高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)專練：函數(shù)值域與最值十四大題型（原卷版）

重難點(diǎn)專題02函數(shù)值域與最值十四大題型匯總

題型1幕函數(shù)值域問題............................................................1

題型2指數(shù)函數(shù)值域問題..........................................................3

?類型1值域相關(guān)問題......................................................3

?類型3由函數(shù)奇偶性求解析式..............................................5

題型3對(duì)數(shù)函數(shù)值域問題..........................................................5

?類型1值域相關(guān)問題......................................................5

?類型2定義域與值域?yàn)镽問題..............................................6

?類型3新定義相關(guān)問題....................................................7

題型4分式型函數(shù)值域問題........................................................7

題型5對(duì)鉤與雙刀函數(shù)值域問題...................................................9

題型6分段函數(shù)值域問題.........................................................10

題型1絕對(duì)值函數(shù)值域問題.......................................................11

題型8高斯函數(shù)值域問題.........................................................12

題型9“倍縮”函數(shù)值域問題.....................................................14

題型10”類周期函數(shù)”值域問題..................................................15

題型11抽象函數(shù)值域問題........................................................17

題型12復(fù)合函數(shù)值域問題........................................................17

題型13三角函數(shù)值域問題........................................................18

題型14函數(shù)中的兩邊逼近思想...................................................20

SKDII

題型1系函數(shù)值域問題

小塾重點(diǎn)

幕函數(shù)主要考察一元二次函數(shù)

二次函數(shù)在進(jìn)行討論的時(shí)候要首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況，然后根據(jù)題意，去討論開

口或者討論A

【例題1】（2022?全國?高三專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)/（x）=7a娛+其中b>0,若f（x）的定義

域與值域相同則非零實(shí)數(shù)a的值為

【變式1-1】1.（2023?全國?高三對(duì)口高考）若函數(shù)八乃=/—6x-16的定義域?yàn)閇0,利,

值域?yàn)閇—25,—16],則m的取值范圍為

【變式1-1】2.（2017春?貴州貴陽?高三階段練習(xí)）若函數(shù)/⑴=7ax2+6久+c[a,b,ce

R)的定義域和值域分別為集合4B,且集合｛。7)|%€4>€8｝表示的平面區(qū)域是邊長為1

的正方形，貝帥+c的最大值為

【變式1-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)/(久)，當(dāng)久>0時(shí)，式%)=-

久2+2%另一Is"函數(shù)y=。(久)的定義域?yàn)椋?0，值域?yàn)榫虸,其中a豐b,a,b豐0.在久E［

a,b］上,g(x)=f(久).求a,b.

【變式1-114.b,ceR,二次函數(shù)/O)=/+必+。在(0,1)上與舛由有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

求c2+(1+6)c的取值范圍.

【變式1-1】5.侈選)(2023?山西朔州懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑶=

ax3+(1-a)x,則()

A.函數(shù)久久)為奇函數(shù)

B.當(dāng)=1時(shí)，a=-T或1

C.若函數(shù)/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［0,1)

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［—1,1］上的值域?yàn)椋邸?,1］,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［—，4］

【變式1-1】6.(2023?全國?高三專題練習(xí))定義：區(qū)間跖題］的長度為久2—亞.已知函數(shù)

y=/+l的定義域?yàn)椋踑用，值域?yàn)椋?,2］,記區(qū)間［a總的最大長度為小，最小長度為九則函數(shù)

g(x)=ex-mx+ri的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.0D.3

【變式1-1】7.(2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))已知人嗎=爐—3x,函

數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)榭诰?a/eZ),y=/(x)的值域?yàn)椋踑,句的子集，則這樣的函數(shù)的個(gè)數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.無數(shù)個(gè)

題型2指數(shù)函數(shù)值域問題

?類型1值域相關(guān)問題

【例題2-1】(2023?全國?高三專題練習(xí))若2小1<(J：則函數(shù)y=2,的值域是()

A.[QB[Q]

c.(-00,1)D.[2,+00)

【變式2-111.侈選)(2023?全國高三專題練習(xí))函數(shù)/⑴=22工-2計(jì)1+2的定義域?yàn)?/p>

M,值域?yàn)閇1,2],下列結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是()

A.MG(-00,1]B.M2[-2,1]C.1GMD.OEM

【變式2-1】2.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))使函數(shù)f(x)=|e，—a|的值域?yàn)閇0,+8)的一個(gè)a的

值為.

