一元二次方程及其應(yīng)用（講義）解析版-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題07一元二次方程及其應(yīng)用的核心知識點(diǎn)精講

o復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解一元二次方程的概念，并會(huì)用直接配開平方法、因式分解法、公式法和配方法

解一元二次方程；

2.會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)數(shù)根和兩根是否相等；

3.了解根與系數(shù)的關(guān)系，能解決與根有關(guān)的代數(shù)式求值題；

4.能列一元二次方程解實(shí)際問題；并能結(jié)合具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性

O考點(diǎn)植理O

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程

—二)欠方程

TS形式：ax2+bx+c=0(a#0)

(1)如x'p(pzo)或(nx+my=p(p2o題一元二次方程可直接采用直接開平方解

一元二次方程。

(2)如果化成X、P的形式，那么可得*=±4

直接開平方

(3)如果方程能化成(nx+〃7)'=P(pA0加形式，那么nx+m=土而，進(jìn)而得出方程的根

(1)把方程化成T形式，奴2+以+C=C(注意凡6C的符號)

(2)求出判別式，△=62-4ac

公式法-----般步驟」⑶在A=b24acN0(注：此處△讀“德爾塔”)的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式

\=上正-生虛壬進(jìn)行計(jì)算，求出方程的根.

一元二次方程的解法2a2a

，①化為一般形式；

②移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

配方法一般步驟「③化二次項(xiàng)系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；

④配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a)2=b的形式;

⑤如果b20就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果bso,則原方程無解.

(1)移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

千小翻(2)將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次多項(xiàng)式的乘積；

因式力解(3)令每個(gè)因式分別為零；

(4)兩個(gè)因式分別為零的解就都是原方程的解。

1.b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

欠方程的根

的判別式與對應(yīng)-2.b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

次方程根的關(guān)系13.b2-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

列一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用的步驟：審，設(shè)，歹力解，驗(yàn)，答

一元二次方程的應(yīng)用

常見類型

典例引領(lǐng)

【題型i：一元二次方程的解法】

【典例1】(2024?青海?中考真題)(1)解一元二次方程：X2-4X+3=0；

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.

【答案】⑴久=1或x=3

(2)第三邊的長是VIU或2五

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個(gè)是直角邊，一個(gè)是斜邊，再用勾股定理分別計(jì)

算即可.

【詳解】解：(1)X2-4X+3=0

(x-1)(x-3)=0

x=1或％=3；

(2)當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時(shí)，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為432+12=36；

當(dāng)一條直角邊為1,斜邊為3時(shí)，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為62-12=2衣.

答：第三邊的長是V56或2五.

⑤弓即時(shí)檢測

1.(2024?江蘇徐州?中考真題)(1)解方程：x2+2x-l=0；

(3無一1<8

(2)解不等式組X+1X.

I32

-

【答案】(1)x1-V2l>x2--V2-1

(2)2Vx<3

【分析】本題考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式組，熟練掌握解法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用配方法解方程即可；

(2)分別解不等式①、②，然后找出它們的公共部分即可求出不等式組的解集.

【詳解】解：(1)X2+2X-1=0,

X2+2X=1,

久2+2x+1=1+1,

(X+1)2=2,

X+1=±V2-

=叁_1，X2=-V2-I；

f3x-l<8?

⑵■[亨②，

解不等式①，得x<3,

解不等式②，得x>2,

所以不等式組的解集是2<x<3.

典例引領(lǐng)

【題型2：一元二次方程的判別式及應(yīng)用】

【典例2](2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)關(guān)于x的一元二次方程⑺-2)/+4尤+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

則m的取值范圍是()

A.m<4B.m>4C.m2—4且?？172D.mW4且m42

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據(jù)一元二次方程。/+欣+。=0缶。0)的根的判別式

△=Z)2-4ac的意義得到血一2W0且4>0,即4?一4x(m-2)X2>0,然后解不等式組即可得到m的取值

范圍.

【詳解】解：,??關(guān)于久的一元二次方程(租一2)/+4%+2=。有實(shí)數(shù)根，

??.m—2。0且4>0,

即4?—4x(m-2)X2>0,

解得：m<4,

zn的取值范圍是m<4且mW2.

故選：D.

