二次函數(shù)的簡答題綜合題（解析版）-2025中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練

QLZEJO

重點(diǎn)楠理...............................................................................1

壓軸題型專練...........................................................................2

壓軸題型一二次函數(shù)的代數(shù)綜合題..................................................2

壓軸題型二二次函數(shù)與三角形面積..................................................5

壓軸題型三腳物就與驗(yàn)珠三角形的存在性問題......................................12

壓軸題型四粕物畿與特殊四邊砂的存在性問題......................................18

壓勒題型五二次西數(shù)新定義問題...................................................23

壓軸題型六二次函數(shù)與幾何最值問題...............................................28

（重點(diǎn)梳理）

二次函敷的簡雷國的綜合題是中考教學(xué)不可爭議的壓軸題型,也常是與其他考點(diǎn)結(jié)合類型的壓軸■，此

類屋中二次的數(shù)常結(jié)合的其他考點(diǎn)及對應(yīng)應(yīng)對策略如下：

1.二次函數(shù)的代教練合題：?？级魏瘮?shù)的考點(diǎn)有：解析式的求解、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征、以及圖象與系數(shù)的關(guān)系等，具體信息有：

解析式求法待定系數(shù)法:設(shè)、代入、解、再代入

圖象特征頂點(diǎn)與對稱（-2—'如「:6"?="%相等的兩個(gè)點(diǎn)）

軸公式

二次函數(shù)的對于二次函數(shù)夕=（1,2+版+。的性質(zhì)規(guī)律：

性質(zhì)的應(yīng)用當(dāng)a>（）時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值,各點(diǎn)中，誰離對稱軸越近,誰的g越小；

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值,各點(diǎn)中，誰離對稱軸越近，誰的？/越大；

確定拋物線與，軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

圖象與系數(shù)b2—4ac與0當(dāng)〃—4ac>0時(shí)，拋物線與立軸有2個(gè)交點(diǎn)；

的關(guān)系當(dāng)〃-4ac=0時(shí)，拋物線與①軸有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)〃一4acV0時(shí)，拋物線與立軸無交點(diǎn)；

2.二次函數(shù)與三角形面積的年合:求不規(guī)則幾何圖形的面積常用方法一一割補(bǔ)法；兩定一動型三角形面

積求解公式——S『水平寬j鉛垂高；

3.出物線與特殊三角形的存在性問題：

①“兩定一動''等腰三角形的存在性問題處理方法：“兩圓一線”找點(diǎn)，“勾股定理”求點(diǎn)；沒規(guī)定腰長

???

時(shí),按邊相等分成三類；

②“兩定一動”直角三角形的存在性問題處理方法：''兩垂一圓”找點(diǎn)，“勾股定理”求點(diǎn)；沒規(guī)定直角頂

點(diǎn)時(shí)，按直角分成三類；

4.護(hù)物線與精殊四邊形的存在性問題：

①“三定一動”型平行四邊形的存在性問題：根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，分別以三個(gè)定點(diǎn)中的兩

點(diǎn)為對角線，分三類討論；

②菱形存在性問題一轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題；

③矩形的存在性問題-轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題

5.二次西數(shù)的新定義問題:新定義類函數(shù)問題，新規(guī)定的定義就是解決問題重要的性質(zhì)，做題中還需聯(lián)

系與新定義關(guān)聯(lián)緊密的已學(xué)考點(diǎn)。

壓軸題型——

V*力技法

①二次函數(shù)代數(shù)類考察，解析式中一般含有參數(shù)，即給的是“不完整的解析式”;而這類解析數(shù)有可

能可以通過因式分解法求其與，軸交點(diǎn)坐標(biāo)，或者通過因式分解找至u該“不完整函數(shù)”所過的定點(diǎn)；

②：這類問題中，一般都需要求二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)。其中，對稱軸一般是確定的，但開口方向

不定，所以利用此結(jié)論求交點(diǎn)個(gè)數(shù)或函數(shù)最值問題時(shí),要注意分類討論,特別要注意其中的計(jì)算；

1.（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線g=Q/—2Q2啰（。w0）.

（1）當(dāng)a=1時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知M（%i，%）和N（g,m）是拋物線上的兩點(diǎn).若對于/I=3Q,3<g<4,都有％<仍，求。的取

值范圍.

［分析】（1）將a=1代入即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用作差法建立關(guān)于g和。的不等式，因?yàn)?。不確定，所以要分類討論，再根據(jù)范圍取舍即可.

