中考數(shù)學(xué)解題方法專項(xiàng)訓(xùn)練：圓之證明切線的方法（原卷版+解析）

36第7章圓之證明切線的方法

一、單選題

1.同學(xué)小明在用一副三角板畫出了許多不同度數(shù)的角，但下列哪個(gè)度數(shù)他畫不出來（）

A.15°B.65°C.75°D.135°

二、填空題

2.如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)。、E是半圓的三等分點(diǎn)，AE,8。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,若CE=2,則圖中

陰，影部分的面積為一.

3.如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,則該幾何體的側(cè)面積為cm2.

4.如圖，A2是。。的直徑，AB=13,AC=5,則tan/AOC=

5.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線y=x+0與以0點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的位置關(guān)系為

三、解答題

6.如圖，在RMABC中，ZC=90°,以BC為直徑的。0交AB于點(diǎn)D,在線段AC上取點(diǎn)E,使NA=NADE.

(1)求證：DE是。0的切線;

(2)若NA=30。，。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留兀)

7.如圖已知是。。的直徑，A8=10,點(diǎn)C,。在。。上,OC平分/4CB,點(diǎn)E在。。外，NEAC=ZD.

(1)求證：AE是。。的切線;

(2)求的長(zhǎng).

8.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的OO分別交AC,BC于

點(diǎn)M,N,過點(diǎn)N作NELAB,垂足為E,

(1)若。O的半徑為』，AC=6,求BN的長(zhǎng)；

2

(2)求證：NE與。。相切.

9.如圖，拋物線y='x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的

4

25

頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸交x軸于E,點(diǎn)D在第一象限，且在拋物線的對(duì)稱軸上，DE=OC,DM=—.

4

（1）求拋物線的對(duì)稱軸方程；

（2）若DA=DC,求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若在直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q,使NPQC

=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

10.如圖，已知P是O外一點(diǎn)，PO交圓。于點(diǎn)C,OC=CP=2,弦ABLOC,ZAOB=120°,連接P8.

⑴求BC的長(zhǎng)；

（2）求證：P8是。的切線.

11.如圖，為。。的直徑，且AB=4,O8LA8于8,點(diǎn)C是弧AB上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。O的切線

交BD于點(diǎn)、E.連接OE交。。于足

(1)求證：AD//OE；

(2)填空：連接。C、CF,

①當(dāng)DB=時(shí)，四邊形OCEB是正方形；

②當(dāng)DB=時(shí)，四邊形OACF是菱形.

12.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,是/BAC的角平分線，以上一點(diǎn)。為圓心，為弦作00.

(1)尺規(guī)作圖：作出。。(不寫作法與證明，保留作圖痕跡)；

(2)求證：8c為。。的切線.

13.如圖，在。。中，點(diǎn)。在直徑的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C、E在。。上，CE=CB,NBCD=NCAE,延長(zhǎng)

AE、8c交于點(diǎn)反

,c

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若BD=1,CD=母,求線段所的長(zhǎng).

14.如圖，在AA2C中，AB=AC,NBAC=120。，點(diǎn)。在BC邊上，?！辏窘?jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)8且與8C邊相交

于點(diǎn)E.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若CE=2下,求。。的半徑.

15.如圖，已知是。。的直徑，。。與HAACD的兩直角邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)R是弧助的中

點(diǎn)，ZC=90°,連接AF.

C

(1)求證：直線。尸是。。的切線;

（2）若5。=1,03=2,求tan/C4/的值.

16.已知AB為。0直徑，C、。為。。上兩點(diǎn)，連接C￡)交于點(diǎn)點(diǎn)E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

CD1

——二一，?DFA2?DEC

AB2

(1)求證：石。為。。切線

RJ71

(2)若DF<CF,且——=—,求tan/ACD的值

17.如圖1,CD是。O的直徑，且CD過弦AB的中點(diǎn)H,連接BC,過弧AD上一點(diǎn)E作EF〃BC,交BA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE,其中CE交AB于點(diǎn)G,且FE=FG.

