高考數(shù)學重難點專項復習：導數(shù)中函數(shù)的構造問題（2大考點+強化訓練）（原卷版+解析）

微重點01導數(shù)中函數(shù)的構造問題(2大考點+強化訓練)

?【知識導圖】

考向1利用兀V)與X構造

?考點一：導數(shù)型構造函數(shù)考向2利用危)與e'構造

★導數(shù)中函數(shù)的構造問題考向3利用用)與sinX,cosx構造

?考點二：構造函數(shù)比較大小

【考點分析】

考點一：導數(shù)型構造函數(shù)

考向1利用〃才)與x構造

規(guī)律方法(1)出現(xiàn)AF(X)+XFco的形式，構造函數(shù)/co=/『(x)；

-Fv

⑵出現(xiàn)才產(X)—7?/1(才)的形式，構造函數(shù)尸(X)=---n-.

2")+f>1

【例題1】已知"%)是定義在(。,包)上的增函數(shù)，其導函數(shù)1(%)滿足則下列結論正確

尸⑴

的是()

A.對于任意xe(O,~),f(x)<0B.當且僅當xe(l,+oo),/(x)<0

C.對于任意xe(O,+(?),f(x)>0D.當且僅當f(x)>0

【變式1】(2023?常州模擬)己知f(x)是定義在(-8,o)U(0,+8)上的奇函數(shù)，f(x)是f(x)的導函

數(shù)，當x〉0時，xf(x)+2f(x)〉0,若/"(2)=0,則不等式Vf(x)>0的解集是.

~Fv

【變式2】已知函數(shù)/"(X)的定義域為［0,+8),導函數(shù)為一(X),若產(x)<r>L恒成立，貝|J()

x+1

A.f(2)>r(3)B.2/(1)>r(3)

C.f(5)>2/(2)D.3/(5)>f(l)

考向2利用Hx)與e，構造

規(guī)律方法(1)出現(xiàn)f(x)+〃f(x)的形式，構造函數(shù)網(wǎng)x)=e"f(x)；

fV

⑵出現(xiàn)/(x)—77_f(x)的形式，構造函數(shù)尸(x)=--￡-.

【例題2】已知定義在R上的函數(shù)“X)和g⑺分別滿足/⑺=+公-2〃0).x,g《)+2g⑺<0,

則下列不等式恒成立的是()

A.g(2016)</(2)-g(2018)B."2).g(2016)<g(2018)

C.g(2016)>/(2)-g(2018)D.”2).g(2016)>g(2018)

【變式1】函數(shù)/Xx)的定義域是R,AO)=2,對任意xGR,f(x)+F(x)>l,則不等式e、f(x)>e*+l的

解集為()

A.{x|x>0}B.{x\XO}

C.{x|x〈一l或x>l}D.{x|K—1或O〈x<l}

【變式2】(2023?黃山模擬)已知定義域為R的函數(shù)/"(x),其導函數(shù)為f(x),且滿足F'(x)—2f(x)〈0,

r(o)=i,貝M)

A.eVC-lXlB./(l)>e2

C.ffj)<eD.f⑴〉ef

考向3利用F(x)與sinx,cosx構造

規(guī)律方法函數(shù)廣(x)與sinx,cosx相結合構造可導函數(shù)的幾種常見形式

(1)/(x)=f(x)sinx,

F'(x)=Fsinx~\-f{x}cosx；

/\\fX

(2)/(x):———

sinx

xsinx-fxcosx

F'~2；

sinx

(3)F{x)=f{x)cosx,

F'(jr)=f'cosx-f{x}sinx；

fx

⑷尸(x)=

COSX

f'xcosx~\~fxsinx

Fi(x)=一2

COSX

【例題3】(2023?重慶模擬)已知偶函數(shù)F(x)的定義域為(一5Ji，yJilA,其導函數(shù)為(x),當OWx(萬JI時,

(j-jcosX的解集為(

有9(x)cosx+sinx>0成立，則關于x的不等式/'(x)>2/*)

【變式】(2023?成都統(tǒng)考)記函數(shù)f(x)的導函數(shù)為/(x),若f(x)為奇函數(shù)，且當x￡(一字0)時恒有

f{x)cosx~\~f'(x)sinx>0成立，貝！J(

考點二：構造函數(shù)比較大小

規(guī)律方法構造函數(shù)比較大小的常見類型

⑴構造相同的函數(shù)，利用單調性，比較函數(shù)值的大小；

(2)構造不同的函數(shù)，通過比較兩個函數(shù)的函數(shù)值進行比較大小.