【解答】解：（1）將'Q=1代入得g=〃—2x=（X——

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—1）;

223

（2）方法一,：由題得，yx—a*（3a）—2a*3a=3a,

2

V2—a逼—2aT2,

丁yi<y2,

2

y2~Vi—。（咫-2ax2—3a）=a（x2—3a）（x2+a）>0,

①當(dāng)a>0時(shí)，（力2—3a）（T2+a）>0,

.（x2—3a>0戈［6213aV0

Ig+a>。l^2+a<0，

解得g>3Q或x<—a,

2???

V3<x2<4,

3。V3或—a>4,

，a<1或a<—4,

,/a>0,

/.0<a<1;

②當(dāng)aV0時(shí)，(力2—3Q)(62+a)V0,

T—3a>0x—3a<0

2或v2

T2+a<0力2+?！?。

解得3a<x2<—a,

,?,34g44,

f3a<3jF

\,解付aV—4,

[—a>4

綜上，0VQVI或aV—4.

方法二:①當(dāng)a>0時(shí)，

,nJ和N(X2,y?都在對稱軸右側(cè),

此時(shí)g隨力增大而增大，

I%〈紡，

Xi<X29

：.3a<3,

0<a<1;

②當(dāng)a<0時(shí),

M(xlt陰)在對稱軸左側(cè)，N(X2,y2)在對稱軸右側(cè)，

點(diǎn)“(3a,yj關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)(-a,yj在對稱軸右側(cè)，

在對稱軸右側(cè)，9隨2增大而減小，

'''yi<V2,

-CL>4,

dV—4,

綜上，0VQVI或aV-4.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、因式分解、解不等式等知識點(diǎn)是解

題關(guān)鍵.

2.（2024-南通）已知函數(shù),=（c—a）2+Q—by（a,b為常數(shù)）.設(shè)自變量工取g時(shí)，y取得最小值.

（1）若a=—Lb=3,求出的值；

（2）在平面直角坐標(biāo)系①。"中，點(diǎn)P（a,b）在雙曲線夕=--上，且g=<.求點(diǎn)P到夕軸的距離；

x2

（3）當(dāng)a?—2a—26+3=0,且1WgV3時(shí)，分析并確定整數(shù)a的個(gè)數(shù).

【分析】（1）利用求拋物線對稱軸公式即可求得答案；

（2）根據(jù)題意得b=—代入夕=Q—ay+（,—6）2,再根據(jù)拋物線對稱軸公式建立方程求解即可；

a

（3）由題意得6=量二|旺代入？/=（，一行+3一6）2,用含a的代數(shù)式表示g,再根據(jù)題意列不等式組

求解即可.

【解答】解：（1）若a=—1,b=3,則g=（劣+1>+（/一3）2=2x2—4rc+10,

當(dāng)/=_4=1時(shí)，g取得最小值，

2X2

g=1;

⑵二點(diǎn)P（a,b）在雙曲線y=——上,

x

,.4

1+a2+f,

.0—2x2——萬，

電=2,a2——1,

當(dāng)a=2時(shí)，點(diǎn)P到g軸的距離為2;

當(dāng)@二一1時(shí)，點(diǎn)P到g軸的距離1;

綜上所述，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2或1;

（3）Q2—2a—2b+3=0,

.心出一2a+3

」=~2-，

由題意得：g=告白=若&,

,.,l<a；o<3,

整理得：l4a2<9,

—3Va&—1或1WaV3,

,：a為整數(shù)，

:*a=—2或一1或1或2,共4個(gè).

【點(diǎn)評】本題是函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，解不等式組等，理解題意，熟練運(yùn)用

二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2024-廣西）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于宓的二次函數(shù)4=x2+2ax+a-3的最值問題展

開探究.

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法.

（1）老師給出a=—4,求二次函數(shù)4=〃+2ax+a—3的最小值.

①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；

②求當(dāng)必取何值時(shí)，函數(shù),有最小值，并寫出此時(shí)的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在工取何值時(shí)，y的最小值.記錄結(jié)果，并

整理成如表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計(jì)算結(jié)果.

【探究發(fā)現(xiàn)】老師:“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格,談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)

甲同學(xué):“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取力=—a，就能得到y(tǒng)的最小值.”

乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以

我猜想y的最小值中存在最大值”

（2）請結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+2ax+a—3,解釋甲同學(xué)的說法是否合理？

（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值;若不正確，說明理由.

