四邊形的證明與計(jì)算（2考點(diǎn)+16種題型+命題預(yù)測(cè)）-2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（原卷版）

模塊二圖形與幾何的基礎(chǔ)

第05講四邊形的證明與計(jì)算

（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+16種題型）

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航問題

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航院題型09利用分類討論思想解決特殊平行四

03核心精講?題型突破邊形計(jì)算問題

考點(diǎn)一四邊形的計(jì)算問題考點(diǎn)二四邊形的證明問題

＞題型01與多邊形有關(guān)的角度計(jì)算＞題型01利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解

院題型02利用平行四邊形的性質(zhì)求解a題型02與三角形中位線有關(guān)的證明

＞題型03利用矩形的性質(zhì)求解院題型03利用矩形的性質(zhì)與判定求解

院題型04利用菱形的性質(zhì)求解?題型04利用菱形的性質(zhì)與判定求解

＞題型05利用正方形的性質(zhì)求解＞題型05利用正方形的性質(zhì)與判定求解

＞題型06與特殊的平行四邊形有關(guān)的折疊問院題型06與特殊平行四邊形有關(guān)的多結(jié)論問

題題

＞題型07構(gòu)建中位線求解?題型07特殊平行四邊形與函數(shù)綜合

＞題型08與特殊平行四邊形有關(guān)的規(guī)律探究

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)

四邊形作為中考數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，其證明與計(jì)算題目在歷年考試中占據(jù)顯著地位。四

邊形相關(guān)題目在中考數(shù)學(xué)中占比相對(duì)穩(wěn)定，通常在15%至25%之間。題型多樣，包括選擇題、

填空題、證明題和綜合解答題。其中，選擇題和填空題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而證

明題和綜合解答題則注重考查學(xué)生的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

【命題預(yù)測(cè)】

1.重點(diǎn)考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定一直是中考的熱

點(diǎn)，選擇題和填空題中常出現(xiàn)利用這些性質(zhì)求角度、長度的問題。

2.綜合題的比重增加：近年來，中考數(shù)學(xué)越來越注重考查學(xué)生的綜合能力，四邊形相關(guān)的

綜合題在考試中的比重逐漸增加。這些題目往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，如三角形全等、

解直角三角形、二次函數(shù)等。

3.實(shí)際應(yīng)用與創(chuàng)新能力：中考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)逐漸向?qū)嶋H應(yīng)用和創(chuàng)新能力傾斜，四邊形問題

四邊形的證可能結(jié)合實(shí)際情境，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)也會(huì)涉及一些新概念

題型，考查學(xué)生的創(chuàng)新思維和應(yīng)變能力。

明與計(jì)算【備考建議】

1.扎實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定方法是備考的基礎(chǔ),

要通過大量練習(xí)加深理解和記憶。

2.注重圖形變換：理解并掌握平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換在四邊形問題中的應(yīng)用，提高

解題的靈活性。

3.強(qiáng)化綜合訓(xùn)練：多做四邊形與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的綜合題，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決

問題的能力。

4.培養(yǎng)創(chuàng)新思維：注重培養(yǎng)創(chuàng)新思維和應(yīng)變能力，學(xué)會(huì)從不同角度分析問題，提高解決實(shí)

際問題的能力。

通過對(duì)中考數(shù)學(xué)四邊形證明與計(jì)算考情的分析，可以看出，掌握基礎(chǔ)知識(shí)、注重圖形變

換、強(qiáng)化綜合訓(xùn)練、培養(yǎng)創(chuàng)新思維是備考的關(guān)鍵。希望廣大考生能夠有針對(duì)性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，

取得優(yōu)異成績。

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

核心精講?題型突破

考點(diǎn)一四邊形的計(jì)算問題

真題研析

＞題型01與多邊形有關(guān)的角度計(jì)算

1.（2024?山東威海?中考真題）如圖，在正六邊形4BCDEF中，AHIIFG,BI1AH,垂足為點(diǎn)I.若NEFG=20°,

貝IWB/=

2.（2024.山東煙臺(tái).中考真題）如圖，在邊長為6的正六邊形4BCDEF中，以點(diǎn)尸為圓心，以FB的長為半徑

作的，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為

3.（2024.四川德陽?中考真題）已知，正六邊形ABCDEF的面積為6百，則正六邊形的邊長為（）

A.1B.V3C.2D.4

4.（2024?四川宜賓.中考真題）如圖，正五邊形2BCDE的邊長為4,則這個(gè)正五邊形的對(duì)角線AC的長

是.

