正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第07講正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

解析式y(tǒng)二=tanx

：）\n

圖象!一心E

。/111?

“一￡R,且xW,+左兀，

定義域

值域R

周期71

奇偶性奇函數(shù)

對(duì)稱中心佟o),kQZ

卜配）上GZ內(nèi)都是增函數(shù)

單調(diào)性在開區(qū)間（一微+E，Y

【即學(xué)即練1】（2122高一下?上海長寧?期中）函數(shù)y=tan（3x-?J的單調(diào)增區(qū)間是.

71k7l71k7l

【答案】--------1------,-----1------，左￡Z

12343

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】解：令一女下<3無一~-<—+k7i,

242

/口兀k汽兀krc1「

得+—<%<—+—,keZ,

12343

所以函數(shù)，，!1,-3的單調(diào)增區(qū)間是1-^|+浮9+",%€2.

故.答案為:（「五兀+丁kjr丁兀牙女%）卜7合.

題型精講

題型一：正切函數(shù)的圖象

1.（2223高一下?上海浦東新■階段練習(xí)）&=2桁+力仕?2）是1311々=1；111￡的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.既非充分也非必要條件D.充要條件

【答案】C

【分析】利用特值法，結(jié)合充分必要條件的定義即可

【詳解】由于a==r滿足tana=tan￡,但推不出a=2fai+￡優(yōu)eZ）,故必要性不滿足；

由于c=g,4=］滿足。=2析+分億eZ）,但正切值不存在，所以充分性不滿足；

所以&=2航+尸化eZ）是tana=tan/的既非充分也非必要條件

故選：C

2.（高一下,上海浦東新,期末）方程石sinx+cosx=0的解集是（）

A.{巾=左肛％￡Z}B.卜卜=2左?一

C.卜卜=左4一看,左￡2,D.卜卜二左4+卞左￡2,

【答案】C

【分析】把方程化為tanx=-迫，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.

3

【詳解】由題意，方程\/5sinx+cosx=0,可化為tan%=

3

TTTT

解得尤=上萬-彳，左eZ,即方程的解集為{尤|x=A萬左eZ}.

故選：C.

3.（高一下?上海楊浦?期中）函數(shù)，=卜加工的對(duì)稱軸是.

【答案】尤=1，keZ

【分析】作出函數(shù)y=kanx|的圖象，觀察圖象可得出函數(shù)y=1anx|的對(duì)稱軸方程.

【詳解】函數(shù)y=|tanX的圖象是〉=1如*把x軸的下部分翻折到x軸的上方可得到的，如下圖所示:

由圖象可知，函數(shù)y=gn,的對(duì)稱軸是x=￥,keZ.

故答案為：x=,左eZ.

【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值的正切函數(shù)對(duì)稱軸的求解，作出函數(shù)圖象是關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021高一?上海?專題練習(xí)）作出函數(shù)＞=|tanx|的圖象.

【答案】圖見解析

【分析】依題意，=1tanx|是將y=tanx在x軸下方部分的圖象關(guān)于x軸翻折上去，即可得到y(tǒng)=|tan尤|的函

數(shù)圖象；

【詳解】解：函數(shù)y=|tanx|是將y=tanx在無軸下方部分的圖象關(guān)于無軸翻折上去，所以y=|tanx|的圖象

題型二：利用正切函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

5.（2021高一下?上海寶山?期末）函數(shù)y=2tan0x（常數(shù)。＞0）在開區(qū)間卜彳上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［o,1

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求解.

Ijrk冗冗k4\

【詳解】由題意可知，函數(shù)y=2tanGx的單調(diào)遞增區(qū)間為-丁keZ,

\2a）①2co①）

（712萬I

因函數(shù)y=2tans（常數(shù)。＞0）在開區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù),

乃〉71

了一一茄

2?<?

所以解得。

~T~2O)

?！?

故答案為：（0,；.

TTTT

6.（2324高一下?上海?期中）若函數(shù)y=tanox在-上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】0<。<2

/7）7TTT

【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的單調(diào)性可得差<w,即可求解.

