中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案：幾何類比探究題型（原卷版）

中考數(shù)學(xué)：答題技巧與模板構(gòu)建

專題13幾何類比探究題型（學(xué)案原卷版）

題型解讀I模型構(gòu)建I通關(guān)試練

圖形旋轉(zhuǎn)模型

圖形平移模型探究

幾何類比探究題型

鋪墊、遷移、拓展類探究題型

幾何的類比探究題型是近年中招解答題的必考題型，該題型往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，有一

定的難度.探究型問(wèn)題是指命題中缺少一定的條件或無(wú)明確的結(jié)論，需要經(jīng)過(guò)推斷，補(bǔ)充并

加以證明的一類問(wèn)題.根據(jù)其特征大致可分為：條件探究型、結(jié)論探究型、規(guī)律探究型和存

在性探究型等四類.由于探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求

較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，首

先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練習(xí)，

注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.

模型01圖形旋轉(zhuǎn)模型

模型一、A字形（手拉手）及其旋轉(zhuǎn)

模型二、K字型及其旋轉(zhuǎn)

手拉手模型是有兩個(gè)等腰的三角形或者兩個(gè)等邊的三角形，他們有一個(gè)共同的頂點(diǎn)，且兩個(gè)

等腰三角形的頂角是相等的，那么就可以用角的和差求得共頂點(diǎn)的另外兩個(gè)角相等等，然后

利用等腰的邊對(duì)應(yīng)相等，可證明兩個(gè)三角形全等（邊角邊）組成這樣的圖形模樣的我們就說(shuō)

他是手拉手模型.在類比探究題型中，往往會(huì)對(duì)等腰三角形或者等邊三角形進(jìn)行演變，變成

一般三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，通常全等三角形變?yōu)橄嗨迫切?

模型特征：雙等腰；共頂點(diǎn)；頂點(diǎn)相等；繞著頂點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)

解題依據(jù)：等腰共頂手拉手，旋轉(zhuǎn)全等馬上有；左手拉左手，右手拉右手，兩根拉線抖一抖，

它們相等不用愁；拉線夾角與頂角，相等互補(bǔ)答案有.

模型02圖形平移模型探究

1.四邊形平移變換

四邊形的平移變換題型中主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

平移幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等或

相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

2.三角形平移變換

三角形平移變換主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和

性質(zhì)，平移性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的

判定方法.

3.其它圖形平移類比探究問(wèn)題

綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，

勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

模型03動(dòng)點(diǎn)引起的題型探究

動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題是指題設(shè)中的圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線、直線、拋物線、

雙曲線、弧線等上運(yùn)動(dòng)的一類非常具有開放性的題目.而從其中延伸出的折疊、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，

更能體現(xiàn)其解題核心-動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，有時(shí)需要借助或構(gòu)造一

些數(shù)學(xué)模型來(lái)解答.

實(shí)行新課標(biāo)以來(lái)，各?。ㄊ校┑闹锌紨?shù)學(xué)試卷都會(huì)有此類題目，這些題目往往出現(xiàn)在選擇、

填空題的壓軸部分，題型繁多，題意新穎，具有創(chuàng)新力.其主要考查的是學(xué)生的分析問(wèn)題

及解決問(wèn)題的能力.要求學(xué)生具備：運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想;

轉(zhuǎn)化思想等等.

模型04鋪墊、遷移、拓展類探究題型

鋪墊、遷移、拓展類探究題型由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問(wèn)題的一般解題

思路并無(wú)固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：1.利用特殊值（特殊點(diǎn)、特

殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律；2.反

演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知

條件一致；3.分類討論法.當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按

可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出

正確結(jié)果；4.類比猜想法.即由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問(wèn)題的

結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證.以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因

而具體操作時(shí)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用.

是結(jié)?牌型狀）建

模型01圖形旋轉(zhuǎn)模型

考I向I預(yù)I測(cè)

圖形旋轉(zhuǎn)模型該題型近年主要以解答題形式出現(xiàn)，圖形的旋轉(zhuǎn)模型，在解答題目時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)

的一道題目，也是必考題型，手拉手模型是旋轉(zhuǎn)模型中常見(jiàn)的一種題型，熟知手拉手模型的

做法和思路，不論是求證線段的關(guān)系，還是求證角度的關(guān)系都十分的簡(jiǎn)單了，本專題就手拉

手模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握.