＞題型02利用平行四邊形的性質(zhì)求解

5.（2024.海南.中考真題）如圖，在回48CD中，AB=8,以點(diǎn)。為圓心作弧，交48于點(diǎn)M、N,分別以點(diǎn)

M、N為圓心，大于《MN為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)孔作直線。尸交4B于點(diǎn)E,若乙BCE=4DCE,DE=4,

則四邊形BCDE的周長是（）

A.22B.21C.20D.18

6.（2024.黑龍江綏化.中考真題）如圖，已知點(diǎn)4（—7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,在平行四邊形ABC。中，它

的對(duì)角線。8與反比例函數(shù)y=B（k40）的圖象相交于點(diǎn)D,且。D:OB=1:4,貝心=.

7.（2024?浙江?中考真題）如圖，在EIABC。中，AC,BD相交于點(diǎn)。，AC=2,BD=2W.過點(diǎn)A作4E1BC

的垂線交BC于點(diǎn)E,記BE長為無，8c長為》當(dāng)尤，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A.x+yB.x—yC.xyD.x2+y2

8.（2024.江蘇徐州?中考真題）如圖，在團(tuán)4BCD中,AB=6,AD=10,4BAD=60°,P為邊4B上的動(dòng)點(diǎn).連

接PC,將PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到PE,過點(diǎn)E作EFII4B,EF交直線4。于點(diǎn)F.連接PF、DE,分別取PF、

DE的中點(diǎn)M、N,連接MN,交力。于點(diǎn)Q.

（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，則線段MN的長度為.

（2）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，MN與2Q的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出MN與4Q的長度；若改變，請(qǐng)說明理由.

＞題型03利用矩形的性質(zhì)求解

9.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形力BCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)。，DE14C于點(diǎn)E,延長DE與BC

交于點(diǎn)F.若=3,BC=4,則點(diǎn)F到BD的距離為

10.（2024?黑龍江大慶.中考真題）如圖，在矩形48CD中，AB=10,BC=6,點(diǎn)M是48邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N

是力。邊上任意一點(diǎn)，將線段MN繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)N',則4MBN，周長的最小值為（）

B.5+5V5C.10+5V2D.18

11.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在矩形2BCD中，E為4。邊上一點(diǎn)，^ABE=30°,將△4BE沿BE折

疊得AFBE,連接CF,DF,若CF平分/BCD,AB=2,貝|。尸的長為.

＞題型04利用菱形的性質(zhì)求解

12.（2024?山東日照?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，4B=2,NB=120。，點(diǎn)。是對(duì)角線4C的中點(diǎn)，以

點(diǎn)。為圓心，。4長為半徑作圓心角為60。的扇形OEF,點(diǎn)。在扇形。EF內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（）

C.合［D,無法確定

13.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，^ABC=60°,AB=6,AC是一條對(duì)角線，E是AC

上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF14B,垂足為F,連接若CE=4F,則DE的長為

14.（2024.四川德陽?中考真題）如圖，在菱形4BCD中,^ABC=60°,對(duì)角線2C

與BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接4F與BD相交于點(diǎn)E,連接CE并延長交

4B于點(diǎn)G.

（1）證明：4BEFFBCO；（2）證明：4BEG三4AEG.

15.（2024四川涼山?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，乙4BC=60。，AB=2,

接AE,4E的垂直平分線MN交2E于點(diǎn)M,交BD于點(diǎn)N.連接EN,CN.

⑴求證：EN=CN；

⑵求2EN+BN的最小值.