(1)求證：EF是。O的切線;

(2)如圖2,連接BE,求證：BE2=BG?BF；

3L

(3)如圖3,若CD的延長(zhǎng)線與FE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,tanF=—,BC=5幣,求DM的值.

4

18.如圖，在R3ABC中，ZABC=9Q°,以A8為直徑作。0,。為。。上一點(diǎn)，且CO=C8,連接。。并

延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)判斷直線。與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若BE=4,OE=5,求AC的長(zhǎng).

19.已知，如圖，A3是的直徑，點(diǎn)C為0。上一點(diǎn)，OF,5c于點(diǎn)/，交。。于點(diǎn)E.AE與BC

交于點(diǎn)H,點(diǎn)。為OE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且NODB=ZAEC.

(1)求證：BD是0。的切線;

(2)求證：CE2=EHEA.

20.如圖，已知。。的直徑為AB，4。，43于點(diǎn)4，3C與。。相交于點(diǎn)。，在AC上取一點(diǎn)E，使

得ED=EA.

(1)求證：ED是0。的切線;

(2)填空：

①當(dāng)0A=3,AE=4時(shí)，則3C=.

②連接OD,當(dāng)NA5C的度數(shù)為時(shí)，四邊形AODE為正方形.

36第7章圓之證明切線的方法

一、單選題

1.同學(xué)小明在用一副三角板畫出了許多不同度數(shù)的角，但下列哪個(gè)度數(shù)他畫不出來（）

A.15°B.65°C.75°D.135°

【答案】B

【解析】試題分析：一副三角板中有30。，45°,60。和90。，

60。-45°=15°,30°+45°=75°,45°+90°=135°,

所以可畫出15。、75。和135。等，但65。畫不出.

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了角的和差運(yùn)算，用一副三角板只能畫出三角板上各個(gè)角的和差組成的角.

二、填空題

2.如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)。、E是半圓的三等分點(diǎn)，AE、8D的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,若CE=2,則圖中

陰，影部分的面積為一.

【分析】

結(jié)合題意，利用三角形邊長(zhǎng)關(guān)系，得出△OAE、AODE.△08。、△COE都是等邊三角形，將陰影部分的

面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，然后利用扇形面積，建立等式，計(jì)算結(jié)果，即可.

【詳解】

連接OE、OD,點(diǎn)。、E是半圓的三等分點(diǎn)，

ZA0E=ZE0D=ZDOB=60°

?：OA=OE=OD=OB

；.AOAE、AODE,AOBD,△C￡）E都是等邊三角形，

AB//DE,SAODE—SABDE;

圖中陰影部分的面積=S扇彩（ME-SAOAE+S扇形ODE=色盟鄉(xiāng)—x2-Y3x2?=—萬一石.

36043

【點(diǎn)睛】

考查圓綜合問題，考查等邊三角形的判定，關(guān)鍵將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為苛求的三角形面積，難度中等.

3.如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,則該幾何體的側(cè)面積為cm2.

【答案】2兀.

【分析】

結(jié)合題意，得出直徑和母線的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)側(cè)面展開的圖形是以2為半徑的半圓，計(jì)算面積，即可.

【詳解】

解：由題意得底面直徑為2,母線長(zhǎng)為2,

/.幾何體的側(cè)面積為±X2X27I=2TI,

故答案為2兀.

【點(diǎn)睛】

考查圓面積計(jì)算公式，關(guān)鍵得出側(cè)面展開圖形是一個(gè)半圓，難度中等.

4.如圖，是。。的直徑，AB=13,AC=5,則tan/AOC=.

【答案】—

12

【分析】

結(jié)合勾股定理，計(jì)算BC的長(zhǎng)度，利用圓周角定理，計(jì)算結(jié)果，即可.

【詳解】

解：：AB為。0直徑，

.?.ZACB=90°,

???BC=A/132-52=12,

tanNADC=tanB=里

BC12

故答案為:二.