【變式2-1】3.(多選)(2023?全國?高三專題練習(xí))對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1,函數(shù)y=(a—l/T

+1的圖象必過定點(diǎn)力(根,九)，f(x)=(')的定義域?yàn)閇0,2],5(%)=/(2x)+/(%),則下列

結(jié)論正確的是()

A.m=1,n=2B.g(x)的定義域?yàn)閇0,1]

C.g(x)的值域?yàn)閇2,6]D.g(x)的值域?yàn)閇2,20]

【變式2-1]4.(2020?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/O)=篇，(a>。且a豐1),[詞表示

不超過實(shí)數(shù)機(jī)的最大整數(shù)，則函數(shù)—1|+1(-%)+的值域是()

A.(0,1,2}B.{—1,o}C.{-1,0,1}D.{0,1}

?類型2定義域與值域?yàn)閇m%河型

對(duì)于單調(diào)函數(shù)定義域值域都已知可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)相交問題

【例題2-2】(2023秋?山東濟(jì)南?高三濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校考開學(xué)考試)給出定義：如果

函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋踑,句，值域也是［a,b］,那么稱函數(shù)/Q)為"保域函數(shù)".下列

函數(shù)中是“保域函數(shù)"的有(填上所有正確答案的序號(hào)).

①/'(X)=6［0,2］;

②/'(x)—x2+X—1,xe［—1,1］;

4S

X6［-1,1］；

=^Inx+1,xe［i,e2］.

【變式2-2］1.(2020春?江蘇南京?高三南京市第二十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試)若函數(shù)y=談

(a>1)的定義域和值域均為［科7"，則a的范圍是

【變式2-2】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=ax(a>0且并1)在定義域即，n］

上的值域是［浮，汨(1<m<ri),則a的取值范圍是.

【變式2-2】3.(2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí))已知/⑴=必—3%函

數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)椋踑。(a,b￡Z),y=f(x)的值域?yàn)椋踑,0的子集，則這樣的函數(shù)的個(gè)數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.無數(shù)個(gè)

【變式2-2】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))對(duì)于區(qū)間［a,b］(a<6),若函數(shù)y=f(x)同時(shí)滿

足：①/'(%)在［a,6］上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)y=/0),xe［a,句的值域是［a,句，則稱區(qū)間［a力］為

函數(shù)f(x)的"保值"區(qū)間.若函數(shù)/(幻=尤2+爪(小片0)存在"保值"區(qū)間，則實(shí)數(shù)小的取值

范圍為

?類型3由函數(shù)奇偶性求解析式

【例題2-3】(2023?四川綿陽?綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既?已知/O),儀久)分別為定

義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/(尤)+9(%)=e\若關(guān)于X的不等式2/Q)—ag2(x)>。在

(0,ln3)上恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[y,+OO)B.[0,+00)C.(—8,8D.(0,y]

【變式2-3](2022春?海南?高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(X)和

奇函數(shù)g(x)滿足:八久)+。(久)=2。若存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于X的不等式(nf(%)-a)(g(x)-

a)<0在區(qū)間[1,2]上恒成立，則正整數(shù)n的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

題型3對(duì)數(shù)函數(shù)值域問題

?類型1值域相關(guān)問題

【例題3-1】(2023秋云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足:

當(dāng)xe[0,1)時(shí)，/(x)=2X-x,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,均有/'(%)+f(x+1)=1,記a=log23,

則/(a)+f(2a)+/(3a)=()

A.-|B.|C.\D.--

【變式3-1]1.(2021秋?湖南益陽?高三益陽市箴言中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=|log/|