答I題I技I巧

第一步：連接拉手線：左手拉左手，右手拉右手

證全等或相似：等腰三角形性質(zhì)；SAS；證相似應(yīng)用的方法為兩邊成比例，夾角

第二步：

相等；

第三步：利用全等或相似的性質(zhì)得到角度關(guān)系+拉手線相等；

例1.（2023?山東）

AAA

（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△AOE都是等邊三角形，連接班），CE.求證：BD=CE.

（2）【類比探究】如圖2,△A3C和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連

接B。，CE.請(qǐng)直接寫出空的值.

CE

（3）【拓展提升】如圖3,△A8C和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且3=

BC

---=—.連接BD,CE.

DE4

①求經(jīng)的值；

CE

②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F,交A8于點(diǎn)G.求sin/8FC的值.

模型02圖形平移模型探究

考I向I預(yù)I測(cè)

圖形平移模型探究該題型主要以探究題型出現(xiàn)，在考試中需要學(xué)生結(jié)合圖形平移的性質(zhì)綜合

運(yùn)用所學(xué)幾何知識(shí)進(jìn)行解題，該題型具有一定的難度和綜合性，在各類考試中得分率普遍較

低.掌握平移的性質(zhì)，根據(jù)平移前后圖形位置的變化找出對(duì)應(yīng)的全等或相似三角形，求出對(duì)

應(yīng)的邊長(zhǎng)或角度.

答I題I技I巧

第一觀察圖形經(jīng)過(guò)平移，找對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所

步：連接的線段平行且相等；

第二根據(jù)平移性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)結(jié)論，平移不改變圖形的形狀、大小和方向（平移前后的

步：兩個(gè)圖形是全等形），圖形平移前后的形狀和大小沒(méi)有變化，只是位置發(fā)生變化；

第三

圖形平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段平行（或在同一直線上）且相等；

步：

第四平移是由方向和距離決定的；

步：

］或型守<5'l

例1.（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）

2.問(wèn)題背景：如圖1,在四邊形ABCD中，BC=2^,CD_LAD,NA2C=30o,NACB=90。,

將AACD沿AC翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上.

（1）操作探究

連接DE,判斷AQE的形狀，說(shuō)明理由;

⑵探究遷移

將AACD沿射線平移得到△ACD（點(diǎn)4C、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、C'、。），當(dāng)點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)，求四邊形AEDZ）的周長(zhǎng)；

（3）拓展創(chuàng)新

將AACD繼續(xù)沿射線48平移得到△ACD（點(diǎn)A、C、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、C'、D'）,AC

與交于點(diǎn)M，且即1=00,將△4C'。'繞點(diǎn)M在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CZ>'〃CE時(shí)，

直接寫出A4'的長(zhǎng).

模型03動(dòng)點(diǎn)引起的題型探究

考I向I預(yù)I測(cè)

動(dòng)點(diǎn)引起的題型探究是近年來(lái)中考的一個(gè)重難點(diǎn)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形或函數(shù)與

幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問(wèn)題.隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究

在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題.解

決這類問(wèn)題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜,

以靜制動(dòng).解決運(yùn)動(dòng)型試題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變

化的全過(guò)程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注-些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)

系.

答I題I技I巧

第一步：分析題目；

第二步：依據(jù)落點(diǎn)定折痕；

第三步：建立對(duì)應(yīng)幾何模型；

第四步：設(shè)出未知數(shù)列方程求解；

第五步：得到結(jié)論.

］或型守＜5'l

例1.(2024?遼寧丹東?模擬預(yù)測(cè))

3.【問(wèn)題背景】

某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行研究.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，A

點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),尸為線段Q4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)P、"為邊在x軸同側(cè)做正方形0PC3

(1)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)中，設(shè)正方形OPCB的面積為九正方形PAED的面積為邑，當(dāng)H+$2=40

時(shí)，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

(2)分別連接OC、CE、OE,OE交CP于點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)△OCE的面積為S,

求S與/的函數(shù)表達(dá)式.