＞題型05利用正方形的性質(zhì)求解

16.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，在RtA48C中，^ACB=90°,AC=BC=

5.正方形DEFG的邊長為小，它的頂點(diǎn)。，E,G分別在A/IBC的邊上，則BG的長為

17.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）如圖，邊長為2的正方形4BCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0.E是BC

邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接D&EF.若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱，則ABEF的周長是（）

A.2V2B.2+V2C.4-2V2D.V2

18.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，正方形4BCD的頂點(diǎn)力，C在拋物線y=-/+4上，點(diǎn)。在y軸上.若

A,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為?n,n（m>n>0）,下列結(jié)論正確的是（）

A.m+n=1B.m—n=lC.mn=1D.-=1

n

19.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是

由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形2BCD.直線MP交正方形4BCD的兩

邊于點(diǎn)E,F,記正方形4BCD的面積為&,正方形MNPQ的面積為S2.若BE=kAE（k>1）,則用含k的式

子表示稱的值是_________.

20.（2024?天津.中考真題）如圖,正方形4BCD的邊長為3/，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在C4的延長

線上，OE=5,連接DE.

E

R

BC

（1）線段ZE的長為；

（2）若F為DE的中點(diǎn)，則線段力尸的長為.

21.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，在正方形2BCD中，點(diǎn)E,尸分別為對(duì)角線8D,4C的三等分點(diǎn)，連接

4E并延長交CD于點(diǎn)G,連接EF,FG,若乙4GF=a,貝此凡4G用含a的代數(shù)式表示為（）

2222

＞題型06與特殊的平行四邊形有關(guān)的折疊問題

22.（2024?湖北?中考真題）在矩形2BCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊力D,BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在邊CD上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,PG文BC于點(diǎn)、H.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：ADEPs^cPH；

（2）如圖2,當(dāng)尸為CD的中點(diǎn)，AB=2,4。=3時(shí)，求G”的長；

（3）如圖3,連接BG,當(dāng)尸，”分別為CD,BC的中點(diǎn)時(shí)，探究BG與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

23.（2024?安徽?中考真題）如圖，現(xiàn)有正方形紙片4BCD,點(diǎn)E,尸分別在邊力B,8C上，沿垂直于EF的直線

折疊得到折痕MN,點(diǎn)8,C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點(diǎn)出，。處,然后還原.

（1）若點(diǎn)N在邊CD上，且NBEF=a,貝!]z.C，NM=（用含a的式子表示）；

（2）再沿垂直于MN的直線折疊得到折痕GH,點(diǎn)G,“分別在邊CD,4D上，點(diǎn)。落在正方形所在平面內(nèi)的

點(diǎn)D'處，然后還原.若點(diǎn)。'在線段夕L上，且四邊形EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN與GH的交點(diǎn)為

P,貝UP”的長為.

24.（2024?貴州貴陽.一模）綜合與實(shí)踐

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，將正方形紙片4BCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)/處，折

痕為2E,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使4。與AM重合，折痕為力F,則NE4F的度數(shù)為二

（2）【拓展探究】如圖②，在（1）的條件下，繼續(xù)將正方形紙片沿EF折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕力E上

的點(diǎn)N處，若力B=3,求線段。尸的長;

（3）【遷移應(yīng)用】如圖③，在矩形4BCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CD上，將矩形力BCD沿4E,4F折疊，點(diǎn)

8落在點(diǎn)〃處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A,M,G恰好在同一直線上，若點(diǎn)尸為CD的三等分點(diǎn)=3,AD=5,

請(qǐng)求出線段BE的長.

＞題型07構(gòu)建中位線求解

25.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,4D是△ABC的一條角平分線，E為4D中

點(diǎn)，連接BE.若BE=BC,CD=2,貝.

