直角三角形的邊角關(guān)系易錯(cuò)必刷題型專(zhuān)訓(xùn)（23個(gè)考點(diǎn)69題）原卷版-初中數(shù)學(xué)

直角三角形的邊角關(guān)系易錯(cuò)必刷題型專(zhuān)訓(xùn)

（23個(gè)考點(diǎn)69題）

昌易錯(cuò)必刷題

j【易錯(cuò)必刷一正切的概念辨析】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?河北石家莊?期中）在RtZ^/BC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則銳角A的正切函數(shù)值（）

A.不變B.擴(kuò)大5倍C.縮小!D.不能確定

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一塊等腰直角三角板和一塊含30。角的直角三角板疊放，則△NOB

與ADOC的面積之比為

3.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在及中，ZC=90°.

（1）在邊上取一點(diǎn)。，使得3D=DC,貝Utan乙43c和tanZADC有什么大小關(guān)系？

（2）在8c邊上取一點(diǎn)。，使得30=2。。，貝I]tan/48c和tanN4DC有什么大小關(guān)系？

（3）在2c邊上取一點(diǎn)。，使得3。="。。（力＞0）,貝iJtanN4BC和tan/4DC有什么大小關(guān)系？

3【易錯(cuò)必刷二求角的正切值或邊長(zhǎng)】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?四川瀘州?期末）已知在Rtz\48C中，ZC=90°,taiU=2,AB=4#,則/C等于

（）

A.6B.16C.12D.4

3

2.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）在中，ZC=90°,taw4=-,45=10,則3C的長(zhǎng)為

4

3.（23-24九年級(jí)上?寧夏銀川?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形Z3C。中，過(guò)點(diǎn)A作垂足為E,

連接。￡,p為線段上一點(diǎn)，且=

(1)求證：AADFSADEC；

4

(2)若tan8=1,AB=EC=W,求/尸的長(zhǎng).

31易錯(cuò)必刷三正弦的概念辨析】（共3小題）1.（23-24九年級(jí)上?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）把△4BC三

邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則銳角A的正弦值（）

B.縮小為原來(lái)的：

A.不變

C.擴(kuò)大為原來(lái)的2倍D.不能確定

2.（24-25九年級(jí)上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）若sinavsin4,則銳角a銳角夕（填＞、＜或=）.

3.（23-24九年級(jí)上?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí)）如圖，在中，ZC=90°,/A=a,NA,ZB,/C的

對(duì)邊分別是a,b,c.

sina

（1）利用銳角三角函數(shù)的定義求證:tana=-------

cosa

-sina+cosa

(2)若tana=2,求1--------------的值.

sina-cosa

J【易錯(cuò)必刷四求角的正弦值或邊長(zhǎng)】（共3小題）

3

1.（24-25九年級(jí)上?河北保定?期中）如圖，在中，AB=AC=S,smAACB=-,則8c的長(zhǎng)是（

4

2.（24-25九年級(jí)上?上海青浦?期中）在RtZX/BC中，ZC=90°,A8=10,sin4=-,那么8C=.

3.（23-24九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?期末）如圖，在四邊形Z3CD中，ABAC=90°,E是2。的中點(diǎn)，

AD//BC,DC//AE.

（1）求證：四邊形/ECD是菱形；

3

⑵若sinZDCAAB=6則四邊形AECD的面積為

【易錯(cuò)必刷五余弦的概念辨析】（共3小題）

1.（2024?河北邢臺(tái)?一模）如圖，已知在RtZX/BC中，z5=90°,則cos/=（）

BCAB

B.----C.—D.

BCABAC

2.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）比較大小:

（1）cos89°cos19°；（2）coslO°sin20°.

