圖形初步（講義）解析版-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題14圖形初步的核心知識點精講

O復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系.掌握它們的表示方法.

2.掌握“兩點確定一條直線”的性質(zhì)，了解“兩條直線相交只有一個交點”.

3.理解線段的和與差的概念，會比較線段的大小，理解“兩點之間線段最短”的性質(zhì).

4.理解線段的中點和兩點間距離的概念.

5.會用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段.

6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、銳角、鈍角的概念.

7.掌握度、分、秒的換算，會計算角度的和、差、倍、分.

8.掌握角的平分線的概念，會畫角的平分線.

9.會解決有關(guān)余角、補(bǔ)角的計算問題；會用“同角或等角的余角相等、同角或等角的補(bǔ)角相等”進(jìn)行推理.

10.靈活運用對頂角和垂線的性質(zhì)；

11.掌握并靈活運用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的推理和計算；

12.理解和識別方向角

O考點椅理O

考點1:直線、射線與線段的概念

端點

類型圖例表示方法書寫規(guī)范

個數(shù)

直線直線或直線

?/.0個兩個大寫字母無順序

BA或直線1

AB

兩個大寫字母中的第一個表

./

射線射線。/或射線/1個

AB示端點

----------1---------.線段或線段

線段2個兩個大寫字母無順序

AB氏4或線段/

注意：直線是可以向兩邊無限延伸的，射線受端點的限制，只能向一邊無限延伸；線段不能延伸，所以直

線與射線不可測量長度，只有線段可以測量。

考點2:基本事實

1.經(jīng)過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線

2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短

考點3：基本概念

1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離。

2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點

考點4：雙中點模型

C為AB上任意一點，M、N分別為AC.BC中點，貝|MN=-AB

2

考點5：角及其平分線

1.度量角的大?。嚎捎谩岸取弊鳛槎攘繂挝?。把一個圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分;

1分=60秒。

2,余角：若Nl+N2=90°,則/I與N2互余，若/I與N2互余，則/1+/2=90°.

3.補(bǔ)角:若Nl+N2=180°,則N1與N2互補(bǔ)，若N1與N2互補(bǔ),則Nl+N2=180°.

性質(zhì)：同角（等角）的余角相等.同角（等角）的補(bǔ)角相等.

4.角的平分線的性質(zhì)

（一）作己知角的平分線（已知：zAOBo求作：NAOB的平分線）

1、以點。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交0A于點M,交0B于點N。

2、分別以M,N為圓心，大于稱MN的長為半徑畫弧，兩弧在/AOB的內(nèi)部相交于點C。

3、畫射線OC,射線OC即為所求。

（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

幾何表示：???OC是NAOB的平分線，P是OC上一點，PD1OA,PE1OB,垂足分別為D,Eo.-.PD=PEo

5.角的平分線的判定

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

幾何表示：

???點P是NAOB內(nèi)的一點，PD1OA,PE1OB,垂足分別為D,E,且PD=PE,

.?.點P在NAOB的平分線OC上。

考點6：相交線

1.對頂角：如圖1所示，N1與N3、N2與N4都是對頂角。

2.鄰補(bǔ)角：如圖2所示，N1與N2互為鄰補(bǔ)角，由平角定義可知/1+/2=180°。

圖1圖2

3.三線八角

兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。

(1)同位角：可以發(fā)現(xiàn)/I與/5都處于直線/的同一側(cè)，直線b的同一方，這樣位置的一對角就是

同位角。圖中的同位角還有/2與/6,/3與/7,/4與/8。

(2)內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)N3與N5都處于直線/的兩旁，直線b的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯

角。圖中的內(nèi)錯角還有N4與N6。

(3)同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)N4與N5都處于直線/的同一側(cè)，直線b的兩方，這樣位置的一對角就是

同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有N3與N6。

4.垂線的性質(zhì)

(1)在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

5.垂直平分線的性質(zhì)

