現(xiàn)代通信原理（第4版）課件 第二章 信號分析基礎(chǔ)（第1講）

2025/4/20信息與通信工程學院1

第二章信號分析基礎(chǔ)2025/4/20信息與通信工程學院2通信系統(tǒng)一般模型本章內(nèi)容在通信系統(tǒng)模型中的位置2025/4/20信息與通信工程學院3本章安排

信號分析基礎(chǔ)確定信號分析（第1講）信號的正交展開及頻譜分析能量信號與功率信號相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)信號帶寬復數(shù)信號與時域希爾伯特變換隨機信號分析（第2講）2025/4/20信息與通信工程學院42.1.1信號的正交展開及頻譜分析

1信號的正交展開

2信號的頻譜分析2025/4/20信息與通信工程學院51信號的正交展開正交展開：若在區(qū)間（）內(nèi)是分段連續(xù)的，則可以用該區(qū)間內(nèi)的正交函數(shù)系（集）｛｝=｛,,…

｝中的各分量來表示該信號。上式中，當

C

=1時，稱｛｝為標準正交函數(shù)系。

正交函數(shù)系：指｛｝在（）上滿足下式即2025/4/20信息與通信工程學院6系數(shù)的求解由下式兩邊乘后求積分可得下式：1信號的正交展開2025/4/20信息與通信工程學院7對標準正交函數(shù)系

展開式中，若取有限項，則會帶來誤差Q，且恒有。1信號的正交展開2025/4/20信息與通信工程學院8-----貝塞爾不等式1信號的正交展開2025/4/20信息與通信工程學院9

貝塞爾不等式說明任何函數(shù)正交展開式中的系數(shù)的平方和總是收斂的。

顯然，N增大時，是單調(diào)增大的，當N足夠大時，可使下式成立此時，稱｛｝為完備正交函數(shù)系。-----Rayleigh-Parseval定理完備正交函數(shù)系的類型：三角函數(shù)系、復指數(shù)函數(shù)系、Walsh函數(shù)系等完備的含義:

指用｛｝來展開時，不需要用不屬于｛｝的函數(shù)來補充參加的精確展開，其本身是完備的。1信號的正交展開2025/4/20信息與通信工程學院101信號的正交展開信號的頻譜分析（傅里葉分析）是分析確定信號的基本方法。對周期信號，有傅里葉級數(shù)展開式-----傅立葉級數(shù)復系數(shù)對非周期信號，有傅里葉積分式-----頻譜密度函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院11-----原函數(shù)----傅里葉變換對引入沖激函數(shù)后，也可以得到周期函數(shù)的頻譜密度函數(shù)為（2-1）2信號的頻譜分析2025/4/20信息與通信工程學院12周期信號頻譜密度函數(shù)的簡便求法第一步：求截斷信號的頻譜密度函數(shù)第二步：周期延拓，得到頻譜密度函數(shù)。（2-2）比較式（2-1）（2-2），可得：2信號的頻譜分析2025/4/20信息與通信工程學院132信號的頻譜分析例2.1設(shè)周期矩形信號如圖所示，試求其頻譜密度函數(shù)。解：設(shè)為在一個周期內(nèi)的截斷信號，如圖所示。

則有:2025/4/20信息與通信工程學院142信號的頻譜分析則,由式(2-2)得:(2-3)最后有:2025/4/20信息與通信工程學院152信號的頻譜分析2025/4/20信息與通信工程學院162.1.2能量信號和功率信號

1能量信號

2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院171能量信號能量信號

設(shè)為單位電阻上的電壓或電流，則電阻上消耗的功率為在時間內(nèi)消耗的能量為，信號總能量為：若滿足則稱為能量信號。2025/4/20信息與通信工程學院18一般在時域內(nèi)有始有終的非周期信號為能量信號，如下圖所示。對能量信號，可用其頻譜密度函數(shù)及能量譜密度函數(shù)來描述。

頻譜密度函數(shù)能量信號的平均功率為零，即1能量信號2025/4/20信息與通信工程學院19能量譜密度函數(shù)稱為能量信號的能量譜密度函數(shù)。1能量信號2025/4/20信息與通信工程學院20上式重新寫為：-----能量信號的帕斯瓦爾（Parseval）定理

能量譜密度函數(shù)表示了單位頻帶上的信號能量，表明了信號的能量沿頻率軸的分布情況。1能量信號2025/4/20信息與通信工程學院21功率信號信號總能量無限，但平均功率有限的信號稱為功率信號。

（滿足）2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院22功率信號平均功率為：式中為的截斷信號，是能量信號，如圖所示。周期信號是典型的功率信號。2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院23對周期信號，其平均功率為：對功率信號可用其功率譜密度函數(shù)來描述。