即時(shí)檢測

1.(2024?山東濟(jì)南?中考真題)若關(guān)于％的方程-血=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

11

A.m<--B.m>—-C.m<—4D.m>—4

44

【答案】B

2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程a/+bx+c=0(a豐0)的根與△=b-4ac

有如下關(guān)系：①A>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②△=(),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③A<0,

方程沒有實(shí)數(shù)根，由題意得出△=(—1)2—4x1x(—m)>0,計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程久-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

2

.?.A=(-l)-4x1x(-m)>0,

1

解得：m>-

故選：B.

2.(2024?山東泰安?中考真題)關(guān)于％的一元二次方程2%2_3%+攵=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

()

A.k9B.k9C.k^.9—D./c<—9—

oooo

【答案】B

【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是A>0,據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：,??關(guān)于x的一元二次方程2，—3*+fc=0有實(shí)數(shù)根，

.?4=(—3)2—4x2k20,解得kW,

故選B.

3.(2024?江蘇徐州?中考真題)關(guān)于x的方程/+kx+l=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k值為.

【答案】k=+2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程a/+bx+c=0(aA0),當(dāng)A>0時(shí),

一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，一

元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

【詳解】解：???方程/+kx+l=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.-.A=0,即/—4Xlx1=0,

解得：k=±2,

故答案為：fc=±2.

④吵典例引領(lǐng)

【題型3：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用】

【典例3】(2024?山東德州?中考真題)已知。和6是方程公+2024%-4=0的兩個(gè)解，則+2023。-6的值

為.

【答案】2028

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根

與系數(shù)關(guān)系求得a?+2024。=4,a+b=-2024,再代值求解即可.

【詳解】解：*和b是方程久2+2024X-4=0的兩個(gè)解，

-'-a2+2024a—4=0,a+b=-2024,

.?■a2+2024cz=4,

?，.滔+2023a-b

=a?+2024a—(a+b)

=4-(-2024)

=4+2024

=2028,

故答案為：2028.

B即時(shí)檢測

1.（2024?四川巴中?中考真題）已知方程--2%+k=0的一個(gè)根為-2,則方程的另一個(gè)根為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.設(shè)方程的另一個(gè)根為冽，根據(jù)兩根之和等

于-2,即可得出關(guān)于加的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

a

【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為加，

??,方程式2—2%+k=0有一個(gè)根為—2,

.,-—2+m=2,

解得：m=4.

故答案為：4.

2.（2024?山東煙臺?中考真題）若一元二次方程2%2—4%-1=0的兩根為m,n,貝13nl?一4租+標(biāo)的值為.

【答案】6

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及利用完全平方公式求解，若修,%2是一元二次方程a/

+bx+c=0（a豐0）的兩根時(shí)，巧+%2=-3久/2=3熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

2

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=2,mn=2m-4m=1,再把3m2-4nl+"變形為2巾2―4nl+7n2

+n2,然后利用整體代入的方法計(jì)算，再利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：???一元二次方程2——4x—1=0的兩個(gè)根為n,

：.m+n=2,mn=2m2—4m=1

???3m2—4m+n2

=2m2—4m+m2+n2

=m2+n2+1

=（m+n）2—2mn+1

1

=227-2X（--）+1

=6

故答案為：6.

3.（2024?山東日照?中考真題）已知，實(shí)數(shù)%1猶2。1工％2）是關(guān)于％的方程區(qū)之+2入+1=0（女/0）的兩個(gè)根，

11

若g+[=2,則左的值為（）

X1x2

A.1B.—1C."D.——

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程以2+b%+c=O（awo）,若

卬犯是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則％1+久2=一1據(jù)此得到％1+%2==3再由g+搟

=2得到-2/c=2,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：,??％L%2是關(guān)于X的一元二次方程4%2+2而+1=。（々工0）的兩個(gè)根，

-1

???%]+血=_,優(yōu)1%2=工.

11

???——+—=2,

X1X2

.Xi+%2_

??xrx2一，

=2

k

-2k=2,

解得k=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)，k=-l是原分式方程的解，

故選：B.