(a>。且aK1)的定義域?yàn)閇科初(m<n),值域?yàn)閇0,1],若"小的最小值為則實(shí)數(shù)a的

值是

2

【變式3-1]2.(2019秋?陜西榆林?高三?？茧A段練習(xí))已知y=log2(x-2x+17)的值域

為[犯+8),當(dāng)正數(shù)a,6滿足一^++=加時(shí)，貝！|7a+4b的最小值為()

A.1B.1C.2

44

【變式3-1】3.(2019秋?江蘇鹽城?高三?？茧A段練習(xí))已知f(x)=ln當(dāng)定義域?yàn)?，?duì)

于任意久1,x2GD,當(dāng)|%1-力|=2時(shí)，則|f(X。-f(久2)I的最小值是

【變式3-1】4.(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)f(x)=loga泊的定義域?yàn)閇%￡),值域?yàn)?/p>

(logaaQ?-l),log.a(a-1)],且函數(shù)f(x)為[a/)上的嚴(yán)格減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

?類型2定義域與值域?yàn)镽問題

【例題3-2】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=log3吧I答的定義域?yàn)镽,值域

為[0,2],求m,n的值.

【變式3-2]1.(2019?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=lg[(m2—3m+2)x2+2(m—

l)x+5],mER.

(1)若函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(%)的值域?yàn)镽求實(shí)數(shù)TH的取值范圍.

【變式3-2】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函軀⑶=嘮2卜2+(2仆1方+耶勺值

域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

2

【變式3-2]3.(2020?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)y=loga(ax+x+a)的定義域是R時(shí),

a的取值范圍為集合M;它的值域是R時(shí)，a的取值范圍為集合N,則下列的表達(dá)式中正確

的是()

A.MaNB.MUN=RC.MCIN=0D.M=N

?類型3新定義相關(guān)問題

【例題3-3】(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)久久)的定義域?yàn)?,若存在口句=/,使得

/(%)在區(qū)間[a。上的值域?yàn)閇ka,kb](keN*),則稱f(x)為“倍函數(shù)".已知函婁好(x)=log3

但-何為"3倍函數(shù)"，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

A.(0,竽)B.(一竿,0)C.(等,+8)D.(一8,竿)

【變式3-3】1.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镺,若滿足：(1)f(x)在D

內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)存在怪打，使得/⑶在浮⑶上的值域?yàn)椋鄯赋?，那么就稱函數(shù)f(x)

為“夢(mèng)想函數(shù)".若函數(shù)f(久)=1嗝(/+t)(a>0,a豐1)是“夢(mèng)想函數(shù)”,則珀勺取值范圍

是.

【變式3-3】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈,若滿足①f(x)在D內(nèi)是單

調(diào)函數(shù)；②存在［a力］c。使/'(X)在［a,0上的值域?yàn)椋踤a,幾句(rieN+,n>1),那么就稱y=/(%

)為"域n倍函數(shù)",若函婁好(久)=logaS+t),(a>0,a豐1)是"域2倍函數(shù)",則t的取值范

圍為

題型4分式型函數(shù)值域問題

1木卜軻重點(diǎn)

分式型函數(shù)值域問題：

1.分離常數(shù)，通過"左加右減上加下減"可求得分式函數(shù)的對(duì)稱中心.

2.特殊的，形如偽反表對(duì)稱可以證明)

3.注意"水平漸近線和豎直漸近線"

4.分式型函數(shù)值域的方法：分離常數(shù)法，換元法，判別式法

SAA/WW\AA/VWWWWVWWVWWVWWW\AA/WW\AA/W\AA/WWW\^AAAA/WWWVWSA/VW\A/\/WWWWV^/WVWWW\AA/WVWWW'

【例題4】(2023秋河南洛陽?高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)了(乃=高

下列結(jié)論正確的是()

A./(久)在(0,6)上單調(diào)遞減B.7(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,6)對(duì)稱

C.曲線y=/(x)與X軸相切D./(久)的值域?yàn)?一8,0］U［12,+8)

