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文檔簡(jiǎn)介
第03講:三角函數(shù)性質(zhì)圖像和三角恒等式變換高頻考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一:任意角的三角函數(shù)的定義
設(shè)a是一個(gè)任意角,aGR,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)/尤,y),
點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)2叫做a的正弦函數(shù),記作sina,即sina=1;點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)工叫做a的余弦函數(shù),記作cosa,即
cosa=x;把點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值即U做a的正切,記作tana,即tana=*xW0).
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù),分別記為:
正弦函數(shù)〉=5指尤,尤GR;
余弦函數(shù)>=85》,xGR;
正切函數(shù)>=1211%,
考點(diǎn)二:正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)
1.圖示:
()
tana
2.口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
考點(diǎn)三:公式一
sin(a+2E)=sina,cos(a+2fat)=cosa,tan(a+2lat)—tana,
其中左GZ.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相笠.
考點(diǎn)四:同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1.平方關(guān)系:同一個(gè)角a的正弦、余弦的平方和等于』,即si/a+cos2a=1.
2.商數(shù)關(guān)系:同一個(gè)角a的正弦、余弦的商等于這個(gè)角的正切,即*=tana其中aWkn+%kGZ).
V/Uo(X乙
考點(diǎn)五:同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=1.(2)商數(shù)關(guān)系::?;=tana.
CA
考點(diǎn)六:六組誘導(dǎo)公式
組數(shù)—二三四五六
71
角兀+a
+a-aTi—a2~a2
正弦sina—sina—sinasinaCOS。cosa
余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina
正切tanatana—tana—tana
函數(shù)名zE變函數(shù)名改變
口訣
符號(hào)看營(yíng)鄴艮符號(hào)看象限
技巧歸納:
1.誘導(dǎo)公式的記憶口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限.
2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形:
(sina±cosa)2=l±2sinacosa;(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2;(sina+cosa)2—(sin?-cosa)2=4sinacosa.
考點(diǎn)七.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)y=sin%y=cosxy=tanx
P'i
1yy
圖象
W|cKi/xt\l0:「lA-
兀
{小£R且
定義域RR
Z£Z}
值域LL11LL11R
在Lg+2E,]+
在[一兀+2依,
2fai]/£Z)上遞增;2依](%£Z)上遞增;在(一叁+左兀,
單調(diào)性
在[2依,n+
在[]+2祈,爹+fai)(Z£Z)上遞增
2依](左£Z)上遞減
2版](AGZ)上遞減
1T
當(dāng)%=1+2左兀(左£2)時(shí),
當(dāng)x=2E/ez)時(shí),
>max=1;Jmax=1;
最值
IT當(dāng)工=兀+2左兀(左£Z)
當(dāng)x=i/+2kMk£Z)
時(shí),>min=-1
時(shí),Jmin=-1
奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)
TT
對(duì)稱(chēng)中心(析,0)()tez)仿+配,0)(kZ)(y,0)(^GZ)
兀
對(duì)稱(chēng)軸方程%=E(左£Z)
周期2兀2兀71
考點(diǎn)八.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到j(luò)=Asin(wx+^)(A>0,。>0)的圖象的步驟如下:
步
驟
畫(huà)出y=sinx的圖象-T畫(huà)出y=sinx的圖象|
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍
向左(右)平移里個(gè)單位長(zhǎng)度步
驟-T得到y(tǒng)=sinjx的圖象|
得到y(tǒng)=sin(x+<p)的圖象
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍向左(右)平移居|個(gè)單位長(zhǎng)度
得到y(tǒng)=sin(tox+<p)的圖象~卜得到y(tǒng)=sin(sj+(p)的圖象一|
縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍步縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍
得至lj),=Asin(sx+(p)的圖象卜—驟-得到y(tǒng)=Asin(3%+(p)的圖象|