12

【點(diǎn)睛】

考查勾股定理，考查圓周角定理，關(guān)鍵得出tanNADC=tan3,計(jì)算結(jié)果，即可，難度中等.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線y=x+夜與以。點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的位置關(guān)系為

【答案】相切

【詳解】

解：令y=x+J^=O,解得：x=-應(yīng),令x=0,解得：y=V2-

，直線y=x+J^與x軸交于點(diǎn)A(-,0),

與y軸交于點(diǎn)B(0,正),OA=&,OB=0,

AB=y/oA^+OB-=J(揚(yáng)2+(42=2

設(shè)圓心到直線y=x+V2的距離為r,

則以3廠」。403

22

?.?7r=2---x---7---2---=1.,

2

???半徑為1,

d=r,

.??直線丫=*+應(yīng)與以。點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的位置關(guān)系為相切，

故答案為：相切.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

三、解答題

6.如圖，在RMABC中，ZC=90°,以BC為直徑的。0交AB于點(diǎn)D,在線段AC上取點(diǎn)E,使NA=NADE.

（1）求證：DE是。0的切線；

（2）若NA=30。，。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.（結(jié)果保留兀）

【答案】（1）證明見解析；（2）--V3.

3

【分析】

（1）如圖（見解析），先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得=再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、等

量代換可得NAZ）E+NOD8=9（）°,從而可得。然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得N58=60。,60=03=2,再利用勾股定理

可得OH=6，然后利用扇形的面積公式和三角形的面積公式即可得.

【詳解】

（1）如圖，連接0D,

,/OD=OB,

ZB=ZODB,

,:ZC=90°,

ZA+ZB=90°f

:.ZA+ZODB^90°,

又?；ZA=ZADE，

ZADE+ZODB=9Q°,

：.ZEDO=180°-(ZADE+NODB)=90°,即0。，DE,

:點(diǎn)D在。。上，即OD為。。的半徑，

二DE是。。的切線；

(2)如圖，過點(diǎn)。作(?//，&)于點(diǎn)H,

VZA=30°,ZC=90°,

；?4=60°，

*/OD=OB=2,

；?△OBD為等邊三角形，

ZBOD=60°,BD=OB=2,

：.BH=DH=LBD=1,OH=y/OB2-BH2=6,

2

則陰影部分的面積為-S=60%X2-_L.H=--j3.

屈形。60tjOjDBLD)3602BDO3

B

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，較難的是

題（2）,熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖己知AB是。。的直徑，A8=10,點(diǎn)C,。在。。上,DC平分NAC8,點(diǎn)E在。。外，NEAC=ZD.

（1）求證：AE是。。的切線；

⑵求AD的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）5日

【分析】

（1）根據(jù)圓周角定理可知，/D=N5，由直徑所對(duì)圓周角是90°，可知和ABAC互余,推出/￡）和ABAC

互余，/EAC和㈤C互余，從而證明結(jié)論.

（2）。。平分44。2可知"。4=45°,根據(jù)圓周角定理可知NZXM=90°,是等腰直角三角形,

AD的長(zhǎng)是圓半徑的血倍，計(jì)算求出答案.

【詳解】

（1）???/￡）和E>3是AC所對(duì)圓周角,

ZD=ZB；

???AB是圓的直徑，

ZBCA=90°,

在中，ZB+ZBAC=90°,

：.ZD+ZBAC=90°,

-.-ZEAC=ZD,

ZEAC+ABAC=9Q°,

：.BA±AE，AE是。。的切線.

(2)如圖：

B

AF.

??,AB是圓的直徑，0c平分/ACB,

：.ZBCA=90°,ZDCA=45°,

ZDOA=2ZDCA,

：.ZDOA=9Q°,△￡>Q4是直角三角形;

QOD=OA,OA=^AB=5,

AD=V5I+5I=572-

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理、勾股定理，熟練運(yùn)用圓周角定理是解題關(guān)鍵.

8.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的OO分別交AC,BC于

點(diǎn)M,N,過點(diǎn)N作NELAB,垂足為E,

(1)若。O的半徑為』，AC=6,求BN的長(zhǎng)；

2

(2)求證：NE與。0相切.