【問(wèn)題拓展】

(3)當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1)問(wèn)結(jié)果時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)K的坐標(biāo).

(4)如圖2,若點(diǎn)M坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)F，G分別為邊BC,OE的中點(diǎn)，F(xiàn)G的中點(diǎn)為Q,

連接MQ,AQ,當(dāng)點(diǎn)P從。到A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)求出加+QA的最小值.

模型04鋪墊、遷移、拓展類探究題型

考I向I預(yù)I測(cè)

鋪墊、遷移、拓展類探究題型解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀給定的材料，弄清材

料中隱含了什么新的數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)論，或揭示了什么數(shù)學(xué)規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法，

然后依題意進(jìn)行分析、比較、綜合、抽象和概括，或用歸納、演繹、類比等進(jìn)行計(jì)算或推理

論證，并能準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述自己的思想、方法、觀點(diǎn).展開聯(lián)想，將獲得的新信息、

新知識(shí)、新方法進(jìn)行遷移，建模應(yīng)用，解決題目中提出的問(wèn)題.該題型在考試中主要以解答

題的形式出現(xiàn)，題目一般較長(zhǎng)，需要學(xué)生具有一定的閱讀和理解的能力，同時(shí)該題型具有一

定的難度，得分率較低，需要我們認(rèn)真對(duì)待.

答I題I技I巧

第一首先利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，

步：從特殊到一般，從而得出規(guī)律；

第二反演推理：假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與己知條件

步：一致；

分類討論：當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)

第三

的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出

步：

正確結(jié)果；

第四類比猜想：即由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問(wèn)題的結(jié)論或解

步：決方法，并加以嚴(yán)密的論證.

I題型＜5'1

例1.（2023?湖北武漢）

4.【感知圖形】

點(diǎn)P是矩形A3CD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP,將△，、ADCP分別沿AP、。尸翻

折，得到AA5'P、ADCP.

B'C

E

DD

（圖1）（圖2）

【問(wèn)題探究】

（1）如圖1,交AD于點(diǎn)Af,pc'交AD于N,N在/的右側(cè)，求證:

PM+MN+PN=AD;

【問(wèn)題拓展】

（2）將圖1特殊化，當(dāng)尸、B'、C'共線時(shí)，稱點(diǎn)尸為2C邊上的“疊合點(diǎn)”.如圖2,在

矩形ABCD中，AB=4,3C=10,點(diǎn)P為BC邊上的“疊合點(diǎn)”，且3P<CP,求OP的長(zhǎng);

京口?福牝鈿緣

（2023.福建）

5.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)尸是8c邊上一點(diǎn)，連接AF,以AF為對(duì)角線作正方形AEFG,

邊FG與AC相交于點(diǎn)X,連接。G.以下四個(gè)結(jié)論：

?ZEAB=ZBFE=ZDAG；

@DG±AC.

其中正確的是—.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

（2023?湖北黃岡）

6.某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題:

圖1

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP,

以AP為腰作等腰RCAPQ,且NR4Q=90。，連接CQ、則3P和CQ的數(shù)量關(guān)系是

(2)變式探究：如圖2,AABC中，ZBAC^90°,AB^AC.點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP,

以“為底邊作等腰RtACPQ,連接AQ,判斷3P和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)問(wèn)題解決：如圖3,在正方形A5CD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以。尸為邊作正方形DPEF,

點(diǎn)。是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為2M,CQ=2后,

請(qǐng)直接寫出正方形A3CO的邊長(zhǎng).

