2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練：二次函數(shù)綜合（角度問題）含解析

2025年中考數(shù)學(xué)提升訓(xùn)練：二次函數(shù)綜合(角度問題)

1.如圖，拋物線y=tm2-[m2+3卜-(6帆一9)與x軸交于點(diǎn)A.B,與y軸交于點(diǎn)C,已知B(3,0)

備用圖

(1)求機(jī)的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)P點(diǎn)是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)B4+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)0為拋物線上一點(diǎn)，若ZACQ=45。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-尤2+6x+3與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A

在點(diǎn)3的左側(cè))，與了軸交于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)AC,tanZCAO=3,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)O.

(1)求6的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線上.

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)且在對(duì)稱軸左側(cè)，連接如果=求點(diǎn)M的坐標(biāo).

3.在平面直角坐標(biāo)系直力中，矩形OCDE的頂點(diǎn)E,C分別在x軸，y軸上，0（4,3）.拋

物線>=依2+法一312（。/0）與無軸交于4（一1,0）,3兩點(diǎn).

AOBEX

備用圖

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接OD,尸為線段C。上一點(diǎn)，連接AF,若FA=FC,請(qǐng)

判斷/CDO和NOE4是否相等，并說明理由;

⑶若拋物線y=3a（。*0）的頂點(diǎn)為取A//的中點(diǎn)則以Af,H,。為頂點(diǎn)

的三角形能否為直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫出。的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

4.如圖，拋物線y=以2+2x+c與無軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,OB-OC-3.

圖2

(1)求拋物線的解析式.

⑵如圖1,點(diǎn)。是第一象限拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作x軸、y軸的垂線，交BC于點(diǎn)E、

交y軸于點(diǎn)/，求DE+DF的最大值及此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

(3)如圖2,連接AC,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NPBC+NACO=N3CO?若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

□

5.已知拋物線4：、=加+法+。的對(duì)稱軸是直線1=5,與x軸交于A(-1,O),與y軸交于

點(diǎn)c(o,—4).

(2)如圖1,點(diǎn)E是拋物線G上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DELx軸，若/ACO=；/AED,求點(diǎn)。

的坐標(biāo).

3

(3)如圖2,將拋物線G向左平移］個(gè)單位長度得到拋物線a.點(diǎn)P為拋物線G上一動(dòng)點(diǎn)，

過P作尸軸，點(diǎn)。為射線尸”上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn),若APQM

與VPQN的面積之積為2.點(diǎn)0的軌跡是否確定？若確定，求出軌跡的解析式：若不確定,

請(qǐng)說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=/+法-2的函數(shù)圖象與x軸交于A(-4,0),B

兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,且OA=2OB.

(1)求拋物線的解析式；

⑵在直線AC下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)尸，連接AP、CP,點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，

過點(diǎn)。作直線/〃x軸，點(diǎn)M為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，MNLx軸，垂足為N,連接PN、MB,當(dāng)

△APC的面積取得最大值時(shí)，求PN+MN+MB的最小值；

(3)將拋物線y=ax?+法-2沿射線AC方向平移2逐個(gè)單位長度得到新的拋物線V,點(diǎn)。為

BC中點(diǎn)，在新拋物線了上存在一點(diǎn)。使得NCDQ=ZAC3,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的Q

點(diǎn)的坐標(biāo).

7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=1+bx-4（aW0）與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）、點(diǎn)B（4,0）,

與y軸交于點(diǎn)C.

⑵點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作尸E〃y軸交BC于點(diǎn)E,PF〃x軸交3C于點(diǎn)E,

當(dāng)！PEF的周長最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和！PER周長的最大值；

（3）將拋物線丫=加+法-4（"0）沿射線CB方向平移20個(gè)單位，得到新的拋物線》'，在

新的拋物線V上是否存在點(diǎn)”，使NCBH-45。=NACO,若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.如圖,拋物線丫=加+及+3（aw0）與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）和8（1,0）,與了軸交于點(diǎn)C,

連接AC和BC,點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接APIP和CP.