CM八

【答案】⑴BN=4；⑵見解析

【分析】

(1)由直角三角形的性質(zhì)可求AB=10,由勾股定理可求BC=8,由等腰三角形的性質(zhì)可得BN=4；

(2)欲證明NE為。O的切線，只要證明ONJ_NE.

【詳解】

解：(1)連接DN,ON

2

：.CD=5

???ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,

???BD=CD=AD=5,

AAB=10,

ABC=VAB2-AC2=8

VCD為直徑

AZCND=90°,且BD=CD

ABN=NC=4

(2)VZACB=90°,D為斜邊的中點(diǎn),

???CD=DA=DB」AB,

2

AZBCD=ZB,

VOC=ON,

AZBCD=ZONC,

.*.ZONC=ZB,

AON//AB,

VNE±AB,

AON±NE,

???NE為。O的切線.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

9.如圖，拋物線y='x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的

4

25

頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸交x軸于E,點(diǎn)D在第一象限，且在拋物線的對(duì)稱軸上，DE=OC,DM=—.

4

（1）求拋物線的對(duì)稱軸方程；

（2）若DA=DC,求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若在直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q,使NPQC

=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

41

【答案】(1)x=5；(2)y=—x2-—x+4；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,9）或（5,——）

4249

【分析】

(1)D點(diǎn)坐標(biāo)(——,c),M點(diǎn)坐標(biāo)(——,~—),DM=c——―—―=,化簡(jiǎn)求出b值;

2a2a4a4a4

b

代入計(jì)算，x=-3即是對(duì)稱軸的方程.

2a

2

(2)利用韋達(dá)定理求出AE,AE=；AB,AB=［區(qū)-獷=^(xA+xB)-4xAxB=J100-16c；在R

tAADE中，DE=c,AD=DC=5,由勾股定理得：AD2=DE2+AE2,即可求解.

（3）作VCQP的外接圓，圓心點(diǎn)K到點(diǎn)C、Q距離相等，構(gòu)造一個(gè)含坐標(biāo)參數(shù)的方程，線段KQ只有一

個(gè)解，利用根的判別式，計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

（1）VOC=c,DE=OC=c,點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸上,

???點(diǎn)D縱坐標(biāo)為c,

??,點(diǎn)M是拋物線頂點(diǎn)，

???點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為--------=c-b2,

4a

2525

則DM=c-(c-b2)=—，b1=——；

44

解得b=?(舍去)，或b=-°,

22

_5

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2=--2r=5；

2a2xl

4

(2)由(1)可知拋物線的表達(dá)式為丫=工*2--X+C,

42

令y=Lx?-°x+c=O,設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為XA、XB,貝!]XA+XB=10,XAXB=4C,

42

則AB==J(XA+%B)2—4X/B=&oo-16c，

在RtAADE中，AE=3AB,DE=c,AD=DC=5,

222

由勾股定理得：AD=DE+AE,52=c2+(V100-16￡2,

2

25=c2+25-4c,化簡(jiǎn)得：c2-4c=0，解得c=4,

故拋物線的表達(dá)式為y=-x2--x+4；

42

(3)如圖，連接PQ、PC、QC,作△PQC的外接圓K,連接KP、KC,

過點(diǎn)K作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)F,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N,

設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(m,n),點(diǎn)P(5,t),

VZPQC=45°,故NPKC=90。，且PK=CK=QK,

VZFKC+ZNKP=90°,NNKP+NNPK=90°,

.\ZFKC=ZNPK,

???RSKFC咨RjPNK(AAS),

???CF=NK,PN=MK,

.*.4-n=5-m,t-n=m,

.*.n=m-1,t=2m-1,

故點(diǎn)K的坐標(biāo)為(m,m-1),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,2m-1).