考點(diǎn)九兩角和與差的余弦公式
名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件
兩角差的余弦公式C(a-£)cos(a一夕)=cosacos尸+sinotsinpa,££R
兩角和的余弦公式C(a+.)cos(a+S)=cosacos夕一sinasin0a,£GR
考點(diǎn)十兩角和與差的正弦公式
名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件
兩角和的正弦S(a+.)sin(a+A)=sinacos£+cosasinPa,看R
兩角差的正弦S(a-.)sin(a-£)=sinacos4一cosasinBa,££R
考點(diǎn)十一;兩角和與差的正切公式
名稱(chēng)公式簡(jiǎn)記符號(hào)條件
tana+tanBTT
兩角和的正切a,B,Z)
tan(ap)tanatan/3
tana—tan§兀
兩角差的正切T(a-£)a,B,a—QWZ兀+](%£Z)
tan(a夕)1-ptanatanP
考點(diǎn)十二:二倍角的正弦、余弦、正切公式
考點(diǎn)十三半角公式
a/1—cosaa/1+cosaa/1—cosasina1—cosa
sin亍±7「~,cos,tan2=t\T+^=T+^=^T-
考點(diǎn)十四輔助角公式
輔助角公式:asinx+6cosx="\/^PPsin(x+0).(其中tan
【題型梳理】
題型一:同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1.(2023秋?云南紅河?高一統(tǒng)考期末)已知tana=2,則任4二主£4=()
sma+cosa
51
A.-7B.—C.—D.5
33
2sina-cosa/、
2.(2023秋?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期末)若tan(a-兀)=2,則=()
sina+cosa
A.5B.0C.-4D.1
3.(2023秋?海南?高一海南華僑中學(xué)??计谀┤?e,且¥兩足tan6+=6,貝!Jsine+cos8=(
tan。
A.空B.±-C.立D-1
333
題型二:三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
4.(2023秋?山西運(yùn)城?高一統(tǒng)考期末)已知。為第二象限角,且cos(。-兀)=竿,則
1+cos61-cos。
一?(71A).,,■(n3兀)的值是()
11
A.-4B.4C.-D.—
44
sin——acos(-a)tan(兀-a)
5.(2023秋?云南紅河?高一統(tǒng)考期末)已知戊,〃為銳角,且———;----------
COS(兀+2)
⑴化簡(jiǎn)〃。);
(2)若/(a)=2^,sin(a-/)=;,求cos夕的值.
滿足4sin(202271一a)=3cos(2021兀+a),且cosf=#,
6.(2023秋?河北邯鄲?高一??计谀┮阎谌笙藿?。
為第三象限角,求下列各式的值.
sin-a)+3sin+a
⑴求')12J的值;
4sin(兀+a)+cos(-a)
(2)求8s(6-a)的值.
題型三:三角形的圖像和性質(zhì)
7.(2023春,四川成都?高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校??计谀┖瘮?shù)y=Asin(s+0)(A>0)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,
下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
B.函數(shù)/(x)的最小正周期是n
C.函數(shù)“X)的最大值是2
D.函數(shù)〃x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是,,0
8.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校??计谀┮阎瘮?shù)/(x)=Asin(0x+0)(A>0,。>0,
-兀<。<0)的部分圖象如圖所示,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()
A.函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)「至,0J對(duì)稱(chēng)
11JT
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線彳=-曹對(duì)稱(chēng)
JTJT
C.函數(shù)“X)在上單調(diào)遞增
D.函數(shù)在0,1的取值范圍為卜有,百]
9.(2023秋?江蘇連云港?高一??计谀?設(shè)函數(shù)/(x)=cos(&x+°)(是常數(shù),。>0,0<°<|o,若在區(qū)間
上具有單調(diào)性,且/(一曰一圖=一/(野)則函數(shù)是的最小正周期是()
713c
A.—B.乃C.—7iD.2兀
22
題型四:函數(shù)產(chǎn)Asin(<yx+0)圖像的變換和綜合性質(zhì)
10.(2023秋?吉林?高一統(tǒng)考期末)將函數(shù)/(x)=2sin,x-g]的圖象上所有點(diǎn)向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)
y=g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為()
A.g(x)=-2sin[2x+1]B,g(x)=2sin2x
C.g(x)=2sin12x-:jD.g(x)=-2sin2x
11.(2022?江蘇?高一期末)已知函數(shù)〃x)=2sin[2x+,,現(xiàn)將y=/⑴的圖象向右平移巳個(gè)單位,再將所得圖象
15元
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)在0,—的值域?yàn)?)