(1)求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P在拋物線上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中(點(diǎn)P與點(diǎn)AC不重合)，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的

對(duì)稱點(diǎn)匕連接A0C6,記△A"的面積為跖，記ABCP的面積為Sz，若滿足*=3星，

求尸的面積；

(3)將原拋物線沿射線C4方向平移2夜個(gè)單位長度，試探究在新拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，

使得NQC4+/OC8=NC4O?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

9.拋物線丁=爐+區(qū)+。經(jīng)過點(diǎn)4(-3,0)和點(diǎn)3(2,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且位于y軸的左側(cè).

①如圖1,過點(diǎn)尸作PE>_Lx軸于點(diǎn)。，作軸于點(diǎn)E,當(dāng)尸￡>=2PE時(shí)，求PE的長；

②如圖2,該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得NACP=/OCB?若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，=。/+法+4（。*0）經(jīng)過點(diǎn)（3,外，與無軸交于A,3

兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=l.

備用圖

（1）求拋物線的表達(dá)式

⑵點(diǎn)尸是直線2C上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PD〃y軸，交BC于點(diǎn)、D,點(diǎn)Af是V軸

上的一動(dòng)點(diǎn)，連接9,。河，當(dāng)線段尸。長度取得最大值時(shí)，求周長的最小值；

（3）點(diǎn)E坐標(biāo)為E（0,-2）,將原拋物線沿射線CB方向平移2&個(gè)單位長度,得到新拋物線月,

在拋物線月是否存在點(diǎn)滿足/3EM=/ACO,若存在，直接寫出點(diǎn)Af的坐標(biāo)，若不存

在請(qǐng)說明理由.

11.已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(-1,12)和(4,-3).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

⑵拋物線y=^+6x+c與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與丁軸交于點(diǎn)C,如圖.

①求VABC的面積；

②點(diǎn)0（2,加）在拋物線上，點(diǎn)E在線段上（不與端點(diǎn)3,C重合），若ZDEB=2NDCB,

求點(diǎn)E的坐標(biāo).

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=+左與無軸相交于。，A兩點(diǎn)，頂

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（T,-2）,點(diǎn)2為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,AB,過點(diǎn)B的直線與拋物線交

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)B在直線y=-x上，且NABC+NQ4P=45。，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)。，過。作直線分別與拋物線相交于點(diǎn)M、N（M在對(duì)

稱軸左側(cè)拋物線上)，求木+康的值.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=以2+版+3(。H0)交工軸于點(diǎn)4、B,交y軸

圖1圖2

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵CD平分ZOCB交無軸于D點(diǎn)尸是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PELCB交

直線CB于點(diǎn)E,交直線C。于點(diǎn)F.點(diǎn)、M、N是無軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN=2后(〃在N的左側(cè))，

連接CM、PN,當(dāng)線段PR取最大值時(shí)，求尸N+肱V+CM的最小值；

(3)如圖2,連接AC,將該拋物線沿射線BC方向平移，使得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)C,且與直線

相交于另一點(diǎn)H.點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)."QCH=ZACO,直接寫出所有符合

條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

14.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ox2+bx+6與x軸交于

點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與,軸的正半軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)2(—2,0),點(diǎn)3(6,0),連接BC.

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸。_LBC于點(diǎn)。，求后￡>+忘班)的

最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,點(diǎn)尸是線段OC的中點(diǎn)，將拋物線沿著射線CB的方向平移2a個(gè)單位得到新拋

物線，點(diǎn)。在新拋物線上，是否存在點(diǎn)。使/尸30+48。。=90。？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

15.已知拋物線丁=渡+法+3與x軸交于A(-1,O),3(3,0)兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2汝口圖(1),。為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，^ZAQC=2ZBAQ,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶如圖(2),P為x軸上方一動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線均只有唯一公共點(diǎn)

OH，MN千點(diǎn)、H,且AEM的面積是10,求線段由長度的最大值.