9

由拋物線的表達(dá)式知，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,-一)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0),

4

3

由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)得，直線MB的表達(dá)式為y=—x-6,

4

一3

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(r,—r-6),

4

3

由KC2=KQ2得，m2+(m-1-4)2=(m-r)2+(m-1-----r+6)2,

4

25715

整理得：一r2-(—m+一)r+20m=0,關(guān)于r的一元二次方程，

1622

??,直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q,r的解只有一個(gè),

71525

.*.△=(—m+—)2-4x——x20m=0,

2216

45

解得m=5或一,

49

點(diǎn)P坐標(biāo)(5,t),t=2m-1,當(dāng)m=5時(shí)，t=9；

m=竺時(shí)，

當(dāng)

4949

41

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,9)或(5,—).

49

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)圖像性質(zhì)，圓與直線關(guān)系；涵蓋知識(shí)點(diǎn)多，理解

題中“直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q”隱含的條件，即△PQC的外接圓與直線BM相切，這是解決第三個(gè)問題

的關(guān)鍵.

10.如圖，已知P是。外一點(diǎn)，尸0交圓。于點(diǎn)C,OC=CP=2,弦AB_LOC,ZAOB=120°,連接尸艮

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求證：P8是。的切線.

【答案】(1)2；(2)見解析

【分析】

(1)由OA=OB,弦AB_LOC,易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長(zhǎng)；

(2)由OC=CP=2,△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP,即可得NP=NCBP,又由等邊三角形的性質(zhì),

ZOBC=60°,ZCBP=30°,則可證得OB_LBP,繼而證得PB是。。的切線.

【詳解】

解：（1）VOA=OB,弦AB_LOC,

?.ZAOC=ZBOC=12ZAOB=6Qo,

VOB=OC,

AAOBC是等邊三角形，

；.BC=OC=2；

(2)證明：VOC=CP,BC=OC,

；.BC=CP,

AZCBP=ZCPB,

AOBC是等邊三角形，

ZOBC=ZOCB=60°,

ZCBP=300,

ZOBP=ZCBP+ZOBC=90°,

AOBXBP,

;點(diǎn)B在。上，

；.PB是O的切線.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì).要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓

心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.

11.如圖，為。。的直徑，且AB=4,于8,點(diǎn)C是弧A8上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。的切線

交BD于點(diǎn)E.連接0E交。。于足

(1)求證：AD//OE；

(2)填空：連接。C、CF,

①當(dāng)DB=時(shí)，四邊形OCEB是正方形；

②當(dāng)DB=時(shí)，四邊形OACP是菱形.

【答案】(1)見解析；(2)①4,②BD=4y[i?

【分析】

(1)連接OC、BC,由A8為。。的直徑于8,推出是。。的切線，進(jìn)而證明0E_L8C,ACLLBC,

即可得出結(jié)論；

1BEBO

(2)①若四邊形OCEB是正方形，CE=BE=OB=OC=—AB=2,由(1)可證---=----=1,得到DE

2ED0A

=BE=2,8O=B￡+OE=4即可求出；

②若四邊形OACF是菱形，貝|OA=AC,又OA=OC,于是△OAC為等邊三角形，ZA=60°,在RtAA3。

中，由tanA=g—=,即可求得8D.

AB

【詳解】

(1)證明：連接OC、BC,如圖1,

為。。的直徑，DBLAB^-B,

是。。的切線，

：CE與。。相切于點(diǎn)C,

：.BE=CE,

；?點(diǎn)E在BC的垂直平分線上,

?：OB=OC,

...點(diǎn)。在BC的垂直平分線上,

C.OELBC,

VZACB=90°,KPAC±BC,

：.AD//OE；

圖1

(2)如圖2,①若四邊形。CEB是正方形，AB=4,

:.CE=BE=OB=OC=LAB=2,

2

'：OE//AC,

BEBO，

?.-----=-----=1,

EDOA

:,DE=BE=2,

：?BD=BE+DE=4,

故答案為：4；

②若四邊形QAC尸是菱形，

???。。平分/4。尸，CF//OA,

：.ZACO=ZFCO=Z.AOC,

u

：OA=OCf

：.ZA=ZACO=ZAOC,

.?.△AO。是等邊三角形，

???NA=60。，

*.*/ABD=90。,

??BDr-

??RtAABD中,tanA=-----=<3,

AB

：.BD=4y/j,

故答案為：4-73;

圖2

【點(diǎn)睛】

本題是圓綜合題，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)以

及菱形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,是N8AC的角平分線，以上一點(diǎn)。為圓心，AD為弦作。。.

