浙江省天域全國協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

絕密★考試結(jié)束前

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考

高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一符合題目要求的.

1.已知集合4={l,2},B={xeR|log2(x—l)〈l},貝！14nB=

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.0

2.函數(shù)/(%)=sin(2x+是

A.最小正周期為27r的奇函數(shù)B.最小正周期為2兀的偶函數(shù)

C.最小正周期為7T的奇函數(shù)D.最小正周期為兀的偶函數(shù)

3.已知向量而滿足同=2,\b\=l,\a-b\=2,貝囁在b方向上的投影向量是

A.|B.?C.-D.-

42

4.設(shè)a,b為正實(shí)數(shù)，則“a>b”是“2025。>log2025?！钡?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S”,且Su=11(a5+2),則由i-CI5=

A.4B.8C.10D.12

6.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某

同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為

37

A.—B.—C空D.i

1010

7.正四棱臺(tái)側(cè)棱長為5加，上下底面邊長分別為3企和4企，所有頂點(diǎn)在同一球面上表

面積是

C

A.257rB.100/r'等D.500.

22

8.已知雙曲線C:3=1的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與雙曲線C左支交于P,Q兩點(diǎn)，

Q,R兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且|FP|:|FR|:|FQ|=10:5:2,則雙曲線C的離心率為

V29?V29?V19?V19

AFB-Vc--D-V

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.

9.下列說法中，正確的是

A.數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為9

B.已知隨機(jī)變量己?N(0,*),若P隹>2)=0.2,則P(-2<己<2)=0.6

C.樣本點(diǎn)=1,2,3,…)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為了=3久+式,若樣本點(diǎn)(犯3)與(2,n)

的殘差相等，則3m+n=9

D.巧,％2,久3/4和乃，丫2，為，丫4的方差分另為S；和sj,符々+%=10且%=1,2,3,4),

則S；<S}

10.已知方程/=1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根，且這n個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將單位圓n

等分.下列復(fù)數(shù)是方程-8=1的根的是

A.1B.1C.?爭(zhēng)D.cos8(T+isin8。。

11.已知函數(shù)/(%)=ax3-3%2-1,則下列命題中正確的是

A.—1是/(%)的極大值

B.當(dāng)一1<a<0時(shí)，/(a-1)>/(a)

C.當(dāng)a>2時(shí)，/(%)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)％°,且%o<2

D.若f(%)存在極小值點(diǎn)％1，且/(%1)=/(%2)，其中%1。%2，則％1+2%2=0

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線Ly-kx-2=0與圓C:/-2x+y2=0相交，則實(shí)數(shù)々的取值范圍為.

13.若函數(shù)/(%)=(/-2］+a)sin(a%-§(aEN*)在［0,4］上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則符合條件

的a為.

14.若存在實(shí)數(shù)aeR使得A/5+4cosa-Jcos2a+(sina-則實(shí)數(shù)m的取值范

圍為?

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

如圖，在斜三棱柱ABC—4/1的中，側(cè)面44/iB1底面48C,側(cè)棱A4與底面ABC

成60。的角，A4=2.底面2BC是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段8的

I,_.>1>

上r一點(diǎn)，且=

(1)求證：GE〃平面44止中；

(2)求平面/GE與平面ABC夾角的正切值.

16.(15分)

已知/(x)=—ex+ax,g(x)—2x+bsinx,aeR,bGR.

(1)討論/O)的單調(diào)性；

(2)若a=-l,曲線y=f(x)的任意一條切線，都存在曲線y=g(x)的某條切線與

它垂直，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

17.(15分)

2

2(A

在2x2列聯(lián)表(表一)的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)中，X=E1<,.<21<,.<2?>其中4/

為第i行第j列的實(shí)際頻數(shù)，如力i,2=b,而穌/=第i行的行頻率x第j列的列頻率x總頻

數(shù)，為第i行第，列的理論頻數(shù)，如％,2=高匕乂點(diǎn)篇x(a+b+c+d).

(1)求表二2x2列聯(lián)表的X?值；

(2)求證：題干中X2=工*與課本公式X2=…(黑濡)：)5等價(jià)，

其中n=a+b+c+d.

