導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用大題（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)高分突破

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用大題

V??i

1.導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系

/㈤>O,fc>0JQ)單調(diào)遞增，廣(6)<O,fc<OJ(re)單調(diào)遞減

2.極值

(1)極值的定義

f⑸在力=g處先7后\ff(x)在力=g處取得極大值

f(x)在力=g處先\后7,f(x)在/=g處取得極小值

3.兩招破解不等式的恒成立問題

(1)Q>/(力)恒成立0a>/(劣)max;

(2)a</(力)恒成立<=>a(6)min.

(1)分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

(2)函數(shù)思想法

第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；

第三步：構(gòu)建不等式求解.

4.常用函數(shù)不等式：

①e*>/+1,其加強(qiáng)不等式宙>5/2+力+1；

②力，其加強(qiáng)不等式(x—1)2.

③e*T>x,Inx<c—1,ln(劣+1)W力

放縮1——<Vx----Vln,V—/J)<--l-x2+2x—<x—1(0<rr<1)

x2'x7Vrcx+122

1——<--^-x2+2x—~<Inx<iVx---!(x--—)<x—1(1<￡c<2)

x22x+1y/x2'x7

--+2x—^~V1——<~VIn力VVx----——<Zx—l(rr>2)

22xx+1y/x2'x7

rc+1<e?<—(x<1),—<x+l<ex(x>1)

1—x1—x

5.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式/(力)>g(%)(或/(劣)VgQ))轉(zhuǎn)化為證明/(2)一gQ)>0(或/(力)—

???

g(x)VO),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)九(為)=/(%)—;

(2)轉(zhuǎn)化為證不等式九(%)>0(或九(力)V0),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明/zQ)min>O(M%)max>。)，因此只需在所給

區(qū)間內(nèi)判斷"(⑼的符號(hào)，從而得到函數(shù)從力)的單調(diào)性，并求出函數(shù)從為)的最小值即可.

6.證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問題，一瓶有以下幾種方法：

(1)證明61+62〈2。(或力1+力2>2。)：

①首先構(gòu)造函數(shù)g(力)=于(t)—/(2a—①)，求導(dǎo)，確定函數(shù)g=/Q)和函數(shù)g=g(N)的單調(diào)性；

②確定兩個(gè)零點(diǎn)為iVaVN2,且/(/)=/(◎),由函數(shù)值g(g)與g(a)的大小關(guān)系，得g(g)=/(力i)—

/(2a—%)=/(力2)—/(2a—%)與零進(jìn)行大小比較；

③再由函數(shù)0=/(2)在區(qū)間(Q,+8)上的單調(diào)性得到/2與2Q—g的大小，從而證明相應(yīng)問題；

(2)證明力通2V02(或名通2>稼)(g、22都為正數(shù))：

①首先構(gòu)造函數(shù)gQ)=f(x)—/(%),求導(dǎo)，確定函數(shù)4=/(2)和函數(shù)g=g(%)的單調(diào)性；

②確定兩個(gè)零點(diǎn)為1VaVg,且/(力1)=/(①2),由函數(shù)值g(g)與g(a)的大小關(guān)系，得g(g)=/(g)—

與零進(jìn)行大小比較；

③再由函數(shù)n=f(X)在區(qū)間(Q,+00)上的單調(diào)性得到劣2與的大小，從而證明相應(yīng)問題；

X1

(3)應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式后石<,二一4<B針證明極值點(diǎn)偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；

②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到Iy社;

③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

■MttMHiMB

1.(河北省衡水中學(xué)2024屆高三下學(xué)期模擬押題(一))已知函數(shù)/O)=跣立一1，9(/)=lnx-mx,mE

R.

(1)求/(6)的最小值；

(2)設(shè)函數(shù)九(劣)=/(x)—g(c),討論人(c)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3

2.（廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月階段檢測）已知函數(shù)/Q）=ax3-x2

—2cos/.

（1）若f（劣）在（兀,/（兀））處的切線過原點(diǎn)，求a的取值；

（2）若f（X）在R上單調(diào)遞增，求Q的取值范圍.