（1）尺規(guī)作圖：作出。。（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）；

（2）求證：8c為。。的切線.

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）因?yàn)槭窍?，所以圓心。即在AB上，也在的垂直平分線上，作AO的垂直平分線，與A8的交

點(diǎn)即為所求；

（2）因?yàn)?。在圓上，所以只要能證明OOLBC就說明8c為。。的切線.

【詳解】

解：（1）如圖所示，。。即為所求；

（2）證明：連接OD

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

是/BAC的角平分線,

：.ZCAD=ZOAD,

：.ZODA=ZCAD,

：.OD//AC.

又：NC=90°,

ZODB=90°,

.?.BC是。。的切線.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的切線，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在。。中，點(diǎn)。在直徑的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C、E在。。上，CE=CB,NBCD=NCAE,延長(zhǎng)

AE、BC交于點(diǎn)F.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若BD=1,CD=41，求線段所的長(zhǎng).

2

【答案】(1)詳見解析；(2)-

3

【分析】

(1)連。C,根據(jù)切線的判定，證明NOCD=90。；

(2)設(shè)半徑為廠，在加△OCD用勾股定理列式求出半徑，過。作于證明△AHO?△OCD,

利用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AH,由垂徑定理得到AE,最后用AF-AE求得EF長(zhǎng).

【詳解】

(1)連。c,

：OA=OC,

：.ZOAC^ZOCA,

,：AB為直徑，

ZACB=90°,

"：CE=CB,：.CE=CB，

J.ZCAE^ZOAC,

?：NBCD=NCAE,

：.ZBCD^ZOCA,

：.ZOCD^ZBCD+ZOCB^ZOCA+ZOCB^90°,

'：OC是。。半徑，

...CO是。。的切線；

(2)設(shè)。。的半徑為廠，

在RtAOCD中，00+CD2=OD2,

即：產(chǎn)+(0)2=0+1)2,解得廠=稱,

由(1)得，ZCAB=ZCAF,ACYBF,

：.AF=AB=1,

過。作OH_LAE于H,則AH=EH,

；CE=CB,CE=CB，

：.ZEAB=ZCOB,

ZAHO=ZOCD=90°,

*,■&AHO~AOCD，

.AHAO

"'~OC~^D

即包

0.50.5+1

1

：.AH=~,

6

1

：.AE=2AH=-,

3

12

EF^AF-AE^］一=一.

33

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓的綜合題，涉及切線的證明和相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)定理

結(jié)合題目條件進(jìn)行證明.

14.如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，點(diǎn)。在BC邊上，?！辏窘?jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)2且與2C邊相交

于點(diǎn)E.

A

—c

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若CE=2下,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析；(2)。。的半徑AO=2逝.

【分析】

(1)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/B=NC=30。，ZBAD=ZB=30°,求得NADC=60。，根據(jù)三角

形的內(nèi)角和得到/DAC=180O-60130o=90。，于是得到AC是。D的切線；

(2)連接AE,推出△ADE是等邊三角形，得到AE=DE,ZAED=60°,求得NEAC=NAED-NC=30。，得

至I]AE=CE=273，于是得到結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：連接AD,

'：AB=AC,ZBAC=120°,

；.NB=NC=30。，

'：AD=BD,

：.ZBAD=ZB=30°,

，ZADC=60°,

：.ZZ)AC=180°-60°-30°=90°,

是。。的切線；

(2)解：連接AE,

"：AD=DE,ZA￡)E=60°,

/.△ADE是等邊三角形，

：.AE=DE,ZA￡D=60°,

AZEAC=ZAED-ZC=30°,

：.ZEAC^ZC,

:.AE=CE=2g,

二。。的半徑AZ)=2指.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

15.如圖，已知AB是。。的直徑，。。與HAACD的兩直角邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)R是弧BE的中

點(diǎn)，ZC=90°,連接AF.