【變式4-1】1.(多選)(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=1-普的定義域是［a,句

(a,bEZ),值域?yàn)椋?,1］,則滿足條件的整數(shù)對(duì)(a,6)可以是()

A.(-2,0)B.(-1,1)

C.(0,2)D.(-1,2)

【變式4-1】2.(多選)(2023?重慶統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=翳(a6R),則下列

說法正確的是（）

A.f（久）的定義域?yàn)椋ā?,—2）U（—2,+8）

B.f在［—1,0］上的值域?yàn)椋?—a,1］

C.若/（久）在（一8,—2）上單調(diào)遞減，則a<1

D.若a>l,則f（x）在定義域上單調(diào)遞增

【變式4-1】3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）定義區(qū)間風(fēng)久2］長度X2-久1（久2>久D為，已知

函數(shù)/（嗎=（tgT（aeR,a豐0）的定義域與值域都是［成團(tuán)，則區(qū)間［仍用取最大長度時(shí)a

的值為

【變式4-1】4.（2023秋?湖南長沙?高三校考階段練習(xí)）設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大

整數(shù)，貝的=因稱取整函數(shù)，例如：［-3.7］=-4,［2.3］=2.已知f⑺=煞則函數(shù)y=

，（創(chuàng)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（一LB.{—1,1}C.（—1,0）D.{-1,0}

【變式4-1】5.（2020?全國?高三對(duì)口高考）已知函數(shù)9（乃=生覆產(chǎn)的值域是{yllWy

<9},求函數(shù)/（%）=Va*+8%+加勺定義域和值域.

【變式4-1J6.已知We為非零實(shí)數(shù)，f（x）=GR,且f⑵=2,f⑶=3若當(dāng)x大一為寸，

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,均有f（f（x））=x,貝曲x）值域中取不到的唯一的實(shí)數(shù)是.

【變式4-1】7.侈選）（2023?廣東深圳?紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（乂）=磊,

則（）

A.函數(shù)f（x）是增函數(shù)

B.曲線y=f（x）關(guān)于［J）對(duì)稱

C.函數(shù)/（久）的值域?yàn)椋?,9

D.曲線y=久久）有且僅有兩條斜率為由勺切線

題型5對(duì)鉤與雙刀函數(shù)值域問題

【例題5】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù);"（Wux+W具有以下性質(zhì)：如果常數(shù)k

>0,那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（。,而）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[4,+8）上單調(diào)遞增，若函數(shù)y=x

+?Q>1）的值域?yàn)閇a,+8）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【變式5-1]1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（*）=三>1）,則函數(shù)的值域

是.

【變式5-1]2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）對(duì)于定義在R上的奇函數(shù)y=/（%）,當(dāng)%>0時(shí),

-幻=2、+品，則該函數(shù)的值域?yàn)?/p>

【變式5-113.（2023秋?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）下列函數(shù)%Q）=sin2%+

-11-11

,/2（x）=x+7/3（%）=e"+最/式乂）=In久+菽中，函數(shù)值域與函數(shù)f（久）=W+后的值域完

全相同的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式5-1】4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（*）=『窿_產(chǎn)6[0,1],則該函數(shù)

的值域?yàn)?/p>

.X_x+l_

【變式5-1]5.函數(shù)?。?與產(chǎn)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[5,+°°）B.[4,+8）C.（5,+8）D.（4,+8）

題型6分段函數(shù)值域問題

【例題6】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)“久）=｛一工盍：3,:學(xué)9>0且a

*1),若函數(shù)f(x)的值域是(-8,4],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.俘,1)B.惇,1)

C.(1,V2]D.(1,V2)

【變式6-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)y=f(x)由關(guān)系式小|+y|y|=1確定,

函數(shù)9(久)=｛不注/，則()

A.g(x)為增函數(shù)B.。(久)為奇函數(shù)

C.g(x)值域?yàn)閇-1,+<?)D.函數(shù)y=f(-%)-g(x)沒有正零點(diǎn)

【變式6-1]2.(2023?北京?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/⑴=[x2，嵋匕1,:北給出下列

四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)八嗎的值域是R；②Va>l,方程f(x)=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③

0

使得/(-%0)-f(久0)=；④若實(shí)數(shù)比1<%2<%3<%4,且f(肛)=/(%2)=/(乂3)=f(x4).