16.如圖①，二次函數(shù)〉=加+版+或"0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0),并且與直線y=；x-2相

圖①圖②備用圖

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖①，連接PC,PB,設(shè)APQ5的面積為S,求S的值；

(3)如圖②，過點(diǎn)A,C作直線，求證：VABC是直角三角形；

(4)如圖②，拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得ZA8Q=2NABC?若存在，則求出直線8Q的解

析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.如圖，拋物線y=-/+6x+4交尤軸于A(-1,O),3兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,尸為拋物

3

線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)-天

(1)直接寫出拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若租>3,當(dāng)拋物線在點(diǎn)尸和點(diǎn)A之間的部分(包括尸、A兩點(diǎn))的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱

坐標(biāo)之差為m+1口寸，求加的值；

(3)在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NP8C+/ACO=45。，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

18.如圖，拋物線丁=加+法+4。70)與無軸交于點(diǎn)2(—2,0),點(diǎn)5(3,0)，交》軸于點(diǎn)C(0,3).

⑵如圖1,已知直線上方拋物線上有一點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作尸E〃y軸與交于點(diǎn)E,過點(diǎn)P

作PF〃x軸與>軸交于點(diǎn)F,求PE+PF的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將原拋物線沿X軸向右平移1個(gè)單位長度，新拋物線與y軸交于點(diǎn)C，,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為笈,

點(diǎn)N是第一象限中新拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離的一半，

問在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得/MNB，=NCFN,請(qǐng)直接寫出所有符合條件

的點(diǎn)的坐標(biāo).

19.如圖，已知拋物線4V=加+法+3與無軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c,且A(-3,0),

5(1,0).

(1)求拋物線4的解析式；

(2)若〃是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且ZMAB=NBCO,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3

(3)點(diǎn)。在拋物線上，且Q的橫坐標(biāo)為-務(wù)，將拋物線乙沿水平方向平移得到拋物線4,拋

物線%的頂點(diǎn)為P，且△ACP的面積等于AAQC的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

20.如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A(T。)和點(diǎn)B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,

(圖1)(備用圖)

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接8。，CD,請(qǐng)求出△BCD面積的最大值及

此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。在拋物線上移動(dòng)，連接CO,是否存在點(diǎn)。，使得/DCB=ZABC,若存在求出點(diǎn)。

的坐標(biāo)；不存在請(qǐng)說明理由.

《2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練：二次函數(shù)綜合（角度問題）》參考答案

1.（l）m=l,y=-x+3

⑵P（2,l）

⑶o

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：

（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析

式即可；

（2）根據(jù)對(duì)稱性得到上4+PC=PB+PC,進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，R4+PC的值

最小，進(jìn)行求解即可；

（3）過點(diǎn)A作ADLAC且AD=4C,過點(diǎn)。作。軸，證明AACO段AD4E,求出。點(diǎn)坐

標(biāo)，進(jìn)而求出的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出。點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】（1）解：把3（3,0）代入、=勿/一（病+3卜一（6機(jī)一9）,得：

9m—3^m2+3）-（6m—9）=0,

解得：根=1或根=0（舍去）；

y=X2-4x+3,

???當(dāng)工=0時(shí)，y=3,

???C（0,3）,

設(shè)直線的解析式為：y=kx+39把5（3,0）代入，得：k=-l,

y——x+3；

（2）'：y=x2-4x+3,

-4

對(duì)稱軸為直線x=--=2,

2

：AB關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

PA+PC=PB+PC>BC,

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，R4+PC=3C最小，

:點(diǎn)尸在對(duì)稱軸上，

??Xp=2,

才巴Xp=2代入y=-x+3,得：y=l,

，P(2,1)；

（3）Vy=x2-4.x+3,

:.當(dāng)y=0時(shí)，/一4尤+3=0,

..X]=3,X[=],

A（1,O）,

OA=1,

???C（0,3）,

???OC=3,

過點(diǎn)A作AD_LAC且AD=AC,過點(diǎn)。作D￡_Lx軸,

則：ZDEA=ZCOA=ZCAD=90°,ZACD=45°=ZACQ,

???NACO=NZXE=90?！狽Q4C,點(diǎn)。在直線CD上，

???^ACO^DAE,

AE=OC=3,DE=OA=1,

???OE=OA+AE=^,

???0(4,1),

設(shè)直線CD的解析式為：y=mx+n,

1

〃二3m=—

則:,J解得:2；

4m+n=l

n=3

直線CD的解析式為:y=-x+3,

7

j=%2-4x+3x=—

;或x=0

聯(lián)立1。，解得：,

y=——x+3y=3

2y=-

4

故Q

2.(1)6=2；0(1,4)

211

⑵①(-2,-5)；②

35V

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí).