(2023?河南)

7.(1)如圖1,在矩形ABCD中，AB=5,3c=4,點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，沿直線DE將矩

形折疊，使點(diǎn)C落在43邊上的點(diǎn)C'處.求AC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,展開后，將AOC'E沿線段AB向右平移，使點(diǎn)C'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到

心BE',D'E與BC交于點(diǎn)F,求線段所的長(zhǎng)；

圖1圖2備用圖

(2023?遼寧沈陽(yáng))

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A0C3的邊0C在x軸上，ZAOC=60°,0C的長(zhǎng)是

一元二次方程/一4%-12=0的根，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，交對(duì)角線。3于點(diǎn)。，直線分

別交x軸和y軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F,動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿歷向終點(diǎn)廠運(yùn)

動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式:

(2)求點(diǎn)N到直線0B的距離h與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量的取值范圍;

(3)點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M.使得以AC,N,M為項(xiàng)點(diǎn)的四

邊形是矩形.若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在,說(shuō)明理由.

（2023?陜西）

9.【問(wèn)題出示】

(1)如圖①，等腰中，NR4c=30。,BC=SA=16,點(diǎn)M是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，線

段BM的最小值是

圖④

【問(wèn)題探究】

(2)如圖②，線段最短時(shí)，在(1)的條件下，線段3N是AABM的角平分線，點(diǎn)尸、

。分別在邊BN、上運(yùn)動(dòng)，連接加尸、QP,MP+QP的最小值是

【問(wèn)題拓展】

(3)如圖③，線段最短時(shí)，在(1)的條件下，點(diǎn)E在邊CM上運(yùn)動(dòng)，連接8E,將線

段仍繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段正，連接M/，求線段的最小值.

【問(wèn)題解決】

按照住建部制定的樓間距國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，南北朝向的小區(qū)，各棟樓之間的距離不小于前排樓高的

0.7倍，例如：前排房屋的樓高是20米，那么后排房屋與前排房屋的距鹵至少要14米才符

合要求.

(4)如圖④，是某居民小區(qū)的部分平面示意圖，四邊形A5CD各邊長(zhǎng)都為90米，且兩組對(duì)

邊分別平行，々=120。，DE長(zhǎng)30米，邊上任意一點(diǎn)產(chǎn)，計(jì)劃在線段麻、FG、DG上

修建三條小路，點(diǎn)G處修建業(yè)主活動(dòng)樓，其中EF=RG,且/EFG=60。.小區(qū)最南邊一排

（即線段AD處）樓高70米，當(dāng)線段0G取小時(shí)，點(diǎn)G處的業(yè)主活動(dòng)樓到線段AD處樓房的

距離是否符合樓間距標(biāo)準(zhǔn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2023?四川）

10.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)對(duì)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了探究：

問(wèn)題背景：在RtAABC中，4。8=90。,/43。=60。,2^=6.點(diǎn)。為43邊上一動(dòng)點(diǎn)，連

接CD,點(diǎn)E為C。邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,以BE為邊,在班右側(cè)作等邊△3EF,連接CP.

圖1圖2圖3

（1汝口圖1,當(dāng)3C=B□時(shí)，求證：ABDE/BCF；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到A3的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)8）時(shí)，點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。，試判斷點(diǎn)E從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過(guò)程中線段C/和所的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

（3）如圖3,點(diǎn)。從AB的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)2）出發(fā)，向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)Z）出

發(fā)，向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持ZBEC=90。，直接寫出CP的最小值和點(diǎn)/所經(jīng)

過(guò)的路徑長(zhǎng).

（2023?廣東）

11.綜合應(yīng)用

探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究：按照以下思路研究不

等式組-147x1+341的解集：首先令y=-|x|+3,通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線的方法作出該函

數(shù)的圖象并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行探究，列表：

X-4-3-10134

y

描點(diǎn)與連線:

4

廠丁5一

—一4一

r-br-

12345》

—!—;——2-

L.J-L..L.L5

（1）在列表的空格處填對(duì)應(yīng)的y值，在如圖給出的平面直角坐標(biāo)系中描出以表中各對(duì)應(yīng)值為

坐標(biāo)的點(diǎn)，并根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象.

⑵若尸《?,。（％5）為該函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則x與y的數(shù)量關(guān)系是；

⑶觀察圖象，當(dāng)-14-1x1+341時(shí)，自變量x的取值范圍是；

（4）【拓展運(yùn)用】運(yùn)用以上的探究過(guò)程，求出函數(shù)y=|x|與>尤+3的圖象所圍成的圖形

面積.