(1)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

(2)逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

考點7：平行線

1.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

2.平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實際上是指它們所在的直線平行。

3.平行線的判定：

(1)同位角相等，兩直線平行。

(2)內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

4.平行線的性質(zhì)

(1)兩直線平行，同位角相等。

(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

說明：要證明兩條直線平行，用判定公理(或定理)在已知條件中有兩條直線平行時，則應(yīng)用性質(zhì)定

理

考點8：命題

內(nèi)容

定義能判斷一件事情的語句，叫做命題。

命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項，結(jié)論是由己知事

組成

項推出來的事項

通?？梢詫懗伞叭绻?....，那么......”的形式，“如果”后接的部

表達(dá)形式

分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。

分類題設(shè)成立，結(jié)論也成立，這樣的命題叫做真命題

典例引領(lǐng)

【題型1線與角概念和基本性質(zhì)】

【典例1】（2024?山東日照?中考真題）如圖，直線AB,CD相交于點。若N1=40。/2=120。，則NCOM的度

數(shù)為（）

A.70°B.80°100°

【答案】B

【分析】本題考查對頂角的定義，幾何中角度的計算，由對頂角相等得到N2=NBOC=NCOM+N1,即

可解答.

【詳解】解：?.?N2=NB0C=NC0M+41,

???/.COM=Z2-Z1=120°-40°=80°.

故選：B.

@力即時檢測

1.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，推動水桶，以點。為支點，使其向右傾斜.若在點/處分別施加推力

尸2,則%的力臂。4大于&的力臂。反這一判斷過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.垂線段最短

B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.兩點確定一條直線

D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】A

【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過點。

有OB1AB,進(jìn)而利用垂線段最短得到。A>0B即可解題.

【詳解】解：???過點。有。

0A>0B,

即得到Fi的力臂。力大于尸2的力臂°B，

???其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，

故選：A.

2.（2024?廣西?中考真題）如圖，2時整，鐘表的時針和分針?biāo)傻匿J角為（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查了鐘面角，用30。乘以兩針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵.根據(jù)鐘面的特點，鐘面平均分成

12份，每份是30。，根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)，可得答案.

【詳解】解：2時整，鐘表的時針和分針?biāo)傻匿J角是30。義2=60。，

故選：C.

3.（2024?河南?中考真題）如圖，乙地在甲地的北偏東50。方向上，則N1的度數(shù)為（）

北

A.60°B.50°

【答案】B

【分析】本題主要考查了方向角，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)直接可得答案.

【詳解】解：如圖,

由題意得，ZBXC=5O°,ABWCD,

.-.zl=zBXC=50°,

故選：B.

典例引領(lǐng)

【題型2：平行線的性質(zhì)和判定】

【典例2】（2024?山東濰坊,中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架與吊線FG平行，燈桿C。

與底部支架所成銳角a=15。.頂部支架EF與燈桿CD所成銳角0=45。，則EF與FG所成銳角的度數(shù)為

A.60°B.55°D.45°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，平行公理的推論，過點E作EHIIAB,可得4BIIEHIIFG,即得

乙BEH=4a=15°,AFEH+^EFG=180°,根據(jù)40=45。求出NFEH即可求解，正確作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點E作EHII4B,

■.-ABWFG,

.-.ABWEHWFG,

??.N8EH=a=15°,^FEH+/.EFG=180°,

???/?=45°,

:"FEH=180°-45°-15°=120°,

"EFG=180°-NFEH=180°-120°=60°,

與尸G所成銳角的度數(shù)為為60。，

故選：A.

即時檢浦

1.（2024?山東淄博中考真題）如圖，已知ADIIBC,BD平分乙4BC.若NA=110。，則ND的度數(shù)是（）

A.40°B.36°C.35°D.30°

【答案】C

【分析】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題時要熟練掌握并能靈活運用平行線的

性質(zhì)是關(guān)鍵.依據(jù)題意，根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：,??4。IIBC,

.-./.ABC=180°-Z71=180°-110°=70°,z￡>=乙DBC；

???BD平分NABC,

???Z￡)BC=|ZT1SC=|X70°=35°.