3.(遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校2024屆高三考前最后一模)已知曲線/3)=rn+lmc在必=1處的切線

方程為"=%(＞),且/(5■)=0.

(1)求h(c)的解析式；

(2)求函數(shù)。0)=以?■的極值；

ex

(3)若立＞0時(shí),不等式e，—a/—%(為＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.（山東省濟(jì)南市山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三高考定心卷）已知函數(shù)/㈤=ln（m：）-?（m>0）.

（1）若f（a）W0恒成立，求771的取值范圍；

（2）若/（土）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)11,電,證明Xi+x2>2.

5.(江蘇省南京大學(xué)附屬中學(xué)2024—2025學(xué)年高三下學(xué)期2月模擬)已知函數(shù)/3)=e。+alnx(aeR)

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求曲線1=/3)在(1,/(1))處的切線方程；

(2)設(shè)g是/(⑼的導(dǎo)函數(shù)/'(⑼的零點(diǎn)，若一eVaV0,求證:/(g)＞物.

???

6.（遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校2025屆高三上學(xué)期第三次模擬考試）已知函數(shù)/（乃=建土工二ae

ex

R.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/Q）在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程;

（2）求/（c）的單調(diào)區(qū)間；

⑶當(dāng)a>0時(shí)，若對(duì)于任意x&[1,3],不等式白</（rr）W1+士恒成立，求a的取值范圍.

2e

7.（重慶市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期強(qiáng)化考試（四））設(shè)函數(shù)/⑸=（1+c）-（l+c￡）,c>—1且c#0,

設(shè)771,726TV*.

（1）證明：函數(shù)/（乃在區(qū)間（0,1）上存在唯一的極小值點(diǎn)；

⑵證明:（l+c）m>l+cm；

（3）已知%>6且（1——二）”<《，證明:34+即+5"+…+5+2）”<5+3）”.

\n+372

1

8.(吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024—2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次摸底考試)已知函數(shù)/(乃

⑴證明：0</(t)V；；

⑵證明E舟<,+])</,—

10

9.(安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期階段性診斷檢測)已知函數(shù)/Q)=asinQ—1)—，+

+l(?>0),1是f(sc)的一個(gè)極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的值.

(2)判斷函數(shù)y=f(x)在(0,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

[n1

⑶證明：1——^-<ySin4<2.其中nCN*

九十，i=ii

11

10.（山東省濟(jì)南市山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期高考模擬考試）設(shè)函數(shù)/Q）=x2-ax-

c^lnx（aER）.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)g=/Q）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)QWO時(shí)，曲線g=/（N）與直線g=交于,B（x^rn）兩點(diǎn)，求證：/（包>0；

（3）證明：《+《H---匕1[<-^-lnn（n^2,nEN*）.

o52n—12

?■■MsaaKB

IL(湖北武漢華師一2024屆高三五月適應(yīng)性考試)已知函數(shù)/(乃=V^ea\x>0).

(1)求函數(shù)/(為的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(4)有最大值得，求實(shí)數(shù)a的值.

12.(湖北武漢華師一2024屆高三考前測試)已知函數(shù)/(t)=e"+a"-e,aCR.(注：e=2.71828…是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)若f(c)無極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)0時(shí)，f(x)＞］爐+；1；—e+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

14

13.（河北省衡水中學(xué)2024屆高三下學(xué)期押題）已知函數(shù)/（0=理邏3>0且a￥1）.

xa

⑴當(dāng)a=2時(shí)，判斷了（re）的單調(diào)性；

（2）若/（①）>—1恒成立，求a的值.

15

14.(湖南省長沙市長郡中學(xué)2024屆考前模擬)已知函數(shù)/(為=aW-一配

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，討論函數(shù)/(0的單調(diào)性；

(2)若不等式/(2)<x2lnx—砂+■力2—2在+8)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16

15.(湖南長沙長郡中學(xué)2024屆高考適應(yīng))設(shè)/(2)=aa?2+cosa;—l,aCR.