42

TTTT

【詳解】y=tan@x在-1]上為嚴(yán)格增函數(shù)，則。>0,

?十7171I,「6971O）Tl~\,,「69716971-I（兀兀、

由于XW——,則SW----,——，故----,——U——,

L44」L44y[_44」一（22）

因止匕—<—，解得0<<y<2,

42

故答案為：0<°<2

7171

7.（高二上?上海黃浦?期中）若"Vxe,tan%,相〃是真命題，則實(shí)數(shù)，〃的最小值為_____.

o4_

【答案】1

7t4

【分析】依題可知，只需求出'=1211*在xe上的最大值，即可求出.

64_

【詳解】因?yàn)閥=tanx在xe上單調(diào)遞增，所以為-=tanf=I.

64jmax4

JTTT

若“Vxe—,tan內(nèi),是真命題，所以加21.

64

故答案為：I.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問題的解法以及正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.（高三下?上海黃浦?階段練習(xí)）若函數(shù)y=tan@x在（-萬/）上是遞增函數(shù)，則。的取值范圍是

【答案】（0,1]

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式組，解不等式組求得。的取值范圍.

【詳解】由于數(shù)>=tan<yx在（-萬，萬）上是遞增函數(shù)，所以0>0.由-n<x<7T,則-0兀兀，由正切函

7兀/

KH——<一①71a)<-k+—

7兀7"匚Ur、I27

數(shù)的遞增區(qū)間可知:K7i——<a)x<kn+—,所以《],由于。>0,故取4=0,所以

22.71

E兀①WkT—

22

0<69^—.

2

故填：（。,?.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)正切函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

題型三：求正切（型）函數(shù)的奇偶性

9.（2324高一下?上海?期末）下列函數(shù)為奇函數(shù)，且在（。,1）上是嚴(yán)格增函數(shù)的是（）

A.y=-sinxB.y=cosxc.y=tanxD.y=|sinA-|

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閥=-sinx定義域?yàn)镽,其在上是嚴(yán)格減函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,,?,，=8sx定義域?yàn)镽,cos（—x）=cosx,，y=8sx為偶函數(shù)；B錯(cuò)誤；

（兀兀I

對(duì)于C,?.?y=tan%定義域?yàn)椋?5++EJ（左eZ）,tan（-x）=-tanx,

，y=tanx為奇函數(shù)，由正切函數(shù)性質(zhì)知y=tanx在（0,|J上是嚴(yán)格增函數(shù)，C正確；

對(duì)于D,?.?y=kinx|定義域?yàn)镽,曲（-刈=何11X，.?.y=|sin,為偶函數(shù)；D錯(cuò)誤.

故選：C.

10.（2324高二上?上海閔行?期末）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

A.y=tanxB.J=log2x

C.y=JD.y=2x+Tx

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，y=tan尤是奇函數(shù)，不符合題意.

B選項(xiàng)，V=log?尤是非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

C選項(xiàng)，y=V是奇函數(shù)，不符合題意.

D選項(xiàng),設(shè)〃x）=2，+2T,的定義域?yàn)镽,

f（-x）=2-x+2x=f（x）,所以為偶函數(shù).

故選：D

11.(2122高一下?上海浦東新?期末)下列3個(gè)函數(shù)：①y=|sinx|；(2)y=cos2%-sin2%；③y=tan［尤+g；

其中最小正周期為"的偶函數(shù)的編號(hào)為.

【答案】①②

【分析】利用偶函數(shù)的定義判斷各函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合周期函數(shù)的定義判斷各函數(shù)的周期，由此確定符

合要求的函數(shù)的編號(hào).

【詳解】記〃￡Hsinx|,則函數(shù)I(x)Tsinx|的定義域?yàn)镽,且

/(-%)=|sin(-x)|=|-sinx|=|sinx|=/(x),所以/(x)=|sinx|為偶函數(shù),

因?yàn)?(x+兀)=Mn(x+兀)|=|-sinx|=kinx|=/(x),所以兀為函數(shù)〃尤)的周期，

若0<7<兀為函數(shù)的周期，則〃T)=〃0)=0,/(r)=|sinT|^0,矛盾，所以兀為函數(shù)的最小正周期，

所以函數(shù)y=|sinx|滿足要求，

記g(x)=cos2_r-sin2x,貝!|g(x)=cos2x,函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)間(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),

所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，又函數(shù)g(x)的最小正周期為三=無，所以函數(shù)、=8$2》-$山2彳滿足要求,

(、sinx+—

記〃(x)=tan[x+j),則〃(%)=----=，所以函數(shù)人(力的定義域?yàn)樽骵Z},且

''cosx+—

I2

,/\cos(—X)COSX(7l\

h(-x)=--——r-=--=-h[x},函數(shù)y=tan|x+7|不滿足要求,

sin(-x)sinx2)

故答案為：①②.