??"=35°.

故選：C

2.（2024?福建?中考真題）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CD1DE）按如圖方式

擺放，若48||CD,則N1的大小為（）

A.30°B.45°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì),由2B||CD,可得Z.CDB=60。，即可求解.

【詳解】---AB||CD,

:/CDB=60°,

■：CD1DE,貝此CDE=90。，

.-.Zl=180°-/.CDB-^CDE=30°,

故選：A.

①置典例引領(lǐng)

【題型3：度、分、秒的計算】

【典例3】（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）74O19'30"=°.

【答案】74.325°

【分析】根據(jù)度、分、秒的進(jìn)率計算即可得到答案.

【詳解】解：74°19'30"=74°19.5'=74.325°,

故答案為：74.325。.

【點睛】此題考查度分秒的進(jìn)率計算，熟記度分秒之間的進(jìn)率是解題的關(guān)鍵.

即時檢測

1（22-23七年級上?浙江湖州,期末）已知41與42互余，若42=29。2（/,則N1的度數(shù)等于（）

A.61040（B.60080,C.60°40'D.29°20'

【答案】C

【分析】根據(jù)互余兩角之和為90。計算，即可求解.

【詳解】解："l與N2互余，42=29。20、

.?.zl=90°-z2=60°40,,

故選C.

【點睛】本題考查了余角的知識，屬于基礎(chǔ)題，掌握互余兩角之和等于90。是解答本題的關(guān)鍵.

典例引領(lǐng)

【題型4：三角板放置產(chǎn)生的角度計算】

【典例4】（2024?四川瀘州?中考真題）把一塊含30。角的直角三角板按如圖方式放置于兩條平行線間，若

21=45°,貝！)/2=()

A.10°B.15°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角的運算，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.利用平行

線性質(zhì)得到43=135。，再根據(jù)平角的定義求解，即可解題.

【詳解】解：如圖,

直角三角板位于兩條平行線間且N1=45。,

43=135°,

又,?,直角三角板含30。角,

.-,180°-z2-z.3=30°,

42=15°,

故選：B.

即時檢清

1.（2024?山東東營?中考真題）已知，直線a||b,把一塊含有30。角的直角三角板如圖放置，41=30。,

三角板的斜邊所在直線交b于點4貝^2=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出NC4D=N4CB=90。，即可解

答.

【詳解】解：railb,

：.^CAD=^ACB=90°,

.-.Z2=180°-Nl-N&W=60°,

故選：B.

2.（2024?四川涼山?中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E在力B的延長線上，^DF||AB

時，NED8的度數(shù)為（）

卿腐

A.10°B.15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.證明

NAED=NFDE=30。，再利用=進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：NEDF=30。，乙4BC=45。，

■.■DFWAB,

：./-AED=/.FDE=30°,

:/EDB=/L.ABC-^AED=45°-30°=15°；

故選B.

.日典例引領(lǐng)

【題型5：命題】

【典例5】（2024湖南中考真題）下列命題中，正確的是（）

A.兩點之間，線段最短B.菱形的對角線相等

C.正五邊形的外角和為720。D.直角三角形是軸對稱圖形

【答案】A

【分析】本題考查了命題與定理的知識，多邊形外角性質(zhì)，菱形性質(zhì)及軸對稱圖形的特點，解題的關(guān)

鍵是掌握這些基礎(chǔ)知識點.

【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；

B、菱形的對角線互相垂直，不一定相等，選項錯誤，是假命題，不符合題意；

C、正五邊形的外角和為360。，選項錯誤，是假命題，不符合題意；

D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，選項錯誤，是假命題，不符

合題意；

故選：A.

?■即時檢涌

1.（2024?江蘇無錫?中考真題）命題"若a>b,貝必-3<b—3”是命題.（填"真"或"假"）

【答案】假

【分析】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)a>6,可得出a-3>6-3,進(jìn)而可

判斷出若a>b,貝!|a—3<6-3是假命題.