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),得到OC=3在RMAOC中，tan/C40=而=3,得到AO=1,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—1,0),得至110=-12-6+3,解得6=2；

(2)①點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),求出直線8C的解析式為y=-x+3,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(f,-t2+2f+3),則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Pr(t,t2-2t-3),得到P(4-2—3)在直線BC

上，得至lJ/-2-3=T+3,解方程即可得到答案；②設(shè)8河交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)

H作HNLBD于點(diǎn)、N,證明/ABC=45。，求出直線3尸的解析式為V=》-3,得到

ZABC=ZABP=45°,得到tanNBD"=：,證明NABP==45。，在ARDH中,

tanNBDH=；,NDBH=45。設(shè)NH=x=NB,則ON=2無，則=右x,得到

BD=BN+DN=3x,由BQ=J(3—1)，+(0—4『=2占得至[3工=2右,貝l]x=竿，得至U

DH=0=*則點(diǎn)”的坐標(biāo)是求出直線社的解析式為y=-；x+i,與拋物線

解析式聯(lián)立得到-;X+1=-爐+2x+3求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo),即可得到點(diǎn)"的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：當(dāng)尤=。時(shí)，y=-x2+bx+3=3,

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,3),

???OC=3

在RIAAOC中，tanZ.CAO==3,

AO

：.AO=1

；?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—1,0),

:拋物線y=-尤2+6尤+3與x軸交于點(diǎn)A,

0=-12-/>+3，

解得6=2,

，拋物線的表達(dá)式為、=-/+2尤+3=-(》-1)2+4,

???0(1,4)；

(2)①當(dāng)y=0時(shí)，-x2+2x+3=0,解得x=-l或x=3,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=履+加

.j3A:+m=0

**jm=3

[k=—l

解得，

[m=3Q

直線BC的解析式為y=T+3,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為?,-『+2共3),

則點(diǎn)尸關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(t,t2-2t-3),

???P(?—2—3)在直線8C上，

***/—2/-3=—，+3,

解得看=-2或，=3(不合題意，舍去)

—t2+2/+3=—4—4+3=—5，

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,-5)；

②設(shè)RW交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)X作于點(diǎn)N,

'：OB=OC=3,ZBOC=90。,

???ZABC=45°

設(shè)直線BP的解析式為y=nx+d,

f3〃+d=0

貝'J_2〃+d=_5

［n=l

解得“2，

［a=-3

，直線BP的解析式為y=%-3,

???ZABC=ZABP=45°,

???5（3,0）,00,4）,且點(diǎn)。在拋物線對(duì)稱軸直線％=1上，

3-11

AtmZBDH=——

42

,:ZMBP=ZABD

：.ZABP=NDBM=45°,

在AB力H中,tanZBDH=1,ZDBH=45°

設(shè)NH=X=NB,則￡W=2羽貝、DH=1HN2+DN?=氐，

:.BD=BN+DN=3x,

BD=^（3-l）2+（0-4）2=2A/5,

***3x=2A/5,則x=

：.DH=45x=—,

3

則點(diǎn)H的坐標(biāo)是［1,4即［1，1］，

設(shè)直線BH的解析式為y=px+e,

3〃+e=0

則2

[p+”g

1

p---

解得3,

e=l

直線的解析式為y=-gx+l,

與拋物線解析式聯(lián)立得到-gx+1=+2x+3

2

解得汨=-§,%=3（不合題意，舍去）

3.（1）y=—X2+2x+3

⑵NCD。和NOE4相等，理由見解析

（3）q=—2或a」或-3+后或°\-3一后

288

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)先求解C的坐標(biāo)，再結(jié)合A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解解

析式即可；

（2）如圖，連接AC,求解tanNCDO=]|=j結(jié)合4（一1,0）,C（0,3）,^AF=CF=m,

u/八…OA13

可得OB=3-1=wA，tan=OF=4=7,從而可得答案；

33i

（3）先求解》=—2a,可得〃（l,Ta）,M（0,-2a）,W=42+（3+2a）2,

HM2=l2+（-4o+2a）2=4cr+l,HD2=（4-l）2+（3+4G）2,再分三種情況討論即可.

