2024年高考數(shù)學命題熱點全覆蓋專題07導(dǎo)數(shù)有關(guān)的構(gòu)造函數(shù)方法文

PAGEPAGE1專題07導(dǎo)數(shù)有關(guān)的構(gòu)造函數(shù)方法一．學問點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①(C)′＝________(C為常數(shù));②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝________；⑤(eq\r(x))′＝________．(2)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．5．導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝____________________________．6．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，假如通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這兩個函數(shù)(函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x))的復(fù)合函數(shù)為y＝f(g(x))．(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為___________________，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．二．題型分析1.構(gòu)造多項式函數(shù)2.構(gòu)造三角函數(shù)型3.構(gòu)造形式的函數(shù)4.構(gòu)造成積的形式5.與有關(guān)的構(gòu)造6.構(gòu)造成商的形式7.對稱問題（一）構(gòu)造多項式函數(shù)例1．已知函數(shù)滿意，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，則，所以函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即，依據(jù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，可知，故選D.考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值與最值等學問點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的實力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，本題的解答中依據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答問題的關(guān)鍵，屬于中檔試題.練習1.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對于隨意的實數(shù)，都有，當時，.若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A考點：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.【思路點睛】因為，設(shè)，則，可得為奇函數(shù)，又，得在上是減函數(shù)，從而在上是減函數(shù)，在依據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得，由此即可求出結(jié)果.練習2.設(shè)奇函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù),且在上,若,則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，因為，所以函數(shù)的奇函數(shù)，因為時，，所以函數(shù)在為減函數(shù)，又題意可知，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即，所以，所以，故選B.考點：函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、以及函數(shù)的奇偶性的判定等學問點的綜合考查，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，以及學生的推理與運算實力，屬于中檔試題，解答中得出函數(shù)的奇函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵.練習3.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對隨意，都有，且時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則，則，得為上的奇函數(shù)．∵時，，故在單調(diào)遞增，再結(jié)合及為奇函數(shù)，知在為增函數(shù)，又則，即．故選B．考點：函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.【方法點晴】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，然后構(gòu)造函數(shù)，通過新函數(shù)的性質(zhì)把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式來求解.本題解答的關(guān)鍵是由已知條件進行聯(lián)想，構(gòu)造出新函數(shù)，然后結(jié)合來探討函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再通過要解的不等式構(gòu)造，最終得到關(guān)于的不等式，解得答案.（二）構(gòu)造三角函數(shù)型例2．已知函數(shù)的定義域為,為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，且，.則下列說法肯定正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，則.因為當時，，即，所以，所以在上單調(diào)遞增.又，，所以，所以，故為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以.即，故選B.考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）函數(shù)的綜合應(yīng)用.練習1．已知函數(shù)對隨意的滿意（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)g（x）在單調(diào)遞增，則，，即，故A正確．，即考點：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性練習2．定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則（）A.B.C．D.【答案】D【解析】在區(qū)間上，有，即令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.令，則有，D選項正確.考點：1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)；2、構(gòu)造函數(shù)法．【思路點晴】本題有兩個要點，第一個要點是“切化弦”，在不少題目中，假如遇到，往往轉(zhuǎn)化為來思索；其次個要點是構(gòu)造函數(shù)法，題目中，可以化簡為，這樣我們就可以構(gòu)造一個除法的函數(shù)，而選項正好是推斷單調(diào)性的問題，順勢而為.（三）構(gòu)造形式的函數(shù)例3．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且對恒成立，則下列函數(shù)在實數(shù)集內(nèi)肯定是增函數(shù)的為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)，則.對恒成立，且.在上遞增，故選D.考點：1、函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性.練習1.設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，且，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】依題意，構(gòu)造函數(shù)，由，得，考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)法．【思路點晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.構(gòu)造函數(shù)法是在導(dǎo)數(shù)題目中一個常用的解法.方程的有解問題就是推斷是否存在零點的問題，可參變分別，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分別的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．練習2.已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，且，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集是（）A．B．C．D．【答案】C考點：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性.【方法點晴】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．結(jié)合已知條件中的以及所求結(jié)論可知應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解.練習3．