(1)求證：直線。尸是0。的切線;

(2)若5D=1,OB=2,求tan/C4/的值.

【答案】(1)見解析；(2)tanZCAF=^-.

5

【分析】

(1)連結(jié)OF,BE,由題意易得BE〃CD,再由點(diǎn)F是中點(diǎn)可求證OF,CD,問題得證;

(2)由題意易得△oms^Ac。，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解AC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理及線

段比例關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)證明：連結(jié)ORBE,

\'AB是。O的直徑，ZAEB=9Q°,

VZC=90°,AZAEB=ZACD,：.BE//CD,

:點(diǎn)尸是弧BE的中點(diǎn)，C.OFLBE,J.OFLCD,

直線。尸是。。的切線；

(2)解：'：ZC=ZOFD=90°,J.AC//OF,AAOFD^AACD,

.OFOP

??一,

ACAD

S2x510

'：BD=1,OB=2,：,OD=3,AD=5,OF=2,.\AC=-----=—,

33

：.CD=y/AD2-AC2=

3

DF=y/OD2-OF2=A/32-22=75，

；?CF=CD—DF=^Y=^~,

33

2A/5

CFQ

tanZCAF=—=3—

AC10

T

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系及解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到切線，然后根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)及勾股定理進(jìn)行求解三角函數(shù)即可.

16.已知A6為。O直徑，C、。為。。上兩點(diǎn)，連接CZ）交A3于點(diǎn)點(diǎn)E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

CD1

——=--?DFA2?DEC

AB2

（1）求證：ED為。。切線

BF（，求tanNACD的值

(2)若DFvCF,且——

AF

【答案】（1）見解析；（2）3百

【分析】

CDI

(1)連接CD、OC,根據(jù)——=—,且AB=2OB=2OC=2OD,得到AODC為正三角形，得到

AB2

?ODC1OCD60°,設(shè)/。4c=/OC4=(z可得？。/弘60°+2a,則有？DEC30°+。，可求出

?CDE30°,貝!I有EJODEn?ODCDCDE=90°,可證磯)為。0切線；

(2)連接BD，作or八CD、AHVCD,根據(jù)NC4B=NCD5,2AFC2DFB,可得DC4F?DB。/"

一DFAFBF1

得至!j——=——，設(shè)AF=15%，DF—a,根據(jù)——=—,則有=AB=16x,OF=7x,可得

BFCFAF15

AF1BFDF1CF15x2,根據(jù)。尸vCF,可解得DF=3x,CF=5x,則CT=4x

FT=X,根據(jù)AQDC為正三角形得到。。=OC=OC=：AB=8x,OT=46,

根據(jù)。T〃A?/得到DO7F~DA/iF,可有些=竺=旦=亙=工，可得AH=FH=—x,則

AHHFAF}5x1577

CW=型無，利用tan?AC。任可得結(jié)果.

7HC

【詳解】

解：（1）連接OD、OC

CD1)

-.?——=一，且AB=203=2OC=2OZ)

AB2

\OD=OC=DC

；?AODC為正三角形

\?ODC?OCD60°

又?.?Q4=OC

^ZOAC=ZOCA=a

貝I]?DFA?FAC?FCO?ACO60°+la

又？DE42?DEC

\?DEC300+a,

*.*?ACD2OCD1ACO60。+。

?CDE?ACD?￡（60。+a）-（30。+a）=30。

\?ODE=?ODC?CDE60°30°=90°

即為。O切線

（2）連接5。，作0TA8、AHA.CD,

易知NC4B=NCD5,2AFC1DFB

\DCAF-DBDF

DF_AF

~BF~~CF

..BF_1

?AF-15

設(shè)AF=15x,DF=a，

則5方二%,AB=16x,OF=7x

由上式，AF?BFDFKF15x2

又由（1）可知，DF+CF=CD=-AB=8x

2

???CF=8x-DF=8x-a

\a(8x-a)=15x2

解得a=3x或5x

又DF<CF

:.DF=3x,CF=5x

又QOT八CD

\CT=DT=-CD=4x

2

/.FT—CF-CT=5x-4x=xf

???AODC為正三角形

OD=OC=DC=8X,OT=4出

QOT//AH

\DOTF-DAHF

OT_TF_OF_lx_7

HF~^F~15x~15

?人口IS"606口口15515

..AH=——OT=——\3x,FH=——TF=-x

7777

?