12.(2021高一?上海?專題練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性

7171

(1)y=tan(3x--)(2)y=\tan(x+—)|

【答案】(1)非奇非偶函數(shù)；(2)非奇非偶函數(shù).

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷即可.

【詳解】(1)由3%—乙。工+Z肛(％wZ)得工。豆+豆，(keZ),

32183

TT小點(diǎn)+”,優(yōu)的｝不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以y=tan(3x--)定義域?yàn)?/p>

lo3

故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);

(2)由％+?￡2)得%工?+左肛(左GZ),

所以y=|tan(x+?)|定義域?yàn)椴凡穡?+左左，仕eZ)｝不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

故函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

題型四：由正切函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值

.X3c

13.（2122高一下?上海浦東新?期中）已知函數(shù)/（x）=atanx+b7sm——\-ex+2,且/⑴=4,則/(一1)=

V8

【答案】0

【分析】計(jì)算得到/⑴+/（-D=4,代入計(jì)算得到答案

【詳解】/(1)+/(-1)=[atanl+bsing+c+2)+(-atanl-Z?sinJ1-c+2)=4,

2

則/(-D=o.

故答案為：0

14.(2021高一下?上海浦東新?期中)函數(shù)/(x)=atanx-1,若/(3)=-2,則/(-3)的值為

【答案】0

【分析】由/(3)=-2,可得atan3=-l,然后再求出了(-3)

【詳解】因?yàn)?(x)=atanxT,且/(3)=-2,

所以atan3-l=-2,得atan3=-l,

所以/(—3)=atan(—3)—l=—atan3-1=1—1=0,

故答案為：0

題型五：求正切（型）函數(shù)的周期

15.（2025?上海?模擬預(yù)測）已知oeR,不等式<。在（0,2025）中的整數(shù)解有

機(jī)個(gè).關(guān)于機(jī)的個(gè)數(shù)，以下不可能的是（）.

A.0B.338C.674

【答案】D

71

【分析】由題設(shè)可得。<tan-X<a+l,結(jié)合正切函數(shù)的周期分aV-道或azg時(shí)，和兩種

情況討論求解即可.

即〃<tan-x\<a+l

6J

對(duì)于"x）=tan/J,周期為T=6,

且"0）=0"⑴邛F（2）=544）=一6〃5）=考"6）=0,

當(dāng)-右或北若時(shí)，不等式a<tan償x[<a+l在（0,2025）中無整數(shù)解；

當(dāng)-6<"有時(shí)，若不等式。<tan[^x卜。+1有在（0,6]內(nèi)只有1個(gè)整數(shù)解,

比如a=l時(shí)，此時(shí)在（0,6］內(nèi)的整數(shù)解為x=2,

而2025=6x337+3,

則在（0,2025）中可能有337+1=338個(gè)整數(shù)解；

若不等式tailed<a+l有在（0,6］內(nèi)只有2個(gè)整數(shù)解，

比如。=-0.9時(shí)，此時(shí)在（0,6］內(nèi)的整數(shù)解為x=5或x=6,

則在（0,2025）中可能有337x2=674個(gè)整數(shù)解；

由于#T<1,>1,一道一卜？>1,<1,

則在（0,6］內(nèi)最多只有2個(gè)整數(shù)解，因此在（0,2025）中不可能有1012個(gè)整數(shù)解.

故選：D.

16.（2324高一下?上海寶山?期末）函數(shù)y=tan［3x+］|的最小正周期為.

771

【答案】

【分析】由正切型函數(shù)周期性定義計(jì)算即可得.

71

【詳解】由正切型函數(shù)性質(zhì)可知丁=§.

故答案為：y.

7T

17.（2324高一下?上海?期中）函數(shù)y=tan（3x+m）的最小正周期為____.

4

JT\

【答案】d萬

71

【分析】根據(jù)7=時(shí)，直接計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由正切函數(shù)的周期公式得：T=^.

jr

故答案為：—

18.（高一下?上海靜安?期末）已知余切函數(shù)f（x）=cotx.

（1）請(qǐng)寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）

（2）求證：余切函數(shù)〃x）=cotx在區(qū)間（0,萬）上單調(diào)遞減.