典例引領(lǐng)

【題型4：一元二次方程的應(yīng)用】

【典例4】（2024?遼寧?中考真題）某商場出售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）與每件售價(jià)”

（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

每件售價(jià)%/元455565

日銷售量y/件554535

⑴求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量》的取值范圍）；

⑵該商品日銷售額能否達(dá)到2600元？如果能，求出每件售價(jià)：如果不能，請說明理由.

【答案】⑴y=—*+100；

⑵該商品日銷售額不能達(dá)到2600元，理由見解析。

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法

求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)利用銷售額=每件售價(jià)X銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即

可.

【詳解】(1)解：設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+6(fc*0),

將(45,55)，(55,45)代入V=kx+b得

C45fc+力=55

l55fc+6=45'

解得｛仁君，

??.y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=—久+100；

(2)解：該商品日銷售額不能達(dá)到2600元，理由如下：

依題意得x(-x+100)=2600,

整理得——lOOx+2600=0,

：.△=b2-4ac=(-100)2-4X1x2600=-400<0,

???該商品日銷售額不能達(dá)到2600元.

1.(2024?山東煙臺?中考真題)每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美

好生活"，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí),

每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，

但每輛輪椅的利潤不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價(jià)X元，每天的銷售利潤為y元.

⑴求V與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

(2)全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

【答案】⑴>=-靠2+20%+12000,每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為12240元

⑵這天售出了64輛輪椅

【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：

(1)根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；

(2)令y=12160,得到關(guān)于％的一元二次方程，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：y=(200—%)(60+盤x4)=—+20x+12000；

???每輛輪椅的利潤不低于180元，

.,.200—%>180,

/.%<20,

22

vy=-|x+20%+12000=-|(x-25)+12250,

二當(dāng)工<25時(shí)，y隨K的增大而增大，

.?.當(dāng)x=20時(shí)，每天的利潤最大，為1X（20—25）2+12250=12240元；

答：每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為12240元；

（2）當(dāng)y=12160時(shí)，-1%2+20%+12000=12160,

解得：=10,%2=4。（不合題意，舍去）；

1n

.■-60+—x4=64（輛）；

答：這天售出了64輛輪椅.

2.（2024?西藏?中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題

某商場響應(yīng)國家消費(fèi)品以舊換新的號召，開展了家電惠民補(bǔ)貼活動(dòng).四月份投入資金20萬元，六月份

投入資金24.2萬元，現(xiàn)假定每月投入資金的增長率相同.

⑴求該商場投入資金的月平均增長率；

（2）按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)該商場七月份投入資金將達(dá)到多少萬元？

【答案】⑴該商場投入資金的月平均增長率10%

⑵預(yù)計(jì)該商場七月份投入資金將達(dá)到26.62萬元

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)該商場投入資金的月平均增長率為X,根據(jù)“四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬

元"列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）根據(jù)（1）中求得的增長率，即可求得七月份投入資金.

【詳解】（1）解：設(shè)該商場投入資金的月平均增長率為X,

由題意得：20X（1+X）2=24.2,

解得：*1=0.1=10%,比2=—2.1（不符合題意，舍去），

,該商場投入資金的月平均增長率10%;

（2）解：24.2x（1+10%）=26.62（萬元）,

,預(yù)計(jì)該商場七月份投入資金將達(dá)到26.62萬元.

3.（2024?山東淄博?中考真題）"我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂！"隨著人們對身心健康的關(guān)注度越來越高.某市

參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人.

⑴求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率；

⑵為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，市政府決定從4公司購買某種套裝健身器材.該公司規(guī)定：若購買不超過

100套，每套售價(jià)1600元；若超過100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低40元.但最低售價(jià)不得少

于1000元.已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數(shù).

【答案】（1）該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為25%

⑵購買的這種健身器材的套數(shù)為200套

【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為X,根據(jù)從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人,

列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

（2）設(shè)購買的這種健身器材的套數(shù)為m套，根據(jù)市政府向該公司支付貨款24萬元，列出一元二次方程，

解之取符合題意的值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為刈

由題意得：32（1+%）2=50,

解得：巧=0.25=25%,*2=—2.25（不符合題意，舍去），

答：該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長率為25%；

（2）解：???1600X100=160000<240000元，

二購買的這種健身器材的套數(shù)大于100套，

設(shè)購買的這種健身器材的套數(shù)為6套，

由題意得：m（i600-x40）=240000,

整理得：m2-500m+60000=0,

解得：恤=200,^2=300,

當(dāng)zn=300時(shí)，售價(jià)=1600—40=800<1000元（不符合題意，故舍去），

答：購買的這種健身器材的套數(shù)為200套.

