安徽省長豐縣高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.1 變化率與導數(shù) 3.1.1 變化率問題教學設計 新人教A版選修1-1

安徽省長豐縣高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.1變化率與導數(shù)3.1.1變化率問題教學設計新人教A版選修1-1科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）安徽省長豐縣高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.1變化率與導數(shù)3.1.1變化率問題教學設計新人教A版選修1-1設計意圖嗨，親愛的同學們，今天我們要一起探索導數(shù)的奧秘，走進“變化率與導數(shù)”的世界。這節(jié)課，我們要從生活中的實際現(xiàn)象出發(fā)，用數(shù)學的語言描述和解決變化率問題。我會通過生動的故事和實例，讓大家感受到導數(shù)的魅力，激發(fā)你們探索數(shù)學的熱情。讓我們一起，用數(shù)學的眼睛觀察世界，用導數(shù)的力量解決問題吧！??????核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力，通過分析變化現(xiàn)象，理解導數(shù)概念；提升邏輯推理能力，在解決實際問題中運用導數(shù)；增強數(shù)學建模意識，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型；提高數(shù)學運算能力，準確計算導數(shù)值；增強應用意識，將導數(shù)知識應用于解決實際問題，提高解決實際問題的能力。學情分析同學們，進入高中階段，大家已經(jīng)具備了一定的數(shù)學基礎，對函數(shù)、極限等概念有了初步的認識。在本章節(jié)的學習中，學生層次多樣，部分同學對數(shù)學概念的理解較為深入，能夠獨立分析問題，而部分同學可能對抽象的數(shù)學概念感到困惑。

從知識層面來看，同學們對函數(shù)性質(zhì)、極限概念有一定了解，但導數(shù)作為連接函數(shù)與變化率的關鍵概念，對于部分同學來說可能較為抽象。在能力方面，同學們的數(shù)學運算能力、邏輯推理能力、問題解決能力參差不齊，這對于導數(shù)及其應用的學習有一定影響。

在素質(zhì)方面，同學們的學習習慣和自主學習能力各不相同。有的同學能夠主動探究問題，積極思考，而有的同學可能依賴教師講解，缺乏獨立思考的能力。此外，同學們的行為習慣也對課程學習產(chǎn)生影響，如課堂參與度、作業(yè)完成質(zhì)量等。

綜合以上分析，本章節(jié)的教學設計應充分考慮學生的個體差異，通過生動有趣的教學案例，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)他們的數(shù)學抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學建模能力，同時注重培養(yǎng)良好的學習習慣和自主學習能力，為后續(xù)課程的學習打下堅實基礎。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節(jié)課所需的新人教A版選修1-1教材。

2.輔助材料：準備與變化率問題相關的圖片、圖表，以及解釋導數(shù)概念的動畫視頻。

3.實驗器材：準備計算器、坐標紙等，以輔助學生進行導數(shù)計算和圖形分析。

4.教室布置：設置分組討論區(qū)，方便學生進行合作學習；在黑板上預留空間，用于展示解題步驟和關鍵公式。教學過程【導入新課】

同學們，今天我們要一起揭開導數(shù)的神秘面紗，探索它在數(shù)學世界中的重要作用。請大家回顧一下，我們在學習函數(shù)時，如何描述函數(shù)的變化趨勢？是的，我們通過斜率來描述。那么，當函數(shù)變化得非?？鞎r，斜率會怎樣變化呢？這就引出了我們今天要學習的“變化率與導數(shù)”。

【新課講授】

1.變化率的概念

（1）首先，我會通過一個簡單的例子來引入變化率的概念。比如，一輛汽車在直線公路上行駛，我們想知道它在某一時刻的速度。這時，我們可以通過計算汽車在極短時間內(nèi)的位移變化來近似地得到它的速度，這個速度就是位移變化率。

（2）接下來，我會引導學生思考如何用數(shù)學語言來描述變化率。我們通過極限的思想，將時間間隔趨近于零，從而得到函數(shù)在某一點的瞬時變化率，也就是導數(shù)。

2.導數(shù)的計算

（1）我會講解導數(shù)的定義，并通過實例演示如何計算一個函數(shù)在某一點的導數(shù)。例如，對于函數(shù)f(x)=x^2，我們?nèi)绾吻骹'(x)？

（2）接著，我會介紹導數(shù)的基本運算法則，如冪函數(shù)的導數(shù)、和差乘除的導數(shù)法則等，并輔以例題進行講解。

3.導數(shù)的應用

（1）我會帶領同學們通過實例，了解導數(shù)在解決實際問題中的應用。例如，利用導數(shù)求函數(shù)的最值、極值點等。

（2）此外，我還會介紹導數(shù)在物理學、經(jīng)濟學等領域的應用，讓學生認識到導數(shù)的重要性。

【課堂活動】

1.小組討論

（1）我會將同學們分成小組，讓他們討論如何將導數(shù)應用于解決實際問題。每個小組可以選擇一個實例，共同研究并解決問題。

（2）在討論過程中，我會鼓勵同學們積極發(fā)言，分享自己的思路和方法。

2.課堂練習

（1）我會給出一些關于導數(shù)的練習題，讓學生在課堂上進行解答。

（2）在解答過程中，我會巡視教室，及時解答同學們的疑問，確保他們能夠掌握導數(shù)的計算和應用。

【課堂總結(jié)】

1.回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，強調(diào)導數(shù)在數(shù)學和實際生活中的重要性。