(表一)(表二)

18.(17分)

已知拋物線C-.y2=2px(p>0),F為C的焦點(diǎn),1為C的準(zhǔn)線.AB是C上兩點(diǎn)，且。A1

OB(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，過。作。。，力B,垂足為。，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,2次).

(1)求C的方程；

(2)在C上是否存在點(diǎn)P,使得過F的任意直線交C于S,7兩點(diǎn)，交I于M,直線

PS,PM,PT的斜率均成等差數(shù)列？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

19.(17分)

已知N為偶數(shù)，給定數(shù)列的,。2,…,彌，記為力0，對(duì)40作如下變換：

①將&中的奇數(shù)項(xiàng)取出，按原順序構(gòu)成新數(shù)列的前3項(xiàng)；

②將&中的偶數(shù)項(xiàng)取出，按原順序構(gòu)成新數(shù)列的第?+1項(xiàng)到第N項(xiàng).

稱上述操作為7變換，構(gòu)成的新數(shù)列為記&=7(&)，定義4為操作k次后得到

的新數(shù)列，即4=7(4-1)==L2，…，其中4⑴表示數(shù)列4中的第i項(xiàng).

(1)若冊(cè)=n,(n=1,2,…,8),求4(2)4(2)4(2)；

m

(2)令2=2,meN*,其中數(shù)列出的各項(xiàng)互不相同，記的=Ufc(i)|fc6N*},規(guī)定圖

為集合C的元素個(gè)數(shù)：

⑴求心|；

(ii)求不超過10的最大正整數(shù)m,滿足=IC3I=…=匕嚴(yán)_1|.

命題學(xué)校：杭州學(xué)軍中學(xué)、西安高新一中、山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考

高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

題號(hào)12345678

答案BDDADCBB

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.

題號(hào)91011

答案BCACDACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

.~.1//V17

12.13.I14.加＜---

一2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

解析：

（1）延長交BC于。，則桀=鏢=煞=2,即。為8C中點(diǎn).

BDEDED

連結(jié)則4G,。三點(diǎn)共線2分

A（Z

因?yàn)樯?2,所以GE〃/片，又GE.平面/qu平面ZB44,

GD

所以GE〃平面力448.5分

D

高三數(shù)學(xué)試題第1頁（共5頁）

(2)???側(cè)面及禺B_L底面扇C,側(cè)棱與底面48C成60。的角，.?.4/8=60。，AAl=AB=2,

取力8的中點(diǎn)。，則/QJL平面Z8C6分

以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-平如圖，則力(0,-1,0),

B（o,i,o）,c（V3,o,o）,4（0,0,6），4僅,2,石）,G（6,1,6上

n_1_

?;G為AABC的重心，，6（子,0,0）,:3￡=：8孰，二

:.GE=（Q,\,

設(shè)平面30E的一個(gè)法向量為7=(x,乂二)，

空工=。

——x-y--

M-O=0

則nI《1即《3J,取、=百，得3=（百,一I,百）分

ii-GE=Q'9

y+=0

又底面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),10分

設(shè)平面與底面所成銳二面角的大小為貝〃〃_也_舊

B|GEZBC6,ijcos6=cos(,?)丁〒

2百

斗，."=〒—2百

由于。為銳角，，sin。亙=亍

"T-

故平面BQE與底面Z8C成銳二面角的正切值為乎.

13分

16.(15分)

解析：

(1)/'(x)=-e'+a,下面對(duì)。進(jìn)行分類討論：

若。<0,則/'(x)<0,可得/(x)在夫上遞減：..............................2分

若a>0,令/，(x)=0,得x=lna,當(dāng)x<Ina時(shí)/(x)>0,當(dāng)x>Ina時(shí)/<x)<0,可知/(x)在

(-oojna)遞增，在(Ina,+8)遞減..........................................5分

高三數(shù)學(xué)試題第2頁(共5頁)