O好題沖關(guān)O

“弓基礎(chǔ)過關(guān)

1.（21-22八年級上?上海嘉定?期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2X2=5X-1B.%+|=2

C.（x-3）（x+1）=X2-5D.3x-y=5

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的概念，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)2的整式方程,

叫做一元二次方程；熟練掌握該知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可.

【詳解】解：A、是一元二次方程，故符合題意；

B、是分式方程，故不符合題意；

C、（x-3）Q+1）=/-5化簡后為2—2x=0,是一元一次方程，故不符合題意；

D、是二元一次方程，故不符合題意.

故選：A.

2.（24-25九年級上廣東廣州?期中）方程，+曜-8=0的根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

【答案】C

【分析】本題考查根的判別式，計(jì)算一元二次方程根的判別式，可以判斷該方程根的情況，即可求解.

【詳解】解："x2,+mx-Q=0

：A=m2-4x1x（-8）=m2+32>0

，方程三+mx-8=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：C.

3.（23-24九年級上?江蘇南京?期中）圖①是一張長28cm,寬16cm的矩形紙片，將陰影部分裁去（陰影部

分為4個(gè)完全相同的小矩形）并折疊成一個(gè)如圖②的底面積為80cm2的有蓋長方體盒子.設(shè)該盒子的

高為久cm,根據(jù)題意，可列方程為（）

A.(28—2x)(16—2x)=80B.(28-2X2x)(16-2x)=80

C.(|X28-2X)(16-2X)=80D.1(28-2x)(16-2x)=80

【答案】D

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，設(shè)該盒子的高為xcm,則紙盒底面的長為9

（28-2x）cm,寬為（16-2久）cm,根據(jù)"紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是80cm即可列出方程，找準(zhǔn)

等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵.

___1

【詳解】解：設(shè)該盒子的身為xcm,則紙盒底面的長為式28-2x）cm,寬為（16-2x）cm,

,??紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是80cm2,

???|（28-2x）（16-2x）=80,

故選：D.

4.（24-25九年級上?四川德陽?階段練習(xí)）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元.已知兩次

降價(jià)的百分率相同.要求每次降價(jià)的百分率，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,則得到的方程為（）

A.112（1—無心=63B.112（1+%）2=63

C.112（1--）=63D.112（1+/）=63

【答案】A

【分析】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，熟練的掌握由實(shí)際問題抽象出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得等量關(guān)系"原零售價(jià)X（1-百分比）（1-百分比）=降價(jià)后的售價(jià)”列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,由題意得：112（1—久）2=63.

故答案選：A.

5.（24-25九年級上?陜西西安?期中）關(guān)于x的一元二次方程依2+3久-1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是

（）

9999

A.k<——B.fc>—-C.k<——D.kN—.日A豐0

【答案】D

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根,

則A20列出不等式，解不等式即可，需要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

【詳解】解：由題意得匕32—4j普（-1）20.

解得kN—J且

故選D.

6.（24-25九年級上?湖北咸寧?階段練習(xí)）若當(dāng)、町是方程2-+3%+1=0的兩個(gè)根，則勺+犯的值是（）

313

A.-3B.—C.-D.——

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系"設(shè)巧，亞是一元二次方程+法+c=0缶A0）

的兩個(gè)根，則有句+利=-9優(yōu)。2=?，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.根據(jù)一

元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解即可得.

【詳解】解：??y1、牝是方程2/+3x+1=0的兩個(gè)根,

3

■'-X1+X2=—2>

故選：D.

7.（24-25九年級上?浙江臺州?階段練習(xí)）用配方法解方程/-6x-7=0,下列變形正確的是（）

A.（x+6）2=43B.（x-6）2=43C.（久+3心=16D.（%-3）2=16

【答案】D

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，先移項(xiàng)，得f-6x=7,再配方，即二

-6x4-9=7+9=16,即可作答.