（2023?湖北）

12.【問(wèn)題提出】（1）如圖1,在四邊形ABCD中，/取。=60。，ZSCD=120°,AB=AD,

連接AC.試探究BC、CD、AC之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的思路是：他發(fā)現(xiàn)44。和NBCD互補(bǔ)，推得ZB+ZADC=180。，于是想到延長(zhǎng)C。到

點(diǎn)E,使。E=BC,連接AE.從而得到ZB=ZADE,然后證明AADE名AABC,不難得到BC、

CD、AC之間的數(shù)量關(guān)系是；

【問(wèn)題變式】（2）如圖2,四邊形ABCO中，NBAD=NBCD=90°,AB=AD,連接AC,

試探究BC、CD、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【問(wèn)題拓展】（3）如圖3,四邊形A8CD中，ZBAD^120°,ZBCD=60°,AB=AD,連

接AC,若AC=26，求四邊形的面積.（直接寫出結(jié)果）

圖1圖2圖3

支式?題型逼美

13.1.問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

圖(1),在和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=35°,連接AC,BD

交于點(diǎn)M.

①A土C的值為;②NAMB的度數(shù)為.

BD

(2)類比探究

圖(2),在AOW和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90",ZOAB=ZOCD30°,連接AC,交.BD

AT

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,請(qǐng)計(jì)算土的值及的度數(shù)；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，若。D=2,AB=8,將AOCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周.

①當(dāng)直線DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)2且點(diǎn)C在線段上時(shí)，求AC的長(zhǎng)；

②請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中M點(diǎn)到直線08距離的最大值.

(2224?河南周口?一模)

14.在"1BC中，CA=CB,/ACB=tz,點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn)，連

接AP,將線段AP繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段。P,連接AD,BD,CP.

C

(1)觀察猜想

如圖①，當(dāng)a=60。時(shí)，=的值是，直線5。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是

⑵類比探究

如圖②，當(dāng)a=90。時(shí)，請(qǐng)寫出黑的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并

就圖②的情形說(shuō)明理由.

15.如圖1,在放△A8C中，ZC=90°,ZA=30°,BC=1,點(diǎn)。,E分別為AC,8C的中

點(diǎn).△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0”好360。)，記直線AD與直線BE的交點(diǎn)

為點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)a=0。時(shí)，AD與8E的數(shù)量關(guān)系為,AD與BE的位置關(guān)系為；

(2)當(dāng)0。＜任360。時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)ACDE繞點(diǎn)、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直

線8c距離的最大值.

(2024?山東濟(jì)南?一模)

16.某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)尸是底邊上一點(diǎn)，連接

AP,以A尸為腰作等腰RtAAPg,且ZPAQ=90°,連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是

(2)變式探究：如圖2,AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)尸是腰AB上一點(diǎn)，連接CP,

以CP為底邊作等腰Rt^CPQ,連接A。判斷8尸和A。的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)問(wèn)題解決:如圖3,在正方形A8CD中，點(diǎn)P是邊8C上一點(diǎn)，以QP為邊作正方形DPEF,

點(diǎn)。是正方形。PEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形。PEP的邊長(zhǎng)為9,CQ=42,

求正方形ABC。的邊長(zhǎng).

17.如圖，RtaABC中，ZACB=9Q°,將ULBC沿AB的方向平移得到力所，連接

CD,FB,CF.

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)。移至什么位里時(shí)，四邊形CE出尸是菱形，并加以證明.

⑵在(1)的條件下，四邊形CD班'能否為正方形？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，請(qǐng)給AABC

添加一個(gè)條件，使四邊形CD2尸為正方形，并寫出推理過(guò)程.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為(2,0),(-2,0),現(xiàn)將線段A8先向上平移

3個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到線段。C,連接AD,BC.

圖1圖2

(1)如圖1,求點(diǎn)C,。的坐標(biāo)及四邊形ABCD的面積；

⑵如圖1,在y軸上是否存在點(diǎn)尸，連接上4,尸3,使&皿=5四邊形帥6?若存在這樣的點(diǎn),

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；

(3)如圖2,點(diǎn)石為8與,軸交點(diǎn)，在直線C￡＞上是否存在點(diǎn)Q,連接。8,使

S“2cB=；S四邊形若存在這樣的點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；

2()........................