3.（23-24九年級(jí)上?遼寧大連?期末）如圖，在△Z5C中，AD、BE分另lj是BC、AC邊上的高,

31易錯(cuò)必刷六求角的余弦值或邊長(zhǎng)】（共3小題）

1.（24-25九年級(jí)上?福建泉州?期中）在比中,ZC=90°,AC=5,BC=12,則cos4的值為（）

55_1213

A.—B.—C.—D.—

1312135

2.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).△/2C的頂點(diǎn)

都在格點(diǎn)上，貝IC0S//3C的值為.

3.（23-24九年級(jí)上?北京房山?期末）如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,BC=5,AB=13.求cos/的值.

J【易錯(cuò)必刷七特殊角的三角函數(shù)】（共3小題）

1.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，48=a7,//=45。,47的垂直平分線分別交/民出?

于。，E兩點(diǎn)，連接CO.若40=2,貝han/8CO=（）

A.V2-1B.在二C.V2+1D.在口

22

1A

2.（24-25九年級(jí)上?山東泰安?階段練習(xí)）在RtzMBC中，ZC=90°,cosA=-,貝h0$萬(wàn)=

3.（2024?青海西寧?一模）計(jì)算：（萬(wàn)+G）°+（-2）T+-g-sin30。.

J【易錯(cuò)必刷八特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】（共3小題）

1.（24-25九年級(jí)上?河北保定?期中）&tan30。-：!的值等于（）

A.0B.1C.--1D.V2-1

2

2.（遼寧省鞍山市高新區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）計(jì)算：2cos45。-2ta「60°=

3.（24-25九年級(jí)上?山東泰安?期中）計(jì)算

3

（1）cos450--tan30°9sin600+cos30°；

（2）tan45°-（@°-V12+2sin30°.

劣【易錯(cuò)必刷九由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)下?福建龍巖?階段練習(xí)）在△48C中，若（2cos/-&『+”tanM=0,則么△48C一定是

）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

2.（23-24九年級(jí)上?河南開(kāi)封?期末）在△4BC中，//與N8都是銳角，且|sin/-+1cosB-?|=0,則

△4BC的形狀是.

3.（2023九年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△N3C在平面坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)/（0,3月），C（2,0）.點(diǎn)3為y軸上

動(dòng)點(diǎn)，求；NB+3C的最小值.

1易錯(cuò)必刷十根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】（共3小題）

1.（24-25九年級(jí)上?河北秦皇島?階段練習(xí)）若tan（e-l（r）=l,則銳角a的度數(shù)是（）

A.40°B.35°C.55°D.70°

2.（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）sin245°+cos2300-tan260°=_；若tan（（z-10。）=/,則銳角a=

o

3.（23-24九年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期中）已知a是銳角，且85缶+15。）=走，計(jì)算：

J【易錯(cuò)必刷十一已知角度比較三角函數(shù)值的大小】（共3小題）

1、（2025九年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，梯子（長(zhǎng)度不變）與地面所成的銳角為a，關(guān)于/a的三角函數(shù)

值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系，下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.sin二的值越大，梯子越陡B.cosa的值越大，梯子越陡

C.tana的值越小，梯子越陡D.陡緩程度與Na的函數(shù)值無(wú)關(guān)

2.（23-24九年級(jí)上?北京?單元測(cè)試）下列結(jié)論（其中。是銳角）：①sin二+cosaW1；②cos2a=2cosi；③

當(dāng)0。<a</?<90。時(shí)，0<sina<sin￡<1；④sina=cosatana.其中正確的有.

3.（23-24浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：sin230°+cos230°=,sin245°+cos245°=

，sin260°+cos260°=;

（2）猜想：sin2cif+cos2a=;

（3）根據(jù)上述猜想結(jié)果，解決下面的問(wèn)題：

12、

若nsina-cosa，且0°<a<45°,求sina—cosa值.

今【易錯(cuò)必刷十二根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?廣東梅州?期末）若sitU=0.8,則//的取值范圍是（）

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

2（24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）6是銳角三角形的一個(gè)內(nèi)角，已知了關(guān)于x的函數(shù)

7=（cos。）/_（4sin0）x+6圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則6的取值范圍是.