【詳解】（1）解：?矩形OCDE的頂點(diǎn)E,C分別在X軸，y軸上，￡＞（4,3）,

.-.C（0,3）,

V拋物線y=ax2+bx-3a（a^0）與x軸交于A（-l,0）,C（0,3）,

f—3a=3

[a—h—3a=0

a=-1

解得:

b=2

拋物線的表達(dá)式為y=-尤之+2尤+3；

(2)解：如圖，連接AC,

;矩形OCDE的頂點(diǎn)上，。分別在天軸，>軸上，￡>(4,3),

???OC=3,CD=4,

OC3

AtanZC￡>O=——=-,

CD4

VA（-1,O）,C（0,3）,^AF=CF=m,

：.AO=lfOF=OC-CF=3-m,

???在RMAO尸中，AF2=AO2+FO\

m2=12+（3—m）2,

解得：〃?=:

54

???OF=3——=-,

33

/八?OA13

.tanZOFA==—=—

??O尸d4，

3

tanZCDO=tanZOFA,

???NCDO和NOE4相等；

（3）解：：拋物線>=涼+笈一3”（aw。）與x軸交于A（-l,。）,

??CL—b—3a—0,

b=—2a,

??.拋物線為y—ax2—2ax—3a=。（尤—1）"—4a,

頂點(diǎn)為"（l,Ta）,

:M為AH的中點(diǎn),

M（0,-2a）,

1/0（4,3）,

MD2=42+（3+2a）2=16+（3+2a）2,

HM2=l2+（^/+2a）2=4a"+l,

HD2=（4-l）2+（3+4<2）2=9+（3+4O）2,

如圖，^\HM-+MD-=則△AffiD為直角三角形;

.,.l+4/+16+（3+2a）2=32+（3+4<7）2,

解得：a=-2或a=g；

當(dāng)府2+印>=加7y時(shí)，則為直角三角形；如圖,

1+4/+9+（3+甸2=16+（3+2a）2,

8

^MD2+HD2則△AffiZ）為直角三角形；

16+（3+2。丫+9+（3+4O）2=1+4/,

整理得：8f?+18。+21=0，

A=18?—4x8x21=-348<0,

該方程無解；

綜上：AMHD為直角三角形，則a__2或或a=-3+屈或-3一后.

288

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與角

度問題，直角三角形問題，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

4.（1）y=—x2+2x+3；

（2）/汨+。尸取最大值4,此時(shí)0（2,3）；

⑶點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2,3）或1

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，二

次函數(shù)的幾何問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）先求出直線8C的解析式為y=r+3,設(shè)網(wǎng)，-/+2。+3）,則E（p,_p+3）,可得

DE+DF=-（p-if+4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）分點(diǎn)。在BC上方和點(diǎn)。在8C下方兩種情況，畫出圖形解答即可求解.

【詳解】（1）解：：O3=OC=3,

.?.3（3,0）,C（0,3）,

把3(3,0),C(0,3)代入>=依2+2彳+,得,

Jc=3

|9?+6+c=0?

a——1

解得

b=2

，拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)解：解方程一丁+2%+3=0可得，%=一1,%2=3,

1,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n,

把5(3,0)、C(0,3)代入得,

[0=3左+〃

[3=n'

[k=-l

解得2，

[n=3

???直線5C的解析式為y=f+3,

設(shè)。(p,”2+2p+3),貝！JE(p,-p+3),

DE+DF=-p2+2.p+3-(-p+3)+p=-(p-2f+4,

,/-l<0,

當(dāng)p=2時(shí)，即￡>(2,3),DE+D尸取最大值4；

(3)解:存在.