26.（2023?江蘇南通?中考真題）如圖，四邊形4BCD的兩條對(duì)角線AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,則

AD+8c的最小值是

27.（2025?上海閔行?一模）如圖，點(diǎn)D、E分別是線段8C和AC的中點(diǎn)，4。、8￡1交于點(diǎn)。，且力。1BE,BC=22,

AC=16,那么。。長是

A

E

BDC

.題型08與特殊平行四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問題

28.（2020?遼寧丹東?中考真題）如圖，在矩形044/中，=3,AA1=2,連接。&,以。&為邊，作矩

形OAI&BI使442=|。&，連接。4交于點(diǎn)C；以。&為邊，作矩形O424B2，=IOA2,連接

。公交4B1于點(diǎn)Cl；以。&為邊，作矩形CM344B3，使4344=|。43，連接。人4交力3B2于點(diǎn)。2；…按照這個(gè)

規(guī)律進(jìn)行下去，貝必C2019c202042022的面積為.

29.（2020?遼寧.中考真題）如圖，四邊形4BCD是矩形，延長到點(diǎn)E,使4E=D4,連接EB,點(diǎn)6是CD的

中點(diǎn)，連接Ea,BFi，得到/E&B；點(diǎn)尸2是C&的中點(diǎn)，連接EF2，BF2,得到4EF2B；點(diǎn)F3是CF2的中點(diǎn)，

連接Ea，BF3,得到4E&B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形4BC。的面積等于2,則/E4B的面積

為.（用含正整數(shù)n的式子表示）

30.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形。MNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）,

△04B是等邊三角形,點(diǎn)B坐標(biāo)是（1,0）,△04B在正方形。MNP內(nèi)部緊靠正方形。MNP的邊（方向?yàn)椤?M-

NTPTOTMT…）做無滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,4的坐標(biāo)是（2,0）；第二次滾

動(dòng)后，&的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,4的坐標(biāo)是（2,0）；第三次滾動(dòng)后，4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為43,43的坐標(biāo)是（3-日,》

如此下去，……，貝!!42024的坐標(biāo)是

31.（2022?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1,以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF,再以CF

.題型09利用分類討論思想解決特殊平行四邊形計(jì)算問題

32.（2024嘿龍江牡丹江.中考真題）矩形ABCD的面積是90,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是邊的三等

分點(diǎn)，連接DE,點(diǎn)P是OE的中點(diǎn)，OP=3,連接CP,貝UPC+PE的值為.

33.（2023?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形力BCD的頂點(diǎn)A,8在x軸上，=2,

4（1,0），^DAB=60°,將菱形4BCD繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)90。后，得到菱形ABiC/i，則點(diǎn)C】的坐標(biāo)是.

方法指導(dǎo)

四邊形邊角對(duì)角線對(duì)稱性

平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相平分中心對(duì)稱圖形

矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相平分且相等軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱

圖形

菱形對(duì)邊平行且四條邊對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，且軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱

都相等每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角圖形

正方形對(duì)邊平行且四條邊四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相垂直平分，且軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱

都相等每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角圖形

命題預(yù)測(cè)

1.（2025?陜西西安?一模）如圖，正方形力BCD的邊長為6,將正方形折疊，使頂點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)E處,

折痕為GH.若點(diǎn)E恰好是BC的中點(diǎn)，則線段的長為（）

2.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,tanzBXC=BC=2,力。=1,

線段力。繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，貝UBP的最大值是.

3.（2025?河北秦皇島?一模）小明用四根長度相同的木條首尾相接制作了能夠活動(dòng)的學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成

為圖1所示形狀，并測(cè)得AB=60。，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2形狀所示，并測(cè)得乙4BC=90。，若圖2中對(duì)角

A.10cmB.10V2cmC.10V3cmD.10V6cm

4.（2025?廣東揭陽?一模）如圖，四邊形4BCD為平行四邊形，E,尸分別為48和BC的中點(diǎn)，CE=5,=孩,

A.V33B.V34C.V35D.V37

5.（2025?上海徐匯?模擬預(yù)測(cè)）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形48CD,連接北，則tan/CAB=

（）

6.（2025?廣西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=（x<0）的圖象經(jīng)過平行四邊形4BC。的頂點(diǎn)4。。在工軸

上，若點(diǎn)B（-l,3）,S&ABC0=3,則實(shí)數(shù)k的值為（）

7.（2025?江蘇無錫?一模）如圖，在矩形48CD中，AB=16,BC=12,點(diǎn)E在8C上，CE=4,若P、Q分

別為邊CD與48上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PQ始終滿足與4E垂直且垂足為F,則2P+QE的最小值

8.（2025?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形力BC。的頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)4、C分

別在反比例函數(shù)y=，（備片0）與y=§也2豐0）的圖象上，則七+電的值為.