【例題4】(2023上?廣東?高三校聯(lián)考階段練習)已知/(x)=xe*,g(x)=xlnx.若存在％eR,

七?0,+0)),使得〃M=g(%)=/成立，則下列結論中正確的是()

A.當/>0時，x,x2=tB.當t>0時，elnfVX]%

C.不存在t,使得/'(%)=g'的)成立D./(x)>g(x)+e恒成立,則

【變式1](2023下?遼寧?高二鳳城市第一中學校聯(lián)考期中)下列不等式恒成立的是()

l+x<ex<^-

A.1——<lnx<x-lB.

x1-x

c.Vx+T<—+iD.e”>ln(x+m)(m<2)

2

51

916[--

【變式2](2023-榆林統(tǒng)考)已知a=ln8=In------,c=21n4-

4J'J

9蘋4

A.a<c<bB.伏水c

C.a<b<cD.c1叢a

1一些C0S2023

2023

【變式3](2023?咸陽模擬)已知不R，b=e，c=9，貝U()

乙u乙。乙u乙o

A.a>b>cB.U>a>c

C.b>c>a,D.a>c>b

【變式4](2023?山西聯(lián)考)設d=*，6」；J,0J"/,則()

A.t)>c>aB.a)c

C.a>b>cD.a>c>b

G

【強化訓練】

一、單選題

1.定義在R上的函數(shù)73和g(x)滿足〃動=4。工-+元2-2〃0)X,且g?)+2g(x)<。,則下列不等

式成立的是()

A./(2)g(2021)<g(2023)B./(2)g(2021)>g(2023)

C.g(2021)<f(2)g(2023)D.g(2O21)>/(2)g(2023)

2.(2022上?廣東佛山?高三統(tǒng)考期末)設函數(shù)的導函數(shù)是廣⑺，且〃力"'(幼>彳恒成立，則

()

A./(D</(-l)B./(l)>f(-DC.l/(l)Klf(-DID.|/(1)|>|/(-1)1

3.已知定義在R上的函數(shù)/(x)和g(x)分別滿/(%)=孚-e2-2+X2-2/(O).X,且g'(x)-2g(x)<0則下

列不等式成立的是

A./(2)-/(2015)<g(2017)B./(2)-g(2015)>g(2017)

C.g(2015)</(2).g(2017)D.g(2015)>/(2).g(2017)

4.設函數(shù)/⑺的導函數(shù)為，(x),對任意都有/。)>/(尤)成立，貝U

A.2O18/(ln2017)>20177(In2018)B.2018/(ln2017)<2017/(ln2018)

C.2018/(2017)>2017/(2018)D.2018/(2017)<2017/(2018)

5.定義在R上的函數(shù)〃尤)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且/a)=〃r)e2x,當x>0時，_f(x)>/(x)恒成

立，則下列判斷一定正確的是()

A.?5〃2)</(-3)B.〃2)<打(-3)

C.e5/(-2)>/(3)D./(-2)<e5/(3)

6.已知定義在R上的函數(shù)Ax)的導函數(shù)為/'(x),且對任意xeR都有/'(無)>2,f(l)=3,則不等式

/(》)一2x—l>0的解集為

A.(』1)B.(1,+oo)C.(0,+oo)D.(-oo,0)

7.（2023上?上海徐匯?高三上海市第二中學?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)y=/（x）,其導函數(shù)

y=/'（x）滿足：對任意xeR都有/（力</（耳，則下列各式恒成立的是（）

A./(l)<e-/(0),/(2023)<e2023-/(0)B.f(l)>e-f(0),/(2023)>e2023./(0)

C./(l)>e-/(O),/(2023)<e2023./(0)D./(l)<e./(O),/(2023)>e2023./(O)

8.(2023?漢中模擬)已知函數(shù)/1(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足F(x)+f(x)>0,其中F(x)為F(x)的

導數(shù)，設a=F(O),Z?=3/(ln3),c=e/>⑴，則a,b,c的大小關系是()