4

貝11(X1+尤2)(右一萬4)的最大值為4e-a其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【變式6-1]3.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)sgnQ)=

(—1,%V0

]0,x-0,關(guān)于函數(shù)fO)=sgn(x-TT)sinK有如下四個(gè)命題：

Il,x>0

①f(久)在惇,Ji]上單調(diào)遞減；②-lg2)=-/(lgI)；

③/(X)的值域?yàn)閇—1,1]；④/(久)的圖象關(guān)于直線X=TT對(duì)稱.

其中所有真命題的序號(hào)是

【變式6-1】4.(2023?北京?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=，/(%)的值域

是,設(shè)=/(x)-a(x-1),若g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為.

題型7絕對(duì)值函數(shù)值域問題

2.一元二次函數(shù)加絕對(duì)值，要注意與軸的交點(diǎn)

3.指數(shù)函數(shù)上下平移后加絕對(duì)值，要注意“一點(diǎn)一線”的位置

【例題7】(2022秋?上海普陀?高一曹楊二中?？茧A段練習(xí))設(shè)0<a<b,若函數(shù)y=

llogzx—的值域?yàn)閇0,1],貝Lla+b的取值范圍是

【變式7-1]1.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f。)=0—1冏定義域和值域都是口

b],貝[]a+b=.

【變式7-1]2.(2022秋?上海嘉定?高三校考期中)已知九x)=|(%-a).(x-3a)|,若函

數(shù))/=/(嗎,％6[0,1]的值域?yàn)閇0/(1)],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【變式7-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(田+1)

=2/(因—1).若當(dāng)尤6(0,1)時(shí)，/(%)=1-|2%-1|,貝II/⑺在區(qū)間(—1,3)上的值域

為,9(%)=/(x)—5在區(qū)間(-1,3)內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為

【變式7-1】4.(2020秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=—#+軌且函數(shù)

g(x)=|/(x)-fc|-1有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，若僅k)=lg(9fc2-360),則％(k)的值域?yàn)?)

19

A.(―8,3)B.(-y,0)

C.(0,+8)D.(-9號(hào)

【變式7-1】5.(2023?北京?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)={x2/黑11,:北給出下列

四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f(x)的值域是(②Va>l,方程f(x)=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③次°eR+,

使得/'(一Xo)-f(Xo)=。；④若實(shí)數(shù)<%2<%3<%4,且F01)=/(久2)=/(久3)=f(x4)-

4

貝！1(久1+%2)(乂3-血)的最大值為4e-其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

題型8高斯函數(shù)值域問題

3.還可以引入“四舍五入”函數(shù)作對(duì)比因?yàn)樗哂小邦愔芷谛?，所以考查函數(shù)值域多與數(shù)

列關(guān)聯(lián)..

【例題8】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（久）=三三，gQ）=[/（W]（印表示不超

過工的最大整數(shù)，例如[1同=1,[—0.5]=—1）,則關(guān)于外為和g（x）這兩個(gè)函數(shù)，以下說法

錯(cuò)誤的是（）

A.八久）是R上的增函數(shù)B.7（比）是奇函數(shù)

C.g（x）是非奇非偶函數(shù)D.g（x）的值域是{-1,0,1}

【變式8-1]1.（2023?全國?高三對(duì)口高考）給定集合4=[a^ar-a^neN,n22）,定

義七+磯1<i<j<n,i,jeN*）中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合A兩個(gè)元素的容量，用”4）表示.