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對隨意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價于，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性.【方法點晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問題的實力，屬于中檔題．常見的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，即得，當是形如時構(gòu)造；當是時構(gòu)造，在本題中令，（），從而求導(dǎo)，從而可推斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集．練習4.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿意，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則∴函數(shù)是上的減函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴函數(shù)∴函數(shù)關(guān)于對稱，∴原不等式等價為∴不等式等價即∵是上的減函數(shù)，∴．∴不等式式的解集為．選D考點：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．解題時依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵練習5．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，且，則的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)，則，所以（為常數(shù)），則，由，，所以，又由，所以即，即，解得．故選B．（四）構(gòu)造成積的形式例4．已知定義在上的函數(shù)滿意：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當時，（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）成立．若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知關(guān)于軸對稱,設(shè),當時,,在上為遞減函數(shù),且為奇函數(shù),在上是遞減函數(shù).,即,故選A.考點：函數(shù)的性質(zhì).【方法點睛】本題考查學生的是函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題目.從選項可以看出,要想比較的大小關(guān)系,須要構(gòu)造新函數(shù),通過已知函數(shù)的奇偶性,對稱性和單調(diào)性,推斷的各種性質(zhì),可得在上是遞減函數(shù).因此只需比較自變量的大小關(guān)系,通過分別對各個自變量與臨界值作比較,推斷出三者的關(guān)系,即可得到函數(shù)值得大小關(guān)系.練習1.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，，由于，故，為減函數(shù).原不等式即，故.考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，構(gòu)造函數(shù)．【思路點晴】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，構(gòu)造函數(shù)法.是一個常見的題型，題目給定一個含有導(dǎo)數(shù)的條件，這樣我們就可以構(gòu)造函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)恰好包含這個已知條件，由此可以求出的單調(diào)性，即函數(shù)為減函數(shù).留意到原不等式可以看成，利用函數(shù)的單調(diào)性就可以解出來.練習2．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴不等式的解集為．練習3.函數(shù)是定義在區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，則當時，，即，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，由，即，所以，所以不等式的解集為，故選C.（五）與有關(guān)的構(gòu)造例5.已知定義在實數(shù)集R的函數(shù)滿意（1）=4,且導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)t=lnx,則不等式化為，設(shè)g(x)=f(x)-3x-1,則。因為，所以<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。因為f(1)=4，所以g(1)=f(1)-3-1=0,所以當x>1時，g(x)<g(1)=0,此時g(x)=f(x)-3x-1<0,即不等式f(x)>3x+1的解為x<1，即不等式f(t)>3t+1的解集為t<1.由lnx<1得0<x<e。選D?？键c：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)，不等式。練習1.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù).若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由不等式啟發(fā)，可構(gòu)造函數(shù)，則，又由，得，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以，即，又，整理可得，.故正確答案選B.考點：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.【方法點晴】此題主要考查導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等方面的學問，屬于中高檔題.首先依據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，則有，可知在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，即，化簡整理即得正確答案.（六）構(gòu)造成商的形式例6.已知在上非負可導(dǎo)，且滿意，對于隨意正數(shù)，若，則必有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù),則由可知函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),因為,所以,即,也即,因此應(yīng)選D．考點：導(dǎo)數(shù)的運算和敏捷運用．【易錯點晴】本題是一道抽象型的函數(shù)性質(zhì)推斷題.考查的是運用所學學問去分析問題和解決問題的實力.解答本題的難點是不清晰函數(shù)的解析式也無法弄清晰,所以具有較大的難度.求解時通過深刻的視察和抽象概括,先構(gòu)造一個新的函數(shù),然后再帶該函數(shù)進行求導(dǎo),借助題設(shè)中的條件,推斷出函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).從而運用單調(diào)函數(shù)的定義使得本題奇妙獲解.練習1.已知函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù)，當時，有，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】令.，即當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故在區(qū)間上有一個交點.即的零點個數(shù)是.考點：1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；2.零點.【思路點晴】零點問題一種解法是變?yōu)閮蓚€函數(shù)圖象的交點，如本題中的的零點，可以轉(zhuǎn)化為，也就是左右兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，通過已知條件分析,即當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，由此推斷這兩個函數(shù)在區(qū)間上有一個交點.練習2.．已知定義在上的函數(shù)滿意，當時，下面選項中最大的一項是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則，又，所以最大的一項是，選B.考點：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性【方法點睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)探討對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)須要構(gòu)造.構(gòu)造協(xié)助函數(shù)常依據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等練習3.已知是定義在上的減函數(shù)，而滿意，其中為的導(dǎo)數(shù)，則（）A．對隨意的B．對隨意的C．當且僅當D．當且僅當【答案】B【解析】由題意恒成立，由得．令得，又為減函數(shù)，所以當時，，而當時，由得，從而，綜上有當時，．故選B．練習4.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿意f（0）=﹣1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿意f′（x）＞k＞1，則下列結(jié)論中肯定錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念得出＞k＞1，用x=代入可推斷出f（）＞，即可推斷答案．解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，當x=時，f（）+1＞