【詳解】解：:a>6

.■.a-3>b—3,

二若a>b,貝！Ja—3<b—3是假命題，

故答案為：假.

2.（2024江蘇宿遷中考真題）請寫出定理"兩直線平行，同位角相等"的逆定理.

【答案】同位角相等，兩直線平行

【分析】本題考查了逆定理的改寫，根據(jù)題意，將題設(shè)與結(jié)論交換位置即可.

【詳解】解：定理"兩直線平行，同位角相等"的逆定理是同位角相等，兩直線平行，

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

O好題沖關(guān)O

鉗基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2025湖南婁底一模）下列命題中錯誤的是（）

A.兩點之間線段最短

B.有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.兩點確定一條直線

D.平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】B

【分析】本題考查真假命題的判斷，熟練掌握線段、直線、垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定定理是解

題的關(guān)鍵，

根據(jù)線段、直線的性質(zhì)以及三角形全等的判定定理、垂線的性質(zhì)，對選項逐一進(jìn)行分析.

【詳解】A.兩點之間線段最短，這是線段的基本性質(zhì)之一，所以本選項說法正確，故不符合題意；

B.三角形全等的判定定理中，兩邊及一角對應(yīng)相等分為兩種情況：

兩邊及其夾角對應(yīng)相等，此時兩個三角形全等（SAS判定定理）.

兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，此時兩個三角形不一定全等.

所以本選項說法是錯誤的，故本選項符合題意；

C.兩點確定一條直線，這是直線的基本性質(zhì)，是數(shù)學(xué)中的基本公理，所以本選項說法正確，故不符合

題意；

D.平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，這是垂線的基本性質(zhì)，所以本選項說法正確,

故不符合題意；

故選：B.

2.（2024安徽二模）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含45。角的三角板的一條直角邊與含30。角的

三角板的斜邊垂直，貝僚的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】D

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與三角板有關(guān)的計算，先證明DFIIAB,得到

NB+ADFB=180。，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，由題意，得:Z1=45°,ZB=60°,FD1DE,DE1AB,

E

H

：.DF||AB,

.-.^B+ADFB=180°,

.-.^DFB=180°-60°■120°,

.-.a=4DFB—41=120°-45°=75°；

故選D.

3.（2024甘肅模擬預(yù)測）如圖，直線a,6被直線c所截，a\\b,乙2=100。，則N1的余角為（）

A.10°B.20°C.30°D.80°

【答案】A

【分析】本題主要考查平行的性質(zhì)，余角的定義，熟練掌握平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行的性

質(zhì)求出N1的補(bǔ)角，即可求出N1,即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)N1的鄰補(bǔ)角為N3,

???a\\b,Z2=100°,

z_2=N3=100°,

zl=180°-z3=80°,

故的余角為90°-80°=10°.

故選A.

4.（2024河北石家莊二模）關(guān)于圖中的點和線，下列說法錯誤的是（）

_________III__________

ACB

A.點C在直線4B上B.點C在線段4B上

C.點3在射線4C上D.點8在線段AC上

【答案】D

【分析】此題主要考查了點與直線，線段的相關(guān)概念，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握點與直線，線段的相關(guān)概

念是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)圖形可知：點C在直線4B上正確，故選項A正確，不符合題意；

點C在線段上，故選項B正確，不符合題意；

點8在射線2C上，故選項C正確，不符合題意；

點8不在線段4C上，故選項D不正確，符合題意.

故選：D.

5.（2024江蘇蘇州一模）如圖所示幾何體的左視圖是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了從不同的方向看幾何體，從左邊看，看到的圖形分為上下兩層，共2歹U,從

左邊起，第一列上下兩層各有一個小正方形，第二列下面一層有一個小正方形，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：從左邊看，看到的圖形分為上下兩層，共2歹從左邊起，第一列上下兩層各有一個小

正方形，第二列下面一層有一個小正方形，即看到的圖形如下：

故選：D.