①若4=[0,1,2,3）,貝!JL（A）—；

②定義函數(shù)f（%）=[”因]其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.5]=1,[-1.3]=-2,當(dāng)

xG[n,n+l）（n>3,neN）0yt,函數(shù)了（久）的值域?yàn)锳,若LQ4）=2013,則幾=；

【變式8-1】2.（2023春?四川綿陽?高三綿陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知久6匕符號(hào)國表示

不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)/（*）=§（%>0）,則給出以下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/（幻的值域?yàn)閇0,1]；

②函數(shù)/（比）的圖象是一條連續(xù)的曲線；

③函數(shù)/（%）是（。,+8）上的減函數(shù)；

④方程f⑺=a有且僅有3個(gè)根時(shí)，l<a<1

其中正確的序號(hào)為

【變式8-1】3.（2022秋.江西贛州.高三贛州市麓縣第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義函數(shù)f（X

）=[%[%]],其中岡表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.3]=1,卜1.5]=-2,[2]=2,當(dāng)比e[0,n

1111

）時(shí)，/（X）的值域?yàn)锳n,記集合An中元素的個(gè)數(shù)為an,則赤+赤+工石+…+嬴口的

值為

【變式8-1】4.(多選)(2022?全國?高三專題練習(xí))高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)

奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其

名字命名的“高斯函數(shù)"為：設(shè)xeR,用印表示不超過%的最大整數(shù)，則y=[%|稱為高斯

函數(shù)，W：[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命題是真命題的是()

A.BxeR,x>[x]+1

B.Vx,yER,[x]+[y]<[x+y]

C.函數(shù)y=x-[x](xGR)的值域?yàn)閇0,1)

D.若mteR,使得何=i,忙4]=2,陷=3,…即=”2同時(shí)成立，則正整數(shù)九的

最大值是5

題型9“倍縮”函數(shù)值域問題

【例題9](2023春?浙江寧波?高三寧波市北侖中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)f(x)=d+

m,若存在區(qū)間[a,6](b>a2—1),使得函數(shù)fO)在[a,句上的值域?yàn)閇2a,2句，則實(shí)數(shù)小的取

值范圍是()

171

A.m>——oBZ.0<m<T

17

C.m<—2D.——o<m<—2

【變式9-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù)y=/(%),若存在區(qū)間[a,句，當(dāng)久e[

a,句時(shí)，/(幻的值域?yàn)閇ka,kb],則稱y=/(x)為k倍值函數(shù).若/(*)=/是k倍值函數(shù)，貝女的

取值范圍為()

A.(0,|)B.(l,e)C.(e,+8)D.(1,+^)

【變式9-1]2.侈選)(2023云南昆明?昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))函數(shù)/?)的定義域

為，若存在閉區(qū)間［a,0=D,使得函數(shù)f(x)同時(shí)滿足①f。)在口目上是單調(diào)函數(shù)；②八功

在口0上的值域?yàn)椋郯?協(xié)］(k>0),則稱區(qū)間［a用為/(久)的"k倍值區(qū)間".下列函數(shù)存在"3

倍值區(qū)間”的有()

A./(%)=InxB.f(x)=|(x>0)

C.f(x)=x2(x>0)D.f(%)=<%<1)

【變式9-1］3.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx+2,若存在區(qū)間［a,句a

［1,e］，使fO)在［a,句9大b)上的值域?yàn)槭誥+l),k(6+l)］,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【變式9-1】4.(2022秋?江蘇宿遷?高三?？奸_學(xué)考試)已知二次函數(shù)f(x)=a%2+bx(a

*0),滿足/(x+1)為偶函數(shù)，且方程外切=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若存在區(qū)間四川使得

f(久)的值域?yàn)椋?m,3n|,則ni+n=.

【變式9-1］5.(2022秋?重慶北倍?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知0<m<n,若函數(shù)/(x)在xe［

山間上的值域是［kg/m］,則稱/'(%)是第k類函數(shù).

⑴若人支)=1-幅第k類函數(shù)，求k的取值范圍；

(2)若人久)=4x—/是第2類函數(shù)，求小,正的值.

題型10“類周期函數(shù)”值域問題

司F上重點(diǎn)

"似周期函數(shù)"或者"類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大.