/_24_
A.[-1,2]B.[0,11C.[0,2]D.[-1,右]
12.(2023秋?江蘇連云港?高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)??计谀?已知函數(shù)7'(x)=cos(8-:,;(0>O),將的
圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的》縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,已知g(x)在[0,可上恰有5個(gè)零點(diǎn),
則。的取值范圍是()
題型五:兩角和與差的三角函數(shù)
13.(2023春?四川成都?高一成都實(shí)外??计谀?下列化簡(jiǎn)不正確的是()
A.cos82°sin520+sin82°cos128°=--B.sinl5°sin30osin75o=-
28
tan480+tan72°n-
C.cos2150-sin215°=—D.----------------------=
21-tan48°tan72°
14.(2023秋?廣東?高一校聯(lián)考期末)已知cosa+cos尸=;,sina-sin〃=:,則cos(a+0的值為(
)
13135959
A.-----B.—C.-----D.—
72727272
15.(2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)已知",夕都是銳角,sin(tz-胃=g,cos(?+/?)=-|,則cos(p+(
“-4-12A/3d4-12>/30-12+4君n-12-4^
A.-------D.------------C.-------D.-------
35353535
題型六:二倍角公式的應(yīng)用
cos26_A/2
(春?江西贛州?高一校聯(lián)考期末)已知.「八兀、,貝()
16.2023叫。2Usin29=
33
A.-B.—C.--D.1
4422
婕11sin-+0(l-sin20)
17.(2023秋?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)??计谀┤魌an7+6=—,則12r)_()
4'sin(兀-8)+cos(兀+。)
313
A.3B.-C.-D.--
555
4i—2cos2夕-1
18.(2022秋?吉林長(zhǎng)春?高一東北師大附中??计谀┮阎u(píng)㈤,且cos"sin6=-且,則一丁三等于(
42cos(—+0)
4
A.一正
B.--C.yD.—
2222
題型七:降然公式的應(yīng)用
(\sinOLCL
19.(2022秋?河南商丘?高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)??计谀┤鬭』0,g,方—=tang,貝l]tantz=()
V2)V3+1-COS6Z2
A.立B.C.立D.逅
432
20.(2021秋?湖北荊州?高一沙市中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(彳)=回113初2+君5皿8)3(8)(。>。)在[。,同上有
且只有四個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
B.(|,2)[|,2)D.(1>2]
A.,2]C.
(春?河南南陽(yáng)?高一校聯(lián)考期末)化簡(jiǎn)
21.20224sm24cos24+tan12°=()
cos12
A.1B.V2C.也
題型八:三角函數(shù)恒等式變換
22.(2023春?河南焦作,高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(尤)=有下述三個(gè)結(jié)論:
①“X)的最小正周期是兀;
②“X)在區(qū)間],3上不單調(diào);
③將/(無(wú))圖象上的所有點(diǎn)向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)=1cos2x的圖象.
122
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()
A.①B.②C.①②D.①②③
23.(2022春?湖北?高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知sina-cosa=^,0WaW"』l」sin12a-m=
A46-33-4"3+46
RrD3+4。
101010■10
Videos2sin26)
=Gsin26,則5由26=()
春?陜西榆林?高一校考期末)若
24.(2022cos(£+e
211
A.——C.一D.——
3133
題型九:三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
25.(2023春?四川成都?高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校??计谀?已知函數(shù)〃"=2饃$4也上-皆+).
(1)求〃x)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸方程;
⑵若函數(shù)y=/(x)在xe展,||上的值域.
26.(2023秋?浙江杭州?高一杭十四中??计谀?已知函數(shù)/(x)=2石sin2[x+:J+2sin2x-G-L
⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若/(%)在(0,”上存在最小值,求實(shí)數(shù)r的取值范圍;
3「冗"|
⑶方程/(》)=;在上的兩解分別為王、馬,求以》(石-%)的值.
27.(2023秋?云南德宏?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=^sintcos:+cos2:.
(1)求/(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期;
⑵將函數(shù)y=〃x)的圖象向右平移g個(gè)單位后得到y(tǒng)=g(x)的圖象,討論函數(shù)y=g(x)在o,g上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【專(zhuān)題突破】
一、單選題
28.(2023春?浙江寧波?高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末)在平面直角坐標(biāo)系宜b中,若角a以x軸的非負(fù)半軸為始邊,且
終邊過(guò)點(diǎn)(4,—3),則cos]
*—的值為()
3344
A.--B.—C.—D.
5557
29.(2023春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)已知sin(萬(wàn)'4兀一。卜1有2'則cos|加+撲(
21171721
A.-----B.——C.D.—
25252525
30.(2023春?江蘇南通?高一校考期末)已知函數(shù)/(%)=5111兀0匹-6(:05718(0>0)在[0,1]內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)
零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
<10231「1023、「1713、(1713「
A.—B.—C.—D.-
<36J\_36J|_63J[63_
31.(2023春?江西贛州?高一校聯(lián)考期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,a為第四象限角,角。的終邊與以10為半徑
的圓0交于點(diǎn)若cos(a+1)=|,則%=()
A.473-3B.3g+4C.373-4D.3百±4
32.(2023秋?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)己知/W=sin生+Q,滿足/知=嗚],若函數(shù)了⑴
在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn),則。的范圍為()
7兀八11兀7兀八11兀11兀八L11兀八L
A.—<0<——B.—<0<——C.——<6<5兀D.——〈。?5兀
333333
33.(2023秋?河南鄭州?高一鄭州市第四十七高級(jí)中學(xué)??计谀┮阎?dāng)x=。時(shí),函數(shù)/(x)=2sinx-cosx取得最小
sin6+cos6
值,則
sincos
111
B.一C.一D.