【詳解】解：1■-X2-6X-7=0,

移項(xiàng),得%2-6%=7,

則配方，得一一6%+9=7+9=16,

即（x—3）2=16,

故選：D.

8.（24-25九年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）方程2/-4=0的解是

【答案】±2

【分析】本題考查解一元二次方程，先移項(xiàng)，再系數(shù)化1,最后利用直接開平方法求解，即可解題.

【詳解】解：2X2-4=0

2X2=4

x2=2

x=±2,

故答案為：±2.

9.(24-25九年級上?四川成都?期中)已知a,6是方程7+3x-7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則￡^-36+2024的值

是?

【答案】2040

【分析】本題考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

.b_c

X1+x2=X1X2=--

將代數(shù)式同時(shí)加上和減去3a,根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可得到答案.

【詳解】解：:a,b是方程/+3x-7=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

Q3

'-CL+3。-7=0,a+b=——=—3,

a2-3Z?+2024=a2+3a-3(a+b)+2024=7+9+2024=2040,

故答案為：2040.

10.(24-25九年級上?內(nèi)蒙古烏海?期末)若均,尤2是一元二次方程%2-2%-8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則巧句一巧一支2

的值是.

【答案】-10

【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：

X1+x2=2,X1X2

=-8,再把所求的式子進(jìn)行整理，代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可.

【詳解】解：???乙,犯是一元二次方程/—2%-8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

-,-x1+x2—2,X1%2=—8,

-

■■■x1x2-x1-x2-x1x2(x1+x2)=—8—2--10.

故答案為：-10.

11.(24-25九年級上?遼寧營口?階段練習(xí))小雅經(jīng)過培訓(xùn)后會(huì)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，回到班級后第一節(jié)課他教會(huì)了若

干個(gè)同學(xué)，第二節(jié)課會(huì)做的同學(xué)每人又教會(huì)了同樣多的同學(xué)，這樣全班共有36人會(huì)做這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，若設(shè)

1人每次能教會(huì)x名同學(xué)，則可列方程為.

【答案】1+x+%(1+%)=36

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用.設(shè)平均每節(jié)課一人教會(huì)x人，根據(jù)題意表示出兩節(jié)課

教會(huì)的人數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：設(shè)平均每節(jié)課一人教會(huì)X人，根據(jù)題意可得：

1+X+X(1+x)=36,

故答案為：1+尤+x(l+x)—36.

12.(24-25九年級上?浙江臺州?階段練習(xí))解方程：

(I)%2+2x-3=0；

(2)x(x-l)=3%.

［答案］⑴巧=-3,X2-1

(2)%i=0,x2=4

【分析】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型.

(1)根據(jù)因式分解法即可求出答案；

(2)展開并移項(xiàng)后，再根據(jù)因式分解法即可求出答案.

【詳解】(1)解:公+2久一3=0,

(x+3)(x-1)=0,

x+3=0或x—1=0,

???久1=-3,X2=1；

(2)解：%(%-1)=3%,

%2—x—3x=0,

X2-4X=0,

x(x-4)=0,

???x1=0,x2=4：

13.(24-25九年級上?四川內(nèi)江?階段練習(xí))超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了

擴(kuò)大銷售，增加盈利該店采取了降價(jià)措施，在讓顧客得到更大實(shí)惠的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)

現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件.

⑴若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為多少件；

(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元？

【答案】⑴平均每天銷售數(shù)量為32件.

⑵當(dāng)每件商品降價(jià)20元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平均每天的銷售量=20+2X每件商品降低的價(jià)格，即可求出結(jié)論；

(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元，則每件盈利(40-%)元，平均每天可售出(20+2x)元，利用總利潤=每件盈

利X平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合在讓顧客得到

更大實(shí)惠的前提下，即可得出每件商品應(yīng)降價(jià)20元.

【詳解】(1)解:根據(jù)題意得：20+2x6=20+12=32(件)，

答:平均每天銷售數(shù)量為32件.

(2)解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，則每件盈利(40-%)元，平均每天可售出(20+2x)元，依題意得：

(40-x)(20+2x)=1200,

整理得:久2-30x+200=0,

SP(x-10)(x-20)=0

解得：%i=10,x2—20,

要讓顧客得到更大實(shí)惠，

%=20.

答:當(dāng)每件商品降價(jià)20元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元.