3.（23-24?浙江寧波?一模）如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)8與梯架之間的距離3C=4m.

BC

（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測(cè)得身高1.8m的小明爸爸在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.9m,滑梯最高處N在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為

1m,求滑梯的高/C；

（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（NABC）不超過(guò)30。屬于安全范圍，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這架滑梯的傾斜角是否符

合安全要求？

,31易錯(cuò)必刷十三利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值】（共3小題）

1.（2024?江蘇泰州?二模）如圖，△4BC中，ZACB=90°,BD1AB,BD=AB,連接CD,若要計(jì)算△BCD

的面積，只需知道（）

A.48長(zhǎng)B./C長(zhǎng)C.長(zhǎng)D.2c長(zhǎng)

3

2.（24-25九年級(jí)上?上海?期中）已知0。<（1<90。，如果cosa=-,那么sina=

4

3.（2024?河南信陽(yáng)?二模）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組利用直角尺和皮尺測(cè)量建筑物和8的高，因?yàn)檫@

兩棟建筑物高度相同，于是這個(gè)小組設(shè)計(jì)出一種簡(jiǎn)捷的方案，如圖所示:

（1）把直角尺的頂點(diǎn)￡放在兩棟建筑物之間的地面上，調(diào)整位置使直角尺的兩邊EM,EN所在直線分別

經(jīng)過(guò)建筑物外立面的的頂部A和C；

（2）用皮尺度量BE和。E的長(zhǎng)度；

（3）通過(guò)計(jì)算得到建筑物的高度.若示意圖中點(diǎn)4,B,C,D,E,M,N均在同一平面內(nèi).測(cè)得

BE=9m,DE=36m.請(qǐng)求出這兩棟建筑的高度.

【易錯(cuò)必刷十四求證同角三角函數(shù)關(guān)系式】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?上海靜安?課后作業(yè)）/ABC中，ZC=9O°,CD1AB于D,下列比值中不等于tan/的是

2.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）已知：sinl50-cosl50=|sin300,sin200-cos20o=1sin400,

sin300-cos300=|sin600,請(qǐng)你根據(jù)上式寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

3.（2024?甘肅武威?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtZ\28C中,ZC=90°,請(qǐng)驗(yàn)證sin%+cos%=1的結(jié)論.

J【易錯(cuò)必刷十五互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)下?上海普陀?期中）在RtZX/BC中，ZC=90°,已知sin4=1,那么cos5的值是（）

D.叵

A.-B.-C.—

3232

2.（23-24九年級(jí)上?河南周口?期末）計(jì)算：sin248°+sin242。-tan44°?tan45°?tan46°=_________.

3.（23-24?廣東惠州?一模）已知：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

B

KkK（

ClG4c21A2C3443cbA

圖1圖2圖3圖4

22

如圖1：SinZ4+sinZB1=

22

如圖2：sinZ^2+sinZS2=

22

如圖3：sinZ4+sinZS3=

①觀察上述等式，猜想：如圖4,在Rta/BC中，NC=90。，都有sin?a4+sin2/B=_;

②如圖4,在RtZ\/8C中，ZC=90°,NA,NB,/C的對(duì)邊分別是a,b,c,利用三角函數(shù)的定義和勾

股定理，證明你的猜想；

③已知：ZA+ZB=90°,且sin/4=0.7,求sinN5.

31易錯(cuò)必刷十六三角函數(shù)綜合】（共3小題）

1.（2022?浙江溫州?二模）消防云梯如圖所示，ABLBC于B,當(dāng)C點(diǎn)剛好在/點(diǎn)的正上方時(shí)，。尸的長(zhǎng)

是.（）

A.acos9+bsin9B.acos0+btanO

a.b

C.-^-：+bsm0D.------1—；—

cose/cos0sin0

2.（2023?廣東廣州?二模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形紙片48cz（中，E是BC邊上一點(diǎn),將AABE沿直線NE

翻折，使點(diǎn)3落在3,處，連接。夕，己知NC=130。，ABAE=50°,則以。的長(zhǎng)為.（精確到0.01,

其中cos75。-0259）

3.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)N（20,0）,點(diǎn)M在第

3

一象限內(nèi)，且OM=10,sinZ.MON=—.