2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院24功率譜密度函數(shù)

稱為功率信號的功率譜密度函數(shù)。對功率信號的截斷信號，應用能量信號的帕斯瓦爾定理，有：2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院25

功率譜密度函數(shù)表示了單位頻帶上的信號功率，表明了信號的功率沿頻率軸的分布情況。2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院26周期信號功率譜密度函數(shù)設(shè)周期信號的周期為T，截斷函數(shù)可用下式得到：----矩形窗函數(shù)2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院27其中:由頻域卷積定理，有：---周期信號傅里葉級數(shù)復系數(shù)-----周期信號頻譜密度函數(shù)2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院28最后，得周期信號功率譜密度函數(shù)為：周期信號功率為：-----功率信號的帕斯瓦爾（Parseval）定理2功率信號2025/4/20信息與通信工程學院291能量信號的相關(guān)函數(shù)2能量信號的相關(guān)定理3功率信號的相關(guān)函數(shù)2.1.3相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院301能量信號的相關(guān)函數(shù)相關(guān)的含義描述兩個波形（或一個波形）在間隔一定時間上的相似性，常用相關(guān)函數(shù)來描述。能量信號的相關(guān)函數(shù)設(shè)信號和為能量信號，定義下式為它們的互相關(guān)函數(shù)。當時，則定義下式為的自相關(guān)函數(shù)。2025/4/20信息與通信工程學院31例2.2

求圖示兩信號的互相關(guān)函數(shù)。1能量信號的相關(guān)函數(shù)解：2025/4/20信息與通信工程學院321能量信號的相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院33例2.3求圖示信號自相關(guān)函數(shù)。1能量信號的相關(guān)函數(shù)解：2025/4/20信息與通信工程學院34相關(guān)函數(shù)積分與卷積積分的區(qū)別（一）（1）卷積積分是無序的，相關(guān)積分是有序的。（2）對同一時間位移值，卷積積分和相關(guān)積分中位移函數(shù)的移動方向是相反的。1能量信號的相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院35（4）若系統(tǒng)的沖激響應，則系統(tǒng)的輸出為即，沖激響應為輸入信號鏡像函數(shù)的線性系統(tǒng)輸出為輸入信號的自相關(guān)函數(shù)。1能量信號的相關(guān)函數(shù)（3）卷積是求解信號通過線性系統(tǒng)輸出的方法，相關(guān)是信號檢測和提取的方法。相關(guān)函數(shù)積分與卷積積分的區(qū)別（二）2025/4/20信息與通信工程學院361能量信號的相關(guān)函數(shù)（1）自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

（2）（3）時，自相關(guān)函數(shù)值最大，即2025/4/20信息與通信工程學院372能量信號的相關(guān)定理

定理內(nèi)容：能量信號在時域內(nèi)相關(guān)，對應頻域內(nèi)為一個信號頻譜的共軛與另一信號的頻譜相乘。即證明：2025/4/20信息與通信工程學院38若有則有以下關(guān)系：即2能量信號的相關(guān)定理

可見，能量信號的自相關(guān)函數(shù)和能量譜密度函數(shù)是一對傅里葉變換。能量譜密度函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院393功率信號的相關(guān)函數(shù)功率信號的互相關(guān)函數(shù)

功率信號的自相關(guān)函數(shù)

周期信號的自相關(guān)函數(shù)

當2025/4/20信息與通信工程學院40證明：自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系為：其中：為功率譜密度函數(shù)。3功率信號的相關(guān)函數(shù)令2025/4/20信息與通信工程學院41證明（續(xù)）：3功率信號的相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院42例2.4

試求周期信號的功率譜。

解：方法1

利用信號的傅里葉級數(shù)展開式求功率譜。3功率信號的相關(guān)函數(shù)故有：------周期信號傅里葉級數(shù)展開式由于

式（2.4）2025/4/20信息與通信工程學院433功率信號的相關(guān)函數(shù)利用式（2.4），有2025/4/20信息與通信工程學院44方法2

利用相關(guān)函數(shù)求功率譜。周期信號的周期

3功率信號的相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院45故有：可見，兩種方法得到的結(jié)果是相同的。即時，3功率信號的相關(guān)函數(shù)2025/4/20信息與通信工程學院46常用的幾種信號帶寬定義

定義：信號的能量或功率的主要部分在正頻率域內(nèi)占據(jù)的范圍。2.1.4信號帶寬1.絕對帶寬信號的能量譜或功率譜分布在內(nèi)2.3dB帶寬(半功率帶寬)