【分析】（1）①a=—4,y=x2+2ax+a—3=s2—8a;—7;

②當(dāng)拋物線在對稱軸即①=4時(shí)，夕取得最小值,即可求解；

（2）1>0,故函數(shù)有最小值，即可求解

（3）當(dāng)x=—a時(shí)，夕=/+2ax+a—3=—a2+a—3,—KO,iky有最大值，即可求解.

【解答】解：（1）①a——4,y—x2+2ax+a—3—x2—8x—7;

②當(dāng)拋物線在對稱軸即c=4時(shí)，g取得最小值為：16—32—7=—23;

（2）合理，理由：

,/1>0,故函數(shù)有最小值，

當(dāng)c=—a（對稱軸）時(shí)，y取得最小值，

故甲同學(xué)的說法合理；

（3）正確，理由：

當(dāng)x=-a時(shí)，y=d+2ax+a—3=—a2+a—3,

?J—1<0,故沙有最大值，

當(dāng)a=]■時(shí)，y的最大值為：一■/+]—3=—~~.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)最值得求解等，熟悉函數(shù)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型二二次函數(shù)與三角形面積

4.（2024-通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—+3與2軸，0軸分別交于點(diǎn)C,。，拋物線y

=-j3—2)2+k(k為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)。且交力軸于4B兩點(diǎn).(1)求拋物線表示的函數(shù)解析式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接CP.求四邊形4CPD的面積.

x(0—2y+k,k=4,即可得拋物線表示的函數(shù)解析式為g=—十"

+6+3;

(2)連接OP,求出C(2,0),OC=2,4—2,0),OA=2,拋物線頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,4),可得S四邊形人小。

S^AOD+S"OD+S"OC~10.

【解答】解：⑴在g=-卷劣+3中，令力=0得g=3,

???。(0,3),

???拋物線y=一］(T-2)2+%經(jīng)過點(diǎn)D(0,3),

3——彳X(0-2)2+k,

解得k=4,

y=一：(力-2)2+4=—^x2+⑦+3;

??.拋物線表示的函數(shù)解析式為g=—《〃+0+3;

4

⑵連接OP,如圖；

???C(2,0),00=2,

在。=--+力+3中，令g=0得0=--i-X2+x+3,

解得力=6或re=—2,

???4—2,0),04=2,

由。=一!(/-2)2+4可得拋物線頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,4),

S四邊形ACPD~S^AOD+S"OD+S"oc~x2x3+/x3x2+^-x2x4=3+3+4=10;

???四邊形ACPO的面積為10.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，三角形面積等知識，解題

的關(guān)鍵是用割補(bǔ)法求出四邊形ACPD的面積.

5.（2024?西寧）如圖，二次函數(shù)的圖象與刀軸交于點(diǎn)4（—3,0）,與4軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（—2,

T）.

（1）求二次函數(shù)的解析式.

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由.

（3）在直線上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使S夕AB=2S*B.若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)

P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x—h）2+k（a豐0）,將頂點(diǎn)（7（—2,—1）代入解析式得y—a（x+2）2—

1,進(jìn)而可以解決問題；

（2）過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)人作AE_LCD于點(diǎn)E,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可解決問題；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（館，m2+4小+3），過點(diǎn)P作PH_LAB,垂足為過點(diǎn)P作PQ〃y軸交直線AB于

點(diǎn)。，求出直線AB的解析式為9=力+3,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m,m+3）,得PQ=m2+4m+3—（m+3）=

m2+3m=4,得仍=1,Tn?=—4，進(jìn)而解決問題.

【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x—/z）2+fc（a半0）,

將頂點(diǎn)C（-2,一1）代入解析式得夕=aQ+2）2—1,

,/二次函數(shù)的圖象與2軸交于點(diǎn)A（-3,0）,

0=o（—3+2）2—1,

解得a=1,

:.二次函數(shù)解析式為9=（c+2）2-1；

（2）AABC是直角三角形，理由如下：

拋物線y=（c+2＞一1與y軸的交點(diǎn)，

當(dāng)±=0時(shí)，"=3,

.?.5（0,3）,

如圖1,過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)。，

圖I

D(O,-1),

過點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E,

—1),

'''>1(—3,0),01(—2,—1),

AB2=OB2+OA2=32+32=18,AC2=A￡2+CE2=12+12=2,BC2=CE>2+B￡>2=22+42=20,

：.AB2+AC2=20,

：.AB2+AC2=BC2,

：.ZVIBC是直角三角形；

(3)存在，理由如下:

y=(2+2)2—1=d+4,+3,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2+4m+3),

過點(diǎn)P作PH_LAB,垂足為H,過點(diǎn)P作PQ〃沙軸交直線AB于點(diǎn)Q,

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k^O),^4(—3.0),8(0,3)代入得,

(—3k+b—0

t&=3

解得仁;,

??.直線AB的解析式為g=c+3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(m,m+3),

?,^APAB=2sMBC，

-1-AB?PH=2X^AB-AC,

：.PH=2AC=2V2,

在Rt/XAOB中，OA=OB,

乙480=/BA。=45°,

???PQ〃9軸，

/PQH=NABO=45°,

在Rt/^PQH中,

...,,oPH

.sm45=玩，

“Q卡=4,

2

PQ—m2+4m+3—(m+3)=m2+3m=4,

解得mi=1,m2——4,

當(dāng)館=1時(shí)，m2+4巾+3=8,

??.P(l,8),

當(dāng)m=-4時(shí)，？722+4m+3=3,

???現(xiàn)-4,3),

所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,8),(―4,3).

【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會用分類討論的思想思考問題.

6.(2024?濟(jì)寧)已知二次函數(shù)夕=姐2+就+。的圖象經(jīng)過(0,—3),(—b,c)兩點(diǎn)，其中a,b,c為常數(shù),

且ab>0.

⑴求a,c的值；

(2)若該二次函數(shù)的最小值是一4,且它的圖象與刀軸交于點(diǎn)4例點(diǎn)人在點(diǎn)B的左側(cè))，與0軸交于點(diǎn)

C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A,B的坐標(biāo);

②如圖，在0軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動點(diǎn)P,過點(diǎn)P作c軸的垂線,垂足為。，與直線AC交

是否存在點(diǎn)P,使率必=4?若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存

于點(diǎn)E，連接PC,CB,BE.

備用圖

【分析】（1）將已知兩點(diǎn)代入到解析式進(jìn)行計(jì)算分析即可得解；

⑵①將第一問求出的Q、C代入配成頂點(diǎn)式即可得到含b的最小值，再根據(jù)題中條件建立方程即可求出b

值，最后求二次函數(shù)與名軸交點(diǎn)，令g=0即可得解；

②分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)A的左右兩側(cè)，再利用△PCE和△石CE都是以CE為底的三角形，求出PG

的長度，從而得到解析式，聯(lián)立求解即可.

【解答】解：⑴???函數(shù)過（0,—3）,（―b,c）

c=-3,ab2—b2+c=c,

（Q—l）b2=0,

ab>0,

工aW0,bW0,

a—1=0,

a=1.

（2）①由⑴知該函數(shù)的解析式為：0二"+版―3=（劣+寺）—12,

a=1>0,

當(dāng)X——今時(shí)，函數(shù)最小值為y=—',

,/二次函數(shù)最小值為一4,

?-^±12

??49

解得b=±2,

afe>0,

/.b=2,

/.二次函數(shù)解析式為。=爐+2c—3,

令g=0,貝1/+2/—3=0,

解得力1=-3,x2=l,

???點(diǎn)A坐標(biāo)（一3,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)（1,0）.

②I,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)4右側(cè)時(shí)，如圖，過B作石于點(diǎn)尸，過P作PGL4。于點(diǎn)G,

vA(-3,0),C(0,-3),B(l,0),

OA=OC=3,OB=1,

:.AB—OA+OB—4,AC—3V2,

???s：=^AB-OC=^BF-AC,

?由=旭「2版

4PCE和4BCE都是以CE為底的三角形,

.S?CE_PG_3

"S的E一'一吊'

...pG=^^,

過P作PHV/AC交g軸于點(diǎn)H,過。作CK_LPH,則CK=PG=^~

???OA=OCf

：.ZOCA=45°,

.-.ZC7fK=45°,

：.CH=V2CK=^-,

.?.點(diǎn)H坐標(biāo)（0,一年），

.?.直線PH解析式為沙=一,一今,

（y=x2-\-2x—3

聯(lián)立方程組可得《9，

V3-3_-3-V3

電=^-電二-2—

解得■

_-6-V3，-6+V3，

yL-2-yi=—2—

.?.P點(diǎn)坐標(biāo)為(V3—3,^^）或（-3-V3-6+V3

222

11,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)4左側(cè)時(shí)，過P作PH〃人。交“軸于點(diǎn)H,

同第一種情況的方法可得鳳0,—|)

/.直線PH解析式為y=-x--1,

(y=x2-]-2x—3

聯(lián)立方程組得《3

w=一計(jì)了

f_-3+V15_-3-V15

立尸2

解得4（舍）__2~~

V15_V15

y2=F~

11

P點(diǎn)坐標(biāo)為（二^巫，*畀）.