19.已知：如圖①，在矩形ABC。中,AB—5,AD=—,AE±BD,垂足是E點(diǎn)尸是點(diǎn)E

關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF、BF.

圖①

（1）求AE和8E的長(zhǎng);

（2）若將沿著射線8。方向平移,設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)8沿8。方向

所經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度）當(dāng)點(diǎn)尸分別平移到線段AB、AD上時(shí)，求出相應(yīng)的根的值;

（3）如圖②，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角研0°<￡<180。），記旋轉(zhuǎn)中的△A3R為

A/TBF,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)A尸所在的直線與邊AD交于點(diǎn)尸與直線交于點(diǎn)。是否存

在這樣的巴。兩點(diǎn)，使VDPQ為等腰三角形？若存在，直接寫出此時(shí)。。的長(zhǎng)：若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2024?山西太原?一模）

20.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以菱形為背景，探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的幾何問(wèn)題.

己知，在菱形ABCD中，AB=5,對(duì)角線3D=8,點(diǎn)E是射線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,

△ABE與△ABF關(guān)于邊AB所在直線對(duì)稱.

圖1備用圖

初步探究：（1）如圖1,小穎同學(xué)研究了AF〃血時(shí)的情形，并提出如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答:

①判斷四邊形AH汨的形狀，并說(shuō)明理由；

②此時(shí)線段BE的長(zhǎng)為；

拓展延伸：(2)小彬同學(xué)研究了時(shí)的情形，請(qǐng)你直接寫出此時(shí)線段BE的長(zhǎng).

21.如圖一，在射線DE的一側(cè)以AD為一條邊作矩形45cD,AD=10y/3,CD=10,點(diǎn)Af

是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接過(guò)點(diǎn)M作的垂線交射線DE于點(diǎn)N,

連接BN.

圖一

⑴求/C4O的大?。?/p>

(2)問(wèn)題探究：

動(dòng)點(diǎn)〃在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否能使A4WN為等腰三角形，如果能，求出線段MC的長(zhǎng)度；

如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)問(wèn)題解決：

如圖二，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，40與的交點(diǎn)為尸，的中點(diǎn)為7/,求線段

FH的長(zhǎng)度.

22.蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)第94頁(yè)第19題，小明在學(xué)過(guò)圓之后，對(duì)該題進(jìn)行重新探究，請(qǐng)

你和他一起完成問(wèn)題探究.

【問(wèn)題提出】如圖1,點(diǎn)E尸分別在方形ABCD中的邊AD、AB上，且BE=CF,連接

BE、CF交于點(diǎn)求證：BE1CF.請(qǐng)你先幫小明加以證明.

【問(wèn)題探究】小明把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，如圖1,在邊長(zhǎng)為6cm的正方形A5co中，點(diǎn)

E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊A￡＞向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿邊54向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，它們

的運(yùn)動(dòng)速度都是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接CFBE交于點(diǎn)、M,

設(shè)點(diǎn)E,尸運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

(1)如圖1,在點(diǎn)E、歹的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)

cm.

(2)如圖2,連接CE,在點(diǎn)E、b的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.

①試說(shuō)明點(diǎn)D在的外接圓。O上；

②若①中的。。與正方形的各邊共有6個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出f的取值范圍.

23.材料：在處理有動(dòng)點(diǎn)的幾何問(wèn)題時(shí)，尋求與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的常量，可以幫我們分析出動(dòng)點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而解決問(wèn)題.如果動(dòng)點(diǎn)C與定線段A3所成的/C4S為常量，那么點(diǎn)C的運(yùn)

動(dòng)軌跡為射線AC,如圖A.如果動(dòng)點(diǎn)G與定直線所的距離GH為常量，動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌

跡即為過(guò)點(diǎn)G且與直線班平行的直線/,如圖瓦

八

AB

圖A圖B

AB=5,3C=6,點(diǎn)P在邊上且尸￡)=2,點(diǎn)M為直線AB上的

一