統(tǒng)能力提升

1.(24-25九年級上?浙江?期中)拋物線丫=尢2+6%+。與苫軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則c的值為()

33

A.9B.-C.——D.—9

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題、根的判別式等知識點(diǎn)，掌握一元二次方程

根的判別式成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得方程0=%2+6%+c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，再根據(jù)根的判別式列方程計(jì)算即可.

【詳解】解：,號=/+6%+(:與工軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

???方程0=%2+6x+c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

；.△=廬一4ac=36-4c=0,解得：c=9.

故答案為：A.

2.(24-25九年級上?河北唐山?階段練習(xí))已知圓心/到直線加的距離為力的半徑為r,若d、r是方

程/-7x+12=0的兩個(gè)根，則直線加和。力的位置關(guān)系是()

A.相切B.相離C,相交或相離D.相切或相交

【答案】C

【分析】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，因式分解法解一元二次方程，理解圓與直線的位置關(guān)系，

掌握因式分解法求一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到d,r的值，再根據(jù)圓半徑r與圓心到直線的距離d的關(guān)系"d>r,

相離；d=r,相切；d<r,相交"進(jìn)行判定即可求解.

【詳解】解：X2-7%+12=0,

(x-3)(x—4)0,

解得，勺=3,%2=4,

r是方程/-7x+12=。的兩個(gè)根，

當(dāng)&=3/=4時(shí)，直線機(jī)和。4的位置關(guān)系是相交;

當(dāng)&=4/=3時(shí)，直線m和。4的位置關(guān)系是相離;

故選：c.

3.（24-25九年級上?湖北武漢?期中）已知關(guān)于x的一元二次方程--（2爪—3產(chǎn)+m2=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為巧,

%2>且x；+x|=41,則加的值是（）

A.-2B.-8C.-2或8D.2或一8

【答案】A

【分析】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，根的判別式，利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)建方程求出機(jī)，再利用判別式的

值判斷即可.

【詳解】解：,??關(guān)于X的一元二次方程——（2nl—3）%+瓶2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為巧，不，

2

■,-x1+x2—2m—3,%tx2=m，

?話+x|=41,

???（巧+久2）2-2巧％2=4L

.?.（2m-3）2-2m2=41,

整理得一一6瓶-16=0,

解得n?=8或一2,

當(dāng)m=8時(shí)，則有尤2—13X+64=0,

△<0,不符合題意舍去，

■■m的值是-2,

故選：A.

4.（24-25九年級上,湖北武漢?期中）某地區(qū)為加強(qiáng)校園建設(shè)，2024年投入經(jīng)費(fèi)1000萬元，預(yù)計(jì)2026年投

入經(jīng)費(fèi)4000萬元.設(shè)投入經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為X,根據(jù)題意，下列所列方程正確的是（）

A.1000（1+%）2=4000

B.1000（1+x2）=4000

2

C.1000（1+x）+1000（1+%）=4000

D.1000+1000（1+x）+1000（1+久心=4000

【答案】A

【分析】本題考查了列一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.根據(jù)2026年投入經(jīng)費(fèi)=2024年投

入經(jīng)費(fèi)X（1+久）2列出方程即可得.

【詳解】解：由題意可列方程為1000（1+久產(chǎn)=4000,

故選：A.

5.（24-25九年級上嘿龍江齊齊哈爾?期末）若久=5是關(guān)于x的方程a/+6x=10的解，貝|2024-15a-3b的

值為-.

【答案】2018

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的

未知數(shù)的值，把x=5代入原方程得到5a+b=2,再根據(jù)2024—15a—3b=2024—3（5a+b）,利用整體

代入法求解即可.

【詳解】解：把％=5代入方程得25a+5b=10,即5a+b=2,

.?.2024-15a-3b=2024-3（5。+b）=2024-3X2=2018,

故答案為：2018.

6.（24-25九年級上,北京?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程--2%-巾2-2爪=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

⑵若方程的一個(gè)根為另一個(gè)根的3倍，求加的值.

【答案】⑴見解析

1Q

（2）m的值為一萬或一5

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方根根與系數(shù)的關(guān)系.

（1）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行證明即可；

（2）設(shè)方程的一個(gè)根為a,則另一個(gè)根為3a,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得乙七年^2小，

求解即可.