【答案】（1）奇函數(shù)；周期為萬，單調(diào)遞減速區(qū)間：（版■，億+1）萬）左eZ（2）證明見解析

【分析】（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)寫出結(jié)果.

（2）利用單調(diào)性的定義和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果.

【詳解】(1)奇函數(shù)；周期為萬，單調(diào)遞減區(qū)間：(日伏+l”"eZ

(2)任取4，x,G(O,^),玉<馬,有

coscosxsin(x}-x?)

cotx2-cot%=———-——；——-=~；---

sinx2sinxxsin石sinx2

因?yàn)?<X]<%2<九,所以一萬<芯一入2<0，

于是sin玉/>0，sin(%1-x2)<0,

從而cotx2-cot%v0,cotx2<cotx1.

因此余切函數(shù)"X)=cotX在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

題型六：由正切函數(shù)的周期求值

19.(2021高一?上海?專題練習(xí))函數(shù)Ax)=tanox(o>0)的圖像相鄰的兩支截直線y=JTT所的線段長度為71T,

44

則的值為()

71八

A.—B.0C.1D.2

4

【答案】B

JT

【分析】依題意可得函數(shù)的最小正周期為即可求出。，再代入求值即可；

4

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=tans(0>O)的圖像相鄰的兩支截直線y=JTT所的線段長度為1JT,所以函數(shù)

44

/(%)=tans3>0)的最小正周期為二，所以工二:，所以口=4,所以/(x)=tan4x,所以

4co4

f=tan(4x；]=tan兀=0

故選：B

20.(2122高一下?上海浦東新?階段練習(xí))若函數(shù)y=tan]ox+?)(其中常數(shù)oeR)的最小正周期為萬，

則常數(shù)。取值集合元素個(gè)數(shù)為

【答案】2

【分析】由正切型函數(shù)的周期求解.

兀

【詳解】由題意向=萬，/=±1,共兩個(gè).

故答案為：2.

21.（2122高一下?上海奉賢?期中）直線y=a與函數(shù)》=tanx的圖象的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離是.

【答案】式

【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】直線，=。與丁=1211元的圖象的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離剛好是函數(shù)，=1211元的一個(gè)周期，

因?yàn)楹淖钚≌芷跒槿f，

所以直線與函數(shù)y=tanx的圖象的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離是;r.

故答案為：71.

22.（2021高一下?上海楊浦?期中）若函數(shù)y=tan（s+m（其中常數(shù)。＞0的最小正周期為2,則。的值為

【答案】三

2

【分析】結(jié)合正切型函數(shù)的周期公式即可直接求解.

TTTT

【詳解】由題意可知丁=工=2,解得G=￡,

co2

TT

故答案為：

題型七：求正切（型）函數(shù)的對(duì)稱中心

23.（2122高一下?上海黃浦?期中）函數(shù)y=3tan13x-：J的一個(gè)對(duì)稱中心是（）

A.朋）B.加C,［扣）D.1用

【答案】C

【分析】求解出對(duì)稱中心為左eZ,對(duì)上賦值則可判斷.

【詳解】令3x-：=g,%eZ,

42

,/口kit7T,

解At得x=+二,kwZ,

o12

所以函數(shù)y=3tan（3x-：圖象的對(duì)稱中心是［不+丘左eZ,

令左=-2,得函數(shù)y=3tan（3x-：］圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是卜：,0

故選：C.

24.（2021高一?上海?專題練習(xí)）函數(shù)y=tan2x的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.

【答案】（HkeZ

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱性可得出函數(shù)v=tan2x圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】由正切函數(shù)的基本性質(zhì)可知，函數(shù)>=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)［1,0j(左eZ)成中心對(duì)稱，

令2戶容(3)得x嚀QeZ),所以函數(shù)y=tan2x的圖像關(guān)于點(diǎn)《,。］(左eZ)成中心對(duì)稱

故答案為：仔,。［伏eZ).

25.(高一下?上海浦東新?期中)函數(shù)y=tanx的對(duì)稱中心是.

【答案】仔,。),3

【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】由正切函數(shù)的圖象可知，y=tan尤的對(duì)稱中心是(與,0)/eZ.

故答案為：(”,0)?eZ

2

【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的對(duì)稱中心，考查學(xué)生對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握，是一道基礎(chǔ)題.

26.(2021高一下?上海?單元測試)寫出函數(shù)/(x)=tan13x+￡|的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中

心.