..CEH=fCr-rT-tTiT=J:X-——15x=——20x

77

60A/3

<4H------%—

\tan?AC。一=三—=3』

HC20、

x

7

【點(diǎn)睛】

本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí),

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.如圖1,CD是。O的直徑，且CD過弦AB的中點(diǎn)H,連接BC,過弧AD上一點(diǎn)E作EF〃:BC,交BA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE,其中CE交AB于點(diǎn)G,且FE=FG.

(1)求證：EF是。0的切線；

(2)如圖2,連接BE,求證：BE2=BG?BF；

3廠

(3)如圖3,若CD的延長(zhǎng)線與FE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,tanF=1,BC=5幣,求DM的值.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

e25夕

24

【分析】

(1)根據(jù)已知得出NGCH+NCGH=a+[3=9O。，而NFEO=NFEG+NCEO=a+p=90。，即可求解；

(2)ZCBA=ZF,故NF=NCEB,而/FBE=NGBE,FEB^AEGB,即可求解；

334

(3)在RtABCH中，BC=5出，tanZCBH=tany=-貝！Jsiny=—,cosy=-,CH=BCsinY=3S,同理

455

HB=4，7,設(shè)圓的半徑為r,則OB2=OH2+BH2,求出r的值，解RtACDE求得FG=交互，繼而得出答

2

案

【詳解】

(1)連接OE,則/OCE=NOEC=a,

圖1

VFE=FG,

；.NFGE=NFEG=￡,

：H是AB的中點(diǎn)，

；.CH_LAB,

.*.ZGCH+ZCGH=?+0=90°,

AZFEO=ZFEG+ZCEO=a+0=90°,

；.EF是。O的切線；

(2)VCH±AB,

AC=BC

ZCBA=ZCEB,

VEF/7BC,

NCBA=NF,故NF=NCEB,

.\ZFBE=ZGBE,

AFEB^AEGB,

.BE_BF

^~BG~~BE

：?BE?=BGBF;

（3）如圖2,過點(diǎn)F作FR_LCE于點(diǎn)R,

3

設(shè)NCBA=NCEB=NGFE=/,貝Utan/=—,

4

?.?EF〃BC,

???NFEC=NBCG=/?,故△BCG為等腰三角形，貝!]BG=BC=5近,

3

在R3BCH中，BC=5近,tanZCBH=tan/

34

貝Usin/=y,cos/=y,

3

CH=BCsin/=5正義§=34，同理HB=4?；

設(shè)圓的半徑為r,貝IOB2=OH2+BH2,

22

即d=（r-3幣）+（A幣）,解得：r=至互；

6

GH=BG-BH=5近-4幣=幣,

GH13

tanZGCH==——==一,貝UcosNGCH=<——,

CH3a3VW

則tanNCGH=3=tan0,則cos0—i——

A/10

連接DE,則/CED=90。,

在RtACDE中

CECE3CE=①

cosZGCH=—=—解得:

2

LGE即

在^FEG中，cos0=2_41

~FG~FG-Z/10

解得：FG="E

2

VFH=FG+GH=i2^I

2

?,.HM=FHtanZF=lZ^x-=^b/l

248

：CM=HM+CH=15幣

8

MD=CM-CD=CM-2r=至互

24

【點(diǎn)睛】

此題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識(shí)，切線的判定，熟練掌握相關(guān)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng).

18.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,以48為直徑作OO,D為。。上一點(diǎn)，且CO=C8,連接。。并

延長(zhǎng)