???3(3,0),C(0,3),

OC=OB=3,

：.Z.OBC=ZOCB=45°,

ZPBC+ZACO=ZBCO=45°,

當(dāng)點(diǎn)。在BC上方時(shí)，作點(diǎn)4(-1,0)關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(LO),過點(diǎn)8作3T〃AC交拋物線

于點(diǎn)。，

：A與A，關(guān)于y軸對(duì)稱,

ZACO=ZArCO,

又：BT//AC,

：.ZQBC=ZBCA',

ZA'CO+/3C4'=45°,

ZACO+ZOBC=45°,

VC(0,3),A(1,O),

同理可得直線CA1解析式為y=-3%+3,

設(shè)直線8T解析式為y=-3尤+/,將3(3,0)代入得，0=-9+t,

：.t=9,

y——3x+9,

1y=-尤2+2x+3

由《，

[y=-3x+9

fx=2fx=3

解得[或

[y=3[y=0

Q(2,3)；

當(dāng)點(diǎn)。在2C下方時(shí)，作點(diǎn)。(0,1),直線80與拋物線交于點(diǎn)

V0(0,1),3(3,0),

同理可得直線8。解析式為>=-gx+l,

AO=OD=1

?：<ZCOA=ZBOD=90°,

OC=OB=3

???△COA之△5OZ)(SAS),

???ZACO=ZDBO9

：.ZCBQf+ZACO=45°,

y=—x+2%+3

y=——x+1

3

x=3

解得

y=o

211

Q'3,~9

211

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為或

(2,3)3'V

5.(1)拋物線為:y=x2-3x-4

(2)。的坐標(biāo)為:

(3)點(diǎn)。的軌跡是拋物線，解析式為"=:

233ID_p.DI

m———

〔4I22；

【分析】(1)由拋物線G：y=3?+bx+c的對(duì)稱軸是直線X=1,與x軸交于4(-1,0),與y

軸交于點(diǎn)C(0,-4),再建立方程組解題即可；

(2)如圖，在》軸上取點(diǎn)K,使AK=CX,可得NA70=2NACO,延長轉(zhuǎn)交拋物線于E,

ZAKO=AAED=2ZACO,滿足/ACO=工/AED,如圖，當(dāng)E在x軸的上方時(shí)，取K關(guān)于

2

無軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K',直線AK'與拋物線的交點(diǎn)為E,ZAKK'=ZAK'K=ZAED,再進(jìn)一步解

答即可；

395

(3)將拋物線G向左平移;個(gè)單位長度得到拋物線。2.可得為：y=f-3；再分兩種

24

情況討論：如圖，設(shè)/(％,%),N(x2,y2),Q(m,n),當(dāng)年機(jī),時(shí)，可

2252525

PQ=n-m+—f令—機(jī))+〃=f一~—,可得％i+%2=左，\x2=km-n——,結(jié)合

△PQM與VPQN的面積之積為2,可得gpQ(〃LxJxgpQ(x2r〃)=2,再整理即可，當(dāng)

根＞2或相＜一2時(shí)，同理可得結(jié)論.

22

【詳解】(1)解：???拋物線c尸加+云+c的對(duì)稱軸是直線―三與X軸交于4(-1,0),

與y軸交于點(diǎn)。(0,-4).

c=-4

ra-1

b3

-，解得：匕=-3,

2a2

.c=—4

a-b+c=0ni

，拋物線為：J=X2-3X-4.

(2)解:如圖，在了軸上取點(diǎn)K,使AK=CK,

ZACO=AKAO,

：.ZAKO=2ZACO,

延長AK交拋物線于E,

■/軸，

，OE〃y軸，

ZAKO=ZAED=2ZACO,滿足ZAC。=工ZAED,

2

設(shè)AK?=CK=m,而4（—1,0）,C（0,—4）,

OK=4—m,

m2=（4—m）2+12,

17

解得：m=—,

o

設(shè)直線KE為y

8

：.-k--=0,解得：k=--

8O

1515

，直線KE為:y=-----x------,

88

^--X--=X2-3X-4,

88

-0,

88

._17

??Xp—,

8

???鳴

如圖，當(dāng)E在x軸的上方時(shí)，取K關(guān)于龍軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K',直線AK'與拋物線的交點(diǎn)為E,

ZAKK'ZAK'K=ZAED,

同理可得：AK'為y=岸，

OO

x+—=X2-3X-4,

88

旦-±=0,

88

39

：.xE-l=—

“不，

8

W，o],

綜上：￡）的坐標(biāo)為：|可，°）或，

（3）由窣：y=%2-3x-4=一總，

3-

將拋物線G向左平移|■個(gè)單位長度得到拋物線G.