【答案】定義域+周期T=g,在［4萬-?,*萬+5］左eZ遞增，無遞減區(qū)間，對(duì)稱

中心〔9喂°卜”

【分析】由3x+J*1br+g,可求得其定義域，利用整體思想結(jié)合正切函數(shù)的周期性、單調(diào)性及對(duì)稱性可求

得其最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心；

【詳解】解：由3x+?一版+］,得：xwgv+q,keZ.

所以，其定義域?yàn)榘藎彳力^萬+合,出€2｝；

由，(x)=tan［3x+7］得：其最小正周期7=(；

?.7C_7C.7Tzi—?kJTkJT,r

FHK7t<JXH<K7TH,：—7T<X<—71H,攵?/.

24234312

所以，函數(shù)/(x)=tan(3x+?］的單調(diào)遞增區(qū)間為+左EZ,kcZ.無遞減區(qū)間；

由3%+生=上得：x=—7i~—,keZ.

42燈612

-eZ

所以y=/(x)的對(duì)稱中心為(612)；

題型八：求正切（型）函數(shù)的定義域

27.（2324高一下?上海?期中）下列四個(gè)函數(shù)中，定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（）

A.y=cos%B.y=sinxC.=tanxD.y=sinx+cosx

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義域和奇偶性直接分析判斷即可.

【詳解】由三角函數(shù)可知：y=cosx,y=sin尤的定義域均為R,

y=tanx的定義域?yàn)镸1+、歡eZ：,不為R,故C錯(cuò)誤；

且;y=cos尤為偶函數(shù)，y=sinx為奇函數(shù)，可知y=sin尤+cosx為非奇非偶函數(shù)，

故AD錯(cuò)誤，B正確；

故選：B.

28.（2021高一下?上海金山?期中）下列命題中正確的是（）

A.函數(shù)y=tanx的定義域是卜

B.第一象限的角必是銳角

C.若sina=sin6,則a與￡的終邊相同

D.>=sin|x|不是周期函數(shù).

【答案】D

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義可知A錯(cuò)誤；容易舉出反例判定BC錯(cuò)誤；根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和周期函數(shù)的

定義，的利用反證法可以證明D正確.

【詳解】由正切函數(shù)的定義可知函數(shù)>=tanx的定義域?yàn)椴?0+卻回口時(shí)正切函數(shù)是有意義的,

故A錯(cuò)誤；

380。是第一象限角，但不是銳角，故B錯(cuò)誤；

60。和120。的正弦值相等，但終邊不相同，故C錯(cuò)誤；

假若函數(shù)'=$達(dá)|元|是周期函數(shù)，存在D0,使得危+刀式力對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，

當(dāng)x>0時(shí)，由正弦函數(shù)的周期性得,T=2覬，眼N*,

所以函數(shù)>=$山|彳|不是周期函數(shù)，故D正確.

故選：D.

29.（2324高一下?上海黃浦?期末）設(shè)040<兀，若函數(shù)y=tan（x+°）的.定義域?yàn)閃祈+三,左ez1,則。

的值為.

IT1

【答案】3小

6o

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，列式求解.

TTTT

【詳解】由題意可知，hi+—+（p=hi+—,keZ,

所以夕=1

o

故答案為：--

O

30.（2223高一下?上海靜安?期中）函數(shù)y=tan[x+，的定義域是.

【答案】{x|%wl+6匕旌Z}

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，列不等式求解，可得答案.

1T

【詳解】由于正切函數(shù)y=tai式的定義域?yàn)閧x|xw-w+E#eZ},

故令工無+工工二+E,4wZ,

632

解得光w1+6k,keZ,

即函數(shù)y=tan[%+]]的定義域是{x|xwl+6左次$Z},

故答案為：{%l%wl+6N上￡Z}

31.（2324高一?上海?課堂例題）求函數(shù)y=2tan（3x-^|的定義域和單調(diào)區(qū)間.

【答案】定義域?yàn)椴穦xw1+1~,左eZ：,增區(qū)間為[石-§,彳+eZ,沒有減區(qū)間

【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)定義域、單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.

【詳解】由3尤-3*航+三，解得天/"+M，

6239

所以函數(shù)y=2tan「x-W的定義域?yàn)?

