形來，拼

到另一邊，就可以變成一個長方形。長方形的長就是平行四邊形

的底，長方形的寬就是平行四邊形的高，它們的面積是一樣

的……

（教師利用黑板上的圖，請學(xué)生上前剪拼，告知這叫“轉(zhuǎn)化”，

并引導(dǎo)學(xué)生理解這些聯(lián)系，最后得出“底義高”實(shí)際上就是“長

X寬”，算的是剪拼后的長方形的面積，也就是原來平行四邊形

的面積。）

師：用轉(zhuǎn)化的方法，我們可以把沒學(xué)過的知識變成已學(xué)

過的知識，從而解決問題，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法。

生2：老師，我也是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的呀！

（迫不及待地跑上前，拿起平行四邊形框架，把它推拉成了一個

長方形。）這個底邊就是長方形的長，鄰邊就是長方形的寬，“底

義鄰邊”不就是“長義寬”嗎？怎么不對呢？

（看到這一幕，不少同學(xué)也都面露困惑之色。）

師（故作疑惑）：是啊，像他這樣，把平行四邊形拉成

長方形，也是轉(zhuǎn)化成長方形，怎么就不對呢？問題到底出在哪兒

呢？

（教師把長方形框架貼在黑板的平行四邊形圖片上）

教室里短暫的靜寂之后一一

生3：啊，我發(fā)現(xiàn)了！像他這樣拉成長方形后，面積比

平行四邊形變大了。

生2（還是一臉困惑）：怎么會變大呢？一樣大呀！

師：把平行四邊形推拉成長方形以后，變大的部分在哪

里，你能不能上來指出來?

（生3上前指出變大的部分，教師協(xié)助生3用剪刀把平行

四邊形紙片剪拼成了一個長方形，并與長方形框架比較。使學(xué)生

直觀地看出這樣轉(zhuǎn)化之后，“底義鄰邊”算得的面積比平行四邊

形大了，面積發(fā)生了變化。同學(xué)們都恍然大悟，認(rèn)可了“推拉成

長方形后面積發(fā)生變化”的結(jié)論。）

師：想一想，“底義鄰邊”計(jì)算出的是誰的面積？

生：是轉(zhuǎn)化后的長方形的面積，不是平行四邊形的面積。

師：說得真好！與前面的“剪拼轉(zhuǎn)化后面積不變”不同,

這樣的“推拉”轉(zhuǎn)化之后，平行四邊形的面積發(fā)生了變化。但是,

這個轉(zhuǎn)化中，有一樣?xùn)|西也是不變的，你看出來了嗎？

生：平行四邊形四條邊的長度沒有變。

師：也就是周長沒有變，但是面積卻變了?？磥?，在運(yùn)

用轉(zhuǎn)化的方法時(shí)，我們要想清楚，轉(zhuǎn)化之后，變的是什么，不變

的是什么。

思考:

“知其然，更要知其所以然”，我們往往理解為“幫助

學(xué)生知道這樣是對的，并通過教學(xué)展開明白為什么這樣是對的

由于數(shù)學(xué)答案非此即彼，具有答案的唯一性。所以我們通常用'對

的'去否定'錯的'。而對于為什么錯？錯在什么地方？錯誤是

否可以被利用或轉(zhuǎn)化？關(guān)于這方面的思考經(jīng)常被我們所忽略，導(dǎo)

致學(xué)習(xí)體驗(yàn)流于膚淺，不利于意義建構(gòu)的達(dá)成。

其實(shí)，澄清錯誤比建立正確認(rèn)識更重要。在上述教學(xué)中，

教師不急于引導(dǎo)學(xué)生對正確情況的接受，而更多地讓學(xué)生自己在

嘗試解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)問題，產(chǎn)生矛盾沖突，并引導(dǎo)學(xué)生參

與對問題和錯誤的剖析。平行四邊形面積為何是“底X高”，為

何不是“底乘鄰邊”？同樣是轉(zhuǎn)化為長方形來思考，為何前者是

對的，后者卻又不對了？疑問的解答，需要的是觀察、比較、分

析等充滿挑戰(zhàn)性的過程，在這樣的過程中，學(xué)生一步步澄清平行

四邊形的面積“是什么，不是什么”，明白“這樣才是正確的，

那樣為什么是錯誤的”，就會獲得真正的數(shù)學(xué)理解，推理能力也

能得到有益的發(fā)展。

教學(xué)片斷二：

師：平行四邊形拉動可以變成長方形，反過來，長方形

拉動也可以變成平行四邊形?，F(xiàn)在有一個長10厘米、寬6厘米

的長方形框架，拉動它，它會變成怎樣的平行四邊形？

（課件演示框架的拉動，讓學(xué)生通過直觀比較，發(fā)現(xiàn)高肯

定小于6厘米。繼續(xù)演示高不斷變小依次得到的幾個平行四邊

形，如下圖，每步都組織學(xué)生說出高是多少并口算出面積，教師

在表格中記錄數(shù)據(jù)。）

底高平行四邊形的面積

10550

103.838

102.525

101.111

師：觀察這些圖形和數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)高不斷變小，面積也在不斷變小。

生2：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的周長沒有變。

師：想一想，到底是什么造成了平行四邊形面積的變化?