綜上，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為容心或-3丁或-3~^.

【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值問題、二次函數(shù)與。軸交點(diǎn)問題、二次函

數(shù)與直線交點(diǎn)問題等內(nèi)容，難度中等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型三拈物線與特殊三角形的存在性問題

2

7.（2024-泰安）如圖,拋物線C1：y=ax+^-x-4：的圖象經(jīng)過點(diǎn)。（1,—1）,與刀軸交于點(diǎn)4點(diǎn)3.

O

⑴求拋物線G的表達(dá)式；

（2）將拋物線G向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線。2,求拋物線G的表達(dá)式，并判

斷點(diǎn)。是否在拋物線。2上;

（3）在立軸上方的拋物線。2上，是否存在點(diǎn)P，使/\PBD是等腰直角三角形.若存在，請求出點(diǎn)P的

坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【分析】（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

⑵由題意得:—1戶+~|■（工一1）—4+3=（"（工一年）一詈，當(dāng)劣=1時(shí)，9="|~（c一卷）—

即可求解；

15315715

（3）當(dāng)/BAP為直角時(shí)，證明△DGB2AEHD（A4S）,求出點(diǎn)E（2,2）,當(dāng)劣=2時(shí)，y=?廿一?『一典=

315715

掾（2—|■『一整=2,即點(diǎn)E在拋物線C2上，即點(diǎn)P即為點(diǎn)右（2,2）;當(dāng)NDBP為直角時(shí)，同理可解；當(dāng)

315715

/印明為直角時(shí)，如圖3,同理可得點(diǎn)后（0,1）,即可求解.

【解答】解：（1）將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：—l=a+（-4,

解得：a=日，

則拋物線的表達(dá)式為：9=■力2+A.x—4；

OO

（2）由題意得:。2：0="|"（力一1）2+4（力-1）-4+3=日（力一'1~）一整,

故點(diǎn)。在拋物線G上;

⑶存在，理由：

當(dāng)/BDP是直角時(shí)，

如圖1,過點(diǎn)。作。E_LBD且。E=BE,則△BDE為等腰直角三角形,

ZBDG+2EDH=90°,AEDH+2DEH=90°,

ABDG=Z.DEH,

?：ADGB=AEHD=90°,

ADGB名^EHD(AAS),

則。打=BG=1,EH=GO=1+2=3,

則點(diǎn)石(2,2),

當(dāng)―2時(shí),“7(,號?—普7(2—/—瞿=2,

即點(diǎn)E在拋物線。2上，

即點(diǎn)P即為點(diǎn)8(2,2);

當(dāng)ZDBP為直角時(shí)，如圖2,

同理可得：^BGE第ADHB(AAS),

則DH=3=BG,BH=1=GE,

則點(diǎn)E(—1,3),

當(dāng)，=T時(shí),

即點(diǎn)E在拋物線。2上,

即點(diǎn)P即為點(diǎn)E(—l,3);

當(dāng)/BPD為直角時(shí)，如圖3,

13

設(shè)點(diǎn)E(c,y),

同理可得：^EHB篤/\DGE(AAS),

則EH=a;+2=GD=y+1且BH=y=GE=l—x,

解得:c=0且y=1,即點(diǎn)E(O,1),

即點(diǎn)E不在拋物線G上；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2,2）或（一1,3）.

【點(diǎn)評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的

思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.

8.（2024-宜賓）如圖,拋物線y=x2+bx+c^x軸交于點(diǎn)A（—1,0）和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)0（0，-4）,其

頂點(diǎn)為。.

（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)使得△80河的周長最小.若存在，求出點(diǎn)”的坐標(biāo);若不存在,請說明

理由；

（3）若點(diǎn)E在以點(diǎn)P（3,0）為圓心，1為半徑的。F上，連結(jié)AE,以/石為邊在AE的下方作等邊三角

形人即，連結(jié)求口尸的取值范圍.