75

；?。2為：y=J一二；

4

如圖，當(dāng)-白屋5時(shí)，設(shè)"（外,%）,N（%2，%），尸［九病-4

ZNI今

:.Q（m,"）,

PQ=n—m2+等，

令左（1一根）+〃=%2一^,

.25

??x2—kx+krn—YI-----=0,

4

?

..%]+%2—化,，玉兀？—k7m—n---2--5,

VAPQM與YPQN的面積之積為2,

（加_X]）x；PQ（%2_根）=2,

?*?^[n-m2+~^\x[M%+々）-%入2一療]=2,

,225「

??〃—mH-----2,

4

???點(diǎn)。的軌跡是拋物線，解析式為〃=療-

xQ=m,

設(shè)直線腦V為：y=k[x-m）+n,

25

PQ=m2———n,

令左（兄一根）+〃=%2一點(diǎn),

.25

??x2—kx+kin—YI------=0,

4

?7=725

..%+%2—k,一〃—~,

VAPQM馬YPQN的面積之積為2,

■^PQ^m—xl^x^PQ^m—x2^=2,

?■j_

4

?,?點(diǎn)。的軌跡是拋物線，解析式為〃=病-亍.

f217(5V<5、

綜上：點(diǎn)。的軌跡是拋物線為“=口4〉(2.2)一

255(D_p.D?

m~-----m>—Bx,m<——

〔4I22j

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合,

角度問題，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，本題的計(jì)算量很大，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方

法，細(xì)心的計(jì)算是解本題的關(guān)鍵.

6.(1)y——兀2")—%—2

42

(2)4亞+2

(3)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為12+一呼3

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可；

(2)利用二次函數(shù)解析式可得C(0,-2),進(jìn)而可得直線AC的解析式為y=設(shè)點(diǎn)

過點(diǎn)P作軸，交直線AC于點(diǎn)G,可得G%--2,即

42J

^GP=-m2+—m-2

42

iii9

S-APC=-GPOA=--rn2-2m=--(/n+2)+2，可知當(dāng)〃?=一2時(shí)，△APC的面積取最大值，

即得P(-2,-2),P'(-2,0),作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)連接交直線/于點(diǎn)則

B'M=BM,又可知四邊形PPMN是平行四邊形，得PM=PN,即得到

PN+MN+MB=P'M+B'M+MN=P'B'+MN,由兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)

的值最小，利用勾股定理求出PE即可求解；

1,1-

(3)由題意可得拋物線y=：尤2+無一2沿射線AC向下平移2的單位長度，再向右平移4的

42

1Q117

單位長度得到新的拋物線y',即得y'=；(x+l-4)02-1-2=；(x-3)02—7,再分兩種情況,

4、'44V74

畫出圖形解答即可求解.

【詳解】⑴解：,??A(T,O),

OA=4,

???OA=2OB,

：.OB=2,

：.5(2,0),

把/(一4,0),5(2,0)代入y=?+"一2得,

J16a-4Z?-2=0

144+25-2=0'

.1

ci——

解得:4,

b=-

2

???拋物線的解析式為y=!爐+1％―2；

42

(2)解：由丁=1X2+耳%—2,得。(0,—2),

設(shè)直線AC的解析式為丁=履+。，把4(一4,0)、。(0,-2)代入得,

0=-4k+b

-2=b

k=--

解得2,

b=-2

直線AC的解析式為y=-gx-2,

辦；/+1-2),過點(diǎn)尸作PPL*軸，交直線AC于點(diǎn)G,如圖，則點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)夕

Glm-^m-2],

1c門121c

：.GP=-—m+—m-2

2424

1]“

S=S+S=—GP-OA=———m2-mx4=—

AArpCr￡^ArA(jprACrrGpr??

