自動(dòng)控制原理（7-1）學(xué)習(xí)資料

自動(dòng)控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院第七章線性離散系統(tǒng)的分析7.1離散系統(tǒng)的基本概念7.2信號(hào)的采樣與保持7.3z變換理論7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差7.6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析7.1離散系統(tǒng)的基本概念一、基本概念連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)。離散時(shí)間系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼。采樣控制系統(tǒng)：離散信號(hào)是脈沖序列；數(shù)字控制系統(tǒng)：離散信號(hào)是數(shù)字序列。數(shù)字控制系統(tǒng)也稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。二、采樣控制系統(tǒng)一般來說，采樣系統(tǒng)是對(duì)來自傳感器的連續(xù)信號(hào)在某些規(guī)定的時(shí)間瞬時(shí)上取值。如果在有規(guī)律的間隔上，系統(tǒng)取到了離散信息，則這種采樣稱為周期采樣。如果信息之間的間隔是時(shí)變的或隨機(jī)的，則稱為非周期采樣或隨機(jī)采樣。本章僅討論周期采樣。如果系統(tǒng)中有幾個(gè)采樣器，則假定它們是同步等周期的。例7-1

下圖是爐溫采樣控制系統(tǒng)原理圖。圖7-1爐溫采樣控制系統(tǒng)原理圖工作原理如下：當(dāng)爐溫θ偏離給定值時(shí)，測(cè)溫電阻的阻值發(fā)生變化，使電橋失去平衡，這時(shí)檢流計(jì)指針發(fā)生偏轉(zhuǎn)，其偏轉(zhuǎn)角度為s。檢流計(jì)每隔T秒與電位器接觸一次，每次接觸時(shí)間為τ，即T為采樣周期，τ為采樣持續(xù)時(shí)間。當(dāng)爐溫連續(xù)變化時(shí)，電位器的輸出是一串寬度為τ的脈沖信號(hào)eτ*(t)，如圖7-2所示,eτ*經(jīng)放大器、電動(dòng)機(jī)及減速器去控制閥門開度φ，以改變加熱氣體的進(jìn)氣量，使?fàn)t溫趨于給定值。圖7-2電位器的輸出電壓只有當(dāng)檢流計(jì)的指針與電位器接觸時(shí)，電動(dòng)機(jī)才在采樣信號(hào)作用下產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行爐溫調(diào)節(jié)；而在檢流計(jì)與電位器脫開時(shí)，電動(dòng)機(jī)就停止不動(dòng)，保持一定的閥門開度，等待爐溫緩慢變化。因此，電動(dòng)機(jī)時(shí)轉(zhuǎn)時(shí)停，使調(diào)節(jié)過程中超調(diào)現(xiàn)象大為減小，甚至在采用較大開環(huán)增益情況下，不但能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，而且能使?fàn)t溫調(diào)節(jié)過程無超調(diào)。爐溫控制過程中，如果采用連續(xù)控制方式，則無法解決控制精度與動(dòng)態(tài)性能之間的矛盾。因?yàn)闋t溫調(diào)節(jié)是一個(gè)大慣性過程，當(dāng)加大開環(huán)增益以提高控制精度時(shí)，由于系統(tǒng)的靈敏度相應(yīng)提高，在爐溫低于給定值的情況下，電動(dòng)機(jī)將迅速增大閥門開度，給爐子供應(yīng)更多的加熱氣體，但爐溫上升緩慢，在爐溫升到給定值時(shí)，電動(dòng)機(jī)已將閥門的開度開得更大了，從而爐溫繼續(xù)上升，結(jié)果造成反方向調(diào)節(jié)，引起爐溫振蕩性調(diào)節(jié)過程。在爐溫高于給定值的情況下，具有類似調(diào)節(jié)過程。圖7-3采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為脈沖序列的過程稱為采樣過程，簡(jiǎn)稱采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置采樣器，或采樣開關(guān)。在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)的過程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置保持器。以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。采樣開關(guān)的功能是通過計(jì)算機(jī)程序來實(shí)現(xiàn)的。模擬信號(hào)經(jīng)A/D采樣器轉(zhuǎn)換后，不僅在時(shí)間上離散，在幅值上也是離散的，稱為數(shù)字信號(hào)。圖7-4