【分析】（1）用待定系數(shù)法得拋物線的表達(dá)式為9="一32—4；即可得拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（卷，一苧）；

（2）作。居，—關(guān)于夕軸的對稱點(diǎn)0（—1?，—苧），連接BD交？/軸于河，求出B（4,0）,BD=

史魯，可知的周長最小，只需DM+最小，而DM=DM,有DM+BM=D'M+BM,故B,

14

Al,D共線時(shí)，DM+BM■最小，最小值為BD'的長，此時(shí)4BDM的周長也最??；由B（4,0）,

O'（—得，一空）得直線BD，解析式為沙=患多一普，從而河的坐標(biāo)為（0,—普）；

（3）以AB4為邊，在AP下方作等邊三角形APQ,連接PE,QF,BQ,由人（一1,0）,F（3,0）,ZVLPQ是等

邊三角形,可得Q的坐標(biāo)為（1,-2V3）,證明△及4P2△K4Q（SAS），有PE=QF=1,可知F的軌跡是以

Q（1,-2V3）為圓心，1為半徑的圓，因=，無，當(dāng)F在線段QB上時(shí)，BF最小，此時(shí)BF=BQ-QF=

何一1;當(dāng)Q在線段上時(shí)，BF最大，此時(shí)5尸=3（3+。尸=儂+1;所以BF的范圍時(shí)儂一14BF

<V21+1.

【解答】解：（1）把4—1,0）,C（0,—4）代入夕=爐+ba?+c得:

（l—b+c=0

jc=-4

解得尸T,

[c=-4

拋物線的表達(dá)式為y=x2—3x—4;

■：y=x2-3x-4：=（^x-^—普，

二拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為怎，一學(xué)）；

（2）在沙軸上存在一點(diǎn)M,使得4BDM的周長最小，理由如下：

作。（|■，—苧）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)皿—,，—苧）,連接即交沙軸于河,如圖:

在g=/-3力一4中，令g=0得0="—3力一4,

解得力=4或⑦=—1,

???6（4,0）,

.?.吁小汴-，

/\BDM的周長最小，只需DM+BM最小,

?：DM=D'M,

DM+BM=D'M+BM,

共線時(shí)，DM+BM■最小，最小值為BD'的長，此時(shí)ABDM■的周長也最小;

由3（4,0）,。（一方，一爭）得直線BD'解析式為y=患，-瑞，

令c=0得y=一黑，

.?.M■的坐標(biāo)為（0,—瑞）；

⑶以AR4為邊，在AP下方作等邊三角形4PQ,連接PE,QF,BQ,如圖：

D

由4一1,0）,F（3,0）,Z\4PQ是等邊三角形，可得Q的坐標(biāo)為（1,—2g）,

AAEF,△APQ是等邊三角形，

：.AE^AF,AP=AQ,AEAF=APAQ=60°,

：.NEAP=/FAQ,

：.^EAP第△E4Q（&4S）,

；.PE=QF=1,

.?.F的軌跡是以Q（l,—26）為圓心，1為半徑的圓，

???5（4,0）,

：.BQ^V21,

當(dāng)F在線段QB上時(shí)，BF最小，此時(shí)BF=BQ-QF=V21-1;

當(dāng)Q在線段BF上時(shí)，BF最大，此時(shí)=BQ+QF=V21+1;

.?.3尸的范圍時(shí)因一143?4歷+1.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，軸對稱求最短距離，全等三角形判定與性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是掌握“將軍飲馬問題“解決策略和求出F的軌跡.

9.（2024-雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)v=ad+尻+3的圖象與t軸交于A（l,0）,B（3,0）兩

點(diǎn),與V軸交于點(diǎn)C.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖①，若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)8,。重合），過點(diǎn)尸作夕軸的平行線交拋物線于

點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長度最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)。，且NCQ0=2NOCQ.在"軸上是否

存在點(diǎn)E,使得ABDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

⑵由PQ=6一3—(/—4力+3)——X1+3力，即可求解；

⑶當(dāng)。E=時(shí)，則68=25+3—8)2,解得：^二8±0，即點(diǎn)七(0,8±，^);當(dāng)12后二跳；或石。=跳；

時(shí)，同理可解.