2.放大(縮小)時(shí)，要注意是否函數(shù)值有0.

3.放大(縮小)時(shí)，是否發(fā)生了上下平移.

【例題10】(2022?全國?高三專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)/⑺，當(dāng)xe［―1,1］時(shí)，人%)=X2

+x,且對(duì)任意x,滿足八乂+3)=2/(尤)，則/(%)在區(qū)間［5,7］上的值域是

【變式10-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/Of#二號(hào)三尹，其

中aeR,給出以下關(guān)于函數(shù)了(%)的結(jié)論：

①/(3=2②當(dāng)％e［0,8］時(shí)，函婁好(%)值域?yàn)椋?,8］③當(dāng)ke@,1］時(shí)方程/(X)=kx恰有四個(gè)實(shí)

根④當(dāng)xe［0,8］時(shí)，若-X)W25+a恒成立，則a21—四.其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【變式10-1】2.(多選)(2023春?遼寧朝陽?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=

(8—811—%L0<x<2,

［］(X—加>2,則下列說法正確的是()

A.鳴)=1

B.當(dāng)［2,6］時(shí)，函數(shù)了(x)值域?yàn)椋?,4］

C.當(dāng)ke巳,|］時(shí)，方程f(x)=丘恰有6個(gè)實(shí)根

D.若f(久)>2f+a(aeR)恒成立，貝！Ja<-1.

【變式10-1］3.(多選)(2022秋福建廈門?高三廈門外國語學(xué)校?？计谥?已知函數(shù)f⑺

的定義域?yàn)椋?,+8),且滿/O)={|o；；(U：黑施)當(dāng)乂22時(shí)，久久)=/久—2),人為

非零常數(shù)，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)4=一1時(shí)，/(log280)=j

B.當(dāng)>>0時(shí),/(久)在［10,11)單調(diào)遞增

C.當(dāng)4<-1時(shí),f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域?yàn)椋蹧_-、科一］

D.當(dāng)4>。時(shí)，目；I豐1時(shí)，若將函數(shù)g(x)=K與/(x)的圖象在［0,2zi］(n6N*)的m個(gè)交點(diǎn)

x2n

記為(孫力)。=1,2,3,...m),則Z,i(；+7i)=n+2-1

【變式10-1】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(久—2)=2/

(久)，且當(dāng)Xe(0,2］時(shí)，/■(%)=x(2-x).若對(duì)任意久e［a,+00),都有/'(x)<|成立，則a的取

值范圍是()

A.'+8)B.[|>+°°)

C.(-8,—|]D.(—8,一|]

【變式10-1】5.(2022秋?廣東深圳?高三北師大南山附屬學(xué)校校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)

的定義域?yàn)镽,滿足了(久一2)=2/(%),且當(dāng)xe[一2,0)時(shí)，/(久)=-2x(x+2).若對(duì)任意xe

Q_

[m,+oo),都有/'(嗎4j則ni的取值范圍是

題型11抽象函數(shù)值域問題

【例題11】(2023福建泉州?泉州五中校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(乃的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?/p>

(0,+00),且/■(X一+y)==2,函數(shù)g(x)=/(%)+/(-久)的最小值為2,

則￡/◎=()

A.12B.24C.42D.126

【變式11-1]1.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)了⑶的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8),若

TI2023

/(%+1)/(%-1)=4,函數(shù)/(久一2)為偶函數(shù)，/(2024)=1,則〉f(n)=()

A.4050B.4553C.4556D.4559

【變式11-1】2.(2022秋?陜西咸陽?高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))設(shè)定義在R

上的函數(shù)/(久)滿足f(0)=1,且對(duì)任意的%、yER,都有2/(孫+1)=;?(>)?f(y)-f(y)-

2%+6,則函數(shù)g(x)=x-的值域?yàn)?)