生：是“高”的變化造成的。

師：如果繼續(xù)往下拉，平行四邊形的面積將會怎么變化?

生：面積將會變得更小。

師：拉到什么時(shí)候，平行四邊形面積最大？

生：把它再拉成長方形，面積最大。

師：這時(shí)候，平行四邊形的高就是長方形的一一

生：寬

師：在底邊長度不變的情況下，平行四邊形的面積隨著

高的變化而變化。在這個過程中，還有一樣?xùn)|西也一直在變？你

發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：兩條鄰邊的夾角也一直在變。

師：其實(shí)，正是因?yàn)閮蓷l邊之間夾角的變化，才引起了

高的變化和面積的變化。現(xiàn)在我們知道了計(jì)算平行四邊形的面積

應(yīng)該用“底義高”，而不是“底義鄰邊”計(jì)算。等將來我們上了

中學(xué)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的知識之后，用兩條鄰邊的長度和這兩條邊

夾角的正弦值相乘，也可以計(jì)算平行四邊形的面積。也就是說，

用鄰邊相乘不是不可以，只是還缺少一個條件。

思考:

通過把平行四邊形不斷“拉扁”，引導(dǎo)學(xué)生逐步了解高與

面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解高對平行四邊形面積的影響，在讓學(xué)

生獲取知識的同時(shí)，悄然無聲地滲透了函數(shù)思想。引入“利用兩

條鄰邊的長度和夾角計(jì)算平行四邊形的面積”的介紹，一方面可

以使學(xué)生清楚地知道“用鄰邊相乘不是不可以，只是還缺少一個

條件”，為學(xué)生的后續(xù)知識的學(xué)習(xí)鋪好了一條路子，另一方面也

再次明晰了“底X高”的正確算法，鞏固了新知，。

教學(xué)片斷三：

（出示）有一個長10厘米、寬6厘米的長方形框架。

師：如果將它拉成高是5厘米的平行四邊形（如下圖所

示），面積減少了多少平方厘米？

學(xué)生獨(dú)立思考、解答后，全班交流：

生1：用長方形面積減去平行四邊形的面積，10X6—

10X5=10（平方厘米）

生2：我是這樣想的，（跑上前指出圖中減少的部分面

積）從圖上可以看出來，減少的面積就是上面那個小長方形的面

積，所以還可以用10X（6—5）=10（平方厘米）

師：減少的面積其實(shí)就是圖上面那個小長方形的面積，

它的長是10厘米，寬就是長方形的寬減去平行四邊形的高，6

—5=1（厘米），10X1=10（平方厘米）。

思考：

學(xué)生學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與教學(xué)設(shè)計(jì)提供的情境

和材料密切相關(guān)。通過解決“推拉成的長方形比平行四邊形面積

大多少？”的數(shù)學(xué)問題，再次對比長方形與平行四邊形面積的計(jì)

算方法，使“推拉轉(zhuǎn)化后，面積發(fā)生變化”的表象得到強(qiáng)化，進(jìn)

一步澄清學(xué)生潛意識中“平行四邊形的面積=底邊X鄰邊”的

錯誤認(rèn)識。在不斷地對比、交流過程中，錯誤經(jīng)驗(yàn)得以糾正，模

糊認(rèn)識得以澄清，數(shù)學(xué)思維得以發(fā)展，創(chuàng)新意識和學(xué)習(xí)能力得以

提升。

巧設(shè)情境化難為易

除數(shù)是兩位數(shù)的除法”教學(xué)片斷與反思

（已發(fā)表）

“除數(shù)是兩位數(shù)的除法一一用四舍五入法試商”是人教

版四年級的一節(jié)內(nèi)容，這是學(xué)生第一次接觸“用四舍五入法”試

商，承上啟下，地位很重要。通過學(xué)前調(diào)研，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)

新知的主要障礙集中在“把除數(shù)用‘四舍五入法'取近似值”

后，“商要乘除數(shù)的準(zhǔn)確值還是近似值”。怎樣喚起學(xué)生對計(jì)算

學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生突破這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)呢？我們做了如下嘗

試。

教學(xué)片斷:

師：顧老師到商場買魔方，發(fā)現(xiàn)有三種，價(jià)格分別是20元、31

元、38元（顯示：魔方圖片）。顧老師帶了170元錢，大概能

買幾個31元的魔方呢？

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，全班交流。

師：誰能結(jié)合買魔方的事情說一說是怎么算的？

生1:我先把31元看成30元，如果商6的話就要180元了，錢

就不夠了，所以商5,5乘31得155,170減去155剩下15。

師：誰聽明白了？她為什么要把31元看成30元？

生（齊）：這樣好算。

師：確實(shí)是這樣，用“四舍五入”法把31看成30,算起來簡便

多了。

生2：我是先看170的前兩位，發(fā)現(xiàn)不夠除31,就把31估成30,

170里面最多有5個30,所以商5,再算31乘5得155,最后余

150

師：聽明白她的意思了嗎？生1和生2這兩位同學(xué)的算法有什么

相同之處？

生3:他們都是先把31看成30,再商5,然后用5乘31得155,

170減155余15。

師：這兩位同學(xué)的算法都是正確的。我剛才發(fā)現(xiàn)有同學(xué)這樣計(jì)算

（投影顯示錯誤做法），商5,5乘30得150,余數(shù)是20,他錯

在哪里呢？

生4:他是用商5去乘估計(jì)的數(shù)30了。

生5:后來應(yīng)該是精確算而不是估算，應(yīng)該用5去乘31等于155。

生6:如果5去乘30的話題目就變成170除以30了。

師：想一想，顧老師買5個魔方，付錢的時(shí)候，是去付5個31

元呢，還是付5個30元？

生（齊）：肯定是5個31元嘍。

師：如果我付5個30元，如果你是收銀員，你會同意嗎？

生（齊）：不會。

生7:除非商場搞促銷。（眾笑）

師：是的，我去付錢的時(shí)候要付5個31元。所以，商5要去乘

31,而不能去乘30。

生8：老師,我想補(bǔ)充一下，我們把31元估成30元是為了好算

商，接下來的商還是要去乘原來的準(zhǔn)確數(shù)的。

師：說得真好！計(jì)算出結(jié)果后，我們還可以通過驗(yàn)算來檢查得數(shù)

是否正確，請你驗(yàn)算一下。

學(xué)生獨(dú)立驗(yàn)算，一生板演，全班交流。

師：31X5表示什么？

生（齊）：5個魔方的價(jià)格。

師：也就是買這些魔方要付出去的錢。那15呢？

生1:170元買了5個31元的魔方余下來的錢。

生2:表示找回了15元。

師：找回的錢加上花去的錢得170元，就是老師帶的錢數(shù)。170

元能買5個31元的魔方還剩下15元。假如老師要買38元一個

的魔方，又能買幾個呢？你會算嗎？試試看。

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，個別板演，全班交流。（師巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)已經(jīng)沒有

學(xué)生用40去乘商4的了。）

生1:我先把38元看成40元，170除以40商4,再4乘38得

152,余18元。

師：很好，剩下18元。那這152表示的是什么呢？

生2:表示的是買4個38元魔方的錢。（在算式的152旁邊板

書4X38）

師：哎，有沒有誰付錢的時(shí)候是按照40元一個付給營業(yè)員的呀？

生（齊）：沒有。

生3:那不是給營業(yè)員小費(fèi)了嘛。（眾笑）

反思：

算理是計(jì)算的原理和根據(jù)，算法是計(jì)算的基本程序和方

法，算理不清，算法難以牢固；算法不明，計(jì)算技能難以形成。

但是，在實(shí)際教學(xué)中，或者不少教師不重視學(xué)生探索如何計(jì)算的

過程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，教師就立即引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

計(jì)算法則，在對算法還未真正內(nèi)化的情況下，教師又開始引導(dǎo)學(xué)

生大量練習(xí)。這樣倉促地同時(shí)完成幾個內(nèi)容的教學(xué)，就可能造成

學(xué)生因?yàn)闆]有真正理解每一步計(jì)算的道理就只好死記住算法了。

再加上教師又沒有在后面的練習(xí)中，注意促進(jìn)學(xué)生在記憶基礎(chǔ)上

再次理解，學(xué)生產(chǎn)生“老師讓我們這么做就這么做”的想法就不

足為奇了。為避免出現(xiàn)這種“未理解，先熟練”的狀況，教師不

僅要讓學(xué)生知道該怎么計(jì)算，而且還應(yīng)該讓學(xué)生明白為什么要這

樣計(jì)算，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算法則。

作為溝通學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁一一情境，

尤其是現(xiàn)實(shí)情境，無疑對學(xué)生理解算理、掌握算法極有裨益。在

上述教學(xué)中，教師在深入研究知識的發(fā)生、發(fā)展過程的基礎(chǔ)上，

注重凸現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境背后所隱含的與計(jì)算內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)線索，借

助實(shí)際生活中的“買魔方”付款問題，使抽象的知識成為學(xué)生熟

悉的事物，使學(xué)生看得見、摸得著。通過“170元錢能買幾個31

元的魔方？”“找回多少錢？”“能買幾個38元的魔方？”等

問題的討論，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突從而引起內(nèi)在的數(shù)學(xué)思考，學(xué)

生結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境更深刻地理解了“應(yīng)該去乘準(zhǔn)確值而不應(yīng)乘近

似值”的道理，很好地突破了教學(xué)難點(diǎn)。同時(shí)也增強(qiáng)了對數(shù)學(xué)的

親切感，在學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)與他們的生活息息相關(guān)，而不再是一

大堆毫無實(shí)際意義的枯燥符號，這也大大激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興

趣。

教學(xué)就是滌蕩學(xué)生的思維

——特

級教師牛獻(xiàn)禮《探究計(jì)算中的規(guī)律》賞析

杭州市安吉

路實(shí)驗(yàn)學(xué)校牛獻(xiàn)禮

南京東方數(shù)