3355
TT
34.(2023秋?云南德宏?高一統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)/a)=cos(x+1),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
A.Ax)的一個(gè)周期為-2TTB.4j的值為乙1心
C./。+兀)的一個(gè)零點(diǎn)為x=£D./(x)在(/兀]上單調(diào)遞減
35.(2023秋?云南楚雄?高一統(tǒng)考期末)已知黃金三角形是一個(gè)等腰三角形,其底與腰的長(zhǎng)度的比值為黃金比值(即
黃金分割值鋁,該值恰好等于2smi8),則下列式子的結(jié)果不等于守的是,
)
A.sin10cos8+cos10sin8B.cos40cos32-sin40sin32
C.sin100cos26+cos100sin26D.sin92sin16-cos92cos16
(Tl].I371]
,、1+cosa——sin-----Fcc
36.(2023秋?河北邢臺(tái)?高一邢臺(tái)一中??计谀?已知tan兀-?=-2,則-----—M—)=()
12)1一缶osT
A.正B.2A/2C.ID.1
22
37.(2023秋?重慶沙坪壩?高一重慶南開(kāi)中學(xué)??计谀?023年是農(nóng)歷癸卯兔年,在中國(guó)傳統(tǒng)文化中,兔被視為一
種祥瑞之物,是活力和幸福的象征,寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊(yùn)含"吉祥團(tuán)圓"美好愿景的名畫(huà)
---《梧桐雙兔圖》,該絹本設(shè)色畫(huà)縱約176cm,橫約95cm,其掛在墻壁上的最低點(diǎn)5離地面194cm.小南身高160cm
(頭頂距眼睛的距離為10cm),為使觀賞視角。最大,小南離墻距離S應(yīng)為()
A.400cmB.76cmC.94cmD.44A^cm
38.(2023秋?北京?高一清華附中??计谀┮阎瘮?shù)/■(x)=sin"x+cos"x(〃eN*),則下列說(shuō)法正確的是()
①”=1時(shí),/⑺的最大值為加;
②〃=2時(shí),方程=2sinx+1sinx|在[0,2TT]上有且只有三個(gè)不等實(shí)根;
③“=3時(shí),/⑺為奇函數(shù);
④九=4時(shí),/⑴的最小正周期為]
A.①②B.①③C.②④D.①④
二、多選題
39.(2023春?江西贛州?高一校聯(lián)考期末)已知某曲線〃力=念畝(8+")[。>0,陷<]]部分圖象如圖所示,則下
A.(P=—
6
B.一條對(duì)稱(chēng)軸方程為
c.y=〃x)在上單調(diào)遞增
D.y=2cos(2x+0圖象可以由y=/(x)圖象向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度得到
40.(2023秋,云南紅河?高一統(tǒng)考期末)下列說(shuō)法正確的是()
3
C.己知角a的終邊過(guò)點(diǎn)P(T,3),則sina=1
D.已知扇形弧長(zhǎng)為2,圓心角為60,則該扇形的面積為
71
41.(2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學(xué)??计谀┮阎瘮?shù)〃x)=sin(x+:j,則下列說(shuō)法正確的有()
A.若|〃孑)-〃9)|=2,則阮-々/=兀
B.將/(X)的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
C.函數(shù)y=sin2(x+:J的最小正周期為2兀
D.若/(妙)(0>0)在[0,可上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則。的取值范圍為
42.(2023春,江蘇鎮(zhèn)江,高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)??计谀┞曇羰怯晌矬w振動(dòng)產(chǎn)生的聲波,純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)
y=Asin。/,我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的,稱(chēng)之為復(fù)合音,若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)
f(x)=2cos2%+2V3sinxcosx-1,貝I()
A.函數(shù)〃尤)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為
B.函數(shù)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線x=
函數(shù)/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.將函數(shù)/'(X)的圖像向左平移9個(gè)單位后的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
三、填空題
sin(2K-x)tan(it+x)cot(-71-x)
(2023春,上海浦東新?高一統(tǒng)考期末)化簡(jiǎn)」——f~>二\-
cos(九一x)tan(3兀一x)
44.(2023春,四川成都?高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校??计谀┤魧⒑瘮?shù)/(x)=gsin(2x+9)+Tcos(2x+e)(0<0<萬(wàn))的
圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則。=.
45.(2023秋?山西大同?高一統(tǒng)考期末)如圖,一個(gè)半徑為3米的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎?分鐘轉(zhuǎn)1圈,筒車(chē)的軸心。
距離水面的高度為
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