⑴當(dāng)a=工時(shí),求函數(shù)/Q)的最小值;

7U

(2)當(dāng)時(shí)，證明：/3)>0;

(3)證明：cos-^-+cos]H---l-cos—>n--^(nE7V*,n>l).

2JJ

???

16.(湖南長沙長郡中學(xué)2024屆高三下學(xué)期二模)已知函數(shù)/Q)=-a，其中&e足

ex

⑴當(dāng)a=0時(shí),求曲線夕=/(⑼在(1已⑴)處的切線方程;

⑵當(dāng)a>0時(shí)，若/(c)在區(qū)間［O,a］上的最小值為工，求a的值.

e

18

17.(湖南長沙長郡中學(xué)2024屆高三下學(xué)期考前模擬)已知函數(shù)/(乃=且，其中e=2.71828…為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù).

(1)求函數(shù)/(1)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：/(c)We。一1；

2a:

(3)設(shè)g(cc)=/(2)—e+2ae"—4a2+1(aeH),若存在實(shí)數(shù)x0使得g(g)>0,求a的最大值.

18.(湖南省長沙市長郡中學(xué)2024屆高三一模)黎曼猜想是解析數(shù)論里的一個(gè)重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家

視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之一.它與函數(shù)/(為=±：'3>0,5>1,5為常數(shù))密切相關(guān),請(qǐng)解決下

ex—l

列問題.

(1)當(dāng)l<s&2時(shí)，討論/(2)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)s>2時(shí)；

①證明/3)有唯一極值點(diǎn)；

②記/(乃的唯一極值點(diǎn)為g(s),討論g(s)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

???

19.（湖南長沙雅禮中學(xué)2024屆高三下學(xué)期3月測試）已知函數(shù)/（力）=In%+ax2+就（其中為常數(shù)且

QW0）在N=1處取得極值.

（1）當(dāng)Q=1時(shí)，求/（力）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；

（2）若/（*）在（0,e］上的最大值為1,求Q的值.

???

20.(湖南長沙雅禮中學(xué)2024屆高三一模)已知函數(shù)/Q)=x3-ax+a.

(1)若,=1是函數(shù)/(為的極值點(diǎn)，求/(⑼在(-1,/(-1))處的切線方程.

(2)若a>0,求f(rr)在區(qū)間［0,2］上最大值.

4

21.(湖南長沙雅禮中學(xué)2024屆高三4月測試)已知函數(shù)/(7)=x+ax\nx(<aGR),于'(x)為/(工)的導(dǎo)函

數(shù),gQ)=73).

(1)若a=—12,求0=/(力)在上的最大值；

(2)設(shè)PQi，g(g)),Q(g,g(g))，其中1&電〈如若直線PQ的斜率為k，且kV9出)；9儂),求實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

22.(河北石家莊第二中學(xué)2024屆高三一模)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(c)=1R(T+1)和g(x)=

Vx.

(1)求證：/O)VgQ)；

⑵設(shè)0(0=[+tl/(x)在(0,+8)存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

LgO)-I

23.（浙江寧波鎮(zhèn)海中學(xué)2024適應(yīng)性測試）已知函數(shù)/3）=e“—加―1.

（1）討論/3）的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意的；）0恒成立，求a的范圍.

?A

24.(吉林長春東北師大附中2024屆五模)已知a>1,函數(shù)/(①)=ax\nx-xa+l.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求/㈤的最小值；

⑵若c>1時(shí)，J(T)<0恒成立，求a的取值范圍?

25.(2024吉林長春東北師大附中高三六模)已知函數(shù)/3)=lnx-(a—1)工，其中aeR.

(1)若曲線夕=/3)在2=1處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得/(t)在cC(0,e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值是—2?若存在，求出a

的值;若不存在，說明理由.

26.（2024吉林長春東北師大附中高三七模）函數(shù)/Q）=In，-。）二）.

X-\-L

（1）討論/（不的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/Q）有兩個(gè)極值點(diǎn)皿以2,曲線4=/0）上兩點(diǎn)（◎,/（◎）），（啊/儂））連線斜率記為R,求

（3）盒子中有編號(hào)為1-L00的100個(gè)小球（除編號(hào)外無區(qū)別），有放回的隨機(jī)抽取20個(gè)小球，記抽取的

20個(gè)小球編號(hào)各不相同的概率為p,求證：p<4.