9.（2025?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形4BCD中，zS=60°,AB=4,。為菱形4BCD的對(duì)稱中心，過點(diǎn)。的

直線EF交4D于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,M為CD上的一點(diǎn)，連接0M.若CM+CF=5,則四邊形。EDM的面積為

10.（2025?陜西西安?二模）如圖，直線嗚正五邊形2BCDE的邊CD,4B分別相交于點(diǎn)M、N,則N1+N2的

度數(shù)為.

11.（2025?江西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形4BCD中，將線段4。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到線段力E,CE的延

長線交正方形2BCD的對(duì)角線8。于點(diǎn)F,貝吐2EF的度數(shù)為.

12.（2025?陜西西安?一模）（1）如圖1,四邊形4BCD的對(duì)角線力C,BD互相垂直，其中對(duì)角線BD長為20cm,

AC長為15cm,垂足為E.則四邊形ABC。的面積為cm2.

（2）如圖2,矩形4BCD中4D=6cmMB=4cm,EF||4D,點(diǎn)G,H分別是BC,AD上任一點(diǎn)，求四邊形EGF”

的面積.

（3）如圖3,四邊形力BCD放在了一組平行線中，己知BD=6cm,四邊形4BCD的面積為24cm2,則相鄰兩

條平行線間的距離為多少厘米.

圖3

13.（2025?陜西西安?一模）綜合與探究：

問題情境：如圖1,四邊形力BCD是菱形，過點(diǎn)2作4E1BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)4作4F1CD于點(diǎn)F.

深入探究：

（2）將圖1中的aABE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△4HG,點(diǎn)E,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H.

①如圖2,當(dāng)線段4H經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，GH所在直線分別與線段4。，CD交于點(diǎn)M,N.猜想線段CH與MD的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線GH與直線CD垂直時(shí)，直線GH分別與直線力。，CD交于點(diǎn)M,N,直線與線段CD交于點(diǎn)Q,若

AB=5,BE=4,求四邊形4MNQ的面積.

14.（2025?廣東深圳?三模）【問題提出】

(1)如圖1,在矩形4BCD中，點(diǎn)E,F分別是邊力0,4B上的點(diǎn)，連接CE與DF交于點(diǎn)。，若NF0C=90。,

［、.、-pCEAB

求證：而

AD

【遷移應(yīng)用】

(2)如圖2,在回ABC。中，AB=4,AD=7,點(diǎn)、E,尸分別是邊4。，48上的點(diǎn)，連接CE與。F交于點(diǎn)0,

且NC。。+乙BAD=180°,求空的值；

DF

【拓展提高】

(3)如圖3,在四邊形2BCD中，點(diǎn)E是邊4D上的一點(diǎn)，連接BD與CE交于點(diǎn)0/B0C=NB4D=ABCD=120°,

S=rS=r請(qǐng)直接寫出需的值?

考點(diǎn)二四邊形的證明問題

真題研析

＞題型01利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解

1.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖，平行四邊形力BCD中，AE、CF分別是NBA。，4BCD的平分線，且E、

尸分別在邊BC,AD1..

(1)求證：四邊形4ECF是平行四邊形;

(2)若4WC=60。，DF=2AF=2,求AGDF的面積.

2.(2024?福建?中考真題)如圖，在△ABC中，ABAC=90°,AB^AC,以A8為直徑的。。

交BC于點(diǎn)D,AE1OC,垂足為E,BE的延長線交的于點(diǎn)F.

⑴求器的值；

AE

(2)求證：&AEBFBEC；

(3)求證：4□與EF互相平分.