綜上，當(dāng)。＜0時(shí)，〃x)在R上單調(diào)遞減：

當(dāng)。＞0時(shí)，/(x)在(-8,Ina)遞增，在(Ina,+8)遞減........................6分

(2)曲線歹=/(x)上的任意一點(diǎn)色,/3))處的切線斜率為/'(*),即/'(須)=-1-鏟；曲線y=g(x)

上的任意一點(diǎn)(*2國(*2))處的切線斜率為g'(*2)，即g'(X2)=2+bC0SX2...........8分

依題意，對(duì)任意玉eR,總存在XzeR,使得等式(-1-e"(2+bcosx2)=-1成立.將等式變形為

2+6cos^=-^-j-,則函數(shù)*■的值域是函數(shù)2+bcosx2值域的子集.......10分

由玉eR,得—一的值域?yàn)?0,1)，所以需(2+方cos/LN1，且Q+bcos^L40.

因?yàn)?2+6cosx2)m1K=2+|b|,(2+6cosx2)mjn=2-|6|,.........................12分

所以需2+M|Nl,且2-川40,解得64-2,或6N2.所以，實(shí)數(shù)6的取值范圍為

(-oo,-2]U[2,+oo)...........................................................15分

17.(15分)

解析：

(1)由題意得知=12,%=18;%=28,42=42................................4分

.2(10-12)2,(20-18>,(30-28)2,(40-42。50

y---------+---------+---------+---------——.........................6分

1218284263

(2)2x2列聯(lián)表如下:

aba+b

Cdc+d

a+cb+da+b+c+d

?a+ba+c(a+6)(a+c)

貝ijB.,=------x----x〃=------------

nnn

r(a+6)(a+c)2

,%(a+f>)(a+c)

n

_[a{a+b+c+d)-(a+b)(a+c)]2_{ad-be)2

9分

+b)(a+c)n(a+b)(a+c)

高三數(shù)學(xué)試題第3頁(共5頁)

Em(4.2-%)2(ad-be)2(4j一%>(ad-be)2(4.2-%『(ad-be)2

InJ-----------------------------------?-----------------，?-----------------------------------

片2n(a+b)(b+d)'B21〃(a+c)(c+d)'B22n(b+d\c+d)

............................................................................................................................................12分

“2=寸4了二胸-%，(，+，)+，(，+，)]

"B：na+ba+cb+dc+da+cb+d

=〃(ad-bc)2.............................................................................................

(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

18.（17分）

解析：

（1）由%。。=4,所以如=一月.

所以直線/3的方程為＞；-26=-6（》一6）,................................2分

設(shè)4（%,弘）,85,%）,

ly-2y/3=-y/3（x-6）消土徂26P八

聯(lián)立〈/,?消去x得：V2------^-16p=0,

y2=2px3

由韋達(dá)定理得必必=T6p,y+%=冬瞥，.................................4分

因?yàn)椤?_LO8,所以玉工2=0，

即（m6§）1_]60=0,解得p=4.

4P

所以C的方程為V=8x.................................................6分

（2）由（1）得口（2,0）,假設(shè)存在尸（工,%）滿足題意.

設(shè)過F的動(dòng)直線方程為*=町+2,則〃（-2,-3）,設(shè)S（X3，M）,「（X4，M），

m

聯(lián)立p叩+2,消去X得：/_8叩_16=0,

,y=8x

由韋達(dá)定理得必乂=-16,%+居=8加......................................8分

直線PS的斜率為純泣=」一，直線P7的斜率為維=3=」一，

X。一七為+必X。一x4y0+y4

高三數(shù)學(xué)試題第4頁（共5頁）

4_￡

直線尸M的斜率為""=上"=8?。+32,.........................................................11分

my+i6m

飛+2Jo_+2°

8

因?yàn)橹本€PS,P",PT的斜率成等差數(shù)列，所以

28吵+32=8+8=8(2%+必+乂)=8(2%+8⑼,

216

my^+\6my0+y3y0+y4靖+%(%+%)+%為Jo+8/wy0-,

222

整理得：(70-16>+J0-16=0(*)...................................15分

由題意，對(duì)任意實(shí)數(shù)加，(