學(xué)教育科學(xué)研究所陳今晨

（已

發(fā)表）

片斷一：口算導(dǎo)引。

1/2+1/42/5+1/5

1/4+1/84/7+2/7

1、逐一出示，學(xué)生口算。

2、提問：你發(fā)現(xiàn)這些算式有什么特點(diǎn)了嗎？

生1：都是加法。

生2：兩個分母之間有倍數(shù)關(guān)系，4是2的2倍，8是4的2倍。

生3：第一個分?jǐn)?shù)是第二個分?jǐn)?shù)的2倍。

小結(jié)：都是兩個分?jǐn)?shù)相加，前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍。

（板書：分?jǐn)?shù)相加，前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍）

【賞析】教者極富教學(xué)思想，自覺開發(fā)課程資源，編創(chuàng)教材，引

導(dǎo)學(xué)生在有關(guān)分?jǐn)?shù)計(jì)算中積極探索規(guī)律。備課設(shè)計(jì)從分?jǐn)?shù)口算題

開始，明確地把經(jīng)歷猜想和驗(yàn)證的過程，運(yùn)用轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的

思想方法，引導(dǎo)感悟和探究計(jì)算中的數(shù)學(xué)規(guī)律作為教學(xué)目標(biāo)，表

現(xiàn)了教者堅(jiān)持課改理念高度的自覺性、課堂設(shè)計(jì)強(qiáng)烈的意識性和

教材組合極大的靈活性。

片斷二：猜測驗(yàn)證。

1、引導(dǎo)擴(kuò)展算式。

師:符合這個特點(diǎn)的算式我們可以寫得更長一些。

師生對話引出：（1）1/2+1/4+1/8

（2）1/3+1/6+1/12+1/24

（3）

1/4+1/8+1/16+1/32

讓學(xué)生計(jì)算上述算式（1），然后匯報(bào)。1/2+1/4+1/8二7/8

2、組織探究發(fā)現(xiàn)。

師：這種方法是將異分母分?jǐn)?shù)經(jīng)過通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)計(jì)算。

（板書：轉(zhuǎn)化）請大家再仔細(xì)觀察這個算式和得數(shù)，你又有什么

發(fā)現(xiàn)？

生1:和的分母是最后一個分?jǐn)?shù)的分母，分子比分母小1。

生2：最后一個分?jǐn)?shù)+得數(shù)=1

師：最后一個分?jǐn)?shù)+得數(shù)=1。想一想：要求得數(shù)，有沒有更簡便

的算法呢？

生3：可以用1減去1/8來算。

3、借助圖形理解。

師：到底可不可以這樣算呢？我們可以借助于直觀的圖形來幫助

我們理解。

動態(tài)出示上圖，引導(dǎo)學(xué)生明白：換個角度想，可以把計(jì)算幾個部

分的和轉(zhuǎn)化成求一個正方形減去空白部分所得的差。（板書：求

和求差）

板書：1/2+1/4+1/8=1—1/8:7/8

4、深入觀察猜想。

師：我們可以大膽地猜想一下：計(jì)算這類前一個分?jǐn)?shù)是后一個分

數(shù)的2倍加法算式的和,有沒有什么規(guī)律？

結(jié)合學(xué)生回答，投影呈現(xiàn)：“有人說：幾個分?jǐn)?shù)相加，如果前一

個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍，求它們的和，只要用1減去最后一

個分?jǐn)?shù)就行了?！?/p>

你認(rèn)為這種說說法對不對？你將用什么方法證明你的結(jié)論？

生1：可以舉例子，來算一算。

師：用什么方法算呢？

生1：用通分的方法算，再用猜想的方法算。

師：然后呢？

生1：再比較這兩個得數(shù)是不是一樣。如果一樣，說明猜想是正

確的；如果不一樣，說明是錯誤的。

師：誰聽懂他的意思了？

生2：他的意思是說，分別用通分的方法和猜想中的方法算出結(jié)

果，比較兩個結(jié)果是否相同。

師：生1介紹了一個好方法，生2聽得很認(rèn)真，也很會表達(dá)。好,

我們就用“舉例子”的方法來驗(yàn)證一下這個猜想是否正確。

學(xué)生獨(dú)立思考，舉例驗(yàn)證，全班交流。

建議學(xué)生用上述算式(2)、(3)為例或舉其它例來驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)

這一猜想錯誤。

顯示：在數(shù)學(xué)上，我們要證明一個說法是不對的，只要舉一個反

例就可以了。

師：看來這個猜想并不具有普遍性，有些題目符合猜想，有些題

目不符合猜想。要想找到普遍性的規(guī)律，還需要我們進(jìn)一步觀察

和探究。

【賞析】對學(xué)生的誘導(dǎo)層次性很強(qiáng)一一先是對已有幾道算式特點(diǎn)

的歸納概括；再有類推遷移擴(kuò)展算式強(qiáng)化特點(diǎn)；接著強(qiáng)調(diào)通分體

現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，誘導(dǎo)對算式與得數(shù)間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)；繼之運(yùn)用數(shù)形結(jié)

合的手段動態(tài)地表征算式；驗(yàn)證中舉出反例否定猜想。這些拾級

而上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動引領(lǐng)，都是圍繞著創(chuàng)設(shè)猜想的氛圍，為促成