1,7T_71J7ChTiyrzjkit71kK2兀

由ku—<3x—<kuH—解得-----<x<1,

2623939

所以函數(shù)y=2tan]3x-《）的單調(diào)遞增區(qū)間為十號(hào)+高,％eZ,沒有減區(qū)間.

題型九：求正切（型）函數(shù)的值域及最值

32.（2122高三上?上海浦東新?期中）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋ā?內(nèi)）的是（）

3

A.y=4'B.-2

,y-Ar

C.y=tanxD.y=cosx

【答案】A

【分析】逐一進(jìn)行驗(yàn)證，可判斷結(jié)果.

【詳解】對(duì)A,函數(shù)y=4工的值域?yàn)椋?,+w）；

3

對(duì)B,函數(shù)y=尤5的值域?yàn)閇0,+8）;

對(duì)C,函數(shù)y=tanx的值域?yàn)镽；

對(duì)D,函數(shù)，=cos龍的值域?yàn)閇-1,1]

故選：A

33.（2021高三上?上海浦東新?期中）已知/（x）=tanx,xeZ,則下列說法中正確的是（）

A.函數(shù)/■（%）不為奇函數(shù)B.函數(shù)/'（%）存在反函數(shù)

C.函數(shù)“X）具有周期性D.函數(shù)〃元）的值域?yàn)镽

【答案】B

【解析】根據(jù)/（x）=tanx,xeZ圖象與性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】對(duì)于4/（X）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/（-工）=1311（-&）=-1311；1=-/（元），xeZ,故/（X）為奇函數(shù),

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：y=/（x）=tanx,xeZ在定義域內(nèi)---對(duì)應(yīng)，所以x=arctany,即的反函數(shù)為y=arctanx,

故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)?'（xhtanx,xeZ,故/（尤）圖象為孤立的點(diǎn)，不是連續(xù)的曲線，所以“可不具有周期性，

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：因?yàn)?（x）=tanx,xeZ,所以/（尤）圖象為孤立的點(diǎn)，不是連續(xù)的曲線，所以〃尤）的值域?yàn)橐恍?/p>

點(diǎn)構(gòu)成的集合，不是R,故。錯(cuò)誤.

故選：B

34.（2021高一下?上海長寧?期末）函數(shù)y=tan]x-：）xeQ亳的值域?yàn)?

【答案】（1,內(nèi)）

【分析】由題意利用正切函數(shù)的性質(zhì)，即可解出.

?、、，,「兀3兀、71（717l\一田，n

【詳解】當(dāng)；?函數(shù)y=tan（x-j>l，

故函數(shù)的值域?yàn)椋?,a）,

故答案為：（l,y）.

35.（2425高一?上海?隨堂練習(xí)）求函數(shù)＞=tan|x|的定義域與值域，并作其圖像.

【答案】答案見解析

【分析】由xNO和x＜0去掉國上的絕對(duì)值符號(hào)，可得函數(shù)的定義域與值域；當(dāng)xNO時(shí)，函數(shù)在y軸右側(cè)

的圖像即為y=tanx的圖像不變，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)在y軸左側(cè)的圖像為〉、?》在＞軸右側(cè)的圖像關(guān)于＞軸

對(duì)稱的圖像，畫出即可.

兀

tanx,x>0且xw%乃H——

【詳解】由己知，設(shè)/（x）=tan|x|=:，（丘z）,

-tanx,x<0且xw左乃H——

2

可知，函數(shù)的定義域?yàn)?

—7T

{x\xeR,S.x^k7i+—,keZ},值域?yàn)镽；

2一

當(dāng)xNO時(shí),函數(shù)y=tan|x|在y軸右側(cè)的圖像即為y=tanx的圖像不變;

當(dāng)x<0時(shí),y=tan|x|在y軸左側(cè)的圖像的y=tanx在y軸右側(cè)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，如圖所示（實(shí)

線部分）.

題型十：求含tanx的二次式的最值

7E71

36.（2324高一下?上海浦東新?期中）函數(shù)〃x）=tan2x-tanx,尤e的最大值與最小值之和

為.

【答案】47

4

JT-JT

【分析】換元法求函數(shù)值域，首先令tanx=r,根據(jù)尤e得年［-!』，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)即可求解.

JTJT

【詳解】令tanx=f,xe

貝Ijy=一；，因?yàn)閷?duì)稱軸為/=；,

所以y=在fe-1,|上單調(diào)遞減，在此g,l上單調(diào)遞增，

11

所以，當(dāng)/=一1時(shí)，加=2,當(dāng)仁]時(shí)，ymn=--,

17

函數(shù)〃x)=tan2x_tanx的最大值與最小值之和為2-1="

7

故答案為：—.