7.（23-24七年級上?江西撫州,期末）如下圖，該幾何體從正面看得到的圖形為（）

【答案】B

【分析】本題考查了從不同方向看物體，根據(jù)從物體正面看即可得.

【詳解】解：從正面看，所得到的圖形是：

故選：B.

8.（24-25七年級上?重慶渝北?期末）九曲橋九曲十八彎彎折的道路不僅可以增加美感，還可以增加游客在橋

上行走的路程，如圖，A,8兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，這其中的數(shù)學(xué)原理

是（）

A.兩點確定一條直線B.垂線段最短

C.兩點之間，線段最短D.過一點有無數(shù)條直線

【答案】C

【分析】本題主要考查了線段的性質(zhì)，根據(jù)兩點之間線段最短，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：A,B兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，這其中的數(shù)學(xué)原理是兩點之

間，線段最短，故C正確.

故選：C.

9.（24-25七年級上?甘肅蘭州?期末）已知乙4=30。15',NB=30.3。，則乙4和NB的大小關(guān)系是（）

A.乙A>乙BB.=C.Z.A<乙BD.無法判斷

【答案】C

【分析】本題考查角的大小比較，將303?；?0。18'后，再進(jìn)行比較即可.

【詳解】解：因為03。=0.3X60,=18',

所以NB=30.3°=30°18',

又因為乙4=30。15',

所以乙4<Z-B,

故選：C.

10.（24-25八年級上?山西晉城?期末）下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.如果a2=%2,那么a=b

B.如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等

C.對頂角相等

D.相等的角是內(nèi)錯角

【答案】A

【分析】本題考查了判斷命題的真假，分別寫出各命題的逆命題，再判斷真假即可，熟練掌握一個命

題的逆命題的書寫方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、命題"如果。2=必，那么a=b"的逆命題為"如果a=b,那么。2=廬，，，該命題是真命

題，符合題意;

B、"如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等"的逆命題為"如果兩個角相等，那么兩個角都是直角”,

該命題是假命題，不符合題意;

c、"對頂角相等"的逆命題為"相等的角為對頂角"，該命題是假命題，不符合題意；

D、"相等的角是內(nèi)錯角"的逆命題為"如果兩個角是內(nèi)錯角，那么它們相等"，該命題是假命題，不符合

題意；

故選：A.

11.（2025廣東模擬預(yù)測）將一副三角板如圖所示放置，NCOD=N40B=90。，若NBOC=160。，則N40D

的度數(shù)為.

1I

【答案】20。/20度

【分析】本題考查了與三角板有關(guān)的角度計算，先求出4BOD=70°,再根據(jù)N力。D=乙4OB—NBOD求

解即可.

【詳解】解：???NC。。=90。，160。，

乙BOD=/-BOC-/.COD=160°-90°=70°,

■■■^AOB=90°,

^AOD=4AOB—乙BOD=90°-70°=20°,

故答案為：20。.

12.（24-25七年級上?廣東惠州?期末）如圖，鐘表上八時整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘嵌?

【答案】120

【分析】本題主要考查了鐘面角，根據(jù)鐘面分成12個大格，每格的度數(shù)為30。即可解答.

【詳解】解：???鐘面分成12個大格，每格的度數(shù)為30。，

???鐘表上8點整時，時針與分針之間有4大格，

所以，所成的角是30。義4=120。.

故答案為：120.

13.（24-25七年級上廣東惠州?期末）如圖，已知8、C兩點把線段2。分成2:5:3三部分，M是4。的中點,

若MC=12cm.則線段2M=cm.