學(xué)生深入觀察，大膽猜想，小心驗(yàn)證做足鋪墊。

片段三：再猜測再驗(yàn)證。

師：我們還是借助于直觀的圖形來幫助我們找找猜想錯誤的原

因。

逐步出示上面兩個例子的正方形圖。

圖

一圖二

師：既然剛才的猜想不是規(guī)律，那么規(guī)律到底是什么呢？哪位同

學(xué)能借助圖形來說說自己的發(fā)現(xiàn)？

生1:(邊指著圖一邊講想法)我發(fā)現(xiàn)可以先把最右邊空白部分

1/24當(dāng)成涂色部分,1/6+1/12+1/24+1/24=1/3,這樣涂色部

分就是2個1/3,但是因?yàn)槎嗉恿艘粋€1/24,所以需要再減去一

個1/24O1/3+1/6+1/12+1/24=1/3+(1/3-1/24)=1/3X2-

1/24=5/8

生2：(邊指著圖二邊講想法)我的想法跟生1差不多?？梢韵?/p>

把最右邊空白部分1/32當(dāng)成涂色部分，1/8+1/16+1/32

+1/32=1/4,這樣涂色部分就是2個1/4,但是因?yàn)槎嗉恿艘粋€

1/32,所以需要再減去一個l/32o1/4+1/8+1/16+1/32=1/4+(1/4

-1/32)=1/4X2-1/32=15/32

師：大家明白他們的想法嗎？有沒有道理？我們在圖形的幫助下

不但找到了錯誤的原因，而且還發(fā)現(xiàn)了正確的算法。那么，受到

剛才計(jì)算方法的啟發(fā)，現(xiàn)在你能不能再次大膽猜想一下：計(jì)算

“幾個分?jǐn)?shù)相加，前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的兩倍，求它們的

和”，怎樣算比較簡便？

生3：幾個分?jǐn)?shù)相加，如果前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍，求

它們的和，只要用第一個分?jǐn)?shù)的2倍減去最后一個分?jǐn)?shù)。

投影顯示：“有人說：如果前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍，求

這樣一組分?jǐn)?shù)的和，只要用第一個分?jǐn)?shù)的2倍減去最后一個分

數(shù)。*

你認(rèn)為這個人說得對不對？你有什么方法證明你的想法？

師：如果要證明一個說法是錯誤的，只需要舉出一個“反例”就

可以了，如果要證明一個說法是正確的，需要舉出幾個例子呢？

生1：多舉幾個例子，越多越好。

師：但是例子是舉不完的呀？

生2：我覺得可以舉一些特殊的例子。

師：有道理，盡量多舉一些例子，舉一些典型型的例

子，比如舉一些開頭的分?jǐn)?shù)不是幾分之一的分?jǐn)?shù)。

學(xué)生舉例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)猜想二都是正確的。

（投影）顯示“猜想一”和“猜想二”

師：比較這兩個猜想，它們之間有聯(lián)系嗎？

結(jié)合學(xué)生回答，小結(jié)：猜想一僅僅是猜想二的一種特殊情況，猜

想一并不具有普遍性，猜想二才具有普遍性。因此，猜想二才是

規(guī)律。

【賞析】光有驗(yàn)證中的否定猜想還是不夠的，還得有通過驗(yàn)證獲

得證實(shí)的情形，這樣學(xué)生對猜想的正反面驗(yàn)證經(jīng)歷才能完整。教

者點(diǎn)撥學(xué)生的思路先行探究猜想遭受否定的原因，修正自身的主

觀猜想，發(fā)現(xiàn)更為一般的規(guī)律表述，進(jìn)入再驗(yàn)證過程。如此的循

環(huán)往復(fù)，突出了猜想與驗(yàn)證之間認(rèn)識發(fā)展的辯證過程，使得學(xué)生

對探索規(guī)律經(jīng)歷的過程體驗(yàn)涵蓋了更強(qiáng)的普適性。

片斷四：反思建構(gòu)。

1、運(yùn)用。

計(jì)算：1/4+1/8+1/16+1/32+…+1/1024

學(xué)生口答，集體反饋。

2、反思：

師：在學(xué)習(xí)過程中善于反思和總結(jié)的人進(jìn)步最快。通過這節(jié)課的

學(xué)習(xí)同學(xué)們靜靜地想一想：

(1)這節(jié)課我們得出了什么結(jié)論？

（2）我們是怎么得出這個結(jié)論的？

歸納：猜想一一驗(yàn)證一一再猜想一一再驗(yàn)證，用到了“數(shù)形結(jié)

合”和“轉(zhuǎn)化”的方法（板書）。

（3）你還能提出新的猜想嗎？

生1：這是幾個分?jǐn)?shù)相加，如果是整數(shù)呢？有沒有這個規(guī)律？

生2：如果是小數(shù)呢？

生3：如果是幾個分?jǐn)?shù)相減呢？有沒有類似的規(guī)律？

生4：如果幾個分?jǐn)?shù)相加，前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的3倍，是

不是得用第一個分?jǐn)?shù)乘3再減最后一個分?jǐn)?shù)呢？

師：同學(xué)們提出了許多很好的猜想，是否正確呢？還需要一一

生（齊）：仔細(xì)驗(yàn)證。

師：對。大科學(xué)家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就沒有偉

大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)?！睔v史上，很多著名的數(shù)學(xué)結(jié)論都是從猜想開