A.[1,+oo)B.[—l,+oo)

C.[0,+8)D.[-1,+8)

題型12復(fù)合函數(shù)值域問題

【例題12】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知/⑴=｛；”+：產(chǎn)??，則函數(shù)F(x)=/(/(x

LX—1,(%>1)

))-2/(x)的值域?yàn)?/p>

【變式12-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函婁好(x)是(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且

/(/(x)-x-|Og2^=5,則/(比)在［1,8］上的值域?yàn)?)

A.[2,10]B.[3,10]C.[2,13]D.[3,13]

【變式12-1]2.(2022秋福建福州?高三福州三中?？茧A段練習(xí))定義在R上的函婁好(%)

的值域?yàn)?0,(),且sin[/Q)]=cos[/(2,—1)].若/(2)=1,貝(J()

A.F⑴=)B./(log23)=1C./7)=”1D./(127)=7-1

【變式12-1】3.(2022秋?天津和平?高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí))(2022秋?上海浦東新?高

三上海南匯中學(xué)?？计谥?已知定義在R上的偶函數(shù)“久)，滿足[/OOF—+

久2=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都成立，且值域?yàn)閇0,1].設(shè)函數(shù)g(x)=\x-m\-|x-1|(m<1),若

對(duì)任意的犯￡(-2,3,存在%2>久1,使得。(久2)=f(肛)成立,則實(shí)數(shù)小的取值范圍為.

題型13三角函數(shù)值域問題

【例題13](2022秋?福建福州?高三校聯(lián)考期中)函數(shù)/(久)=cosfx-2)-sin3x的值域

是.

【變式13-1】1.(多選)(2022?江蘇常州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)人支)=|sinx|cos久，久e

R,貝U()

A.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇—技|

B.函婁好(久)是一個(gè)偶函數(shù)，也是一個(gè)周期函數(shù)

C.直線”=空是函數(shù)/(x)的一條對(duì)稱軸

D.方程/(%)=Iog4%有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【變式13-1】2.(2022?四川瀘州統(tǒng)考一模)已知函數(shù)“久)=sin梟，任取teR,記函數(shù)”

切在匕t+1]上的最大值為Mt,最小值為mt,設(shè)旗=—小1，則函數(shù)h(t)的值域?yàn)?)

A-[1-冽B.]

C.[1一苧閥D.惇,1+陰

[變式13-1]3.(2023-北京海淀?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=

一acos%(l+cos2%),0<x<y

—acosx+cos2x,y<X<TX'

(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋?/p>

(2)若/(久)=a恰有2個(gè)解，貝M的取值范圍為

【變式13-1]4,(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(久)=4sin(a>x+6+1

(3>G,\<p\<勺，滿足對(duì)V久eR/(%i)<f(x)</(為恒成立的|久1—冷1的最小值為與，且對(duì)

任意x均有f七+%)=/償-，恒成立.則下列結(jié)論正確的有

①函數(shù)y=八久)的圖像關(guān)于點(diǎn)(—,0)對(duì)稱：

②函數(shù)y=久久)在區(qū)間僖，寄上單調(diào)遞減；

③函數(shù)y=((x)在(0,。上的值域?yàn)?1一2V3.5)

④y=f(x)表達(dá)式可改寫為f(x)=4cos(2x-》+1：

⑤若x1,x2為函數(shù)y=久久)的兩個(gè)零點(diǎn)，貝山巧—冷1為段的整數(shù)倍?

【變式13-1】5.(多選)(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函婁好?(久)=sinn%+cosn%,(neN*),

則下列說法正確的是()

A.九(久)在區(qū)間[冶用上單調(diào)遞增

B.f4(%)的最小正周期為,

C.%⑺的值域?yàn)?-孝，孝)

D.九(無)的圖象可以由函數(shù)g(x)=3in4久的圖象，先向左平移葭個(gè)單位，再向上平移泠單

位得到

題型14函數(shù)中的兩邊逼近思想

4

【例題14](2021春?湖州期末)若存在正實(shí)數(shù)吏得不等式Inx-x2+l>Iny+聲-In

4成立，則x+y=()

A.乎B.V2C.呼D.乎

【變式14-1】1.(上饒二模)已知實(shí)數(shù)%,y滿足l