4

37.(2122高一下?上海長寧?期中)函數(shù)〃x)=-2tan2尤+5tan尤-2,xe-的值域?yàn)?/p>

【答案】[一9,1]

【分析】由x的范圍求出tanx的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)閤e,所以tanxe[-l』，

f(x)=-2^tanx-|^

則當(dāng)tanx=l時(shí)，1mx=1,

當(dāng)tanx=-l時(shí)，/(%"=一9，

所以函數(shù)〃x)的值域?yàn)?/p>

故答案為：[-9』.

38.(2021高一下?上海徐匯?期中)函數(shù)/(x)=tan2尤+tanx-2,xe的值域是

44_

-9'

【答案】-了。

【分析】求出tanx的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出值域.

7171

【詳解】*?*xe—丁，:，??tanxe[—1,1]

_44_

(1丫9

,/f(x)=tan2x+tanx-2=Itanx+I-

9

-9-

故答案為：-7。

39.(2021高一?上海?專題練習(xí))已知y=tan2x-2tanx+3,求它的最小值

【答案】2

【分析】由題意，可得y=(tanx-iy+2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最小值，得到答案.

【詳解】由題意，可得y=（tanx-l）2+2,由于taraeR,所以當(dāng)tanx=l時(shí)，函數(shù)取最小值2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記正切函數(shù)

的值域，合理應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，注重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

40.（2021高一?上海?專題練習(xí)）求函數(shù)y=i+（tan.l）2的最大值，并求當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，自變量x的

集合.

【答案]'max=2,此時(shí)x==?+左/，左ez}

【分析】令f=tanx,貝heR,了?）=歷可，根據(jù)二次函數(shù)及反例函數(shù)的性質(zhì)可得t=l時(shí)/⑺1mx=2,

即可求出函數(shù)的最大值及最大值時(shí)x的取值集合；

【詳解】解：因?yàn)檐?]+儂：._1）2，令tutanx,則feR,7（'）=不1]/，因?yàn)閥=1+?-1）221,所以

2

0</(^)=,即r=1時(shí)f(^)max=2,即tanx=l,x=?+k7i,kQZ,即當(dāng)x=x\x=—+k7l,k€Z

時(shí)函數(shù)取得最大值，皿=2

ffl強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2425高一下?上海?單元測試）下列函數(shù)中在（0,1）上為嚴(yán)格減函數(shù)的是（）

A.y=cosx；B.y=2*；C.y=sin無；D.y=tanx.

【答案】A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二角函數(shù)的單調(diào)性判斷即得.

【詳解】函數(shù)y=cosx在（0,1）上單調(diào)遞減，函數(shù)y=2'y=sinx,y=tanx在（0,1）上都單調(diào)遞增.

故選：A

2.（2324高一下?上海?期中）函數(shù)y=tanx是（）.

A.最小正周期為F7T的奇函數(shù)

B.最小正周期為g的偶函數(shù)

2

C.最小正周期為兀的奇函數(shù)

D.最小正周期為兀的偶函數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=tanx為最小正周期為兀的奇函數(shù).

故選：C

3.（2324高一下?上海松江?期末）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是周期為兀的函數(shù)為（）

A.y=cosxB.y=|sinx|C.y=sin2xD.y=tan2x

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和周期性一一判斷即可.

【詳解】對(duì)A,y=cosx是偶函數(shù)，周期為2兀，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,設(shè)外力=卜山|,定義域?yàn)镽,且〃-%）=卜苗（-可口sinx|,則其為偶函數(shù)，

因?yàn)閥=sinx周期為2兀，則y=卜加|的周期為兀，故B正確；

對(duì)C,y=sin2》是奇函數(shù)，周期為兀，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,y=tan2尤是奇函數(shù)，周期為7T:，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

4.（2324高一下?上海嘉定?期中）我們把正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的圖像看作一組"平行曲線".而"平行曲線"

具有性質(zhì)：任意一條平行于橫軸的直線與兩條相鄰的"平行曲線”相交，被截得的線段長度相等，已知函數(shù)

>—心工+曰?>。）圖像中的兩條相鄰"平行曲線"與直線>=2024相交于A、3兩點(diǎn)，且網(wǎng)=^，己知

命題：①。=4：②函數(shù)在［0,2024可上有4048個(gè)零點(diǎn)，則以下判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件得自=工，求出。，即可判斷①；令tan（2x+含）=0,求出x,解不等式-￡4尤42024兀,

即可判斷②.