始的，都是經(jīng)過了“大膽猜想，小心求證”的過程，我們可以用這

節(jié)課中學(xué)到的思想方法去探究更多的數(shù)學(xué)規(guī)律。

【賞析】將經(jīng)過驗(yàn)證而獲得證實(shí)的規(guī)律性認(rèn)識，讓學(xué)生再通過一

定的計(jì)算運(yùn)用以求進(jìn)一步確證，并體驗(yàn)掌握規(guī)律后的便利，同時(shí)

也作為了引發(fā)學(xué)習(xí)反思和總結(jié)的中介。設(shè)計(jì)的三個提問，恰到好

處地引導(dǎo)了學(xué)生的思維方向，成就了課堂認(rèn)知明確而扼要的成果

檢閱，既發(fā)揮了學(xué)生課堂總結(jié)中的主體性，也提升了他們認(rèn)知的

概括性。引用世界著名大科學(xué)家牛頓的名言作結(jié)，能夠激發(fā)學(xué)生

對數(shù)學(xué)規(guī)律后續(xù)的進(jìn)一步探究興趣,預(yù)留了可持續(xù)發(fā)展的巨大空

間。

【總評】

牛獻(xiàn)禮同志作為全國著名特級教師，應(yīng)邀在成都所做的

這一節(jié)成功的公開課，展示了多方面的課堂精彩：

1、積極踐行開發(fā)課程資源的自主精神。探索規(guī)律是數(shù)學(xué)

課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新學(xué)習(xí)品格是素質(zhì)

教育中的課改最強(qiáng)音。教者選取這一要點(diǎn)，參照諸多版本教材,

不拘一格地從遠(yuǎn)道借班觀摩教學(xué)的實(shí)際出發(fā)，自我開發(fā)創(chuàng)編教學(xué)

內(nèi)容，使得切入容易，最終實(shí)現(xiàn)了課堂的務(wù)實(shí)求真，靈活執(zhí)教,

順利軟著陸，很好地達(dá)成了課堂目標(biāo)。

2、數(shù)學(xué)課堂緊抓對學(xué)生思維的生動導(dǎo)引。從四道簡單分

數(shù)口算題，安排讓學(xué)生擴(kuò)展，經(jīng)過計(jì)算、探究、發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生

的大膽猜想，明白地表達(dá)交流對算式蘊(yùn)含規(guī)律認(rèn)識的“毛坯”，

繼之再經(jīng)歷“小心求證”驗(yàn)證過程的精雕細(xì)刻，既證偽，修正猜

想；又證實(shí)，應(yīng)用規(guī)律，引領(lǐng)學(xué)生在探究的途程中登堂入室，漸

入佳境，成就思考的精致上品。其間學(xué)生思考的快樂、發(fā)現(xiàn)的樂

趣、成功的體驗(yàn)全憑教者恰當(dāng)?shù)乃季S領(lǐng)導(dǎo)。

3、統(tǒng)籌兼顧數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的多方面要求。從這一課的教

學(xué)，我們可以窺測到教者教學(xué)中的教育思考，不但讓學(xué)生獲得對

所授算式的規(guī)律認(rèn)識,還著意養(yǎng)成學(xué)生思考探究的科學(xué)精神和科

學(xué)態(tài)度，以及形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣一一“善于反思和總結(jié)的人進(jìn)

步最快”；提升學(xué)生的一般探究思路一一“猜想一一驗(yàn)證一一再

猜想一一再驗(yàn)證”；不但著眼于學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知建構(gòu)，還蓄意于

學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展一一“我們可以用這節(jié)課中學(xué)到的思想方法去

探究更多的數(shù)學(xué)規(guī)律”。其間，轉(zhuǎn)化的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思

想方法、修正猜想逼近客觀、獲得確證的思想方法等都使得本課

教學(xué)定位豐滿、飽滿，全方位收益。

4、充分顯露了教者高妙的教學(xué)素養(yǎng)和優(yōu)勢。教學(xué)用語,

要言不煩，簡樸明確；備課教案，轉(zhuǎn)述環(huán)節(jié)，簡潔扼要；教學(xué)手

段運(yùn)用板書、圖示、投影，通俗從眾；教學(xué)信息，少而精致，不

滿不溢，留有余地。當(dāng)然，從練習(xí)效率角度著眼，反思建構(gòu)階段

的運(yùn)用環(huán)節(jié)僅安排了一道題似乎數(shù)量少了點(diǎn)，可以視課堂進(jìn)程而

定，預(yù)留三五道同類題漸次而出，讓學(xué)生舉一反三，強(qiáng)化運(yùn)用規(guī)