ABMCD

【答案】30

【分析】本題考查兩點間的距離，根據(jù)線段的比例關(guān)系以及線段中點的定義進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：由于反。兩點把線段4。分成2:5:3三部分，可設(shè)/5=2%cm,貝i」BC=5%cm,CD=3x

cm,

.\AD=AB+BC+CD=lOxcm,

?：M是的中點，

：.AM=DM==5%cm,

???MC=12cm,即MD-C。=12cm,

.,.5x—3%=12cm,

解得％=6,

.'.AM=5x=30cm,

故答案為：30.

14.(24-25八年級上?陜西銅川?期末)如圖，點E、F分另U在線段8、48上，連接AE、BC、8D,過點尸作FG||AE

分別交BC、CD于點H、G,Z-BFG=AAEC.

⑴求證：AB||CD；

⑵若BC平分乙48D,ZD=100°,求NC的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)40°

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明NBFGn4FGC,據(jù)此可證明；

(2)先由平行線的性質(zhì)得到"=4WC,48。=180。一"=80。，再由角平分線的定義求出乙48c的

度數(shù)即可得到答案.

【詳解】(1)證明：??,FG||ZM

???Z-AEC=Z.FGC.

???Z-BFG=Z-AEC,

???Z-BFG=Z-FGC,

AB||CD；

(2)解：vZD=100°,AB||CD,

Z^D=18O°-ZD=8O°,Z.C=^ABC,

???BC平分乙ABD,

i

.?.z.ABC=-^ABD=40°.

ZC=4ABC=40°

15.（24-25七年級上?湖南衡陽?期末）綜合與實踐活動課上，老師讓同學(xué)們以"平行線的等角轉(zhuǎn)化功能”為主

題開展數(shù)學(xué)活動，已知直線4B||CD,點E是4B和CD之間任意一點，連結(jié)BE、CE,完成下面任務(wù).

【任務(wù)一】（1）如圖L已知NB=45°,4BEC=70°,過點E作EF||4B,求NC的度數(shù);

【任務(wù)二】（2）如圖2,NB—"=90°,判斷BE與CE的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）25。；（2）垂直，見解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直

線平行，內(nèi)錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

（1）先得出EFIIDC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出=ZC=^CEF,進(jìn)而得出

/.BEC=A.BEF+/.CEF=ZB+ZC,即可得出答案；

（2）過點E作EFII4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出48+41=180。,進(jìn)而得出NC+Z1=90。,再推出42=乙C,

得出N8￡C=90。，證得結(jié)論；

【詳解】解:（1）--AB||DC,EF\\AB,

：.EF||DC,

；/B=Z.BEF,NC=Z.CEF,

"BEC=Z.BEF+乙CEF=Z.B+Z.C,

?"=45。，4BEC=70°,

??.zC=乙BEC—4B=70°-45°=25°；

（2）BE與CE的位置關(guān)系是垂直.

理由：如圖，過點E作EFIIAB,

=180°,

?.-zB-zf=90°,

=90°+",

/.90°+zC+zl=180°,

.??"+△1=90。,

-AB||CD,EF\\ABf

：.EF||DC,

?,.z2=Z-C,

.-.zl+z2=90°,即NBEC=90。,

：.BE1CE.

能力提升

1.（24-25九年級上?甘肅白銀?期末）如圖，小明用七巧板拼成一個邊長為2的正方形，再用這副七巧板拼

成一個矩形，則矩形的對角線長為（）

A.V10B.2返C.4D.4V2

【答案】A

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，七巧板等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形邊長為2,則①和②的斜邊為2,從而得出矩形的長和寬，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???正方形邊長為2,

??.①和②的斜邊為2,

①和②都是等腰直角三角形，

①和②的直角邊為等X2=6，

二矩形的長為2vL寬為交，

矩形的對角線長為J（2近,+（、②2=痂，

故選：A.

2.（24-25七年級上?福建廈門?期末）如圖，把一張長方形的紙條ABCD沿EF折疊，若乙BFN比4BFE多6°,

貝UNETC=.