3.(2024?安徽?中考真題)如圖1,回48CD的對(duì)角線4C與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別在邊4D,BC上,且4M=

CN.點(diǎn)、E,尸分別是BD與AN,CM的交點(diǎn).

圖1圖2

(1)求證：OE=OF；

(2)連接BM交AC于點(diǎn)H,連接HE,HF.

(i)如圖2,若HEIMB,求證：HF\\AD；

乙EHF=60°,求生的值.

(ii)如圖3,若EMBCD為菱形，且MD=2AM,BD

＞題型02與三角形中位線有關(guān)的證明

4.(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，在回ABCD中，乙4BC為銳角，點(diǎn)E在邊力。上，連接BE,CE,且S-BE=

SAOCE?

(1)如圖1,若F是邊BC的中點(diǎn)，連接EF,對(duì)角線4C分別與BE,EF相交于點(diǎn)G,”.

①求證：H是4C的中點(diǎn)；

②求4G:GH:HC；

(2)如圖2,BE的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)M,連接力的延長線與2M相交于點(diǎn)N.試探究線段AM與

線段4N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

5.(2023?山東濰坊?中考真題)如圖，在△ABC中，CD平分N2CB,AE1CD,重足為點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF||BC、

交AC于點(diǎn)?G為8c的中點(diǎn)，連接FG.求證：FG=\AB.

6.（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形2BCD中，點(diǎn)E,F,G,”分別是邊力B,BC,CD,D4的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

尼翁”ar譏gnon,Pierrel654—1722）是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對(duì)角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下:

證明：如圖2,連接力C,分別交E”,FG于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)。作DM1AC于點(diǎn)M,交HG于點(diǎn)N.

?..”,6分別為4。,8的中點(diǎn)，：.HG||AC,HGAC.（依據(jù)1）

:喘=擻,：DG=GC,：.DN=NM=1DM.

,四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，IIGF,即HP||GQ.

'：HG||AC,即”G||PQ,

二四邊形"PQG是平行四邊形.（依據(jù)2）.?.S?HPQG="G-MN=gHG-DM.

'：SLADC=\AC-DM=HG-DM,：.SWPQG=\sLADC.同理，…

任務(wù)：⑴填空：材料中的依據(jù)1是指:

依據(jù)2是指：_____________

(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFG”為

矩形；(要求同時(shí)畫出四邊形28CD的對(duì)角線)

(3)在圖1中，分別連接得到圖3,請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對(duì)角線力C,BD長度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

＞題型03利用矩形的性質(zhì)與判定求解

7.(2024?山東青島.中考真題)如圖，在四邊形力BCD中，對(duì)角線2C與BD相交于點(diǎn)O,/.ABD=^CDB,BELAC

于點(diǎn)E,。尸14。于點(diǎn)兄S.BE=DF.

A

(1)求證：四邊形48CD是平行四邊形；

(2)若48=8。，當(dāng)乙4BE等于多少度時(shí)，四邊形ABCD是矩形？請(qǐng)說明理由，并直接寫出此時(shí)器的值.

8.(2023?浙江湖州?中考真題)【特例感知】

(1)如圖1,在正方形28CD中，點(diǎn)尸在邊4B的延長線上，連接PD,過點(diǎn)。作。M1PD,交BC的延長線

于點(diǎn)M.求證：ADAPwADCM.

【變式求異】

(2)如圖2,在RtZkABC中，ZXBC=90°,點(diǎn)。在邊力B上，過點(diǎn)。作DQ1AB,交力C于點(diǎn)。，點(diǎn)P在邊

4B的延長線上，連接PQ,過點(diǎn)。作QM1PQ,交射線BC于點(diǎn)已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求

鄢值?

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在RtA48C中，NB4C=90。，點(diǎn)尸在邊4B的延長線上，點(diǎn)。在邊力C上(不與點(diǎn)A,C重合)，

連接PQ，以。為頂點(diǎn)作NPQM=乙PBC,NPQM的邊QM交射線BC于點(diǎn)M.若4c=mAB,CQ=nAC(m,

”是常數(shù))，求嬰的值(用含機(jī)，〃的代數(shù)式表示).