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.U>c)a

9.(2023?廣州模擬)已知函數(shù)F(x)的定義域為(0,+8),其導函數(shù)為產(x),若x/(x)—1<0,f(e)=

2,則關于x的不等式/?(g<x+l的解集為()

A.(0,1)B.(0,e)

C.(1,+°°)D.(e,+°°)

10.(2023?南充模擬)設定義在R上的函數(shù)J=丹才)滿足任意x￡R,都有Hx+4)=F(x),且當(0,4]

時，xf(x)>f(x),則廣(2021),---------,----------的大小關系是()

/、F2022f2023f2022___,f2023

A.021；\2、3卜，2\i\L3

/2023f2022z、f2023f2022

G3\2021)D.32

11.(2023?新余模擬)已知d=In1.1,6=/pc=,0.1,

則（)

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a）b

二、多選題

12.（2023?浙江?二模）已知%>0時，（e”一改一人一。）（女+人一lnx）NO,貝1J（）

A.當c<2時，〃+ln〃>cB.當c<2時，〃+ln〃>2c-3

C.當c>3時，a+lna<cD.當c>3時，a+lna<2c—3

13.（2023?云南?統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)/（*）=叱，則下列說法正確的是（）

X

A.〃3）>/（4）B.In兀>、R

2

C.若2工=5了，x、y均為正數(shù)，則2元>5yD.若/（幻=機有兩個不相等的實根玉、x2,則為馬〉?

14.（2024上?云南昆明?高三云南師大附中校考階段練習）已知函數(shù)的定義域是R,尸⑺是〃x）

的導函數(shù)，若對任意的xeR,都有#'（x）+/（x）＞#（x）,則下列結論正確的是（）

A./(1)>0B.W⑴<2/(2)

C./(ln2)</(21n2)D.當x<0時，eV(x)-2/(2x)>0

15.已知偶函數(shù)y=〃x）對于任意的xe0,［滿足了'（x）cos尤+〃￡）sinx＞。（其中尸⑺是函數(shù)〃x）的

導函數(shù)），則下列不等式中不成立的是（）

16.（2022上?安徽?高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)〃x）,尸（x）是其導函數(shù),y嗚,

COSXsin%=In%恒成立，貝|(

17.（2023?吉林省實驗?？寄M）已知a=sin0.9,6=0.9,c=cos0.9,則a,b,c的大小關系是

微重點01導數(shù)中函數(shù)的構造問題(2大考點+強化訓練)

【知識導圖】

考向1利用兀V)與X構造

?考點一：導數(shù)型構造函數(shù)考向2利用/(x)與e'構造

★導數(shù)中函數(shù)的構造問題考向3利用，段)與sinx,cosx構造

?考點二：構造函數(shù)比較大小

LJ

【考點分析】

考點一：導數(shù)型構造函數(shù)

考向1利用Hx)與X構造

規(guī)律方法(1)出現(xiàn)〃(x)的形式，構造函數(shù)b(x)=/f(x)；

fV

⑵出現(xiàn)腐(X)—Af(x)的形式，構造函數(shù)戶(x)=——.

2#（司+/1

【例題1】已知無)是定義在(o,包)上的增函數(shù)，其導函數(shù)尸(X)滿足則下列結論正確

廣⑴

的是()

A.對于任意尤e(0,+(?),/(x)<0B.當且僅當xe(l,+x)),f(x)<0

C.對于任意xe(O,"),/(x)>0D.當且僅當xe(l,+°o),/(x)>0

【答案】C

【分析】由題意得了'(x)20及亳當+1>1可得坷(尤)+(/_1)/，(尤)>o,構造函數(shù)

g(x)=(x2-l)/(x),可得g(元)是定義在(0,+?)上的增函數(shù)，又g(l)=o,可證得xe(o,l)和xe(l,+8)和

了=1時都有〃力>0,進而得到結論.

【詳解】因為“X)是定義在(0,”)上的增函數(shù)，所以r(x)..O在(0,”)上恒成立,

又2貨。)21

又(⑴’

所以24(%)+優(yōu)一1)((司>0.