【答案】122。/122度

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NEFC=NEFN,=Z.BFN+^BFE,再求出NBFN=NBFE+6。,

從而可得NEFN=2NBFE+6。，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得NEFC+NBFE=180。，代入計算即可得.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，乙EFC=4EFN,

,.乙EFN=4BFN+乙BFE,

■：N8FN比N8FE多6。，

.-.乙BFN=乙BFE+6°,

.-.乙EFN=4BFE+6°+乙BFE=2乙BFE+6°,

又Z￡FC+乙BFE=180°,

2乙BFE+6°+乙BFE=180°,

解得:ZSFF=58°,

AEFC=2x58°+6°=122°,

故答案為：122。.

3.（24-25七年級上?福建廈門?期末）在數(shù)軸上剪下8個單位長度（從2到10）的一條線段，并把這條

線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為

1:1:2,則折痕處對應(yīng)的點所表示的數(shù)可能是—.（寫出所有情況）

2人10X

1''................................II；「I

折痕的斷處

【答案】5或6或7

【分析】本題考查了線段與數(shù)軸，求出這三條線段的長度分別為2,2,4,再分情況討論即可得解.

【詳解】解：,??線段長為8,這三條線段的長度之比為1:1:2,

■,-8+（1+1+2）=2,

這三條線段的長度分別為2,2,4,

若剪下的第一條線段長度為2,第二條線段的長度也是2,則折痕表示的數(shù)為2+2+1=5,

若剪下的第一條線段長度為2,第二條線段的長度也是4,則折痕表示的數(shù)為2+2+2=6；

若剪下的第一條線段長度為4,第二條線段的長度也是2,則折痕表示的數(shù)為2+4+1=7,

綜上所述，折痕表示的數(shù)為5或6或7,

故答案為：5或6或7.

真題感知

1.（2024?海南?中考真題）如圖，直線加團(tuán)，把一塊含45。角的直角三角板2BC按如圖所示的方式放置，點2

在直線〃上，乙4=90。，若41=25。，則42等于（）

A.70°B.65°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)求角的度數(shù).如圖，過點C作直線CD平行于直線〃"易得加ICDIIn,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得43=zl=25°,由乙4cB=45?？汕蟪鯪4的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)可得42的度

數(shù).

【詳解】解：如圖，過點C作直線CD平行于直線如

?.?直線向律,

.?.m\\CD\\n,

,,.z3=zl=25°,z4=z2,

由題意可得乙4cB=45。,

...z4=45°-25o=20°,

.2=44=20°,

故選：D.

2.（2024?江蘇宿遷?中考真題）全國兩會，習(xí)近平總書記在參加江蘇代表團(tuán)審議時指出，我們能不能如期全

面建成社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國，關(guān)鍵看科技自立自強(qiáng).將“科技、自立、自強(qiáng)"六個字分別寫在某正方體的

表面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與"強(qiáng)"字所在面相對面上的漢字是（）

A.自B.立D.技

【答案】C

【分析】本題考查正方體相對兩個面上的文字，還原正方體是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)正方體表面展開圖的特征進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：將"自"作為底面，則折起來"強(qiáng)"在前面，"立"在右面，"科"在后面，

???與"強(qiáng)"字所在面相對面上的漢字是"科"，

故選：C.

3.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）將三角尺4BC按如圖位置擺放，頂點/落在直線匕上，頂點8落在直線G

上，若加電，41=25°,則N2的度數(shù)是（）

a

A.45°B.35°C.30°D.25°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，有關(guān)三角板中角度的計算.

由平行線的性質(zhì)可求出43=/1=25。，又由三角板中NC4B=60。，根據(jù)角的和差即可求出42.

【詳解】解：如圖，叫心

.?23=zl=25。，

???在三角板4BC中，ZCXB=6O°,

.-.Z2=NC4B—N3=60°-25°=35°.

故選：B

4.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，直線0和%被直線％和〃所截，41=42=130。，N3=75。，則N4的度數(shù)

為（）

A.75°B.105°D.130°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先利用

=42=130。判定%||Z2,再利用對頂角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)