律的心理愉快體驗(yàn)，熟化運(yùn)用規(guī)律的解題技能技巧。更有甚者,

還可留置另一規(guī)律探索的算式題，讓學(xué)生自我探索，猜想驗(yàn)證,

重新自我走實(shí)探究規(guī)律的一般道路。

教者反思：

緣起：本節(jié)課是自己開發(fā)的一節(jié)“數(shù)學(xué)活動課”，緣起

于與學(xué)生交流探討“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64”這道

數(shù)學(xué)題目的解法。在與學(xué)生交流互動的過程中受到啟發(fā)：能否以

此題為依托，充分展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，進(jìn)而將其開發(fā)成

一節(jié)數(shù)學(xué)課呢？于是，幾經(jīng)思考、幾經(jīng)打磨，就有了上面這節(jié)課

的設(shè)計(jì)。

思考：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲得必需的數(shù)學(xué)知識和技能當(dāng)然

是重要的，但不應(yīng)是惟一的目的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要學(xué)會用數(shù)學(xué)的視角

看世界，用數(shù)學(xué)的方法去認(rèn)識客觀世界中各式各樣的事物，學(xué)會

通過數(shù)學(xué)思考去把握千變?nèi)f化的現(xiàn)象。因此，教師應(yīng)在比較寬的

視野下看待小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅考慮顯性的知識，更要充分挖掘

教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)“大思想”，以及教學(xué)內(nèi)容對于人的發(fā)展所

具有的教育價(jià)值：應(yīng)用價(jià)值，思維價(jià)值（數(shù)學(xué)思想方法、研究問

題的方法等等），情感態(tài)度價(jià)值，并將其作為教學(xué)目標(biāo)落實(shí)在課

堂上。

基于上述想法，制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下:

1、以“前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍的分?jǐn)?shù)加法算

式求和”這一知識為載體，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”的思想

方法，使學(xué)生經(jīng)歷“猜想、驗(yàn)證、再猜想、再驗(yàn)證”的科學(xué)探究

過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律形成的過程，感悟探究數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法。

2、在探索計(jì)算規(guī)律的過程中，培養(yǎng)學(xué)生主動探索與思

考的習(xí)慣和大膽猜想、仔細(xì)驗(yàn)證、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

由上述目標(biāo)可見，本節(jié)課的重心不在于多練習(xí)幾道題目，

追求“計(jì)算規(guī)律”的熟練應(yīng)用，而重在引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷一次滌

蕩思維之旅。在這四十分鐘時(shí)間里，讓學(xué)生在與老師、與同伴充

分互動交流的過程中，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣、探索的艱辛、錯誤的困

惑，體驗(yàn)“柳暗花明”時(shí)的喜悅和“恍然大悟”后的快樂。也期

望在這節(jié)課中，學(xué)生收獲的不只是教學(xué)的知識和結(jié)論，更重要的

是讓學(xué)生初步掌握數(shù)學(xué)探究的一般方法，體悟老師苦心傳遞的

“數(shù)學(xué)觀”。我想，這種數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)觀念的傳遞

可能會比知識和結(jié)論更有價(jià)值，更有利于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

挑起爭端深化理解

“商

不變的性質(zhì)”教學(xué)片段與思考

牛獻(xiàn)

禮

案例：

在教完“商不變性質(zhì)”后，教師出示算式：24?8二

(24+24)+(8+8),讓學(xué)生判斷對錯。

學(xué)生展開了激烈的爭論。

甲方認(rèn)為:這道題是錯的，因?yàn)樗谋怀龜?shù)與除數(shù)同時(shí)增

加，不是同時(shí)擴(kuò)大或縮小，前面做的一道題是(60+20)+(20+20),

它的商就變了；

乙方認(rèn)為:這兩題是不一樣的，前面一題是“被除數(shù)和除

數(shù)加上同一個數(shù)”，而這道題是“被除數(shù)和除數(shù)都加上一個和自

己一樣大的數(shù)”。24+24=24X2,8+8=8X2,被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)

擴(kuò)大2倍，商應(yīng)該不變。

在事實(shí)根據(jù)面前，甲方同學(xué)被乙方同學(xué)說得心服口服,

對“商不變性質(zhì)”的理解也深入了一步。

思考：

學(xué)生由于智力、知識經(jīng)驗(yàn)、個性特點(diǎn)、家庭背景存在差異,

所以他們解決問題的思維方式、能力也存在著差異，不同的學(xué)生

往往表現(xiàn)出不同的悟性。作為教師，就要善于圍繞教學(xué)重點(diǎn)設(shè)計(jì)

變式練習(xí)，并注意反饋不同思維層次的材料，有意“挑起爭端”，

引起學(xué)生之間不同想法的交流、不同思維的碰撞，促使學(xué)生在爭

論中不斷矯正自己的思維方向，主動去梳理自己的思路，從而更

深刻地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。上述片段中，正是有了兩組學(xué)生的

“據(jù)理力爭”，促進(jìn)了學(xué)生對“商不變性質(zhì)”的深刻理解，創(chuàng)造

了一個充滿靈性、涌動激情的課堂。

讓動手操作與數(shù)學(xué)思考共舞

——“兩位數(shù)除以一位數(shù)商是兩位數(shù)”案

例與反思

牛獻(xiàn)禮

小學(xué)生的思維正處在以具體形象思維為主要形式逐步

向以抽象邏輯思維為主要形式的過渡階段，他們的邏輯思維還帶

有很大成分的具體形象性，往往需要在感性材料支持下其思維活

動才能順利進(jìn)行。正如著名心理學(xué)家皮亞杰所說：“兒童的思維

是從動作開始，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展?！?/p>

由于動手實(shí)踐更能引起和促進(jìn)學(xué)生把外顯的動作過程和內(nèi)隱的

思維活動緊密結(jié)合起來，使之成為“思維的動作”和“動作的思

維”，因此，在教學(xué)時(shí)通過動手操作感性材料，幫助學(xué)生在頭腦

中建立數(shù)學(xué)知識的表象，利用表象的中介作用有助于降低學(xué)習(xí)難

度，排除思維障礙，確保學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智力活動中邏輯思維

得以順利進(jìn)行。但筆者發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)實(shí)踐中，許多操作是為操作