令g(X)=(Y-1)/(X),貝l|g，(%)=2V(%)+(*2_])尸(尤)>0,

所以g(x)是定義在(0,y)上的增函數(shù)，

又因為g⑴=0,

所以當xe(O,l)時，g(x)=(x2-l)/(x)<g(l)=0,貝i]/(x)>0；

當xe(l,+oo)時，g(x)=(x2-l)/(x)>g(l)=0,則〃x)>0；

當x=l時,由于外力在(0,y)上為增函數(shù)，則〃x)>0.

所以對于任意xe(0,4w),/(x)>0.

故選C.

【點睛】本題考查函數(shù)單調性的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意構造出函數(shù)g(",然后根據(jù)函數(shù)g(x)的單

調性進行分析、判斷，屬于中檔題.

【變式1】(2023?常州模擬)已知f(x)是定義在(-8,0)u(0,+8)上的奇函數(shù)，f(x)是/'(x)的導函

數(shù)，當x〉0時，xf(x)+2/'(x)〉。，若/"(2)=0,則不等式x?(x)>0的解集是.

【答案】(-2,0)U(2,+8)

【解析】構造函數(shù)g(x)=x2f(x),其中f(x)為奇函數(shù)且xWO,

則g(—x)=(-X)=—xf{x)=-g(x),

所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

且g⑵=0,g(—2)=—g(2)=0,

當x〉0時，g'(^)=xf'(x)+2xF(x)=x[x/‘(x)+2/(x)]〉0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調遞增，

因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(一8,0)上單調遞增，

故x2f(x)〉0今g(x)〉O,

當x〈0時，g(x)>0=g(—2),可得一2〈x〈0；

當x>0時，g(x)>0=g(2),可得x>2.

綜上所述，不等式ff(x)>0的解集為(-2,0)U(2,+-).

fV

【變式2】已知函數(shù)f(x)的定義域為［。，+8),導函數(shù)為一⑸若/小―恒成立,貝N)

A.A2)>A3)B.2f⑴>『(3)

C.A5)>2/(2)D.3/(5)>/(1)

【答案】B

fV

【解析】設函數(shù)g(x)=:^，x\0，

X十1

fV

因為/x20,

x+1

所以(x+l)/(X)—F(x)<0,

ri,7\x+1f'X-fX

則g(X)=---------~2--------<0,

x+1

所以g(x)在定義域上是減函數(shù)，

從而g(l)>g(2)>g(3)>g(5)，

所以4廣(2)>3F(3),2/(1)>/(3),2H2)>f(5),3/(1)>/(5).

考向2利用廣(x)與e，構造

規(guī)律方法(1)出現(xiàn)/7(x)+〃F(x)的形式，構造函數(shù)6x)=e"V(x)；

fV

⑵出現(xiàn)F(x)—<x)的形式，構造函數(shù)6(x)=——.

e

【例題2】已知定義在R上的函數(shù)和g⑺分別滿足/(%)=4么21+/-2/(0).x,g0)+2g⑺<。，

則下列不等式恒成立的是()

A.g(2016)</(2)-g(2018)B.”2).g(2016)<g(2018)

C.g(2016)>/(2)-g(2018)D./(2).g(2016)>g(2018)

【答案】C

【分析】外力=半/-2+/-240)7,令x=0,則”0)=3，由((同=/(1〉/-+2》-2/(0),令

22e

X=1可得”0),進而得出廣⑴，/(%),/(2),令〃(x)=e2%(x),及其已知g'(x)+2g(x)<0,可得

//(x)=e2[g〈x)+2g(x)]<0,利用函數(shù)萬(x)在R上單調遞減，即可得出答案

【詳解】〃力=斗/-2+￡一2〃0).

令x=0,貝|〃0)=二國

???F(x)=r(l).ef2x-2〃o),

令x=i,則r(i)=r(i)+2-2〃o),解得〃o)=i

貝!J/(x)=/￡-2x,/(2)=e4

令/z(x)=e2xg(x),>/g1x)+2g(x)V0,

則h'(x)=e2xg'(x)+2e2xg(x)=e2x[gf(x)+2g(x)]<0

函數(shù)M%)在R上單調遞減，二/z(2016)>/z(2018)

則e?。?2g(2016)Ae205、(2018),可得g(2016)>e4g(2018)

.?.g(2016)>〃2).g(2018)

故選:C

【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、構造法、方程與不等式的解法，考查了推理

能力與計算能力，屬于難題.