【解答】解：(1)由題意得:y=a(x—1)(x—3)=a(x2—4x+3)=ax2+bx+3,

則a=1,

則拋物線的表達(dá)式為：y=x2-4x-l-3;

(2)由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)(7(0,3),

由點(diǎn)反。的坐標(biāo)得，直線CB的表達(dá)式為：。=一力+3,

設(shè)點(diǎn)Q(x,力2—4%+3),則點(diǎn)P(x,—x+3),

則PQ——X+3—(力之一42+3)=—x2+3/,

V-l<0,

故PQ有最大值，

此時(shí)H=[■，則彩=4―4必+3=號,

即點(diǎn)Q(件,一年)；

⑶存在，理由：

由點(diǎn)C、Q的坐標(biāo)得，直線CQ的表達(dá)式為：？/=—1a;+3,

過點(diǎn)Q作TQ〃"軸交/軸于點(diǎn)T,則ATQA=AQCO,

???ZCQD=2ZOCQ,ATQC=/.QCO,

則ACQT=ADQT,

17

即直線CQ和。Q關(guān)于直線QT對稱，

則直線DQ的表達(dá)式為:呼融一今,

聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：a;2-4a;+3=1-（a;-

解得:，=~|■（舍去）或5,

即點(diǎn)0（5,8）;

設(shè)點(diǎn)石（0,g）,由B、D、E的坐標(biāo)得，BD2=68,DE2=25+（y—8）2,BE2=9+y2,

當(dāng)DE=BD時(shí),

則68=25+3—8）2,

解得：沙=8土出，即點(diǎn)E（O,8土歷）；

當(dāng)DE=BE鼠BD=BE時(shí),

同理可得：25+（“一8）2=9+必或9+必=68,

解得:y=5或+V59,

即點(diǎn)石（0,5）或（0,±V59）;

綜上，點(diǎn)E（0,8±3）或（0,5）或（0,+V59）.

【點(diǎn)評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的

思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.

壓軸題型四批物線與精殊四邊形的存在性問題

10.（2024-甘南州）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線"=。"+故—5（aW0）交①軸于A,。兩點(diǎn)，交夕

軸于點(diǎn)B,5OA=OB=OC.

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）已知拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)河，使得的周長最小,請求出點(diǎn)他的坐標(biāo)；

（3）連接BC,點(diǎn)、P是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作夕軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,求當(dāng)四邊形OBQP為

平行四邊形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

（2）點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸得對稱點(diǎn)為點(diǎn)。，則BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,此時(shí)△ABAf的周長最小,

即可求解；

（3）由PQ=OB,即可求解.

【解答】解：⑴由拋物線的表達(dá)式知，c=—5=yB,

—

則OB=5=OA=OC,

貝I點(diǎn)4、C、B的坐標(biāo)分另U為：(1,0)、(一5,0)、(0,-5),

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y—a(x—1)(a;+5)=a(x2+4x-5)=ax2+bx—5,

則a=l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+4x—5;

(2)點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸得對稱點(diǎn)為點(diǎn)。，則BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,此時(shí)/XABM的周長最小,

理由：

4ABM的周長=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC為最小,

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：沙=一2一5,

由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線2=-2,

當(dāng)x=-2時(shí)，y=-x—5=—3,

則點(diǎn)M(—2,-3);

⑶設(shè)點(diǎn)P{x,-x—5),則點(diǎn)Q(x,a;2+4a:—5),

則PQ—(—x—5)—(a;2+4c—5)——x2—5x,

■：PQ//OB,

故當(dāng)PQ=OB時(shí)，滿足題設(shè)條件,

即PQ=—，2—5rc=OB=5,

解得：工=-5+V5

2

-5-V5-5-V5—5+

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(土上）或（

222

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、線段長度的表示方法、線段和的最值

等，綜合性強(qiáng)，難度適中.

11.(2024.瀘州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)4(3,0),與‘軸交

于點(diǎn)且關(guān)于直線c=1對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)一LWc<t時(shí)，夕的取值范圍是0W"W2t—1,求t的值；

(3)點(diǎn)。是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)。作①軸的垂線交直線AB于點(diǎn)。，在U軸上是否

存在點(diǎn)E,使得以8,C,。，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長;若不存在,說明理

由.