27.（湖南師大附中2023-2024學(xué)年高三下一模）已知函數(shù)/（乃=sine-ax-cosx,aGR.

（1）當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)/（￡）在c處的切線方程；

⑵問0號(hào)）時(shí);

（i）若/（力）+sin2%>0,求a的取值范圍；

（ii）證明：sin2x?tan/>x3.

29

28.(湖南師大附中2024二模)已知函數(shù)〃力)=sin{a)x+(p)(co>0,0<^<7t)，滿足/(0)=f

⑴求/(力)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵當(dāng)如電e[t,t+￡](teA)時(shí)，設(shè)1/(x0-/(T2)|的最大值為F⑴,求尸⑴的值域；

(3)把曲線夕=/(0向左平移萼個(gè)單位，再把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變.

O

得到曲線g=g(/).設(shè)函數(shù)3(/)=(x—k)g(x)(kER)，將p(/)在區(qū)間(―+8)上的極值點(diǎn)按從小

到大的順序排列成數(shù)列{g}.若8(0)+?(力2)=。，求實(shí)數(shù)k的值.

29.(河南鄭州外國語2024高三適應(yīng)性考試)已知函數(shù)/(①)=x3+ax2+bx+c在re=-1和c=3處取得

極值.

(1)求a,b的值及/(⑼的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意xG[1,5],不等式/(工)＜恒成立，求。的取值范圍.

30.(湖北武漢二中2024高三最后一卷)設(shè)函數(shù)/(①)=巾(2+l)e”,?n>0.

(1)求/(⑼的極值；

(2)若對(duì)任意?e(-1,+oo),有In/㈤W2e，恒成立，求m的最大值?

31.（2024廣東華南師大附中綜合測試）已知函數(shù)/（宓）=ae“+sinx—x.

（1）若f（x）在（0,2兀）單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）證明:對(duì)任意整數(shù)a,/（⑼至多1個(gè)零點(diǎn).

M

32.(浙江杭州二中2024高三下開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/Q)=7(。-1)Q—2)的圖像為曲線C,過原點(diǎn)。且斜

率為t的直線為Z.設(shè)。與Z除點(diǎn)。外，還有另外兩個(gè)交點(diǎn)P，Q(可以重合)，記g(±)=\OP\-\OQ\.

⑴求。⑴的解析式；

(2)求g(f)的單調(diào)區(qū)間.

33.（河南鄭州一中2024屆考前全真模擬）已知函數(shù)/（⑼=a（e工+a）一2.

（1）討論/Q）的單調(diào)性；

3

⑵證明：當(dāng)Q>0時(shí)，/Q）>21na+^?

35

34.（安徽合肥一中2024屆最后一卷）/3）=eL"（aCR）.

⑴若/（⑼的圖象在點(diǎn)A（%/（g））處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，求g；

（2）對(duì)任意的xE[0,+8），有/（土）＞sinx,求a的取值范圍.

35.(山東省實(shí)驗(yàn)2024屆高三一模)已知函數(shù)/(力)=1nx+^-a^x—l)2.

(1)當(dāng)。=—十時(shí),求函數(shù)/3)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)gQ)=/(%)—2x+i有兩個(gè)極值點(diǎn)力1,力2,且g3i)+g(g)>—1—系，求。的取值范圍.

36.（山東省實(shí)驗(yàn)2024屆高三二模）已知函數(shù)/（力）=（劣一a）'/一b）（Q,bER,a<b）.

⑴當(dāng)a=l,b=2時(shí),求曲線g=于（工）在點(diǎn)（2,/（2））處的切線方程；

（2）設(shè)如/2是/（名）的兩個(gè)極值點(diǎn)，/3是/（①）的一個(gè)零點(diǎn)，且力3是否存在實(shí)數(shù)應(yīng)，使得如

g,g,窗按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求弱;若不存在，說明理由.