【變式1】函數(shù)f(x)的定義域是R,/<0)=2,對任意xGR,f(x)+F(x)>l,則不等式f(x)>e，+l的

解集為()

A.{x|x>0}B.{x|x<0}

C.{x|x<—1或x>l}D.{x|K—1或0<x〈l}

【答案】A

【解析】令。(x)=e*f(x)—e。x￡R,

則。'(x)=e'_f(x)+QXf'(x)—ex

=ex\_f{x)+f'(x)—1].

又廣(入)+/(x)>l,f(x)+fr(x)—1>0,

:?於(x)>0,

???O(x)在定義域上是增函數(shù)，

不等式e"f(x)>e"+l可化為QXf{x)—ex>l,

又。(0)=e°/(0)—e°=L

原不等式等價于。(x)〉。(0),故x>0,

?,?原不等式的解集為{x|x>0}.

【變式2】(2023?黃山模擬)已知定義域為R的函數(shù)Ax),其導函數(shù)為尸(x),且滿足/(x)—2Hx)<0,

r(o)=i,貝U()

A.e2r(-l)<lB.r(l)>e2

T

C.f<eD.f⑴〉e/

【答案】C

fV

【解析】設g(X)=「7

則g'

f'x~2fx

因為/(x)—2F(x)<0在R上恒成立，

所以g，(x)<0在R上恒成立，

故g(x)是減函數(shù)，

所以g(—l)>g(0),

f_]Q

~=e2/(-1)>o=1,故A不正確；

ee

/、/、/1fo

g⑴<g(0),即--2-<---o-,

ee

即/(l)<e2/(0)=e2,故B不正確;

|<g(0)，

ee

即F故C正確;

即g),故D不正確.

考向3利用F(x)與sinx,cosx構造

規(guī)律方法函數(shù)f(x)與sinx,cosx相結合構造可導函數(shù)的幾種常見形式

(1)尸(x)=_f(x)sinx,

F(x)=尸sinx+f{x}cosx；

f,xsinx~fxcosx

F'(x)?2

sinx

(3)F(x)=f{x)cosx,

F'{x)=f'{x}cosx—f(^x)sinx；

fx

(4)/(x)=

COSX

xcosx~\~fxsinx

F'2.

COSX

(JI兀、JI

【例題3】(2023?重慶模擬)已知偶函數(shù)/U)的定義域為(一萬，句,其導函數(shù)為尸(X),當OWx〈萬時,

(j-jCOSx的解集為(

有/(x)cosx+f{x}sinx〉0成立，則關于x的不等式_f(x)>2_f)

【答案】c

【解析】構造函數(shù)g(x)=宗、，一3八吟,

f'Xcosx~fXCOSX

g(X)=-----------------2-

cosX

ffxcosx+fxsinx

—■,

COSX

JI

當OWx〈萬時，g/(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在o,高上單調遞增，

因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)次x)也為偶函數(shù),

且函數(shù)g(x)在0,3上單調遞增，

所以函數(shù)g(x)在(一3,0)上單調遞減，

(兀JI\

因為一■pyI,所以COSx>0,

關于X的不等式/■(x)>2/圖cosx可變?yōu)?/p>

即g(x)>

cosxn

cos

所以g(x|)>

x1〉年,

則〈

JIJI

一大萬,

JIJIJIJI

解得至〈水萬或一-5<x<---

【變式】（2023?成都統(tǒng)考）記函數(shù)”x）的導函數(shù)為/（x）,若Hx）為奇函數(shù)，且當x￡（一方，0）時恒有

f{x}cosx+f'{x}sinx>0成立，則（）

【解析】令g(x)=_f(x)sinx,則g'(x)=F(x)cosx+f(x)sinx,

當丫￡(一弓~,0)時恒有_f(x)cosx+f'(x)sinx>0,所以g'(x)>0,

則g（x）=F（x）sinx在］一~0）上單調遞增，

所以J—￡■）>{—2）,則一％卜卻一半f,勺,即f19〈舟19選項A錯誤;

則-3卜白）〉一乎f卜高，又f（x）為奇函數(shù)，所以—（X）,即f

（g［〈/f仔），選項C錯誤;

所以小『

選項D錯誤.