⑴求點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）求cosNMNO的值.

/【易錯(cuò)必刷十七解直角三角形的相關(guān)計(jì)算】（共3小題）

1.（遼寧省鞍山市高新區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）在RtZ\/3C中，ZC=90°,若

sin4=—,則的正切值等于（）

3

V14V14n30

A?-----1nJ?-----.\-）.-------

2732

2.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△N3C中，/2=/C=13,COSC=K，中線3E與/。交于點(diǎn)

F,則tanZ.EBC=___.

3.（2024?廣東惠州?三模）在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)互為倍數(shù)的兩個(gè)銳角正切三角比產(chǎn)

生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究.

圖1

⑴初步嘗試：我們知道：tan60°=_,發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tan2Z_2tan4；（選填“二"或"”）

（2）實(shí)踐探究：如圖1,在RtZ\4SC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,求tangz的值：小明想構(gòu)造包含g/4

的直角三角形：延長(zhǎng)。至點(diǎn)。，使得=連接3D,所以得到即轉(zhuǎn)化為求一。的正切

值.請(qǐng)按小明的思路求解tan；/.

J【易錯(cuò)必刷十八解非直角三角形】（共3小題）

1.（23-24?江蘇蘇州一模）如圖在一筆直的海岸線/上有相距3瓦?的/,8兩個(gè)觀測(cè)站，8站在/站的正東

方向上，從4站測(cè)得船C在北偏東60。的方向上，從8站測(cè)得船C在北偏東30。的方向上，則船C到海岸

線/的距離是（）

C.—kmD.2A/3km

2

2.（23-24?山東濱州?一模）某數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展實(shí)踐性研究，在大明湖南門(mén)N測(cè)得歷下亭C在北偏東37。方向,

繼續(xù)向北走105〃,后到達(dá)游船碼頭8,測(cè)得歷下亭C在游船碼頭2的北偏東53。方向.請(qǐng)計(jì)算一下南門(mén)/與

34

歷下亭C之間的距離約為.（參考數(shù)據(jù)：tan53Fw）

南門(mén)

3.（23-24九年級(jí)上?江蘇?期末）已知△4BC中，44=30。,48=4.

（1）如圖1,若NC=90。，則/C=（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）如圖2,若NC=45。，求/C的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

一j【易錯(cuò)必刷十九構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖1是一個(gè)小區(qū)入口的雙翼閘機(jī)，它的雙翼展開(kāi)時(shí)，雙翼邊緣的端

點(diǎn)A與B之間的距離為8cm（如圖2）,雙翼的邊緣AC=BD=60cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角NPCA=NBDQ=

30°.當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為（）

A.6073+8B.600+8C.64D.68

2.（23-24?遼寧?一模）如圖，某小區(qū)物業(yè)想對(duì)小區(qū)內(nèi)的三角形廣場(chǎng)N3C進(jìn)行改造，已知/C與3c的夾角為

120°,/C=20米，BC=30米，請(qǐng)你幫助物業(yè)計(jì)算出需要改造的廣場(chǎng)面積是平方米.（結(jié)果保留根號(hào)）

3.（23-24九年級(jí)上?山東青島?期末）為全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，促進(jìn)農(nóng)業(yè)全面升級(jí)、農(nóng)村全面進(jìn)步、農(nóng)民

全面發(fā)展.如圖，四邊形/BCD是某蔬菜大棚的側(cè)面示意圖，已知墻2c與地面垂直，且長(zhǎng)度為5米，現(xiàn)測(cè)