2.提醒同學們在課后復習導數(shù)的定義、計算和應用，為下一節(jié)課的學習做好準備。

【課后作業(yè)】

1.完成課后練習題，鞏固本節(jié)課所學知識。

2.查閱相關資料，了解導數(shù)在其他領域的應用。

3.思考如何將導數(shù)應用于解決實際問題，并嘗試自己動手解決一個實際問題。

【教學反思】

在本節(jié)課的教學過程中，我注重引導學生從實際問題出發(fā)，理解導數(shù)的概念和應用。通過小組討論和課堂練習，同學們積極參與，提高了他們的數(shù)學思維能力和問題解決能力。在今后的教學中，我將繼續(xù)關注學生的個體差異，采用多種教學方法，激發(fā)學生的學習興趣，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)。教學資源拓展1.拓展資源：

-導數(shù)的幾何意義：可以引入微積分的基本思想，通過極限的概念來解釋導數(shù)在幾何上的意義，例如，導數(shù)可以看作是曲線在某一點的切線斜率。

-導數(shù)的物理意義：探討導數(shù)在物理學中的應用，如速度、加速度等概念，以及它們?nèi)绾瓮ㄟ^導數(shù)來描述。

-導數(shù)的經(jīng)濟學意義：介紹導數(shù)在經(jīng)濟學中的運用，如邊際成本、邊際效用等概念，以及它們?nèi)绾螏椭治鼋?jīng)濟行為。

-導數(shù)的工程學意義：展示導數(shù)在工程學中的應用，如設計最優(yōu)路徑、優(yōu)化設計參數(shù)等。

2.拓展建議：

-對于對數(shù)學感興趣的同學，可以推薦閱讀《微積分入門》等書籍，以更深入地理解導數(shù)的概念和微積分的基本原理。

-對于希望將數(shù)學知識應用于實際問題的同學，可以建議他們參與數(shù)學建模競賽，通過解決實際問題來提高應用能力。

-對于對物理、經(jīng)濟學或工程學感興趣的同學，可以分別閱讀相關的科普書籍或?qū)I(yè)教材，了解導數(shù)在這些領域的具體應用。

-可以組織學生觀看與導數(shù)相關的TED演講或教育視頻，這些資源通常能夠以生動的方式解釋復雜的數(shù)學概念。

-鼓勵學生利用在線教育平臺，如Coursera、edX等，參加微積分相關的在線課程，這些課程通常提供詳細的講解和練習題。

-安排學生進行小組研究項目，讓他們選擇一個感興趣的領域，研究導數(shù)在該領域的應用，并制作報告或演示文稿進行展示。

-鼓勵學生參與數(shù)學興趣小組或俱樂部，與志同道合的同學一起探討數(shù)學問題，共同進步。

-提供一些開放性問題，讓學生思考如何將導數(shù)應用于解決生活中的問題，如優(yōu)化旅行路線、計算投資回報等。板書設計①變化率的概念

-變化率：描述函數(shù)在某一點附近的變化快慢程度

-瞬時變化率：函數(shù)在某一點的瞬時變化快慢程度

-導數(shù)：函數(shù)在某一點的瞬時變化率

②導數(shù)的定義

-極限的定義

-導數(shù)的定義公式

-導數(shù)的幾何意義：曲線在某一點的切線斜率

③導數(shù)的計算

-基本導數(shù)公式

-冪函數(shù)的導數(shù)

-和差乘除的導數(shù)法則

-復合函數(shù)的導數(shù)

④導數(shù)的應用

-求函數(shù)的最值、極值點

-曲線的凹凸性

-切線方程與法線方程

-變化率問題

-導數(shù)在經(jīng)濟、物理等領域的應用典型例題講解【例題1】

已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，求f'(x)。

解：根據(jù)導數(shù)的定義和冪函數(shù)的導數(shù)公式，我們有：

f'(x)=d/dx(2x^3)-d/dx(3x^2)+d/dx(4x)+d/dx(1)

=6x^2-6x+4。

【例題2】

求函數(shù)f(x)=e^x-sin(x)在x=0處的導數(shù)。

解：根據(jù)導數(shù)的定義和基本導數(shù)公式，我們有：

f'(x)=d/dx(e^x)-d/dx(sin(x))

=e^x-cos(x)。

將x=0代入，得到f'(0)=e^0-cos(0)=1-1=0。

【例題3】

已知函數(shù)f(x)=ln(x)+x^2，求f'(x)。

解：根據(jù)導數(shù)的定義和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式，我們有：

f'(x)=d/dx(ln(x))+d/dx(x^2)

=1/x+2x。

【例題4】

求函數(shù)f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-x+1在x=2處的導數(shù)。

解：根據(jù)導數(shù)的定義和冪函數(shù)的導數(shù)公式，我們有：

f'(x)=d/dx(3x^4)-d/dx(2x^3)+d/dx(5x^2)-d/dx(x)+d/dx(1)

=12x^3-6x^2+10x-1。

將x=2代入，得到f'(2)=12*2^3-6*2^2+10*2-1=96-24+20-1=91。

【例題5】

求函數(shù)f(x)=cos(x)*e^x的導數(shù)。

解：這是一個乘積函數(shù)，我們需要應用乘積法則來求導。乘積法則指出，如果有兩個函數(shù)u(x)和v(x)，那么它們的乘積的導數(shù)為：

(uv)'=u'v+uv'。

在這個例子中，u(x)=cos(