考點二：構造函數(shù)比較大小

規(guī)律方法構造函數(shù)比較大小的常見類型

(1)構造相同的函數(shù)，利用單調性，比較函數(shù)值的大??；

(2)構造不同的函數(shù)，通過比較兩個函數(shù)的函數(shù)值進行比較大小.

【例題4】(2023上?廣東?高三校聯(lián)考階段練習)已知〃力=*，g(x)=xlnx.若存在％eR,

々€(0,y)，使得〃尤J=g(%)=/成立，則下列結論中正確的是()

A.當/>0時，XjX2=tB.當/>0時，eln/4玉龍2

C.不存在f,使得了'a)=g'(X2)成立D./(x)>g(x)+〃zr恒成立，則MW2

【答案】AB

【分析】A選項，轉化同構形式玉爐=X21nx2=ln%e^,根據(jù)函數(shù)/(x)=xe，在(0,+“)上單調，可得

%=ln4,即B選項，轉化為研究函數(shù)?的最小值問題即可；C選項，特值驗證，找到才

滿足條件即可；D選項，不等式變形、分離參數(shù)，轉化為機<e，-Inx恒成立問題，構造函數(shù)研究最值即

可.

In%2

【詳解】選項A,(5)=g(%)=，??/=無聲=x2ln%=Inx2e>0,

則玉>0,%2>°，ln%2>0，且才=/(再)=/(In%)>0,

由=得/⑴=e*(x+l),

當x>0時，f^x)>0,則〃x)在(0,+力上遞增，

所以當/>0時，/(》)=:有唯一解，故國=ln%,

:.xix1=x,\nx1=t,故A正確;

\ntkit八、

選項B,由A正確，得---=二-。z>。),

xxx2t

設就。=?，貝!]“(/)=—￡,

令0'(r)=。，解得/=e

易知0(。在(o,e]上單調遞增，在[e,+co)上單調遞減，

..,.1Inr1

.?.00)?"(e)=—,---(一，.,.ehWWXi/，故B正確;

e再-^2e

選項3由尸(x)=e*(x+l),gr(x)=lnx+l=0,

得/(-!)=g'[J=0,又驗證知〃-1)=g[J=-：，

故存在/=-1,使得尸(T)=g[g]=O,C錯誤；

選項D,由％>0,〃x)>g(x)+mr恒成立，即e-lnx>加恒成立，

令r(x)=e"—lnx,則/(x)=ex-—,

由r'(x)在(0,+8)上遞增，又/(3)=五一2<0,/(l)=e-l>0,

存在尤0,使/(毛)=0,

”(x)在(0,飛)上遞減，在(%,內))上遞增(其中%滿足1。=’,即尤0=-111%).

/

r(x]>r(x0)=-lnx0=—+x0>2,

xo

要使w?<e*-lnx恒成立，存在2<根<廠(無0)滿足題意，故D錯誤.

故選：AB.

【點睛】方法點睛：在應用導數(shù)研究函數(shù)的綜合題型中，在題干條件中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，通

常可以考慮借助募函數(shù)作為橋梁，通過變形轉化為相同結構的式子，再構造函數(shù)研究問題，即指對同構思

想的應用.

【變式11(2023下?遼寧?高二鳳城市第一中學校聯(lián)考期中)下列不等式恒成立的是()

A.l-^-<lnx<x-lB.l+x<ex<-^―

x1-x

C.J無+1<,+1D.ex>ln(x+??7)(/72<2)

【答案】AD

【分析】A選項，構造函數(shù)/⑴=lnx+[-l,%>0及/z(x)=lnx-x+l,x>0,由導函數(shù)得到其單調性，

證明出結論；BC選項，可舉出反例；D選項，放縮后，只需證明e'-ln(x+2)N。，構造

4x)=e-ln(x+2),x>-2,由隱零點結合基本不等式證明出結論.