4J2

:S.APC一：〃/—2m=—++2,

...當(dāng)m=-2時(shí)，的面積取最大值,

P（-2,-2）,

P'(-2,0),

作點(diǎn)3關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8',連接3'產(chǎn)交直線/于點(diǎn)M,則=

:點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，

OD=OC=2,

:點(diǎn)M為直線/上一動(dòng)點(diǎn),MNLx軸，

，MN=OD=2,

：.PP=MN=2,

:PP//MN,

.,?四邊形PP'MN是平行四邊形，

PM=PN,

：.PN+MN+MB=P'M+B'M+MN=P'B'+MN,

由兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)PN+MN+MB的值最小，

:點(diǎn)B與點(diǎn)笈關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)，

/.BB'=4,

又：=2-(-2)=4,

P,B,=A/42+42=45/2，

PN+肱V+MS的最小值=尸5+政V=4a+2;

圖1

(3)解：?.?直線AC的解析式為y=x-2,

可設(shè)拋物線y=9尤2+1尤-2沿射線AC向下平移/的單位長度，再向右平移2f的單位長度

42

得到新的拋物線了，

:產(chǎn)+(2。2=(2有『，

?9?t=2f

???拋物線產(chǎn)%+白-2沿射線AC向下平移2的單位長度,再向右平移4的單位長度得到

新的拋物線V，

y=—x2+—X—2=—(x+1)2--,

424V74

y=*+l_4)2_；_2=*_3)217

T

:點(diǎn)。為BC中點(diǎn),

鞏1,-1),

如圖，當(dāng)AC〃。。時(shí)，ZCDQ=ZACB,

設(shè)直線的解析式為y=-；x+P,把。(1,T)代入得,

1

~2+p,

._1

??P=----

2

直線DQ的解析式為y=

X=2+M

,舍去)或*-V10-3,

y=-------------

2

圖2

當(dāng)NC0Q=NAC5,。。與＞軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E時(shí)，如圖,

'：OB=OC=2,

：.ZABC=ZECD,

又「ZACB=/EDC,

JAABC^AECD,

.ABBC

??一，

ECCD

VAB=2-(-4)=6,BC=2CD,

EC=—AB=3,

2

.??￡(0,1),

設(shè)直線。。的解析式為丁=加+。，把E(O,I)代入得,

f-l=n+c

\l=c，

n=-2

解得

c=l

直線。。的解析式為y=-2》+1,

y=-2x+lfx=V13-l=-V13-l

由，1z代17.解得，L(不合，舍去)或

y=—x-3)-----y=-2A/13+3=2A/13+3

4V74

圖2

綜上，當(dāng)NCOQ=NAC8時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為2+質(zhì),

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次

函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的平移，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱

的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(1)y=—x2-x-4

(2)P(2,-4),4+20

(3)存在，點(diǎn)X的坐標(biāo)為(0,2)或(1+而,6-2拒)

【分析】本題為二次函數(shù)的綜合題，涉及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的

平移等知識(shí).

(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線的表達(dá)式，由題意可得NOCB=NPEF=45。，

推出尸E=EF=yJPE2+PF2=yjlPE1=>則PE+尸尸+￡F=(2+8)尸E,求出

PE的最大值即可求解；

1Q15

(3)求出新拋物線的表達(dá)式為：y=l(x-l-2)02-|+2=1(x-3)02-|,分當(dāng)點(diǎn)H在無軸

上方時(shí)，延長3H交》軸于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)”在x下方時(shí)，過點(diǎn)8作直線/〃AC,兩種情況討

論，即可求出答案.

【詳解】(1)解：將A(-2,0)、點(diǎn)B(4,0)代入>=加+法一4(4工0),

/日J(rèn)4a-2Z?-4=0

得：6a+46—4=0'

1

Cl——

解得：《2,

b=-l

二拋物線的解析式為：y=^x2-x-4；

1°

(2)令A(yù)尤=0,貝！Jy二萬1=

???點(diǎn)C(0,T),

設(shè)直線的表達(dá)式為：y=rwc+n,

將點(diǎn)B（4,0）,點(diǎn)C（O,T）,代入得:

4m+n=0

0+n=-4

m=l

解得:

n=-4f

???直線直線BC的表達(dá)式為：y=%-4,

,.?OC=OB=4,ZBOC=90°,

???NOCB=NOBC=45。，

?.?PE〃y軸交5c于點(diǎn)E,P尸〃x軸交5c于點(diǎn)E,

：.ZPFE=ZPEF=45°,

PE=PF,/EPF=90。,

EF=4PE2+PF2=yj2PE2=亞PE

設(shè)點(diǎn)E（x,x—4）,貝！］尸卜/2-x-4）,

則PE