得々8C=112。，3=67。,N8=4米，求此蔬菜大棚的寬CD的長(zhǎng)度.（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin22%

I,cos22°=—,tan22°=-,sin67°=一，cos67°=—,tan67°~—）

816513135

【易錯(cuò)必刷二十仰角和俯角問(wèn)題】（共3小題）

1.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐.如圖，無(wú)人機(jī)從

地面8的中點(diǎn)/處豎直上升30米到達(dá)8處，測(cè)得博雅樓頂部￡的俯角為45。，尚美樓頂部廠的俯角為

30。，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓。下的高度為（）

A.（30-5君）米B.（30+5君）米C.（15-5石）米D.（15+5石）米

2.（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，已知無(wú)人機(jī)的飛行

高度為40米，當(dāng)無(wú)人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30。，則旗桿的高度為

米.

________

7、、30。

3.（2024?安徽合肥?三模）昌景黃高鐵于2023年底通車(chē)運(yùn)行，在設(shè)計(jì)線路圖時(shí)，有很多地方需要打隧道.如

圖就是某隧道示意圖，為了測(cè)量隧道的長(zhǎng)度，施工隊(duì)用無(wú)人機(jī)在距地面高度為200米的C處測(cè)得隧道南北

兩端/、3的俯角ZDCN=42。、ZDCB=28°（已知/、B、C三點(diǎn)在同一平面上），求該隧道南北兩端/、B

的距離.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.73,sin42。。0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90,

sin280?0.47,cos28°?0.88,tan28°?0.53）

31易錯(cuò)必刷二十一方位角問(wèn)題】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?期末）如圖一巡邏艇在/處，發(fā)現(xiàn)一走私船在工處的南偏東60。方向上距離/

處12海里的2處，并以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西30。方向行駛，若巡邏艇以每小時(shí)25海里的速度追

趕走私船，則追上走私船所需時(shí)間是（）

A.0.5小時(shí)B.0.75小時(shí)C.0.8小時(shí)D.1.25小時(shí)

2.（23-24九年級(jí)下?湖北武漢?期中）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30。方向，距離燈塔80海里的N

處.海輪沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔尸的南偏東64。方向上的2處，此時(shí)海輪所在的2處

與燈塔P的距離是海里.（結(jié)果精確到01海里.參考數(shù)據(jù)：sin64。=0.90,cos64。=0.44,tan64。=2.05）

A

D

3.（23-24八年級(jí)下?重慶江津?階段練習(xí)）為了滿足市民的需求，我市在一條小河48兩側(cè)開(kāi)辟了兩條長(zhǎng)跑

鍛煉線路，如圖；?A-D-C-B；@A-E-B.經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)8在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)8的正北方5

千米處，點(diǎn)。在點(diǎn)C的正西方，點(diǎn)。在點(diǎn)A的北偏東45。方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方4g千米處，點(diǎn)E在

點(diǎn)5的南偏西60。方向.（結(jié)果精確到十分位，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41，V3?1.73）

北

西一^東

南

（1）求4D的長(zhǎng)度;

（2）由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②?

【易錯(cuò)必刷二十二坡度坡比問(wèn)題】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?貴州銅仁?期末）小明看完“上刀山”表演后，被表演藝人精湛技藝所震撼，他發(fā)現(xiàn)，藝

人在如圖大刀的48段表演時(shí)最精彩,他想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一下5點(diǎn)的高度，已知點(diǎn)尸、/、8在一條直

線上，點(diǎn)P、C、。也在一條直線上,ACLPD,BD1PD,AC=CD=2m,大刀的坡度（即/4PC的坡

度）為二,貝〃為（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

2.（2024?山東濟(jì)寧?二模）某地為拓寬河道和提高攔水壩，進(jìn)行了現(xiàn)有攔水壩改造.如圖所示，改造前的斜

坡N3=80a米，坡