【詳角軍】A選項，令/(x)=lnx+g—1,x>0,

11_i

==r當0<x<l時，r(x)<0,當x>l時，/^x)>0,

故〃無)=lnx+』-l在(0,1)上單調遞減，在(1,+cc)上單調遞增，

X

故⑴=0,

令/z(x)=lnx-x+1,x>0,

//(x)=—1=----,當Ov尤vl時，/zr(x)>0,當x>l時，/ir(x)<0,

故/z(x)=lnx-x+1在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

故M%)4Mi)=o,

Sil--<lnx<x-l,A正確；

x

B選項,w(x)=l+x-ex,則1(尤)=1一e"當％<0時，vt/(%)>0,

當%>0時，3(x)<0,

故w(x)=l+x-爐在(-”,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，

故w(x)<w(o)=0,

當％=2時，e2>---,故不滿足e'<---,B錯誤；

1-21-x

C選項，令夕(x'uJx+l-'—l，xN—1,

'(\-1-i一qti

n“(r)一寸有一二瓦后r，

當xe[-l,0)時，0(x)>0,當xe(0,+oo)時，q'(x)<0,

故以比)=而I在xe[-1,0)上單調遞增,在xe(0,y)上單調遞減,

故4(龍)44(0)=0,當且僅當x=0時，等號成立，C錯誤；

D選項，由題意得e*—ln(x+zn)Ne*—ln(x+2),

令(x)=e，-ln(x+2),x>-2,

t'(x)=ex---,令a(無)=/，(x)=e，--—,則/(x)=e'+】？恒成立,

''x+2''''x+2(尤+2)

故"(元)=t'(x)=e"-+在(-2,+s)上單調遞增，

因為f(o)=l-1=|>o,

所以存在x°e(—1,0)使得/(X。)=0,即e%=六，

當犬￡（o,玉））時,t（x）＜0,當J?%,+00）時,f（x）＞0,

故《力=匕"-111（%+2）在%￡（0,%0）上單調遞減，在?！辏?,+00）上單調遞增,

號+%=、+("2)-222^^22)-2=°，

又f(x())=e殉-ln(%+2)=

當且僅當出『+2時，即寸-1時，等號成立,

又不e（—1,0）,故等號取不到，所以e-ln（x+2）＞0,

故e*>ln(x+m)(mW2),ev>In(+zn)(m<2),D正確.

故選：AD

【點睛】隱零點的處理思路：

第一步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)

間，有時還需結合函數(shù)單調性明確零點的個數(shù)；

第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替

換，利用同構思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.

51

916--

【變式2]（2023?榆林統(tǒng)考）已知石=In-r，b=ln---,c=21n4-4

4y/e9蘋

A.a<c<bB.Ma<c

C.a〈b〈cD.c<Ka

【答案】D

31

a---

【解析】a=In22

構造函數(shù)f\x）=21n（x+l）—x（0〈x〈l）,

LI,/、21—x

則/（x）=——1=工，

x十1,v+1

當0〈x〈l時，（x）＞0,『（x）在（0,1）上單調遞增，

所以f（jj＜r（；）〈『曲所以所以a.

]

1-些C0S2023

2023

【變式3】（2023?咸陽模擬）已知3=7-^-,b=e,c=9住，則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】設/■（析=設-x—1,

所以F（x）=e、-1,

令f（x）〈Onx〈O,令f（x）〉00x>0,

所以函數(shù)/'（x）在（-8,0）上單調遞減，在（0,十8）上單調遞增,

則f(a2f(0)=0,即e'—x—120,得e*2x+l.

2022

「…，屐礪、2022-1”，、

所以b—>一o八9。+]—9MQQ—a,即抗a：

乙U乙J乙UZJO

<1?

X0<cos2023

]

、C0S20231

所以c=—2023—<2023=a,

即a>c,所以b>a>c.

【變式4】（2。23.山西聯(lián)考）設a《，仁號―-丹亞,則（）

A.b>c>a,B.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

答案D

1Ine

解析易知a—。-

2e一2e'

In兀lrr^3_ln3

3=2兀，。=3=2X3'

A/、Inx.、

1-Inx

則/(x)

2x5

f'(x)<0=>x>e,

所以F(x)在(e,+8)上單調遞減,

又因為e<3<n,

所以f(e)>f⑶>f(兀)，即a>c>b.

【強化訓練】

一、單選題

1.定義在R上的函數(shù)和g(x)滿足〃口=，/，-2+/-2〃o)x,且g'(x)+2g(x)<0,則下列不等

式成立的是()

A./(2)g(2021)<g(2023)B./(2)g(2021)>g(2023)

C.g(2021)<f(2)g(2023)D.g(2021)>/(2)g(2023)

【答案】D

【分析】先由導數(shù)得出/(。)=1,代入解析式解得廣⑴=2e?,從而得出*2)=e4,由g，(x)+2g(x)<0得出

尸(x)=e2*.g(x)在R上單調遞減，利用尸(2015)>F(2017)得出答案.