【詳解】（1）證明：由題意可得：△=（-2）2-4*1義（一機(jī)2一2機(jī)）=4機(jī)2+8爪+4=（2爪+2）220,

故方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：???方程的一個(gè)根為另一個(gè)根的3倍，

設(shè)方程的一個(gè)根為a,則另一個(gè)根為3a,

由題意可得：｛―K3aM2加

解得：a=,爪=_:或一|'^

■■■m的值為一/或一|.

7.（24-25九年級上?山東青島?期末）今年以來四川把家電以舊換新作為惠民生的重要舉措，截至10月24日

全省家電補(bǔ)貼金額15億元.某商家在“雙十一購物節(jié)"對某款冰箱實(shí)行降價(jià)促銷.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該

款冰箱原銷售單價(jià)為4500元時(shí)，平均每月能售出10臺；如果售價(jià)每降價(jià)100元，那么平均每月可多

售出2臺.

⑴設(shè)每臺冰箱降價(jià)x元，那么平均每月銷售量為一（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）已知購進(jìn)這款冰箱的單價(jià)是3000元，商家決定每臺冰箱降價(jià)100M元進(jìn)行銷售.根據(jù)政策，降價(jià)銷

售后，商家每銷售一臺冰箱可獲得40爪元的補(bǔ)貼.若商家所獲的總利潤為27000元，求加的值.

【答案】⑴（10+金

（2）m的值為10

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意即可解答；

（2）根據(jù)每臺冰箱的利潤x每天售出的冰箱臺數(shù)+補(bǔ)貼=總利潤列方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)每臺冰箱降價(jià)x元，那么平均每月銷售量為10+高X2=（1。+言）（臺）,

故答案為：（10+春）；

（2）解：由（1）可知，每臺冰箱降價(jià)100巾元，銷售量為（10+2機(jī)）臺，

由題意得：（4500-100m-3000）（10+2m）+40m（10+2m）=27000,

整理得：m2-20m+100=0,

解得：7n1=7712=1°，

答：m的值為10.

@■真題感知

1.（2024?四川涼山?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程（a+2）/+久+a2-4=0的一個(gè)根是久=0,則a的值

為（）

1

A.2B.-2C.2或一2D.-

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項(xiàng)系數(shù)不為0.由一元二次方程的定

義，可知a+2K0：一根是0,代入（a+2）/+K+a2—4=（H^^a2—4=0,即可求答案.

【詳解】解：（a+2）久之+久+a?—4=0是關(guān)于久的一■兀二次方程，

a+240,即aA—2①

由一個(gè)根x=0,代入（a+2）/+久+a?-4=0,

可得.2-4=0,解之得a=±2；②

由①②得a=2；

故選A

2.（2024?黑龍江綏化?中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡過程中寫

錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的

兩個(gè)根是-2和-5.則原來的方程是（）

A.x2+6%+5=0B.%2—7%+10=0

C.—5x+2=0D./—6%—10—0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得出原方程中巧+&=7,巧犯=1°，逐

項(xiàng)分析判斷，即可求解.

【詳解】解：?.?小影在化簡過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得到方程的兩個(gè)根是6和1；

■'-x1+x2-6+1=7,

又???小冬寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是-2和-5.

=1。

A.久2+6久+5=0中，久1+乂2=-6，叼乂2=5,故該選項(xiàng)不符合題意；

B.7乂+1。=。中，巧+乂2=7，巧％2=10，故該選項(xiàng)符合題意；

C.久2-5久+2=0中，%1+%2=5,xlx2=2,故該選項(xiàng)不符合題意；

D.6x—10=0中，/+久2=6,xrx2=-10,故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

3.（2024?四川眉山?中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的"智慧春耕"讓生產(chǎn)更高效,

提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年

平均增長率為％,則可列方程為（）

A.670x（1+2x）=780B.670X（1+%）2=780

C.670x（1+^2）=780D.670X（1+久）=780

【答案】B

【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為心根據(jù)題意列出方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：670x（1+^）2=780.

故選：B.

4.（2024?山東德州?中考真題）把多項(xiàng)式3久+4進(jìn)行配方，結(jié)果為（）

A.（X-3）2-5