圖1圖2圖3

9.（2025?陜西西安?二模）（1）如圖1,在RtAABC中，AACB=90°,BC=4,AC=3,點(diǎn)。是BC上的一

個(gè)點(diǎn)，沿AD折疊后，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)C'處，求四邊形4CDC'的面積.

圖2

(2)如圖2,在矩形48CD中，4。=20,AB=22,點(diǎn)E為邊力。上一動(dòng)點(diǎn)，作EF1BC于點(diǎn)R連接EB,EC,

分別作點(diǎn)尸關(guān)于BE、EC的對(duì)稱點(diǎn)G、H,連接BG、CH、GH,當(dāng)四邊形BGHC的面積最小時(shí)，求BF的長.

＞題型04利用菱形的性質(zhì)與判定求解

10.(2023?黑龍江哈爾濱?中考真題)已知四邊形4BCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線8。上，點(diǎn)尸在邊8C上,

連接4E,EF,DE=BF,BE=BC.

圖①圖②

(1)如圖①，求證△4EDmAEFB；

(2)如圖②，若=AE去ED,過點(diǎn)C作CHIME交BE于點(diǎn)H,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫

出圖②中四個(gè)角(NB4E除外)，使寫出的每個(gè)角都與NB2E相等.

11.(2023?湖南益陽?中考真題)如圖，線段4B與。。相切于點(diǎn)8,4。交。。于點(diǎn)其延長線交。。于點(diǎn)

C,連接BC,乙48c=120。，。為。。上一點(diǎn)且阿的中點(diǎn)為M,連接ZD,CD.

⑴求乙4c8的度數(shù)；

(2)四邊形2BCD是否是菱形？如果是，請(qǐng)證明：如果不是，請(qǐng)說明理由；

(3)若AC=6,求C0的長.

12.(2023?吉林?中考真題)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的

部分構(gòu)成一個(gè)四邊形轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是

【探究提升】取兩張短邊長度相等的平行四邊形紙條2BCD和EFG”(AB<BC,FG<BC),其中AB=EF,

Z.B=Z.FEH,將它們按圖②放置，EF落在邊BC上，F(xiàn)G,與邊AD分別交于點(diǎn)N.求證：團(tuán)EFMN是

菱形.

【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條力BCD不動(dòng)，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移，且EF始

終在邊上.當(dāng)MD=MG時(shí)，延長CD,HG交于點(diǎn)P,得到圖③.若四邊形ECPH的周長為40,sinzEFG=1

>題型05利用正方形的性質(zhì)與判定求解

13.(2024?貴州?中考真題)綜合與探究：如圖，^AOB=90°,點(diǎn)P在N40B的平分線上，P4104于點(diǎn)A.

(1)【操作判斷】

如圖①，過點(diǎn)P作PCIOB于點(diǎn)C,根據(jù)題意在圖①中畫出PC,圖中N4PC的度數(shù)為度；

(2)【問題探究】

如圖②，點(diǎn)M在線段2。上，連接PM,過點(diǎn)P作PN1PM交射線0B于點(diǎn)N,求證：。"+ON=2P4；

(3)【拓展延伸】

點(diǎn)M在射線40上，連接PM,過點(diǎn)P作PN1PM交射線0B于點(diǎn)N,射線NM與射線P。相交于點(diǎn)R若。N=

30M,求字的值.

(1)如圖1,連接BE,DE.求證：△ABE三△ADE；

(2)如圖2,F是DE延長線上一點(diǎn)，。F交2B于點(diǎn)G,BFLBE.判斷△FBG的形狀并說明理由；

(3)在第(2)題的條件下，BE=BF=2.求黨的值.

AD

15.(2025?山東臨沂?一模)【問題情境】

如圖1,在矩形4BCD中，E是邊AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF1CE,過點(diǎn)D作DG1DF,過點(diǎn)A作

AG1DG,且AG=CF.