【詳解】r(x)=〃l)e2f+2X-2〃0),貝⑴=/⑴+2-2/(0),

解得〃0)=1,由/(O)=^e-2+O2-2/(O)xO

得出廣(l)=2e2,故〃x)=e2，+x2-2x,則〃2)=e~

因為e2'g'(x)+2e2xg(尤)=e2x[g,(x)+2g(x)]<0,

所以函數(shù)戶(力=/超(耳在R上單調遞減，

故產(2021)>F(2023),e4042g(2021)>e4046g(2023),

即g(2021)>e4g(2023),故g(2021)>f(2)g(2023).

故選：D

【點睛】本題考查函數(shù)不等式正誤的判斷，解題時要結合題中不等式構造新函數(shù)，利用單調性來進行判

斷，難點在于構造新函數(shù)，考查分析問題與解決問題的能力，屬于難題.

2.(2022上?廣東佛山?高三統(tǒng)考期末)設函數(shù)的導函數(shù)是廣⑺，且/(x)"'(x)>x恒成立，則

()

A./(1)</(-1)B./(I)>/(-I)C.|/(1)|<|/(-1)|D.l/(DI>lf(-DI

【答案】D

【分析】構造函數(shù)g(x)=苴產("-/],利用導函數(shù)研究其單調性，求出結果.

【詳解】設g(x)=苴/(x)-尤2],貝玲，(力=苴2〃司尸")一2月="力廣(“一》〉。恒成立，所以

g(x)=g[r(xT]單調遞增,故g(i)>g(T,即苴/⑴解得：

/2(1)>/2(-1),即I/⑴>1/(—1)I.

故選：D

222

3.已知定義在R上的函數(shù)/⑺和g(x)分別滿/(x)=，.e-+x-2/(O).x,且g'(x)-2g(x)<0則下

列不等式成立的是

A./(2)-/(2015)<g(2017)B./(2).g(2015)>g(2017)

C.g(2015)</(2)-g(2017)D.g(2015)>/(2).g(2017)

【答案】B

【分析】求出函數(shù)/(x)的導數(shù)，根據(jù)，設〃x)=e2，+x2-2x,設產(可=用，根據(jù)函數(shù)的單調性判斷即

可.

【詳解】因為fe2—+x2_2f(0).x,所以廣(0=八1尸+2A2〃0),

則/'⑴=/(1)+2-2/(0),即/(0)=1,

將〃0)=1代入/(》)=*-/2+/-2/(0)J，可得：r(l)=2e2,

所以f(x)=e"+x2-2x,設尸(x)=與，

貝lja(x)=g'(X)e"-2g"甘工=g。)-2g(力

、I'e4xe2x

由于e">0,g'(x)-2g(x)<0,所以尸'(x)<0恒成立，

所以戶(x)單調遞減,所以網(wǎng)2015)>尸(2017),/(2)=e4,

故有5T駕2,即Pg(2015)>g(2017),

ee

因此(2015)>g(2017)

故選：B.

【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，需要構造函數(shù)，一般：(1)條件含有f(x)+r(x),就

構造g(x)=e"(x),⑵若〃x)-7'(x),就構造g("=竽，⑶2〃x)+If(x),就構造

g(x)=e?"(x),⑷2〃x)-r(x)就構造g(x)=4，，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構造函數(shù).

e

4.設函數(shù)/(x)的導函數(shù)為f(x),對任意xeR都有/(尤)>/'(》)成立，則

A.2018/(ln2017)>2017/(ln2018)B.2018/(ln2017)<2017/(ln2018)

C.2018/(2017)>2017/(2018)D.2018/(2017)<2017/(2018)

【答案】A

【分析】由已知，令g(x)=§,借助導數(shù)判斷函數(shù)g⑺的單調性，然后根據(jù)丹普>寫萼整

理即可做出判斷.

【詳解】由已知，函數(shù)/⑺的導函數(shù)為，(X),對任意xeR都有〃尤)>/(x)成立，

令g(x)=—g，(x)=T/⑺<0,所以g(x)在R上單調遞減，

muri/i/(In2017)/(In2018)

因此g(ln2017)>g