【詳解】依題意得［=火，所以。=2,故①為假命題；

2CD

所以y=tan（2無+制，

令tan（2x+蛋）=0,得2%+上=也，kcZ,^x=———,kcZ,

\12/12224

jr）1

由OW---------<2024K,得一4Z44048+—，keZ,

22^^1212

所以整數(shù)上的值有4048個(gè)，函數(shù)在［0,2024可上有4048個(gè)零點(diǎn)，故②為真命題.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)|鈿|為函數(shù)的一個(gè)周期，求出。是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.（2324高一下?上海?期中）滿足tana=6的所有a的集合為.

【答案】|a|a=j+far,A:ezj

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)解方程可得a=：+析,左eZ,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閠ana=A，HJW?=+eZ,

所以所有a的集合為+kez}.

故答案為：1a|a=j+fet,^ezj.

6.（2223高一下?遼寧?期中）若/（x）=tan0x的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心距離是則正實(shí)數(shù)。的值是.

【答案】1

【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的對(duì)稱中心與周期的關(guān)系即可求解.

【詳解】由于"xhtanw的周期為T=j，由于相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心距離是:T,所以;T=方則

T=7l=>0）=1,

故答案為：1

7.（2324高一下?上海?階段練習(xí)）函數(shù)y=l-tan無的最小正周期為

【答案】兀

【分析】由'=1皿工的最小正周期為兀，根據(jù)圖象變換的原則，即可得到函數(shù)y=l-tan尤的最小正周期.

【詳解】函數(shù)y=l-tan龍的最小正周期即函數(shù)丫小血》的最小正周期，

所以所求最小正周期為兀.

故答案為：兀.

兀71

8.（2324高一下?上海?期中）函數(shù)y=tan2x,xe的最大值為_____.

O0_

【答案】V3

【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)的最大值.

JTTTTTTT717r

【詳解】當(dāng)尤e時(shí)2尤€,所以y=tan2x在一二上單調(diào)遞增，

66」[_33J66_

所以當(dāng)x=《時(shí)y=tan2x取得最大值，即一x=tan（2x胃=6.

故答案為：6

9.（2324高一下?上海嘉定?期中）若tana=tan/,且滿足a<〃，則￡-e的最小值為.

【答案】兀

【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】y=tanx周期為兀，且在區(qū)間^5+也弓+版）（左?Z）上為單調(diào)增函數(shù)，

tana=trn/3,故尸一a=E,左wZ.

且a＜尸，故尸-。的最小值為兀.

故答案為：兀

10.（2021高一下?上海金山?期中）函數(shù)y=tanx+l的圖象的對(duì)稱中心為.

【答案】

【分析】由正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，結(jié)合圖象平移變換即可得到答案.

【詳解】y=tanX的對(duì)稱中心是（與,0）MeZ.

團(tuán)函數(shù)y=tanx+l的圖象由》=1211尤的圖象向上平移1個(gè)單位得到，

回函數(shù)＞=tanx+l的對(duì)稱中心為（容1）,左eZ

故答案為：（年

11.（2223高一下?上海嘉定?期中）下列關(guān)于函數(shù)y=tanQx+3的說法：①在區(qū)間卜曰上為嚴(yán)格增

函數(shù)；②最小正周期為兀；③圖像的對(duì)稱中心為-今0）（左eZ）.其中正確的說法是.（只填寫正確

說法的序號(hào)）

【答案】①③

【分析】直接利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用即可判斷.

【詳解】對(duì)于①，令一火+E＜2x+巴＜析+工（ZeZ）,解得-2+@＜》＜2+如（左eZ）,

232122122

當(dāng)上=0時(shí)，-署。*,所以函數(shù)/（元）在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，①正確；

對(duì)于②，函數(shù)/（元）的最小正周期為T=',②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，令2元+乙=幺依eZ）,解得x*-白keZ）,

3246

所以函數(shù)/（元）圖象的對(duì)稱中心為仁吟。,eZ）,③正確.

故答案為：①③

12.（2122高一下?上海浦東新?期末）對(duì)于函數(shù)＞=/