而操作，學(xué)生沒有進(jìn)行深刻的體驗(yàn)和深入的探究，缺少數(shù)學(xué)思考,

致使沒有充分發(fā)揮動手實(shí)踐為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)的功效。那

么，如何實(shí)現(xiàn)動手操作與數(shù)學(xué)思考和諧共舞呢？現(xiàn)結(jié)合一個實(shí)例

談?wù)劰P者的思考。

案例：“兩位數(shù)除以一位數(shù)商是兩位數(shù)”教學(xué)片段

學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)問題“48個桃子，平均分給2只猴子，每

只猴子得到幾個桃子？”得出了口算方法：402=20（個），8

：2二4（個），20+4=24（個）后，教師讓學(xué)生用小棒代替桃子分

一分，學(xué)生很快把48根小棒平均分成兩份，每份是24根。

接著學(xué)生探索筆算方法，可是出乎老師意料的是學(xué)生所

呈現(xiàn)的方法均如下式。

24

2）48

48

0

反思：為什么動手操作后，學(xué)生還不能探索出正確的筆

算方法呢？事實(shí)上，算法建構(gòu)過程需要操作的直觀感知來獲取算

理，但并不意味著有了操作就可以理解算理、建構(gòu)算法，動手操

作所獲得的只是對算理的直觀感知，還需要通過有效引導(dǎo)來搭建

平臺，幫助學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化整理，溝通算理與算法之間的內(nèi)在聯(lián)

系。

在上述案例中，教師想當(dāng)然地認(rèn)為通過分小棒的操作過

程，就能幫助學(xué)生建立筆算模型，但實(shí)際的結(jié)果是，學(xué)生算出了

“48+2”的商，豎式卻寫不出來。筆者認(rèn)為，問題的根源在于,

案例中教師沒有提出具體的要求，學(xué)生的操作只是把口算的結(jié)果

予以呈現(xiàn)。這樣的“數(shù)與形”嚴(yán)重分離的操作所建立的直觀經(jīng)驗(yàn)

對學(xué)生筆算除法的建構(gòu)沒有任何指導(dǎo)意義，反而對筆算除法的探

索起到了負(fù)遷移的作用。其實(shí)學(xué)生運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)已能直接

口算出得數(shù)，他們難以理解的是口算和筆算之間的內(nèi)在聯(lián)系，如

果把操作過程和豎式計(jì)算聯(lián)系起來，效果就不一樣了。

重建：

師：請同學(xué)們先想一想，怎樣用擺小棒的方法來說明口

算的計(jì)算步驟呢？

通過討論，讓學(xué)生明確：

先擺出小棒4捆（每捆10根）和散著的8根，第一步把

4捆平均分成兩份，每份是2捆，也可以說每份20根；第二步

把剩下的8根小棒平均分成兩份，每份是4根。

(這樣的操作學(xué)生需要思考小棒的呈現(xiàn)、小棒的分與合

等問題，容易做到擺小棒的操作與口算的算理相結(jié)合，動手與動

腦相結(jié)合。)

師：想一想，你能用除法豎式把剛才分小棒的過程表示

出來嗎？

學(xué)生嘗試用豎式計(jì)算，師選擇典型做法出示，全班交流。

算法1:

24

2)48

48

0

算法2：

24

2)48

4

8

8

0

師：你認(rèn)為黑板上哪種算法把剛才分小棒的過程清楚地

表示出來了？

生：第二種。（全班絕大多數(shù)同學(xué)表示認(rèn)同）

師：你能看出第一種算法表示的是如何分小棒嗎？

生1:他是把4捆小棒全都散開，與8根散著的合成48

根，再平均分給兩只小猴子，每只小猴分到24根。

師：誰能結(jié)合分小棒的過程，解釋一下第二種豎式的意

思？

生2：先把4捆小棒平均分成2份，每份是2捆，還余1

捆。

師：豎式上的2為什么寫在十位上呢？

生：2捆就是20根，所以2就應(yīng)該寫在十位上。

師：接下來應(yīng)該怎樣分呢？

生：再把8根平均分成2份，每份是4根。

師：4寫在哪一位上呢？

生：寫在個位上。

師：把48根小棒平均分成2份，其實(shí)是兩次平均分，先

把4捆平均分成兩份，每份2捆，是2個十，所以2就寫在十位

上；再把8根平均分成兩份，每份4根，是4個一，所以4就寫

在個位上。

師：現(xiàn)在，你能試