能量譜或功率譜的幅值最大值出現(xiàn)在內(nèi)，且大于最大值的1/2倍。2025/4/20信息與通信工程學院47

2.1.4信號帶寬3.零點帶寬f1為信號能量譜或功率譜中低于f0第一個零點,f2為信號能量譜或功率譜中高于f0第一個零點。4.等效矩形帶寬對能量信號對功率信號

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2.1.4信號帶寬5.能量或功率百分比帶寬對能量信號

對功率信號

（0.95、0.99等）

（0.95、0.99等）

2025/4/20信息與通信工程學院492.1.5復數(shù)信號與時域希爾伯特變換1復數(shù)信號的定義2希爾伯特變換4窄帶信號自相關(guān)函數(shù)的復數(shù)化求解3實時間信號的復數(shù)化表示2025/4/20信息與通信工程學院502.1.5復數(shù)信號與時域希爾伯特變換為什么引入復信號？有時直接分析實時間信號會碰到不少困難，如

采用復數(shù)信號的處理方法，即把實時間信號變成復數(shù)信號來分析，從而達到分析實時間信號的目的，會使問題簡化。如：復數(shù)信號為：旋轉(zhuǎn)矢量2025/4/20信息與通信工程學院511復數(shù)信號的定義對實信號，定義復數(shù)信號為：

與之間滿足時域希爾伯特變換（Hilbert）關(guān)系。的頻譜呈現(xiàn)單邊譜特性時域希爾伯特變換2025/4/20信息與通信工程學院521復數(shù)信號的定義頻域希爾伯特變換與滿足頻域希爾伯特變換關(guān)系。

對滿足因果關(guān)系的物理可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)，有

由復數(shù)信號的定義，可知的頻譜應由的頻譜密度函數(shù)唯一確定。2025/4/20信息與通信工程學院53由于：且：故有：1復數(shù)信號的定義2025/4/20信息與通信工程學院54即：或1復數(shù)信號的定義

上式說明，復信號的頻譜等于實時間信號單邊譜的2倍。因此，由唯一確定。2025/4/20信息與通信工程學院552希爾伯特變換

由復信號單邊譜特性可以導出復數(shù)信號的實部和虛部的關(guān)系---希爾伯特變換對。為同時滿足上式及復信號單邊譜特性，下列關(guān)系應成立：---單邊譜特性傅氏變換2025/4/20信息與通信工程學院56引入符號函數(shù)則可得到可見，和的關(guān)系是唯一確定的。

由上看出，相當于通過一個網(wǎng)絡(luò)（希爾伯特濾波器）后得到，網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)為2希爾伯特變換2025/4/20信息與通信工程學院57相應地：由于故---希爾伯特變換---希爾伯特反變換希爾伯特變換對2希爾伯特變換2025/4/20信息與通信工程學院58希爾伯特濾波器的傳輸特性幅頻特性：全通網(wǎng)絡(luò)（幅頻特性為1）相頻特性：正頻率范圍內(nèi)相移，負頻率范圍內(nèi)相移。故希爾伯特濾波器也稱為相移網(wǎng)絡(luò)。2希爾伯特變換2025/4/20信息與通信工程學院59按頻譜分析有3實時間信號的復數(shù)化表示簡單的例子

由上看出：復數(shù)信號頻譜是實信號頻譜在正頻域部分的2倍。2025/4/20信息與通信工程學院60復數(shù)信號頻譜實信號頻譜3實時間信號的復數(shù)化表示2025/4/20信息與通信工程學院61實信號復數(shù)化的兩種表示方法：復指數(shù)形式、解析信號形式以調(diào)幅---調(diào)相信號為例復指數(shù)形式式中，是復信號的復數(shù)包絡(luò)線。解析信號的形式或3實時間信號的復數(shù)化表示2025/4/20信息與通信工程學院62問題：“復指數(shù)形式”與“解析信號形式”是否一致（統(tǒng)一）？皮杜相（Bedrosian）條件（B條件）

當滿足B條件時，則由可得：必定只在正頻域存在。---滿足復數(shù)信號的解析信號形式。因而復數(shù)信號具有單邊譜特性，即3實時間信號的復數(shù)化表示2025/4/20信息與通信工程學院63皮杜相（Bedrosian）條件（續(xù)）

實際中遇到的窄帶信號一般總是滿足B條件的，因此對窄帶信號復數(shù)化為復指數(shù)表示實際就是復數(shù)化為解析信號表示。故在B條件下，復數(shù)信號的復指數(shù)形式必為解析信號。B條件本質(zhì)：復數(shù)包絡(luò)線具有低通型頻譜特性。3實時間信號的復數(shù)化表示2025/4/20信息與通信工程學院64得到后，很容易找到的頻譜

在滿足B條件