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型原理圖三、數(shù)字控制系統(tǒng)假定所選擇的A/D轉(zhuǎn)換器有足夠的字長(zhǎng)來表示數(shù)碼，量化單位足夠小，所以由量化引起的幅值斷續(xù)性可以忽略。假定編碼過程是瞬時(shí)完成的，可用理想脈沖的幅值等效代替數(shù)字信號(hào)的大小，則A/D轉(zhuǎn)換器可以用周期為T的理想開關(guān)來代替。同理，D/A轉(zhuǎn)換器可以用保持器代替，其傳遞函數(shù)為Gh(s)。數(shù)字控制器的功能是按照一定的控制規(guī)律將采樣后的誤差信號(hào)加工成所需要的數(shù)字信號(hào)，并以一定的周期T給出運(yùn)算后的數(shù)字信號(hào)，因此可以等效為一個(gè)傳遞函數(shù)為Gc(s)的脈沖控制器與一個(gè)周期為T的理想開關(guān)相串聯(lián)。令被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為G0(s)，測(cè)量元件的傳遞函數(shù)為H(s)，則圖7-4的等效采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-5所示。圖7-5

數(shù)字控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖四、離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置，效果比連續(xù)式校正裝置好，且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。采樣信號(hào)，特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。允許采用高靈敏度的控制元件，以提高系統(tǒng)的控制精度。可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高了設(shè)備的利用率，經(jīng)濟(jì)性好。對(duì)于具有傳輸延遲，特別是大延遲的控制系統(tǒng)，可以引入采樣的方式穩(wěn)定。7.2信號(hào)的采樣與保持一、采樣過程圖7-6實(shí)際采樣過程采樣器（采樣開關(guān)）：把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的裝置。采樣過程：可以用如圖7-6所示的一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān)S來表示。采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次，閉合的持續(xù)時(shí)間為τ。考慮到采樣開關(guān)的閉合時(shí)間τ非常小，一般遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)。因此，可以認(rèn)為τ=0，采樣器就可以用一個(gè)理想采樣器來代替。圖7-7理想采樣過程（7-1）輸入模擬信號(hào)經(jīng)過理想采樣器的過程相當(dāng)于調(diào)制在載波上的結(jié)果，各脈沖強(qiáng)度（即面積）用其高度表示，且為相應(yīng)采樣時(shí)刻e(t)的幅值故式（7-1）可改寫為采樣開關(guān)的周期性動(dòng)作相當(dāng)于產(chǎn)生一串理想脈沖序列：因?yàn)橹辉诓蓸铀查g時(shí)才有意義，故上式也可寫成(7-2)(7-3)二、采樣過程的數(shù)學(xué)描述1.采樣信號(hào)的拉氏變換對(duì)采樣信號(hào)e*(t)的拉氏變換，可得根據(jù)拉氏變換的位移定理，有所以，采樣信號(hào)e*(t)的拉氏變換(7-4)(7-5)說明：上式可以直接看出e*(t)的時(shí)間響應(yīng)，但由于e*(t)只描述了e(t)在采樣瞬時(shí)的數(shù)值，所以E*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)e(t)在采樣間隔之間的信息；如果e(t)是一個(gè)有理函數(shù)，則無窮級(jí)數(shù)E*(s)也總是可以表示成eTs的有理函數(shù)形式；在求E*(s)的過程中，初始值通常規(guī)定采用e(0+)。例7-2

設(shè)e(t)=1(t)，試求e*(t)的拉氏變換。解由式（7-5），有這是一個(gè)無窮等比級(jí)數(shù)，公比為e-Ts,求和后得閉合形式顯然，E*(s)是eTs的有理函數(shù)。例7-3

設(shè)e(t)=e-t－e-2t，試求e*(t)的拉氏變換。解對(duì)于給定的e(t)，顯然有而由式（7-5），可得上述分析表明：只要E(s)可以表示為s的有限次多項(xiàng)式之比時(shí)，總可以得到E*(s)的閉合形式。如果用拉氏變換法研究離散系統(tǒng)，盡管可以得到eTs的有理函數(shù)，但卻是一個(gè)復(fù)變量s超越函數(shù)，不便于進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。為了克服這一困難，通常采用z變換法研究離散系統(tǒng)。z變換可以把離散系統(tǒng)的s超越方程變換為變量z的代數(shù)方程。2.采樣信號(hào)的頻譜由于采樣信號(hào)的信息并不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息，所以采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比，會(huì)發(fā)生變化。研究采樣信號(hào)的頻譜，目的是找出E*(s)與E(s)之間的相互聯(lián)系。理想單位脈沖序列δT(t)是一個(gè)周期函數(shù)，可以展開為如下傅氏級(jí)數(shù)形式：式中ωs=2π/T，為采樣角頻率；cn是傅氏系數(shù)，其值為(7-6)由于在[-T/2，T/2]區(qū)間中，δT(t)僅在t=0時(shí)有值，且所以將式（7-7）代入（7-6），得(7-7)(7-8)上式兩邊取拉氏變換，由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理得再把式（7-8）代入（7-1），有上式中，如果E*(s)沒有右半s平面的極點(diǎn)，則可令s=jω，得到采樣信號(hào)e*(t)的傅氏變換：(7-9)(7-10)(7-11)一般說來，連續(xù)信號(hào)e(t)的頻譜|E(jω)|是單一的連續(xù)頻譜，如圖7-8所示，其中ωm為連續(xù)頻譜|E(jω)|中的最大角頻率。采樣信號(hào)e*(t)的頻譜|E*(jω)|是以采樣角頻率的ωs為周期的無窮多個(gè)頻譜之和，如圖7-9所示。n=0的頻譜稱為采樣頻譜的主分量，它與連續(xù)頻譜|E