2IE

37.(江蘇南京外國語20242月開學(xué)考試)已知函數(shù)/(7)=^--aex+x.

(1)討論/(①)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若/(a;)有兩個(gè)極值點(diǎn)g,x2，直線y=kc+b過點(diǎn)(%/⑶)),(x2,/(rr2)).

⑴證明：

(M)證明：b(弓—a.

???

38.(廣東東莞高級(jí)中學(xué)三模)已知常數(shù)mCR,設(shè)/Q)=lmc+如，

x

⑴若m=1,求函數(shù)夕=/(2)在(1,1)處的切線方程；

(2)是否存在0<gvgvg，且g,g,g依次成等比數(shù)列，使得/(g)、/(g)、/(G)依次成等差數(shù)歹U?

請(qǐng)說明理由.

(3)求證：當(dāng)巾40時(shí),對(duì)任意X1,X2€(0,+oo),g〈電，都有"電)孑⑸>>⑹一人電).

39.(遼寧省實(shí)驗(yàn)2024屆高三考前模擬)設(shè)/(⑼=爐++五+1的導(dǎo)數(shù):㈤滿足/'⑴=2a,f'⑵=

—b,其中常數(shù)a,bCR

(I)求曲線0=/3)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)設(shè)g(z)=/'(rc)e-rc,求函數(shù)g(c)的極值.

40.（貴州貴陽一中2024屆高三一模）已知函數(shù)/⑸=（X—l）ln（x—2）—a（x—3）,aER.

（1）若Q=1,討論函數(shù)/（力+1）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)/>3時(shí)，/（⑼>0恒成立,求a的取值范圍.

41.（重慶南開中學(xué)2024屆高三5月模擬）已知/⑸=（力一l）e”kCR,其中e=2.71828……為自然對(duì)數(shù)

的底數(shù).

（1）當(dāng)k=1時(shí)，證明：/（a;）>elnx；

⑵當(dāng)［0,1］時(shí),/Q）的最小值為一1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

42.（江西撫州臨川一中2024屆5月訓(xùn)練）已知函數(shù)/（工）=+bt+1在①=0處有極值.（江西撫州臨

川一中2024屆5月訓(xùn)練）

（I）求Q,b的值；

（11）證明：/3）＞也一力.

43.(重慶西南大學(xué)附中2024屆高考全真模擬)已知/Q)=e"+aln(l—1)

(1)若/(1)在①=0處的切線平行于宓軸，求a的值；

(2)若/(/)存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

44.（2024屆湖南長沙一中最后一卷）已知函數(shù)/（力）=力田—LgQ）=瓜力-mx9mGR.

（1）求/（力）的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)無（為）=/（劣）一gQ），討論八（劣）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?

46

45.（浙江溫州中學(xué)2024屆高三一模）已知/（①）=31na;—%（力—1）?

（1）若過點(diǎn)（2,2）作曲線夕=/3）的切線，切線的斜率為2,求k的值;

（2）當(dāng)力C[1,3]時(shí)，討論函數(shù)g（⑼=/3）--|-cosyx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?

46.（江西師大附學(xué)2024屆高考三模）已知函數(shù)/（Muaerr+G—lna;.

（1）討論/3）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)a>0時(shí)，/（c）>91na.（參考數(shù)據(jù)：ln2比0.693）

48

47.(福建廈門雙十中學(xué)2024屆高三熱身考試)已知函數(shù)/㈤=21ns-x+—(m€7?).

X

(1)當(dāng)巾=—3時(shí),求函數(shù)/(⑼的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/Q)W0對(duì)任意的①e[1,+8)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

48.（江蘇南京師大附中2024高三模擬）已知函數(shù)/3）=lnx—皿三上.

x-\-L

（1）若當(dāng)/G（1,+8）時(shí),/（力）>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：ln2+ln￡+ln||_+-+ln>1-1--.

7172n2-12n+1

?fl

49.（福建福州一中2024屆高三5月模擬）已知函數(shù)福力）=e*g（x）=sin/+cos/，其中e為自