【基礎(chǔ)探究】

(1)判斷圖1中四邊形4BCD的形狀，并說明理由；

【深入探究】

(2)如圖2,當(dāng)E在BA延長線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫出4口,FH,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

【拓展遷移】

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BH,HD,當(dāng)E在B4延長線上的位置發(fā)生改變時(shí)，判斷NBHD的

大小是否發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.

16.（2022?四川攀枝花?中考真題）如圖，以△A8C的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD.AABE、△8CF.且

點(diǎn)A在ABCF內(nèi)部.給出以下結(jié)論：①四邊形4DFE是平行四邊形；②當(dāng)NB2C=150。時(shí)，四邊形4DFE是

矩形；③當(dāng)4B=AC時(shí)，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)4B=4C,且ABAC=150。時(shí)，四邊形2DFE是正方形.

其中正確結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

17.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，平行四邊形4BCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。.點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

連接E。并延長交2D于點(diǎn)F,4ABC=60°,BC=2X5.下歹！J結(jié)論：?AB1AC；?AD=4OE；③四邊形4ECF

是菱形；④SABOE=2B「其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

18.（2024?山東東營.中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)。，X為48延長線上的一點(diǎn)，且

BH=BD,連接。H,分別交AC,BC于點(diǎn)、E,F,連接BE,則下列結(jié)論：①仁=坐；②tanzH=VI—1；

BF2

③BE平分乙CBD；④2aB2=DE?DH.

DC

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

19.（2023?山東日照?中考真題）如圖，矩形48CD中,4B=6,AD=8,點(diǎn)尸在對(duì)角線BD上，過點(diǎn)P作MN1BD,

交邊AD,BC于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作ME14D交BD于點(diǎn)E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①EM=EN；

②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)=1:2時(shí)，SAMPE=~④+MN+ND的最小值是20.其中

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

20.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，把一個(gè)邊長為5的菱形2BC0沿著直線DE折疊，使點(diǎn)C與延長

線上的點(diǎn)。重合.DE交BC于點(diǎn)F,交4B延長線于點(diǎn)E.DQ交BC于點(diǎn)、P,DM14B于點(diǎn)M,AM=4,則

下列結(jié)論，①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=9,@BD||FQ.正確的是（）

8

DC

AMBQE

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

＞題型07特殊平行四邊形與函數(shù)綜合

21.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，一次函數(shù).y-ax+b（a0）的圖象與反比例函數(shù)y=H0）的圖

象交于點(diǎn)4（1,4）、

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)利用圖象，直接寫出不等式a光+b的解集；

X

(3)已知點(diǎn)。在x軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上.若以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)

C的坐標(biāo).

22.(2024?山東威海.中考真題)如圖，在菱形48CD中，AB=10cm,乙ABC=60。，E為對(duì)角線2C上一動(dòng)點(diǎn)，

以DE為一邊作NDEF=60。，EF交射線BC于點(diǎn)F,連接BE,DF.點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4方向以每秒2cm的

速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)4處停止.設(shè)ABEF的面積為ycm2,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.

(1)求證：BE=EF；

(2)求y與尤的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求%為何值時(shí)，線段DF的長度最短.

23.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B,D是直線y=ax(a>0)上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(0。>。8),以線段

BD為對(duì)角線作矩形4BCD,軸.反比例函數(shù)y=右的圖象經(jīng)過點(diǎn)兒

【構(gòu)建聯(lián)系】

(1)求證：函數(shù)y=g的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C.

(2)如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,2)時(shí)，

求左的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形4BCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.當(dāng)點(diǎn)E,A重合時(shí)，連接2C交BD于點(diǎn)P.以點(diǎn)

。為圓心，4C長為半徑作。。.若。P=3a,當(dāng)。。與△ABC的邊有交點(diǎn)時(shí)，求上的取值范圍.

24.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))如圖，四邊形4BCD是邊長為9的菱形，入4=60。,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以每秒3個(gè)單

位長度的速度同時(shí)從點(diǎn)4出發(fā)，點(diǎn)P沿折線ATD—C方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線ATB—C方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相

遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)間的距離為y.

儼

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o123456789/

(1)請(qǐng)直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍;

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出點(diǎn)P