(jω)|形狀一致，僅在幅值上變化了1/T倍；其余頻譜都是由于采樣而引起的高頻頻譜，稱為采樣頻譜的補(bǔ)充分量。圖7-8連續(xù)信號(hào)頻譜圖7-9采樣信號(hào)頻譜(ωs>2ωm)圖7-10采樣信號(hào)頻譜(ωs=2ωm)ωm-ωm0ωs-ωsωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs圖7-11采樣信號(hào)頻譜(ωs<2ωm)圖7-10為ωs=2ωm時(shí)的采樣信號(hào)頻譜。當(dāng)ωs<2ωm時(shí)，采樣頻譜中的補(bǔ)充分量相互交疊，致使采樣器輸出信號(hào)發(fā)生畸變，如圖7-11所示。三、香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理:如果被采樣的連續(xù)信號(hào)e(t)的頻譜為有限寬，且頻譜的最大寬度為ωm

，則使連續(xù)信號(hào)e(t)可以不失真地從采樣信號(hào)e*(t)中恢復(fù)出來的采樣角頻率ωs

滿足下列條件：(7-12)在滿足香農(nóng)采樣定理的條件下，要想不失真地復(fù)現(xiàn)采樣器的輸入信號(hào)，需要采用圖7-12所示的理想濾波器。圖7-12理想濾波器的頻率特性理想的低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，在實(shí)際應(yīng)用中只能用非理想的低通濾波器來代替理想的低通濾波器。四、采樣周期的選擇采樣周期T選得越小，即采樣頻率ωs選得越高，對(duì)控制過程的信息便獲得越多，控制效果越好。采樣周期選得過小，將增加不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)，造成實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜控制規(guī)律的困難；采樣周期選得過大，又會(huì)給控制過程帶來較大誤差，降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，甚至有可能導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)失去穩(wěn)定。工程實(shí)踐表明，根據(jù)表7-1給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果。表7-1工業(yè)過程采樣周期T的選擇控制過程采樣周期T/s流量1壓力5液面5溫度20成分20五、保持器

連續(xù)信號(hào)經(jīng)過采樣器后轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)，經(jīng)由脈沖控制器處理后仍然是離散信號(hào)，而采樣控制系統(tǒng)的連續(xù)部分只能接收連續(xù)信號(hào)，因此需要保持器來將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。1.保持器的數(shù)學(xué)描述保持器是具有外推功能的元件。保持器的外推作用，表現(xiàn)為現(xiàn)在時(shí)刻的輸出信號(hào)取決于過去時(shí)刻離散信號(hào)的外推。通常，采用如下多項(xiàng)式外推公式描述保持器：(7-13)上式表示，現(xiàn)在時(shí)刻的輸出e(nT+Δt)值，取決于Δt=0，－T，－2T，…，－mT各過去時(shí)刻的離散信號(hào)e*

(nT)，e*

[(n－1)T]，e*

[(n－2)T],…,e*

[(n－m)T]的(m+1)個(gè)值。ai(i=0，1，2，…，m)唯一地由過去各采樣時(shí)刻(m+1)個(gè)離散信號(hào)e*

[(n－i)T]來確定。若取m=0，則稱零階保持器；若取m=1，則稱一階保持器。在工程實(shí)踐中，普遍采樣零階保持器。零階保持器是一種按常值外推的保持器，它把前一采樣時(shí)刻nT的采樣值e(nT)一直保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T到來之前，從而使采樣信號(hào)e*(t)變成階梯信號(hào)。2.零階保持器零階保持器的外推公式為：顯然，Δt=0時(shí)，上式也成立。所以從而，零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：(7-14)圖7-13零階保持器的輸入和輸出信號(hào)的關(guān)系零階保持器的輸入和輸出信號(hào)的關(guān)系如圖7-13所示。

可見，零階保持過程是由于理想脈沖e(nT)δ(t－nT)的作用結(jié)果。上式取拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數(shù)：圖7-14零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如果給零階保持器一個(gè)理想單位脈沖δ(t)，則其脈沖過渡函數(shù)gh(t)是幅值為1持續(xù)時(shí)間為T的矩形脈沖，并可分解為兩個(gè)單位階躍函數(shù)的和：(7-15)令式(7-15)