?M

a

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

⑵當(dāng)一1《力W力時(shí)，x=—1時(shí)，。取得最小值，則力=力時(shí)，g取得最大值，即可求解；

⑶由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)石（0,3）,如圖，6,。，。，石為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，存在點(diǎn)石在點(diǎn)石上方和

下方兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：（1）4（3,。），拋物線的對稱軸為直線力=1,則拋物線和力軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為：（一1,0）,

則拋物線的表達(dá)式為:y=a（x+1）（力-3）=ax2+bx+3,

解得：a——A.,

則拋物線的表達(dá)式為：y——2?+2rc+3;

（2）由題意得一14力《力，

當(dāng)一1V1V1時(shí)，則&力，

x=-1時(shí)，g=—/+2力+3=0,取得最小值，

則⑦=力時(shí)，2t—1——I?+2t+3,

解得：t=—2或2,均不符合題意；

當(dāng)14力V3時(shí)，

則拋物線的頂點(diǎn)處取得最大值，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:（1,4）,

即2方一1二4,

解得：t=2.5;

⑶存在，理由：

由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)石（0,3）,

①當(dāng)為菱形對角線時(shí)，對應(yīng)菱形為BDCE'

由點(diǎn)4、_B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y=—x+3,

設(shè)點(diǎn)。(力，—力2+2/+3),點(diǎn)。Q,—X+3),

則CD——2?+2力+3—{—X+3)——X1+3/,BD—V2T,BC—V^2+(―rr2+2x)2,

2。

.'.—x2+3/=V2x,

解得：a;=3-V2或c=0（舍去）,

則BD=V2x=3V2—2,

即菱形的邊長為：3方一2.

②當(dāng)BD為菱形的對角線時(shí)對應(yīng)菱形為菱形BCDE,

則CD=BC,

—x2+3a:=y/x2+（—x2+2x）2,

解得：c=2或2;=0（舍去）,

則CD=-X2+3X=-22+3X2=2,

即菱形的邊長為：2.

綜上，菱形的邊長為：32-2或2.

【點(diǎn)評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的

思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決

相關(guān)問題.

12.（2024-寧夏）拋物線"=姐2—1~2；—2與多軸交于4—1,0）,口兩點(diǎn)，與0軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是第四象

限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,過P作PD，c軸于點(diǎn)。，交直線于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為小,當(dāng)PE=^-BE時(shí),

求7n的值；

（3）如圖2點(diǎn)尸（1,0）,連接CF并延長交直線于點(diǎn)V,點(diǎn)N是力軸上方拋物線上的一點(diǎn)，在（2）的

條件下，刀軸上是否存在一點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，直接寫

出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）將點(diǎn)4-1,0）代入拋物線解析式，解之即可得出結(jié)論；

（2）令沙=0,可得B（4,0）;令c=0可得點(diǎn)。的坐標(biāo)（0,—2）;則_8。=，再取=2時(shí)；8。的解析式為：?/

=]0-2;根據(jù)題意，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（m,0）,把力=小分別代入拋物線和直線石。的解析式，可得

P（m,-2^;E（m,十2）;所以DE=2——EP=2m——^-m2;由PD_L/軸，可得PD

〃"軸，所以4BDE?ABOC,則BD:BO=BE:BC,即BE?BO=BC-BD,可得=—所以

?！?彳跳；=年（4一口），由此可建立關(guān)于館的方程，解之即可；

（3）由。、F的坐標(biāo)可得,直線。尸的解析式為：沙=2,-2,所以防毋，3）;當(dāng)夕=3時(shí)，/婷一衣一2=3,

解得劣=-2或田=5;當(dāng)N（—2,3）時(shí)，—;當(dāng)N（5,3）時(shí)，方；分別求解即可得出結(jié)

論.

【解答】解：（1）把點(diǎn)A（—1,0）代入y—ax2—^-x—2得a+1—2=0;

解得a=];

.?.拋物線的解析式為：夕—日2—2.

⑵把y=0代入V=ya32-ya;一2得,ysc2--|-x-2=0,

解得x=-1或力=4,

AB（4,0）;

當(dāng)力=0是，g=-2,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)（0,—2）;

??.BC=V42+22=2B,BC的解析式為：g=?j-c—2;

根據(jù)題意，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（館，0）,

得,

才巴力=771代入g02^-x—2y—---^-772—2.

把（力二館代入g=力-2,得g=2,

ym—2）;E^m,]?n—2）;

:?DE=2—EP—2m—^-m2;

PD_L力軸，

:?PD/Iy她,

???△8DE?ABOC,

???BD:BO=BE:BC,即BE?BO=BC^BD,

???PE=乎3￡=,（4—?。?，

2m—^-m2=-|-（4—m）,

解得m=*或m=4（舍）；

⑶存在，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（—日，0）或號，0）或,0）或怎，0）.理由如下：

VC（O,-2）,F（l,O）,

直線CF的解析式為：夕=2必—2,

當(dāng)